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二次函数知识点考点典型试题集锦(带详细解析答案)

二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)

一、中考要求：

1．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．

2．能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力；能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系．

3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验．

4．能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．

5．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．

6．能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测．

二、中考卷研究

(一)中考对知识点的考查：

(二)中考热点：

二次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查二次函数的概念、图象、性质及应用，这些知识是考查学生综合能力，解决实际问题的能力．因此函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题．三、中考命题趋势及复习对策

二次函数是数学中最重要的内容之一，题量约占全部试题的10％～15％，分值约占总分的10％～15％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查学生的计算能力，逻辑思维能力，空间想象能力和创造能力。

针对中考命题趋势，在复习时应首先理解二次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习. ★★★(I)考点突破★★★

考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：

1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2

（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质：

⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a

越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。

⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a

；

当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b

，y 随x 的增大而增大，x ＜－

2b a ，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a

，y 随x 的增大而减小，x ＜－

，y 随x 的增大而增大．注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（y x ,1），（y x ,2），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线2

21x x x +=。

⑶ 当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当 x=－2b a

时，函数有

最大值244ac b a

-。

3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．

⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同． ⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．

⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．

注意：二次函数y=ax 2 与y =－ax 2 的图像关于x 轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”。

一、经典考题剖析：

【考题１】.抛物线y =-4(x +2)2+5的对称轴是______

【考题2】函数y= x 2－4的图象与y 轴的交点坐标是（） A.（2，0） B.（－2，0） C.（0，4） D.（0，－4）

【考题３】在平面直角坐标系内，如果将抛物线2

2x y =向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后二次函数的关系式是（）Ａ．3)2(22

+-=x y Ｂ．3)2(22++=x y Ｃ．3)2(22-+=x y

Ｄ．3

(22-

答案：Ｂ。

【考题４】（2009、贵阳）已知抛物线2

(4)3

y x

=--的部分图象（如图1-2-1），图象再次与x 轴相交时的坐标是（）

A．（5，0） B.（6，0）

C．（7，0） D.（8，0）

解：C 点拨：由2

(4)3

y x

=--，可知其对称轴为x=4,而图象与x轴已交于(1，0)，则与x 轴的另一交点为(7，0)。参考解题小诀窍。

【考题５】（深圳）二次函数

图像如图所示，若点Ａ（１，

y），Ｂ（２，

y）是它的图像上两点，则

y与

y的大小关系是（）

Ａ．

y＜

yＢ．

y＝

Ｃ．

y＞

yＤ．不能确定

答案：Ｃ。点Ａ，Ｂ均在对称轴右侧。

三、针对性训练：( 分钟) (答案：)

1．已知直线y=x与二次函数y=ax2－2x－1的图象的一个交点M的横标为1，则a的值为（）

A、2

B、1

C、3

D、 4

2．已知反比例函数y=

x的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则二次函数y=2kx

2－x+k2的图象大致为图1－2－3中的（）

ｘ＝－３

4．抛物线y=x 2－４x ＋5的顶点坐标是（） A ．（－2，1） B ．（－2，－1） C ．（2，l ） D ．（2，－1）

５．二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（） A ．开口向下，对称轴x =－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5） C ．开口向上，对称轴x =－3，顶点坐标为(－3,5) D ．开口向上，对称轴x =－3，顶点(－3,－5）

６．二次函数c bx x y ++=2

的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）

A ． 4=x B. 3=x C. 5-=x D. 1-=x

7．在平面直角坐标系内，如果将抛物线2

3x y = 向右平移3个单位，向下平移4个单位，平移后二次函数的关系式是（）Ａ．4)3(32

+-=x y Ｂ．4)3(32++=x y Ｃ．4)3(32-+=x y Ｄ．4)3(32--=x y 8..已知，点A （－1，1y ），B （2-

，2y ），C （－5，3y ）在函数2

x y -=的图像上，则

1y ，2y ，3y 的大小关系是（）

A . 1y ＞2y ＞3y B. 1y ＞3y ＞2y C. 3y ＞2y ＞1y D. 2y ＞1y ＞3y

9．已知二次函数c bx ax y ++=2

1(a ≠0）与一次函数y 2=kx+m(k ≠0）的图象相交于点A （－

2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y 1＞y 2成立的x 取值范围是_______

x=1

10.（襄樊）抛物线c bx x y ++-=2

的图像如图所示，则抛物线的解析式为_______。 11.若二次函数c bx x y ++-=2

的顶点坐标是（2，－1），则b=_______，c=_______。 12直线y=x+2与抛物线y=x 2 +2x 的交点坐标为____．

13读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线22221y x mx m m =-++-①，有y=2()21x m m -+-②，所以抛物线的顶点坐

标为（m ，2m －1），即??

?-==1

m y m x ③④。

当m 的值变化时，x 、y 的值随之变化，因而y 值也随x 值的变化而变化，将③代人④，得y=2x —1l ⑤．可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足y=2x －1，回答问题：（1）在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线2

2231y x mx m m =-+-+顶点的纵坐标与横坐标x 之间的关系式_________. 14抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 15 已知M 、N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 y=

上，点 N 在直线上，设点M 的坐标为(a ，b)，则抛物线y=－abx 2+(a ＋b ）x 的顶点坐标为___.

16当b ＜0时，一次函数y=ax+b 和二次函数y=ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图1－2－9中的（）

考点2：二次函数的图象与系数的关系一、考点讲解：

1、a 的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a ＞0；抛物线开口向下，则a ＜0．

2、b 的符号由对称轴决定，若对称轴是y 轴，则b=0；若抛物线的顶点在y 轴左侧，顶点的横坐标－2b a ＜0，即2b

＞0，则a 、b 为同号；若抛物线的顶点在y 轴右侧，顶点的横坐标－

2b a ＞0，即2b

＜0．则a 、b 异号．间“左同右异”． 3．c 的符号：c 的符号由抛物线与y 轴的交点位置确定．若抛物线交y 轴于正半，则c ＞0，

抛物线交y 轴于负半轴．则c ＜0；若抛物线过原点，则c=0．

4．△的符号：△的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定．若抛物线与x 轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ．

5、a+b+c 与a －b+c 的符号：a+b+c 是抛物线c bx ax y ++=2

(a ≠0）上的点(1，a+b+c ）的纵

坐标，a －b+c 是抛物线c bx ax y ++=2

(a ≠0）上的点（－1，a －b ＋c ）的纵坐标．根据点

的位置，可确定它们的符号. 二、经典考题剖析：

【考题1】（2009、潍坊）已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（）

A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0

B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0

C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0

D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 解：A 点拨：由抛物

线开口向下可知a ＜0；与y 轴交于正半轴可知

c ＞0；抛物线的对称轴在y 轴左侧，可知－

2b a

＜0，则b ＜0．故选A ．【考题2】（2009、天津）已知二次函数c bx ax y ++=2

(a≠0）且a ＜0，a －b+c ＞0，则一定

有（）

A ．b 2－4ac ＞0

B ．b 2－4ac ＝0

C ．b 2－4ac ＜0

D ．b 2－4ac≤0

解：A 点拨：a ＜0，抛物线开口向下，c bx ax y ++=2

经过（－1，a －b+c ）点，因为a －b+c ＞0，所以（－1，a －b+c ）在第二象限，所以抛物线与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＞0，故选A ．

【考题３】（2009、重庆）二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图1－2－10，则点（b ，c

）在（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解：点拨：抛物线开口向下，所以a ＜0, 顶点在y 轴右侧，a 、b 为异号，所以b ＞0，抛物线交y 轴于正半轴，所以c ＞0，所以c

＜0，所以 M 在第四象限．

三、针对性训练：( 60分钟)

1．已知函数c bx ax y ++=2

的图象如图1－2－11所示，给出下列关于系数a 、b 、c 的不等式：①a ＜0，②b ＜0，③c ＞0，④2a ＋b ＜0，⑤a ＋b ＋c ＞0．其中正确的不等式的序号为___________-

2．已知抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴交点的横坐标为－1，则a ＋c=_________.

3．抛物线c bx ax y ++=2

中，已知a ：b ：c=l ：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为

____________

4．已知二次函数的图象开口向下，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式： _______________.

5．抛物线c bx ax y ++=2

如图1－2－12 所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是___________.

6．若抛物线过点(1，0)且其解析式中二次项系数为1，则它的解析式为___________．（任写

一个）

7．已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y·轴正半轴的交点连点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________．

8．若二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）

第8题图 9．二次函数

c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，则下列

关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（）

A ．ab ＜0

B 、bc ＜0

C ．a+b ＋c ＞0

D ．a －b 十c ＜0

10．抛物线c bx ax y ++=2

（a ＞0）的顶点在x 轴上方的条件是（）

A ．b 2－4ac ＜0

B ．b 2－4ac ＞ 0

C ．b 2－4ac ≥0

D ． c ＜0 11 二次函数⑴y=3x 2；⑵y= 23 x 2；⑶y= 4

3 x 2的图象的开口大小顺序应为（）

A ．（1）＞（2）＞（3）

B ．（1）＞（3）＞（2）

C ．（2）＞（3）＞（1）

D ．（2）＞（1）＞（3）考点3：二次函数解析式求法一、考点讲解：

1．二次函数的三种表示方法：

⑴表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系； ⑵图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；

⑶表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系． 2．二次函数表达式的求法：

⑴一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得c bx ax y ++=2

；将已知的三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。

⑵顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：2

()y a x h k =-+其中顶点为(h ，k)，对称轴为直线x=h ；

⑶交点式法：若已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：

12()()y a x x x x =--,其中与x 轴的交点坐标为（x 1，0），（x 2，0）。

解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，已知二次函数的顶点在坐标原点可设2

ax y =；已知顶点（0，c ），即在y 轴上时可设

c ax y +=2；已知顶点（h ，0）即顶点在x 轴上可设2)(h x a y -=.

注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。二、经典考题剖析：【考题1】（2009、长沙）如图1－2－16所示，要在底边BC =160cm ，高AD =120cm 的△ABC

铁皮余料上，截取一个矩形EFGH ，使点H 在AB 上，点G 在AC 上，点E 、F 在BC 上，AD 交HG 于点M ，此时AM AD =HG

。

(1)设矩形EFGH 的长HG =y ，宽HE =x ，确定y 与x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？

(3)以面积最大的矩形EFGH 为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由(注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备)。

解：⑴∵△AHG ∽△ABC ，所以AM HG AD BC =，所以120-x 120 =y 160 ，所以16034

+-=x y

⑵∵矩形的面积S=xy ，

∴S=22

44160(12033

x x x x -+=--+36003600)-

=24(60)4800,3

x --+

所以x=60cm, S 最大=4800㎝2.

⑶围圆柱形铁桶有两种情况：当x=60㎝时， 46016080().3

y cm =-?+=

第一种情况：以矩形EFGH 的宽HE=60cm 作铁桶的高，长HG=80cm 作铁桶的底面周长，则底面半径R=

2180

96000

V =

60=

()22cm π

，铁桶体积㎝

第二种情况：以矩形EFGH 的长HG=80cm 作铁桶的高，宽HE=60cm 作铁桶的底面周长，则底面半径R=

2260

72000V =

80=

()22cm π

，铁桶体积㎝.

因为V 1＞V 2，所以以矩形EFGH 的宽HE=60cm 作铁桶的高，长HG=80cm 作铁桶的底面周长围成的圆柱形铁桶的体积较大．

点拨：作铁桶时要分两种情况考虑，通过比较得到哪种情况围成的铁桶的体积大【考题2】在直角坐标系中，△AOB 的顶点坐标分别为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把

△AOB 绕O 点按逆时针方向旋转900

到△COD 。（1）求C ，D 两点的坐标；

（2）求经过C ，D ，B 三点的抛物线解析式。

解：（1）C 点（－2,0），D 点（0，4）。（2）设二次函数解析式为12()()y a x x x x =--，由点C ，B 两点的坐标，得)4)(2(-+=x x a y 。

将点D （0,4）代入得a=21

，即二次函数解析式为)4)(2(2

-+-=x x y 。

【考题3】如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于C 点。

点A,C 的坐标分别是(－1，0)，(0，

3)。（1）求此抛物线对应的函数解析式；

（2）若点P 是抛物线上位于x 轴上方的一个动点，求△ABP 的面积的最大值。

解：

（1）已知抛物线的对称轴为x=1，设抛物线解析式为

k x a y +-=2

)1(，将点A (－1，0)，C(0，23)代入解析式，得??

?=+=+23,04k a k a 解得?????=-=2

1k a ， 2)1(212

+--=x y ，即2

212++-=x x y 。

（2）A 点横坐标为－1，对称轴为x=1，则点B 的横坐标为3，设点P 横坐标是m （－1＜m ＜3），则点P 纵坐标2

321

2++-=m m y p 。（p y ＞0） )2

321(421212++-??=?=

m m y AB S p ABP 4)1(322

+--=++-=m m m

当m=1时，S 有最大值，为4。

解题小诀窍：当二次函数图像上出现动点时，可以先设出动点的横坐标，然后利用二次函数的解析式将动点的纵坐标表示出来，如上面点P 的纵坐标的表示方法。【考题4】（2009、南宁）目前，国内最大跨江的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图 1－2－18），在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为350米，拱高为8．5米。

⑴在所给的直角坐标系中（如图1－2－19），

假设抛物线的表达式为b ax y +=2，请你根据上述数据求出a 、b 的值，并写出抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围，a 、

b 的值保留两个有效数字）

。

⑵七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨4m 时，位于水面上的桥拱跨度有多大？（结果保留整数）解：（1）因为桥拱高度OC=8．5m ，抛物线过点C （0，8．5），所以b=8．5．又由已知，得AB=350m ，即点A 、B 的坐标分另为（－175，0），（175，0）．则有0= 1752 ·a + 8．5，解得a ≈0．00028，所求抛物线的解析式为y=0．00028x 2＋8．5；（2）由1－2－20所示，设DE 为水位上升4m 后的桥拱跨度，即当y= 4时，有4=0．00028x 2

＋8．5，所以x ≈±126．77．所以 D 、E 两点的坐标为（－12 6.7 7， 4），（12 6.7 7， 4）．所以ED ≈12 6．7 7+12 6．77≈254米.

答：当水位上涨4m 时，位于水面上的桥拱跨度为254m ．

点拨：理解桥拱的跨度AB 即为抛物线与x 轴两交点之间的距离 .

【考题5】（2009、海口）已知抛物线y=x 2+(2n －1)x+n 2

－1 (n 为常数).

(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C.

①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；

②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.

解：由抛物线过原点，得n 2

－1=0。解这个方程，得n 1=1, n 2=－1。

当n=1时，得y=x 2+x, 此抛物线的顶点不在第四象限；当n =－1时，得y=x 2

－3x, 此抛物线的顶点在第四象限.∴所求的函数关系为y=x 2－3x. (2) 由y=x 2－3x ，令y=0, 得x 2－3x=0，

解得x 1=0,x 2=3。∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)，∴它的顶点为(23,49 ), 对称轴为

直线x=2

3, 其大致位置如图所示。

①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=2

1×(3－1)=1.∴B(1,0)，∴点A 的横坐标

x=1，又点A在抛物线y=x2－3x上，∴点A的纵坐标y=12－3×1=－2.

∴AB=|y|=|－2|=2.∴矩形ABCD的周长为：2(AB+BC)=2×(2+1)=6.

②∵点A在抛物线y=x2－3x上，故可设A点的坐标为(x，x2－3x),

∴B点的坐标为(x,0). (0＜x＜

∴BC=3－2x, A在x轴下方，∴x2－3x＜0，∴AB=|x2－3x|=3x－x2 ，∴矩形ABCD的周长

P=2[(3x－x2)+(3－2x)]=－2(x－

1)2+

∵a=－2＜0,∴当x=

1时，矩形ABCD的周长P最大值为

13. 此时点A的坐标为

-).

解题小诀窍：在此类求三角形面积、四边形周长和面积的最值问题时，解题的关键是如何用一个未知数将其表示出来

【考题6】（2009、郸县）如图1－2－24，△OAB是边长为2＋ 3 的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OA B折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF．

（1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标；

（2）当A′E∥x轴，且抛物线c

经过点A′和E时，求该抛物线与x轴的交点的坐标；

（3）当点A′在OB上运动但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形．若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由．

解：（1）当A′E∥x时，∠EA′O=90○，因为△AOB为等边三角形，所以∠A′OE=60○，∠A′EO=30○，A′O=

2EO，设OA′=a，则OE=2a，由勾股定理得A′E= 3 ａ，由题意意可知ΔA′EF≌ΔAEF，所以A′E=A E，

所以A′E= 3 a=AE，因为AE+OE=2+ 3 ，

所以a=OA′=1，A′E= 3 ，

所以A′(0,1)，E( 3 ，1)

⑵由题意知，点A′(0,1)，E( 3 ，1)在2x

y=-

bx c

++的图象上，则方程组

(3)31

c=1

b c

-?+=

，解得

所以231x ++1y=-6

，当y=0时，得

212310,x =23,x 3,x ++==-1-解得6

所以，抛物线与x 轴的交点坐标为(2 3 ，0)， (－ 3 ，0)

⑶不能．理由：因为要使△A’EF 为直角三角形，则90°角只能是∠A ′EF 或∠A ′FE ．若

∠A ′EF=90○ ，因为△FA ′Ｅ与△FAE 关于 FE 对称，所以∠A ′EF=∠AEF ＝90○

，∠

AEA ′=180○

．此时A 、E 、A ′应在同一直线上，点A’应与O 点重合，这与题设矛盾．所

以∠A ′EF ＝90○，即△A ′EF 不能为直角三角形．同理， ∠A ′FE ＝90○

也不成立，即△A ′EF 不能为直角三角形．

点拨：此题是代数、几何综合题，注意利用几何图形之间的关系．

【考题７】如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与二次函数的图像交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（3,4），B 点在y 轴上。（1）求m 的值及二次函数的解析式；

（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A,B 不重合），过点P 做x 轴的垂线与二次函数图像交于点E ，设线段PE 的长度为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）D 为直线AB 与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请说明理由。

解：（1）∵点A （3,4）在直线m x y +=上， ∴4=3+m ，∴m=1。

设所求二次函数为2

)1(-=x a y

∵点A （3,4）在二次函数为2

)1(-=x a y 上， ∴2

)13(4-=a ，∴a=1.

所求二次函数为2

)1(-=x y ,即122

+-=x x y （2）设P 、E 两点的纵坐标是E P y y ,，所以，PE=h=E P y y -=(x+1)－)12(2

+-x x =x x 32

+-，即h=x x 32

+-(0＜x ＜3).

(3)存在。要使四边形DCPE 是平行四边形，必有PE=DC ，点D 在直线1+=x y 上，点D

的坐标为（1,2）。所以x x 32

+-=2，解得1,221==x x （不合题意舍），所以点P 坐标为（2,3）时符合题意。

三、针对性训练：(45 分钟)

1．二次函数的图象经过点（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式． 2．已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点（－l ，－1），（－4，0）两点．求抛物线的解析式．

3．已知抛物线与 x 轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式．

4．已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象经过点A （0，1）B(2，－1）两点．（1）求b 和c 的值；(2）试判断点P （－1，2）是否在此抛物线上？

5．已知一个二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－25所示，请你求出这个二次函数

的表达式，并求出顶点坐标和对称轴方程． 6．已知抛物线

c bx ax y ++=2过三点（－1，－1）、（0，－2）、

（1，l ）．

（1）求抛物线所对应的二次函数的表达式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；

（3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？

7．当 x=4时，函数c bx ax y ++=2

的最小值为－8，抛物线过点（6，0）．求：

（1）顶点坐标和对称轴；（2）函数的表达式；

（3）x 取什么值时，y 随x 的增大而增大；x 取什么值时，y 随x 增大而减小．

8．在ΔABC 中，∠ABC ＝90○

，点C 在x 轴正半轴上，点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 26所示），若 tan ∠BAC= 1

2 ，求经过 A 、B 、

轴正半轴上(图1－2－C 点的抛物线的解析式．

9．已知：如图1－2－27所示，直线y=－x+3与x 轴、

y 轴分别交于点B 、C ，

抛物线y=－x 2＋bx ＋c 经过点B 、C ，点A 是

抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 在直线BC 上，且S ΔPAC =1

S ΔPAB ，求点P 的坐标．

10 四边形DEFH 为△ABC 的内接矩形(图1－2－28)，AM 为BC 边上的高，DE 长为x ，矩形的面积为y ，请写出y 与x 之间的函数关系式，并判断它是不是关于x 的二次函数.

考点4：根据二次函数图象解一元二次

方程的近似解

一、考点讲解：

1．二次函数与一元二次方程的关系：

（1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2

当函数y 的值为0时的情况．

（2）二次函数c bx ax y ++=2

的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、

没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2

的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根．

（3）当二次函数c bx ax y ++=2

的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2+ bx+c 的

图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2

没有实数根．

解题小诀窍：抛物线与x 轴的两个交点间的距离可以用| x 1－x 2|来表示。二、经典考题剖析：

【考题1】（2009、湖北模拟）关于二次函数 c bx ax y ++=2

的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数的图象开口向下时，a x’＋bx ＋c=0必有两个

不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是2

44ac b a

-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对

称．其中正确的个数是（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解：C 点拨：①显然正确；由a ＜0及c ＞0，得△=b 2

-4ac ＞0．所以②正确．由于a 的符号不定，所以顶点是最高点或最低点不定．所以③不正确．因为b=0时，对称轴为x ＝0．所以④正确．【考题2】（2009、青岛模拟，8分）已知二次函数y=x 2－6x+8，求：（1）抛物线与x 轴y 轴相交的交点坐标；（2）抛物线的顶点坐标；（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：

①方程x 2 －6x ＋8=0的解是什么？

②x 取什么值时，函数值大于0？ ③x 取什么值时，函数值小于0？解：（1）根据题意，得x 2－6x+8=0．则（x －2）(x －4）= 0，x 1=2，x 2=4．所以与x 轴交点为（2,0）和（4，0）；当x 1=0时，y=8．所以抛物线与 y 轴交点为（0，8）。

（2）2

643,12214b ac b x y a a

--=-=-===-?，抛物线的顶点坐标为（3，－1）。（3）图1－2－29所示．①由图象知，x 2－6x+8=0的解为x 1=2，x 2=4．②当x ＜2或x ＞4

时，函数值大于0；③当2＜x ＜4时，函数值小于0．

点拨：二次函数y= x 2－6x+8与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程x 2－6x+8=0的两个解，用抛物线解一元二次方程需要知道抛物线与x 轴的交点坐标．【考题3】（2009、天津）已知抛物线y ＝x 2－2x －8，（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积．

解：（1）证明：因为对于方程x 2－2x －8=0，其判别式△=（－2）2

－4×（－8）－36＞0，所以方程x 2－2x －8=0有两个实根，抛物线y= x 2－2x －8与x 轴一定有两个交点；

（2）解：因为方程x 2－2x －8=0有两个根为x 1=2，x 2=4，所以AB=| x 1－x 2|＝6．又抛物

线顶点P的纵坐标y P =

2 4

ac b

=－9，

所以SΔABP=

2·A B·|y P|=27。

点拨：本题主要考查了二次函数，一元二次方程等知识及它们的综合应用．

三、针对性训练：( 45分钟)

1．已知函数y=kx2－7x—7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）

..k0

A k

B k

C k

D k

>-≥-≠

≥->-≠

且

2．直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．不能确定

3．函数c

=2的图象如图l－2－30，那么关于x的方程20

ax bx c

++=的根的情况是（）

A．有两个不等的实数根B．有两个异号实数根

C．有两个相等实数根D．无实数根

4．二次函数c

=2的图象如图l－2－31所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，bc＞0，△＜0

B.a＜0，bc＞0，△＜0

C．a＞0，bc＜0，△＜0

D.a＜0，bc＜0，△＞0

5．函数c

=2的图象如图l－2－32所示，则下列结论错误的是（）A．a＞0B．b2－4ac＞0

C、20

ax bx c

++=的两根之和为负

D、20

ax bx c

++=的两根之积为正

6．不论m为何实数，抛物线y=x2－mx＋m－2（）

A．在x轴上方B．与x轴只有一个交点

C．与x轴有两个交点D．在x轴下方

7．画出函数y =x2－2x－3的图象，利用图象回答：

（1）方程x2－2x－3=0的解是什么？

（2）b取什么值时，函数值大于0？

（3）b取什么值时，函数值小于0？

8．已知二次函数y =x2－x－6·

（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；

（2）画出函数图象；

（3）观察图象，指出方程x2－x—6=0的解；

（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积

考点5：用二次函数解决实际问题

一、考点讲解：

1．二次函数的应用：

（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．

注意：二次函数实际问题主要分为两个方面的问题，几何图形面积问题和经济问题。解几何图形面积问题时要把面积公式中的各个部分分别用同一个未知数表示出来，如三角形S=

hl 2

，我们要用x 分别把h ，l 表示出来。经济问题：总利润=总销售额－总成本；总利润=单件利润×销售数量。解最值问题时，一定要注意自变量的取值范围。分为三类：①对称轴

在取值范围内；②取值范围在对称轴左边；③取值范围在对称轴右边。 2．解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．

二、经典考题剖析：【考题1】（2009、贵阳，12分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：

若日销售量y 是销售价x 的一次函数；

（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多

少元？解：（1）设此一次函数解析式为.y kx b =+ 则15252020

k b k b +=??

+=?，解得：k =-1,b =40,

即：一次函数解析式为40y x =-+

（2）设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元，w =2(10)(40)50400x x x x --=-+-

(25)225x --+。产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元

点拨：求（1）（2）中解析式时，可选取表格中的任意两组值即可．【考题2】（2009、鹿泉）图1－2－33是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资料，得到下表中的数据：

x /m

y /m 0.125 0.5

4.5 8

12.5

（1）请你以上表中的各对数据（x ，y ）作为点的坐标，尝试在图1－2－34所示的坐标系中画出y 关于x 的函数图像；

（2）①填写下表：

x 5 10 20 30 40 50 y

x 2

②根据所填表中数据呈现的规律，猜想出用x 表示y 的二次函数关系式：___________________.

（3）当水面宽度为36m 时，一般吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8m 的货船能否在这个河段安全通过？为什么？解：（1）图象如图1－2－35所示；（2）①如下表所示；②y= 1200

x 2

；

（3）当水面宽度为36m 时，相应的x=18，则y ＝

1200

×182

=1．62，此时该河段的最大水深为1．62m ．因为货船吃水深度为1．8米，而1.62 ＜1．8，所以当水面宽度为36m 时，该货船不能通过这个河段．

【考题3】我区某镇地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，我区政府对该花木产品每投资x 万元，所获利润为P ＝－1

50 （x －30）2＋10万元。为了

响应我国西部大开发的宏伟决策，我区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元。若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通。公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x 万元可获利润Q ＝－4950 （50－x ）2＋194

5 （50－x ）＋308万元。

⑴若不进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？

⑵若按此规划进行开发，求10年所获利润的最大值是多少？ ⑶根据⑴、⑵计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。

解：（1）若不修路，由P ＝－1

50 （x －30）2＋10知，只需从50万元专款中拿出30万元

投资，每年即可获得最大利润10万元，则10年的最大利润M 1 =10 ×10=100万元；（2）若对产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是P ＝－1

50 （25－30）2＋

10=9.5，则前5年的最大利润M 2 =9.5×5=47.5万元；

设5年中x 万元是用于本地销售的投资P ＝－1

50 （25－30）2＋10，则将余下的(50－x)

万元全部用于外地的投资Q ＝－4950 ［50－（50－x ）］2＋194

5 ［50－（50－x ）］＋308，

才有可能获得最大利润，则后5年的利润是M 3

=21-(30)1050x ??-+????

5?2249194(308)55(20)505x x x +-+

+?=-?-+3500．故当x ＝20时，M 3取得最大值为 3500万元．所以，10年的最大利润为M=M 2 +M 3 =47．5+3500=3547．5万元；

（3）因为3547．5＞100，故有极大的开发价值．

【考题4】学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ．O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA 的任意平面上的抛物线如图l －2－36所示，建立平面直角坐标系（如图l －2－37），水流喷出的高度y (m)与水面距离x (m)之间的函数关系式是

253

y x x =-+

+，请回答下列问题：（1）花形柱子OA 的高度；

（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？

⑴把0x =代入抛物线25322

y x x =-++，得3 1.52

y == ∴OA=1.5米．

⑵把0y =代入253

22y x x =-++，得253022

x x -++=， ∴22530x x --=。

∴13x =，212

x =-

又∵x ＞0，∴3x =。 ∴OB=3 ， ∴半径至少是3米．

点拨：以学校要建圆形喷水池为背景材料，将学生送到了一个“设计师”的角度，运用二次函数解题时，应注意实际情况中的取值．【考题5】（2009、青岛）某工厂现有 80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机

器，每台机器平均每天将少生产4件产品．

（1）如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式；。（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？

解：（1）根据题意，得y=(80＋x)(384－4x)．整理，得y=4x 2＋64x ＋30720；

（2）因为y=4x 2＋64x ＋30720=－4（x －8）2

＋30976，所以，当x =8时，y 最大值=3072030976．即：增加8台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是 30976件．三、针对性训练：( 60分钟) (答案：270 )

1．小王家在农村，他家想利用房屋侧面的一面墙，围成一个矩形猪圈（以墙为长人现在已备足可以砌10米长的墙的材料．他想使猪圈的面积最大，你能帮他计算一下矩形的长和宽应当分别是多少米吗？此时猪圈的面积有多大？

2．数学兴趣小组几名同学到某商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱50元销售平均每天销售90箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．老师要求根据以上资料，解答下列问题，你能做到吗？ ⑴ 写出平均每天销售量y （箱）与每箱售价社元）之间的函数关系；

⑵ 写出平均每天销售利润W （元）与每箱售价x （元）之间的函数关系； ⑶ 求出⑵中M 次函数的顶点坐标及当x=40、70时的W 的值．

3．某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价l 元，每天的销售量就会减少10件．

⑴ 写出售价x （元／件）与每天所得的利润y （元）之间的函数关系式； ⑵ 每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？ 4．图1－2－38所示是一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图，点A 和A 1，点B 和B 1分别关于y 轴对称，隧道拱部分BCB 1为一段抛物线，最高点C 离路面AA 1的距离为8米，点B 离路面AA 1的距离为6米，隧道的宽AA 1为16米．

⑴ 求隧道拱抛物线BC B 1的函数解析式； ⑵ 现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离为7米，它能否安全通过这个隧道？说明理由．

5．启明公司生产某种产品，每件产品成本是8元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投人的广告费是x(万

元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y=2

77101010

x x -++，如果把利润看作是

销售总额减去成本费和广告费：

（1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？

（2）把(1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：

如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问：有

几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．

6．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产出的产品全部售出，已知生产X 只玩具熊猫的成本为R （(元)，售价每只为P （元）且R ，P 与X 的关系式为 R=500＋3.5x ，P=170 － 2x ．

⑴ 当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；

⑵ 当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？

★★★(II)2010年新课标中考题一网打尽★★★ 【回顾1】

（

2010、嘉峪关，3分）抛物线y=x 2－2x ＋3的对称轴是直线（） A ．x =2 B ．x =－2 C ．x =－1 D ．x =1 【回顾2】（2010、嘉峪关，3分）如图1－2－39，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM= x ，则y 关于x 的函数关系式是（）

A ．2

1 4

y x x =+

222

. .44

1.4

B y x x

C y x x

D y x x =-+=--=

【回顾3】（2010、南充，3分）二次函数y=x 2+2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（）

A ．3

B ．5

C ．－3和5

D ．3和－5 【回顾4】（2010、自贡，3分）抛物线y=x 2－x 的顶点坐标是（） 11111A.(1,1) .(,1) .(,) .(,)22424

B C D -

【回顾5】（2010、自贡，3分）二次函数c bx ax y ++=2

的图象，如图1－2－40所示，根据

图象可得a 、b 、c 与0的大小关系是（） A ．a ＞0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＞0，b ＞0，c ＞0

C ．a ＜0，b ＜0，c ＜0

D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0

【回顾6】（2010、绍兴，4分）小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3．5 t －4．9 t 2(t 的单位s ；h 中的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化．如图1－2－41，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（） A ．0．71s B ．0.70s C ．0.63s D ．0．36s 【回顾7】（2010、温州，4分）已知抛物线的解析式为y=－（x —2）2＋l ，则抛物线的顶点坐标是（） A ．（－2，1） B ．（2，l ） C ．（2，－1） D ．（1，2）【回顾8】（2010、江西，3分）若二次函数y=x 2－x 与y=－x 2+k 的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（）

A ．这两个函数图象有相同的对称轴

二次函数典型例题解析与习题训练

又∵y=x 2－x+m=[x 2－x+（12）2]－ 14+m=（x －12）2+414 m - ∴对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，41 4 m -）．（2）∵顶点在x 轴上方， ∴顶点的纵坐标大于0，即41 4 m ->0 ∴m> 14 ∴m>1 4 时，顶点在x 轴上方．（3）令x=0，则y=m ．即抛物线y=x 2－x+m 与y 轴交点的坐标是A （0，m ）． ∵AB ∥x 轴 ∴B 点的纵坐标为m ．当x 2－x+m=m 时，解得x 1=0，x 2=1． ∴A （0，m ），B （1，m ）在Rt △BAO 中，AB=1，OA=│m │． ∵S △AOB =1 2 OA ·AB=4． ∴ 1 2 │m │·1=4，∴m=±8 故所求二次函数的解析式为y=x 2－x+8或y=x 2－x －8．【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a ，b ，c 的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处．例2 已知：m ，n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m

为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．【分析】（1）解方程求出m，n的值．用待定系数法求出b，c的值．（2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积．（3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：①EH=3 2EP，②EH=2 3 EP．【解答】（1）解方程x2－6x+5=0，得x1=5，x2=1．由m

二次函数典型例题解析

二次函数典型例题解析关于二次函数的概念例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为。例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是；对称轴是；顶点为。关于二次函数的性质及图象例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号为，例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是（只要写出一个可能的解析式）例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（）（A ）第一或第二象限（B ）第三或第四象限（C ）第一或第四象限（D ）第二或第三象限例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图象是（）例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y

二次函数经典测试题及答案解析

二次函数经典测试题及答案解析一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．【详解】根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】【分析】先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函

数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解；【详解】解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D 【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ，设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+，易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确．当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．

商品利润问题与二次函数典型例题解析

商品利润问题与二次函数典型例题解析知识链接复习： 1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元解：设每千克应涨价x 元，读题完成下列填空问题一：涨价后每千克盈利元；问题二：涨价后日销售量减少千克；问题三：涨价后每天的销售量是千克；问题四：涨价后每天盈利元根据题意列方程得：解方程得：因为商家涨价的目的是；所以符合题意。答：。 2、二次函数y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标是x= y= 3、函数y=x 2+2x-3(-2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是新知解析：例1、某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件。市场调查发现：如果调整价格，每降价1元，那么每天可多卖出两件。请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少解：设当降价X 元时销售额为y 元，根据题意得： y=（35-x ）（50+2x ）=-2x 2+20x+1750 x=-a b 2=-) 2(×220=5 因为0<5<35且a=-2<0 所以y=(35-5)(50+10)=1800 答：当降价5元时销售额最大为1800元。此类习题注意要点： 1、根据题意设未知量，一般设增加或者减少量为x 元时相应的收益为y 元，列出函数关系式。 2、判断顶点横坐标是否在取值范围内。因为函数的最值不一定是实际问题的最值 3、根据题意求最值。写出正确答案。例2、某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元租金最高是多少钱解：设当张价X 元时租金为y 元，根据题意得：y=（100-10 ×2 x ）（10+x ）=-5x 2+50x+1000 x=-a b 2=-)5_( ×250=5

二次函数知识点总结与典型例题讲解

二次函数知识点总结及典型例题讲解一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1 x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的性质

二次函数知识点总结及典型例题

二次函数知识点总结及典型例题一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法---五点法：二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程0 2=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。三、抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴所在直线；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0

初中二次函数知识点详解及典型例题

知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于a b x 2- =对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征： ①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般两根三顶点（1）一般一般式：)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程02 =++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212 x x x x a c bx ax --=++，二次函数 c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数，知识点三、二次函数的最值

二次函数典型例题50题

选择 1.二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=1 2 2. 抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有（） A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.二次函数y= a (x+m)2-m (a ≠0) 无论m 为什么实数，图象的顶点必在 ( ) A.直线y=-x 上 B. 直线y=x 上 C.y 轴上 D.x 轴上 4. 如图2，抛物线，OA=OC ，下列关系中正确的是 ( ) A ．ac+1=b B ．ab+1=c C ．bc+1=a D ．b a +1=c 5.如图6，是二次函数的图象在x 轴上方的一部分，若这段图象与x 轴所围成的阴影部分面积为S ，则S 取值最接近（）． A.4 B.16 3 C.2π D.8 6．如图7，记抛物线 2 1y x =-+的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA 分成n 等份，设分点分别为1P ，2P ，…1n P -，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点 2 y ax bx c =+ +21 2 2y x =- +

1Q ，2Q ，…1n Q -，再记直角三角形11OPQ ，122PP Q 的面积分别为1S ，2S ，这样就有 21312n S n -=，22342n S n -= ，…；记121 n W S S S -=+++… ，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（） A. 23 B. 12 C. 1 3 D.14 7.定义[]为函数的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(，)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于； ③ 当m < 0时，函数在x >时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（） A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 8. （2010宿迁改编）如图11，在矩形ABCD 中， AB=4，BC=6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边线段 MP=A ，设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP=x ，CQ=y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（） ,,a b c 2 y ax bx c =++3138 23 41 C B A D

二次函数经典测试题附答案

二次函数经典测试题附答案一、选择题 1．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（）． A ．①②④ B ．②③④ C ．③④⑤ D ．①③⑤ 【答案】C 【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】 ①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出a>0； ∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a ->0，又∵a>0， ∴b<0；由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上， ∴c<0，故abc>0，故②错误； ③结合图象得出x=?1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a?b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2?4ac>0，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12 则2a=?2b ，故⑤正确；故正确的有：③④⑤．故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件． 2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b +

＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝2 22ax bx +，且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（） A ．①②③ B ．②④ C ．②⑤ D ．②③⑤ 【答案】D 【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴为x=1，则- 2b a =1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确）：b ＞0，b+2a=0；（故②正确）又由①②③得：abc ＜0 （故①错误）由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误） ⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=2 11ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1- x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b a a a -=-=2 （故⑤正确）故选D ．考点：二次函数图像与系数的关系. 3．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3

二次函数的典型例题的解析

研学稿一、互助释疑，典例分析例：（2014年?齐齐哈尔市）如图，二次函数 2 . _ y=ax+bx+c（0）图象的一部分，对称轴为直线 x = *，且经过点（2,0 ）,下列说法： ① abc<0 :② a+b=0 ;③ 4a+2b+c<0 ; ④若（-2 , y i）,（- ,y J是抛物线上的两点， 2 法正确的是（） A.①②④ B. ③④ C.①③④ D. ①② 下列说法正确吗？、、1 变式一：(1) b-?c=0 ；(2) 3a+c<0; 变式二：(1) 9a-3b+c<0; (2) a ?b c：0 ； ( 3) 5a+b+2c<0; (4) a：b: c=1:2:1 ; (5) (a c)2 < b2; (6) a-b- 2c<0. 若（X1, yj,（X2, y2）是抛物线上的两点，且X1>X2>1 ,则y1 0,则x的取值范围-1

间，则1

1、（ 2016 ?齐齐哈尔）如图，抛物线 y=ax 2+bx+c （a z 0）的对称轴为x=1，与x 轴的一个交点坐标为（-1,0 ），其部分图象如图所示。下列结论：① 4ac0;④当y>0时，x 的取值范围是-1 < x<3; ⑤当x<0时，y 随x 的增大而增大。其中结论正确的个数是（） A 4 个； B 、3 个； C 、2 个； D 1 个 2、（2017?齐齐哈尔）如图，抛物线 y=ax 2+bx+c （a z 0）的对称轴 ①4a-b=0;②c<0;③-3a+c>0;④4a-2b>at 2+bt （t 为实数）；⑤（ -2, yj ,（-号,y 2），（冷，丫」是该抛物线上的点，则y 1

中考二次函数总复习经典例题、习题集

第八篇二次函数的图像及性质【考纲传真】 1. 理解二次函数的有关概念． 2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．【复习建议】二次函数是中考的重点容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查．【考点梳理】考点一二次函数的概念一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．注意：(1)二次项系数a≠0；(2)ax2＋bx＋c必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量x的取值围是全体实数．考点二二次函数的图象及性质

考点三二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系考点四二次函数图象的平移抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同．它们之间的平移关系如下表：

考点五二次函数的应用设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．考点六二次函数与方程不等式之间的关系 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标． 3．当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．【典例探究】考点一二次函数的概念【例1】下列各式中，y是x的二次函数的是（）

初中数学二次函数综合题与答案解析(经典题型)

二次函数试题论：①抛物线1212-- =x y 是由抛物线221 x y -=怎样移动得到的？ ②抛物线2 )1(21+-=x y 是由抛物线221x y -=怎样移动得到的？ ③抛物线1)1(212 -+-=x y 是由抛物线1212--=x y 怎样移动得到的？ ④抛物线1)1(212-+-=x y 是由抛物线2 )1(21+-=x y 怎样移动得到的？ ⑤抛物线1)1(212 -+-=x y 是由抛物线22 1x y -=怎样移动得到的？选择题：1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（） A 在一定距离，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（）个 ①abc 〈０ ② a ＋ c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系的大致图象是图中的（）

二次函数的实际应用(典型例题分类)

二次函数与实际问题 1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等） 2、实际应用（求最值、最大利润、最大面积等）解决此类问题的基本思路是： (1)理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； (3)用数学的方式表示它们之间的关系； (4)做函数求解； (5)检验结果的合理性，拓展等．例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系并求出绿地面积的最大值 @ 变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积 y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数关系式当x为多长时，花园面积最大 ·

例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多设销售单价为x元，(0＜x≤元，那么（1）销售量可以表示为____________________；（2）销售额可以表示为____________________；（3）@ （4）所获利润可以表示为__________________；（5）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________。 ~ 变式练习2：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. （1）问题中有哪些变量其中自变量是_______,因变量是___________. （2）假设增种棵橙子树，那么果园里共有_________棵橙子树,这时平均每棵树结 _________个橙子. （3）如果橙子的总产量为y个，请你写出x与y之间的关系式_______________.（4）果园里种_____棵橙子树橙子的总产量最多，最多是________________。（

二次函数最值知识点总结典型例题与习题

二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，求)(x f 在][n m x ，∈上的最大值与最小值。当0>a 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上)(x f 的最值： 1.当[]n m a b ，∈-2时，)(x f 的最小值是)(4422x f a b a c a b f ，-=??? ??-的最大值是)()(n f m f 、中的较大者。 2.当[]n m a b ，?-2时若m a b <-2，由)(x f 在[]n m ，上是增函数则)(x f 的最小值是)(m f ，最大值是)(n f 若a b n 2-<，由)(x f 在[]n m ，上是减函数则)(x f 的最大值是)(m f ，最小值是)(n f 当0

例4. 已知12≤x ，且02≥-a ，求函数3)(2 ++=ax x x f 的最值。例5. (1) 求2 f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。 (2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。 4. 动轴动区间例6. 已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。（二）、逆向型例7. 已知函数2 ()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。例8.已知函数2 ()2 x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。例9. 已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22??- ???? 上的最大值为3，求实数a 的值。

中考二次函数经典例题

中考二次函数经典例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

已知：抛物线y= -x^2 +2x +8交X轴于A、B两点（A在B左侧），O是坐标原点。 1、动点P在X轴上方的抛物线上（P不与A、B重合），D是OP中点，BD延长线交AP 于E 问：在P点运动过程中，PE：PA是否是定值？是，求出其值；不是，请说明理由。 2、在第1问的条件下，是否存在点P，使△PDE的面积等于1 若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。解：1.y= -x^2 +2x +8=-(x-4)(x+2) 所以OA=2 OB=4 自己画图,由△面积等于底*高/2. 可以知道PE:EA=S△PDE:S△ADE 由于PD=OD,那么S△PDE=S△ODE 所以PE:EA=S△ODE:S△ADE 由图可知△ODE和△ADE同底,则S△ODE:S△ADE=两三角形高之比OG:AH 显然△BAH和△BOG相似,那么OG:AH=OB:AB=2:3 所以PE:EA=2:3 那么PE：PA=PE:PE+AE=2:5为定值 2.设P点为(X,Y) PE：PA=2:5 所以S△PDE=(2/5)*S△PDA S△AOP=Y*2/2=Y S△AOD=Y/2(因为D是OP中点) 所以S△ADP=S△AOP-S△AOD=Y/2 则S△PDE=(2/5)*(Y/2)=Y/5 当S△PDE=1时 Y=5 对应X=-1或2 则P点坐标为(-1,5)或(2,5) 2.一个横截面为抛物线的隧道底部宽12米，高6米，如图5车辆双向通行。规定车辆必须在中心线右侧，距道路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于米的空隙，你能否据这些要求，确定通过隧道车辆的高度限制解：先建立直角坐标系设隧道横截面抛物线的解析式为y=ax平方 +6 当x=6时，y=0，a=1/6 解析式是 y=1/6 x的平方+6

二次函数经典例题及答案

二次函数经典例题及答案 1. 已知抛物线的顶点为P （－4，－25 2），与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中B 点坐标为（1，0）。（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴交x 轴于点D ，则在线段AC 上是否存在这样的点Q ，使得△ADQ 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． y=12 x 2+4x - 92；存在点Q 1（-1，-4），Q 2（25-9，-5），Q 3（-132，-5 4 ）．试题分析：（1）根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a （x+4）2-25 2 ，然后把点B 的坐标代入解析式求出a 的值，即可得解；（2）先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A 、C 的坐标，从而得到OA 、OC 、AD 的长度，根据勾股定理列式求出AC 的长度，然后根据锐角三角形函数求出∠OAC 的正弦值与余弦值，再分①AD=Q 1D 时，过Q 1作Q 1E 1⊥x 轴于点E 1，根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ 1，再利用∠OAC 的正弦求出Q 1E 1的长度，根据∠OAC 的余弦求出AE 1的长度，然后求出OE 1，从而得到点Q 1的坐标；②AD=AQ 2时，过Q 2作Q 2E 2⊥x 轴于点E 2，利用∠OAC 的正弦求出Q 2E 2的长度，根据∠OAC 的余弦求出AE 2的长度，然后求出OE 2，从而得到点Q 2的坐标；③AQ 3=DQ 3时，过Q 3作Q 3E 3⊥x 轴于点E 3，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 3的长度，然后求出OE 3，再由相似三角形对应边成比例列式求出Q 3E 3的长度，从而得到点Q 3的坐标．试题解析：（1）∵抛物线顶点坐标为（-4，-25 2 ），

人教版初中数学二次函数经典测试题及答案解析

人教版初中数学二次函数经典测试题及答案解析一、选择题 1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a +b +c ＝2；③a 1 2 > ；④b ＞1，其中正确的结论个数是（） A ．1个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个【答案】C 【解析】【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【详解】由图象可得， a ＞0，b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0，故①错误，当x ＝1时，y ＝a +b +c ＝2，故②正确，当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＜0，由a +b +c ＝2得，a +c ＝2﹣b ，则a ﹣b +c ＝（a +c ）﹣b ＝2﹣b ﹣b ＜0，得b ＞1，故④正确， ∵12b a - >-，a ＞0，得1 22b a >>，故③正确，故选C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )

A．﹣4＜P＜0 B．﹣4＜P＜﹣2 C．﹣2＜P＜0 D．﹣1＜P＜0【答案】A 【解析】【分析】【详解】解:∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0． ∵对称轴在y轴的左边，∴ b 2a ＜0．∴b＞0． ∵图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b﹣2=0． ∴a=2﹣b，b=2﹣a．∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2．把x=﹣1代入得：y=a﹣（2﹣a）﹣2=2a﹣4， ∵b＞0，∴b=2﹣a＞0．∴a＜2． ∵a＞0，∴0＜a＜2．∴0＜2a＜4．∴﹣4＜2a﹣4＜0，即﹣4＜P＜0．故选A．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键． 3．已知，二次函数y=ax2+bx+a2+b（a≠0）的图象为下列图象之一，则a的值为（） A．-1 B．1 C．-3 D．-4 【答案】A 【解析】【分析】分别对图形进行讨论：若二次函数的图形为第一个，则b=0，其顶点坐标为(0，a2)，与图形中的顶点坐标不符；若二次函数的图形为第二个，则b=0，根据顶点坐标有a2=3，由抛物线与x的交点坐标得到x2=-a，所以a=-4，它们相矛盾；若二次函数的图形为第三个，把点(-1，0)代入解析式得到a-b+a2+b=0，解得a=-1；若二次函数的图形为第四个，把(-2，0)和(0，0)分别代入解析式可计算出a的值．

二次函数典型例题解析与习题训练

二次函数一、知识点梳理 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， a>0 a<0 y 0 x y 0 x （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=a b 2- ，顶点坐标是（a b 2- ，a b a c 442 -）；（3）在对称轴的左侧，即当x a b 2- 时，y 随x 的增大而增大（4）抛物线有最低点，当x=a b 2- 时，y 有最小值，a b a c y 442 -= 最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=a b 2- ，顶点坐标是（a b 2- ， a b a c 442 -）；（3）在对称轴的左侧，即当x a b 2- 时，y 随x 的增大而减小（4）抛物线有最高点，当x=a b 2- 时，y 有最大值，a b a c y 442 -= 最大值 3.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴以及最值，通常选择顶点式. 求抛物线的顶点、对称轴的方法：a b ac a b x a c bx ax y 4422 2 2 -+ ??? ? ? +=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422 --，对称轴是直线a b x 2- =. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --= 抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02 =++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x = ?- =+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=- ?? ? ??-= --= -= -=4442 2 212 21221214.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小： a >0，开口向上；a <0，开口向下；α越大，开口越小（2） b 和a 决定抛物线对称轴（左同右异） ①0=b 时，对称轴为y 轴； ②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0 c ,与y 轴交于正半轴； ③0

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