二次函数知识点总结及相关典型题目(学生用）
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:
二 次 函 数
一、定义：一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 例：已知关于x 的函数是常数c b a c bx ax y ,,(2++=)当a,b,c 满足什么条件时 （1)是一次函数 (2）是正比例函数 (3）是二次函数 二、二次函数c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数,)0≠a 的性质 （１)①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；
②当0 (2)顶点是），（a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2-= (3）①当0>a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而减小;在在对称轴右边，y 随x 的增大而增大； ②当0 (4) y 轴与抛物线c bx ax y ++=2 得交点为（0,c ) 例：1、（2011四川重庆,７，4分)已知抛物线ｙ=a ｘ2 +bx +c (ａ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论 中正确的是( ) Ａ． ａ>0 Ｂ. b <０ Ｃ． c <0 D ． a ＋ｂ＋c >0 练习:1、(2０11山东威海,７,３分)二次函数2 23y x x =--的图象如图所示．当y ＜０时,自变量x 的取值范围是 ( ）. A.-1＜x ＜3? B.x ＜－１? C ． ｘ>３ D ．x ＜－1或x >3 2、(２0１０湖北孝感,１2，3分)如图，二次函数y ＝ax ２+b ｘ+c 的图象与y 轴正半轴相交,其顶点坐标为 1,12?? ??? ,下列结论：①ac ＜0;②ａ+ｂ=0；③４a ｃ－b 2 =４a;④a ＋ｂ＋ｃ＜０.其中正确的个数是( ) A. １ B. 2 Ｃ. ３ D. 4 三、求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1)公式法：c bx ax y ++=2 ,顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. y x O 山东威轴下方 轴的交点在，抛物线与轴上方，轴的交点在，抛物线与x y c x y c 00<> （2）配方法:()k h x a y +-=2 的顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =． (3）利用交点式求对称轴及顶点：()()21x x x x a y --=,对称轴为2 2 1 x x x += 例1、求下列各抛物线的顶点和对称轴: (１)532 +-= x y x (2)72)1(2 -=-x y （3）)9)(7(3+--=x x y 例2、2０11江苏淮安,１4，3分)抛物线y=x 2 -2ｘ-３的顶点坐标是 .（1,－4) 四、抛物线的平移 方法1:计算机两条抛物线的顶点，由顶点判定平移情况 方法2：将函数换成顶点式．．．，用口决“(x)左加右减,上加下减” 例1、 抛物线322++=x x y 经过怎样平移得到142 +-=x x y 例２、(2011四川乐山5,3分）将抛物线2 y x =-向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ） A.2(2)y x =-+ B ．22y x =-+ Ｃ．2(2)y x =-- D.2 2y x =-- 例3、( 2011重庆江津, １8，4分)将抛物线y ＝x 2 -2ｘ向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是___＿ ＿__． 练习: 1、抛物线3222++=x x y 经过怎样平移得到1422 +-=x x y 2、抛物线322++=x x y 向左平移2个单位，再向上移3个单位得到c bx x y ++=2 ,求ｂ和c 。 3、(2011山东滨州,７，３分）抛物线()2 23y x =+-可以由抛物线2 y x =平移得到,则下列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D ．先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 五、用待定系数法求二次函数的解析式 (1）一般式：c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （２）顶点式:()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. (3）交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式:()()21x x x x a y --=. （4)一般式与顶点式的变换 例：1、根据已知条件确定下列函数的解析式： （1）已知抛物线过)05(,3003，），－），（，（－ （2)已知抛物线的顶点在x 轴上,且过点（1,０)、(-２，4）； （3)已知抛物线的顶点坐标为（-2,0），过点（１,4) 例2、将换成顶点式和4222622 -+=+-= x y x y x x (2 92,7)2 1 (32 2 - =-=+-x x y y ） （） 练习:1、将换成顶点式和－473542 2 ++=-= x y x y x x 2、（２0１１山东济宁，12,3分)将二次函数2 45y x x =-+化为2 ()y x h k =-+的形式，则y = （ 2 (2)1y x =-+） 七、(2c bx ax y ++=)0≠a 与一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的关系 ac b 42 -=? ?>０ ?＝０ ?＜０ 02=++c bx ax )0(≠a 方程有两个不相等的实数根 x x 21 ， 方程有两个相等的实数根 x x 2 1 = 方程没有实数根 c bx ax y ++=2 )0(≠a 抛物物与x 轴有两个交点），（，0)0(21x x B A 抛物物与x 轴只有一个交点)0( 1 ， x 抛物物与x 轴没有交点 x x x x AB 212 421) (-= + 韦达定理： a c a b x x x x =-=+2121，（二者都可以用) 例1、（2011台湾台北，32）如图(十四),将二次函数228999931＋－＝x x y 的图形画在坐标平面上，判断方程式 0899993122＝＋－x x 的两根，下列叙述何者正确？( ) A ．两根相异,且均为正根 Ｂ．两根相异,且只有一个正根 C.两根相同,且为正根 D.两根相同,且为负根 例2、.抛物线322 --=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C,则AB 的长为 ,三角形ＡB Ｃ的面积 是 。 练习：1．已知二次函数22 －＝ax y 的图象经过点(１，-1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交 点的个数.( ) ２．(2０11湖北襄阳,1２，3分)已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点,则k 的取值范围是( ） A ．4 Ｂ.4≤k ? C.4 D.4≤k 且3≠k 3、（2011广东东莞，15，6分）已知抛物线2 12 y x x c =++与x 轴有交点. (1)求c 的取值范围; (2）试确定直线y =cx +l 经过的象限,并说明理由. 八、二次函数的应用 1、求c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a 最大值或最小值 ①0>a ，函数有最小值为顶点的纵坐标，此时ｘ等于顶点的横坐标; ②0 1??高 3、利润问题:利润＝销量?（售价-进价）－其他 4、拱桥问题 例1、(２0１１广东肇庆,10，3分）二次函数522 -+=x x y 有( ) A ． 最大值5-?B. 最小值5-?C. 最大值6- D ． 最小值6- 例2 、一块矩形耕地大小尺寸如图所示（单位:m)，要在这块土地上沿东西 方向挖一条水渠，沿南北方向挖两条水渠,水渠的宽为ｘ（m),余下的 可耕地面积为y( m 2 ） 。 （1） 请你写出y 与x 之间的解析式; （2） 根据你写出的函数解析式，当水渠的宽度为１m 时，余下的可 耕地面积为多少? （3） 若余下的耕地面积为4４0８ m 2 ,求此时水渠的宽度。 例3、某商场以每件3０元的价格购进一种商品，试销中发现,这种商品每天的销量ｍ(件)与每件的销售价ｘ(元)满足一次 函数：ｍ=16２－3ｘ. （1） 写出商场卖这种商品每天的销售利润ｙ与每件的销售价x 间的函数关系式; （2） 如果商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的定价为多少最合适?最大销售利润为多少? 练习：１、某商店经销一种销售成本为每千克4０元的水产品。据市场分析，若按每千克5０元销售,一个月能售出500 千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,针对这种水产品的销售情况,请解答下列问题： （1） 当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； （2） 设销售单价为每千克X 元，月销售利润为Y 元,求Ｙ与X 的函数关系式(不必写出X 的取值范围）; （3） 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少? 3、. 如图6，一单杠高2.2m,两立柱之间的距离为１.6m,将一根绳子的两端拴于立柱与横杠结合处，绳子自然下 垂呈抛物线形状,一身高０．7m 的小孩站在离左边立柱0.４m 处,其头部刚好触到绳子，求绳子最低点到地面的距离。 (答案：0．2m ） 图6 附表.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2ax y = 当0>a 时 开口向上 当0 开口向下 0=x （y 轴) (0,0） k ax y +=2 0=x (y 轴） (0, k ) ()2 h x a y -= h x = (h ，０) ()k h x a y +-=2 h x = (h ，k ) c bx ax y ++=2 a b x 2-= (a b a c a b 4422 --，) 二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 中考数学中二次函数压 轴题分类总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 二次函数的压轴题分类复习 一、抛物线关于三角形面积问题 例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 练习： 1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求?BON 的面积的最大值，并求 出此时点N 的坐标； 2. 如图，已知抛物线42 12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作 正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． y x O B N A M E F B y 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k 总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法 如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。 总结： 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． 总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 二次函数精讲基础题型 一认识二次函数 1、y=mx m2+3m+2 是二次函数，则m 的值为（ ） A 、0，-3 B 、0，3 C 、0 D 、-3 2、关于二次函数y=ax 2 +b ，命题正确的是（ ） A 、若a>0,则y 随x 增大而增大 B 、x>0时y 随x 增大而增大。 C 、若x>0时，y 随x 增大而增大 D 、若a>0则y 有最大值。 二简单作图 1在一个坐标系内做出2 x y =，12 +=x y ，12 -=x y ，2 )1(-=x y ，2 )1(+=x y 你发现了什么结论 2同样的在同一个坐标系内做出2 x y -=，2 2x y -=，12 --=x y ， 12+-=x y 2)1(--=x y ，2)1(+-=x y 的图像，你又发现了什么结论，并且与上一题的 图像比较的话，你又有什么样新的发现 3 已知抛物线y x x =-+1235 2 2，五点法作图。 2、已知y=ax 2 +bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，画出函数的大致图象。 三，二次函数的三种表达形式，求解析式 1求二次函数解析式： （1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）； （3）与x 轴交于A （-1，0），B （2，0），并经过点M （1，2）。 2 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x +=20，且在x 轴上截取长度为22的线段，求解析式。 3、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 （1）当x=3时，y 最小值=-1，且图象过（0，7） （2）图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=2 3 （3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0） （4）当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3 （5）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10） 三 图像与a,b,c 的符号之间的关系 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象是抛物线，其开口方向由_________来确定。 2、 已知y=ax 2 +bx+c 的图象如下，则：a _____0，b _____0，c _____0，a+b+c_______0， a-b+c__________0。2a+b________0， ac b 42 -_________0 3．已知函数c bx ax y ++=2 的图象如图 1－2－11所示，给出下列关于系数a 、b 、 c 的不等式：①a ＜0，②b＜0，③c＞0，④2a ＋b ＜0，⑤a ＋b ＋c ＞0．其中正确的不等式的序号为___________- 4．已知抛物线c bx ax y ++=2 与 x 轴交点的横坐标为－1，则a ＋c=_________. 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 图1 图 2 二次函数压轴题解题技巧 引言：解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 一、动态：动点、动线 1．如图，抛物线与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C (0，4)， 其中x 1、x 2是方程x 2 －2x －8＝0的两个根． (1)求这条抛物线的解析式；(2)点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标； (3)探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 二、圆 2．如图1，在平面直角坐标系xOy ，二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c (a ＞0)的图象顶点为D ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在原点的左侧，点B 的坐标为(3，0)，OB ＝OC ， tan ∠ACO ＝ 1 3 ． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径长度； (3)如图2，若点G (2，y )是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，△AGP 的面积最大？求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积．二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
中考数学中二次函数压轴题分类总结
初三.二次函数知识点总结
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
二次函数压轴题题型归纳
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数基础典型经典题型(全面超好)
二次函数经典例题及答案
二次函数压轴题解题技巧
二次函数知识点总结及典型题目