二次函数
考点1、二次函数的概念
定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数,)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数． 注意: （1)二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数ａ必须为非零实数,即a ≠０， 而b 、ｃ为任意实数。
(2）当ｂ=c=0时,二次函数2
ax y =是最简单的二次函数。
（3)二次函数c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数 （c bx ax ++2
为整式)
例1： 函数y=(m ＋２)ｘ2
2-m +2ｘ－1是二次函数,则m= ＿_＿____．
例2：已知函数y=ax 2
＋bx ＋ｃ（其中a ，b,ｃ是常数),当ａ__＿_时，是二次函数;当ａ_＿____，b___＿＿时，是一次函数;当ａ__＿＿___，ｂ＿______,c_＿＿__＿___时,是正比例函数．
例3：函数y ＝（m-n ）x 2
＋mx+ｎ是二次函数的条件是( ) A.m 、n 为常数,且m ≠0 ?????Ｂ.m 、n 为常数，且m ≠n
C ．ｍ、n 为常数，且n ≠0 ? ??Ｄ．ｍ、n 可以为任何常数 例4: 下列函数中是二次函数的有（ )
①y=x+
x 1；②ｙ=3(x-１)2＋2;③y=(ｘ＋3）2-2x ２
;④y=2x
1+x. A ．１个 B.2个 C.3个 D ．4个 考点2、三种函数解析式:
（1）一般式: ｙ=ax 2
+bx+c （ａ≠０),? 对称轴：直线x ＝a
b
2-
顶点坐标:（ a
b a
c a b 4422
--， ） (2）顶点式：()k h x a y +-=2
（ａ≠０）， 对称轴:直线x=h 顶点坐标为（h ,k )
（３)交点式：ｙ=a(x-ｘ1）(x －ｘ2)(a ≠0), ? 对称轴:直线x=
2
2
x1x + （其中x1、ｘ2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).
例１：抛物线822
--=x x y 的顶点坐标为___＿____＿__＿；对称轴是＿＿_＿__＿__＿_。
例2:二次函数y=-4(1＋2x)(ｘ-3）的一般形式是＿__＿___ 例3：已知函数2)(2
2+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称,则ｍ＝_＿_＿__＿＿；
例4：抛物线y=x 2
-４x+3与x 轴的交点坐标是＿__＿＿_.
例５:把方程x （x+2)=５(ｘ-2)化为一元二次方程的一般形式后a=____,b=_＿___,ｃ=＿＿__＿.
考点３、用待定系数法求二次函数的解析式
（1)一般式:c bx ax y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. （２）顶点式：()k h x a y +-=2
．已知图像的顶点或对称轴或最值,通常选择顶点式．
(3）交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点
式:()()21x x x x a y --=.
例1:一个二次函数的图象顶点坐标为(-5，1）,形状与抛物线y ＝2x 2
相同，这个函数解析式为_＿＿＿____＿＿_＿__.
例2：已知抛物线的顶点坐标是（－2，1)，且过点（1，－2),求抛物线的解析式。
例3:已知二次函数的图像经过（０,1)，(2,1)和(３,4)，求该二次函数的解析式。
例4:已知二次函数的图像与ｘ轴的2个交点为（1,０)，(2，0),并且过(3，4),求该二次函数的解析式。
考点4.二次函数的图象
１、二次函数 c bx ax y ++=2
的图像是对称轴平行于(包括重合）y 轴的抛物线. ２、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：①2
ax y =;②k ax y +=2
；③
()2
h x a y -=;④()k h x a y +-=2;⑤c bx ax y ++=2.
注:二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到
3、二次函数c bx ax y ++=2
的图像的画法 ? 因为二次函数的图像是抛物线,是轴对称图形,所以作图时步骤是： ? (1)先找出顶点坐标,画出对称轴； ? (2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (３）把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.
典型例题:
例1:函数y=x 2
的顶点坐标为_＿＿____．若点（a ，４）在其图象上,则a 的值是_____＿__．
例2:若点A(3,m)是抛物线ｙ=-ｘ2
上一点,则ｍ= ______＿_．
例3：函数y=ｘ2与y=-x ２的图象关于______＿_对称，也可以认为y=-x ２，是函数y=x ２
的图象绕＿_＿_＿_____＿旋转得到.
例4:若二次函数ｙ=ａx 2
(a ≠0），图象过点P(2,-８),则函数表达式为___＿_____．
例5：．函数y ＝x 2
的图象的对称轴为＿＿____,与对称轴的交点为___＿___，是函数的顶点．
例7：若a>1，点(－a-1,y1)、(a ，y ２)、(a ＋1,y3)都在函数y ＝x 2
的图象上，判断y1、ｙ2、y3的大小关系?
1、开口方向:当a>0时,函数开口方向向上； 当a<0时,函数开口方向向下;
2、增减性：
当a>0时，在对称轴左侧，ｙ随着ｘ的增大而减少;在对称轴右侧,y 随着x 的增大而增大； 当a<0时，在对称轴左侧,y 随着x 的增大而增大;在对称轴右侧，ｙ随着ｘ的增大而减少; ３、最大或最小值：
当a>０时,函数有最小值,并且当x=a
b
2- ， y 最小 ＝a b ac 442-
当a ＜0时，函数有最大值，并且当x=a
b
2- , ｙ最大 =a b ac 442-
典型例题:
例１：抛物线的顶点在y 轴上，则m 的值为＿_＿___________。
例2：按要求求出下列二次函数的解析式： (１)形状与ｙ=－3
1x 2
+2的图象形状相同,但开口方向不同，顶点坐标是（０,-3）的抛物线的解析式；
(2)与抛物线y=5
1x 2
-２关于x 轴对称的抛物线的解析式; (3)对称轴是y 轴,顶点的纵坐标是-2
7
，且经过(1，1)点的抛物线的解析式。
例3: 已知函数y=2
1x 2
+2x ＋1 （1)写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值； （２）求抛物线与ｘ轴、y 轴的交点；
（3）观察图象:x 为何值时，y 随x 的增大而增大;
(4)观察图象：当x 为何值时，y>0时，当x 为何值时，y=0；当x 为何值时，ｙ<0。
例４:已知二次函数y=(k －２)ｘ2
＋2kx+３k,根据下列给出的条件求出相应的k 的值。 （１)抛物线的顶点在ｘ轴上; （２）抛物线的顶点在y 轴上； （3)抛物线的顶点在y ＝4x 上。
考点7.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点坐标。 ①a 的符号决定抛物线的开口方向
②对称轴平行于y 轴（或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③顶点决定抛物线的位置.
几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同． 例１: 函数在同一坐标系中的图象大致是图中的
（ ）
例2: 抛物线3)2(2
+-=x y 的顶点坐标是（ ） A.(２，3） Ｂ．（-２,3） C.（2，-３） D ．(-2,-3） 例3：二次函数2)1(2++=x y 的最小值是( ）. Ａ.2 B.1 Ｃ.-3 Ｄ．
3
2
例４：抛物线n x y ++=2)m (2(m n ，是常数)的顶点坐标是( ）
A.()m n ，? Ｂ.()m n -，??C.()m n -，
? D ．()m n --， 例5:函数y=ax ＋1与ｙ＝ax 2
+bx ＋1（ａ≠０）的图象可能是（ ）
考点8．抛物线c bx ax y ++=2
中a 、b 、c 的作用 1、ａ决定抛物线的开口方向和开口大小
a 的符号决定抛物线的开口方向:当a>0时,函数开口方向向上; 当a<０时，函数开口方向向下；
a 的大小决定抛物线的开口大小:当a 越大时，开口越小;
当a 越小时，开口越大;
a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.
2、a 和b 共同决定抛物线的对称轴位置。（x=a
b
2-
) 左同右异：①如果对称轴在Ｙ轴左侧,则a 、ｂ符号相同。 ②如果对称轴在Y 轴右侧,则ａ、b 符号相反。
B ．
C ．
D ． 1
1
1
1
x
o y
y
o
x y
o x
x
o
y
注意点:①0=b 时,对称轴为y 轴;
②
0>a b
（即a 、b 同号）时,对称轴在y 轴左侧; ③0 b (即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧. 3、c 的大小决定抛物线于ｙ轴的交点位置。(于y=k ｘ+b 中的b 作用相同） 当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2 与y 轴有且只有一个交点（０,c )： 注意： ①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴; ③0 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则 0 b . 例1： 已知抛物线c bx ax y ++=2 经过原点和第一、二、三象限，则( ） A. ａ>0，ｂ<0，c=０ B ． a<0，ｂ<０,c=0 C ． ａ＜0，ｂ<0，c<０ Ｄ. a>0,ｂ>0,ｃ=0 例2:在同一直角坐标系中,直线y=ａｘ+b 和抛物线)0(2 ≠++=c c bx ax y 的图象只可能是图中的( ） 例3： 在同一直角坐标系中,函数ax x y b ax y +=+=2 2 b 和的图象只可能是图中的（ ） 例4：抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是（ ） A 、ｙ=x 2 -x-２ B 、y=12 1 212++- x C 、y=12 1 212+-- x x D 、y=22++-x x 例6:已知二次函数y=ax2＋bx+c(a ≠0）的图象如图所示， 给出以下结论:①ａ>0. ②该函数的图象关于直线1x =对称． ③当13x x =-=或时,函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是( ） A ．３ B ．2 C ．1 D ．０ O 考点9、抛物线的平移 方法:左加右减,上加下减 抛物线的平移实质是顶点的平移,因为顶点决定抛物线的位置，所以，抛物线平移时首先化为顶点式 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 例１：在平面直角坐标系中,将二次函数2 2x y =的图象向上平移2个单位,所得图象的解析式为 Ａ.222-=x y B. 222 +=x y Ｃ．2)2(2-=x y D.2 )2(2+=x y 例２：将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位,得到函数 2 32y x x =-+的图象,则a 的值为 A.1 B.2?Ｃ.3 ?D.４ 例3：在平面直角坐标系中,先将抛物线 2 2y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A.22y x x =--+ B. 2 2y x x =-+- Ｃ.22y x x =-++ Ｄ. 2 2y x x =++ 例4：把抛物线y=-x 2 向左平移１个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的 解析式为 A.2(1)3y x =---??B ．2 (1)3y x =-+- Ｃ.2(1)3y x =--+? D. 2(1)3y x =-++ 考点10、二次函数 c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a 的最大值和最小值的求法 二次函数是否有最值,由a 的符号确定。 当a>０时,抛物线有最低点，函数有最小值，当x=a b 2- , ｙ最小 ＝a b ac 442- 当a ＜时,抛物线有最高点，函数有最大值，当ｘ=a b 2- , y 最大 =a b a c 442- 注：如果自变量ｘ有取值范围，则另当别论。 典型例题: 例1： 抛物线的图象开口_＿_________，对称轴是_＿__＿_＿＿_＿_,顶点坐标为__＿_＿_＿＿___，当x=__________＿时，y 有最___＿_______值为＿＿＿____＿__＿。 例２： 当m=____＿_＿____时，抛物线开口向下,对称轴是___＿＿___,在对称轴左侧,ｙ随x 的增大而_＿_______＿_,在对称轴右侧,y 随x 的增大而_______＿__＿。 例4：二次函数2)1(2 +-=x y 的最小值是( ） A.2 （B)1 (C ）－1 （D ）－2 例２:抛物线y=－x ２ +x+7与x 轴的交点个数是（ ) 例3:抛物线y=-３ｘ２ ＋2x-１的图象与ｘ轴交点的个数是( ） A.没有交点 Ｂ．只有一个交点 Ｃ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 考点12、直线与抛物线的交点问题 (1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2 得交点为（0, c ). （2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2 有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2 ）． (３)抛物线与x 轴的交点 二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根．抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根 的判别式判定： ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交; ②有一个交点(顶点在x 轴上)?0=??抛物线与x 轴相切; ③没有交点?0 (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点 同（3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根． (５)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交 点,由方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点． 例1:已知0≠a ,在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是( ） 例3：在同一直角坐标系中,函数y mx m =+和函数2 22y mx x =-++(m 是常数,且0m ≠）的图象可能．． 是 例4:已知直线ｙ=-2x ＋3与抛物线y=ａｘ2 相交于A 、B 两点,且A 点坐标为(－3，ｍ)． (1）求a 、m 的值； （2)求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标; (3）ｘ取何值时,二次函数y=ａx ２ 中的y 随x 的增大而减小; O y x 1-1A ． x y O 1 -1 B ． x y O 1 -1 x y O 1 -1
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