当前位置：文档之家› 二次函数知识点总结及典型例题和练习

二次函数知识点总结及典型例题和练习

二次函数知识点总结及典型例题和练习（极好）

知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念

一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于a

x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：

当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例1】已知函数y=x 2-2x-3，

（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；

（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：

（3）根据第（1）题的图象草图，说出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0

二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，

（2）交点式：当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程

02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如

果没有交点，则不能这样表示。

（3）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我们最好设顶点式，这样最简洁。

【例1】抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，且过（-1，16），求抛物线的解析式。

【例2】如图，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则：（1）abc 0 （＞或＜或=）

（2）a 的取值范围是

【例3】下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )

A ．y = (x ? 2)2 + 1

B ．y = (x + 2)2 + 1

C ．y = (x ? 2)2 ? 3

D ．y = (x + 2)2 – 3

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a

x 2-

=时，a

b a

c y 442

-=最值

。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a

是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a

2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在2

1x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=22

最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，

c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=22

2最小。

【例1】已知二次函数的图像（0≤x≤3）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值－1,有最大值0 C ．有最小值－1,有最大值3

D ．有最小值－1,无最大值

【例2】某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)．

（1）设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?

1、二次函数的性质

2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：

a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上

a <0时，抛物线开口向下

b 与对称轴有关：对称轴为x=a

b 2-

c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2-=?，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。当?>0时，图像与x 轴有两个交点；当?=0时，图像与x 轴有一个交点；当?<0时，图像与x 轴没有交点。

【例1】抛物线y=x 2-2x -3的顶点坐标是 .

【例2】二次函数有( )

A ．最大值

B ．最小值

C ．最大值

D ．最小值【例3】由二次函数，可知（）

A ．其图象的开口向下

B ．其图象的对称轴为直线

C ．其最小值为1

D ．当时，y 随x 的增大而增大

【例4】已知函数的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A.

C.且

D.且

【例5】下列函数中,当x >0时y 值随x 值增大而减小的是（）． A ．y = x 2

B ．y = x －１

C ． y = 3

D ．y = 1

【例6】若二次函数．当≤l 时，随的增大而减小，则的取值范围是（）

A ．=l

B ．>l

C ．≥l D．≤l

知识点五、二次函数图象的平移

① 对于抛物线y=ax 2+bx+c 的平移

通常先将一般式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，再遵循左加右减，上加下减的的原则

化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。

② c bx ax y ++=2沿y 轴平移：向上（下）平移m （m ＞0）个单位，c bx ax y ++=2变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

③ 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式

c bx ax y ++=2：向左（右）平移m （m ＞0）个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）

【例1】将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ) A ． B ． C ． D ．

【例2】将抛物线y=x 2－2x 向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______. 【例3】抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

【补】抛物线y=2x 2-3x-7在x 轴上截得的线段的长度为______________ 【公式】抛物线y=ax 2+bx+c 在x 轴上截得的线段的长度为______________

知识点六：抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用

（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a

b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②

0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0

（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.口诀---左同，右异（a 、b 同号，对称轴在y 轴左侧）

（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：

①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0

. 【例1】如图为抛物线的图像，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是( )

A ．a ＋b=－1

B ．a －b=－1

C ．b<2a

D ．ac<0

【例2】已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )

A ．a>0

B ．b ＜0

C ．c ＜0

D ．a ＋b ＋c>0

【例3】如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。你认为其中错误．．的有( ) A ．2个 B ．3个

C ．4个

D ．1

个

【例4】如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac

＜0；②a+b=0；③4ac －b 2=4a ；④a+b+c ＜0.其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【例5】如图，是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；

②b ＞2a ；③ax 2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c ＞0．其中正确的命题是．（只要求填写正确命题的序号）

【例6】如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）

A ．m ＝n ，k ＞h

B ．m ＝n ，k ＜h

C ．m ＞n ，k ＝h

D ．m ＜n ，k ＝h

知识点七：中考二次函数压轴题中常用到的公式

1、两点间距离公式：如图：点A 坐标为（x 1，y 1），点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 间的距离，即线段AB 的长度为

()()221221y y x x -+- （这实际上是根据勾股定理得出来的）

2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，，中点的坐标为．由，得，同理，所以的中点坐标为．

3、两平行直线的解析式分别为：y=k 1x+b 1，y=k 2x+b 2，那么k 1=k 2，也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k 值。

4、两垂直直线的解析式分别为：y=k 1x+b 1，y=k 2x+b 2，那么k 1×k 2=-1，也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k 值。（对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解）

以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚”

【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．

（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；

（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．

【例2】如图，已知抛物线y=﹣x 2

+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．

【例3】如图，抛物线42

412--=

x x y 与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 的右边）

，与y 轴交于C ，连接BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q 。（1）求点A 、B 、C 的坐标；

（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N 。试探究m 为何值时，四边形CQMD

是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由。

（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使⊿BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出Q 点坐标；若不存在，请说明理由。

【练习】

1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m ，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、2．5 m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m ，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )

A ．1．5 m

B ．1．625 m

C ．1．66 m

D ．1．67 m

2、已知函数()()()()

113513x x y x x ?--?

=?--??≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

3. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a

y x

=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（）.

4. 如图，已知二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y 随x 的增大而增大

时，x 的取值范围是．

5. 在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．

A ．2(1)2y x =-++

B ．2(1)4y x =--+

C ．2(1)2y x =--+

D ．2(1)4y x =-++

6. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图像如图，其对称轴1-=x ，给出下列结果①ac b 42>②0>abc ③02=+b a ④0>++c b a ⑤0<+-c b a ，则正确的结论是（）

A ①②③④

②④⑤ C

②③④ D ①④⑤

7．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如上表：从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）

①抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）； ②函数2y ax bx c =++的最大值为6； ③抛物线的对称轴是1

x =； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．

8. 如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（－2，4），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，连结OA ．

(1)求△OAB 的面积；(2)若抛物线22y x x c =--+经过点A ．

①求c 的值；②将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部（不包括△OA B 的边界），求m 的取值范围（直接写出答案即可）．

9、“已知函数c bx x y ++=

1的图象经过点A （c ，－2）

，），这个二次函数图象

的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

10、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形，BC ∥AD ，∠BAD = 90°，BC 与y 轴相交于点M ，且M 是BC 的中点，A 、B 、D 三点的坐标分别是A （-1，0），B ( -1，2)，D ( 3，0)，连接DM ，并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ，若抛物线y =ax 2+bx +c 经过点D 、M 、N ．（1）求抛物线的解析式

（2）抛物线上是否存在点P ．使得PA = PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由。（3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q 在什么位置时有QE QC -最大？并求出最大值。

11、如图，抛物线y =2

x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；

⑶点M(m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM+DM 的值最小时，求m 的值．

12、在平面直角坐标系中，如图1，将n 个边长为1的正方形并排组成矩形OABC ，相邻两边OA 和

OC 分别落在x 轴和y 轴的正半轴上。设抛物线y =ax 2+bx +c (a <0)过矩形顶点B 、C . （1）当n ＝1时，如果a =－1，试求b 的值；

（2）当n ＝2时，如图2，在矩形OABC 上方作一边长为1的正方形EFMN ，使EF 在线段CB 上，如果M ，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

（3）将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转，使得点B 落到x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点

O ，

①试求出当n =3时a 的值； ②直接写出a 关于n 的关系式.

-1O x O y 1231

p x 2x 12x x

y y 2 P y P y A B C D O E N M 12图3 … y x C A B

初三.二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：

2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。总结：

3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k

总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。总结：从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

二次函数知识点总结及典型题目

二次函数知识点总结及典型题目一.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0