§6.2等差数列及其前n项和
最新考纲考情考向分析
1.理解等差数列的概念．
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关
系，并能用等差数列的有关知识解决相应的
问题．
4.了解等差数列与一次函数的关系.
主要考查等差数列的基本运算、基本性质，
等差数列的证明也是考查的热点．本节内容
在高考中既可以以选择、填空的形式进行考
查，也可以以解答题的形式进行考查．解答
题往往与数列的计算、证明、等比数列、数
列求和、不等式等问题综合考查．难度为中
低档.
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．
(7)若{a n }是等差数列，则????
??S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d .
5．等差数列的前n 项和公式
设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)
2d .
6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d
2
n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．
概念方法微思考
1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b
2”的什么条件？
提示 充要条件．
2．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？
提示 不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )
(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )
(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × )
(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) 题组二 教材改编
2．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34 答案 B
解析 由已知可得?
????
a 1＋5d ＝2，
5a 1＋10d ＝30，
解得???
a 1＝263
，
d ＝－4
3，
∴S 8＝8a 1＋8×7
2
d ＝32.
3．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.
答案 180
解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三 易错自纠
4．一个等差数列的首项为1
25，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范
围是( ) A ．d >8
75
B ．d <3
25
C.875 D.875 答案 D 解析 由题意可得??? ?? a 10>1， a 9≤1， 即??? 1 25＋9d >1， 1 25＋8d ≤1， 所以875 25 .故选D. 5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8 解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，所以a 8>0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，所以a 9<0. 故当n ＝8时，其前n 项和最大． 6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面． 答案 20 解析 设物体经过t 秒降落到地面． 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列． 所以4.90t ＋1 2t (t －1)×9.80＝1 960， 即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20. 等差数列 1．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5等于( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 答案 B 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4， 得3??? ???3a 1＋3×(3－1)2×d ＝2a 1＋2×(2－1)2×d ＋4a 1＋4×(4－1)2×d ，将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3， 故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10. 故选B. 2．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________． 答案 16 解析 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 21 ＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16. 方法二 ∵S 9＝a 1＋a 9 2×9＝27， ∴a 1＋a 9＝6， ∴a 2＋a 8＝2a 5＝6， ∴a 5＝3， 则a 2a 5＋a 8＝3a 2＋a 8＝0， 即2a 2＋6＝0， ∴a 2＝－3，则a 8＝9， ∴其公差d ＝a 8－a 5 8－5＝2， ∴a 1＝－5， ∴S 8＝8×a 1＋a 8 2 ＝16. 3．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝1 2 n 2－2n 答案 A 解析 设等差数列{a n }的公差为d ， ∵????? S 4＝0，a 5＝5，∴????? 4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5， 解得????? a 1＝－3，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5， S n ＝na 1＋n (n －1) 2 d ＝n 2－4n .故选A. 4．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10 S 5＝________. 答案 4 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1， 即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以S 10 S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×4 2 d ＝10a 1＋10×92×2a 1 5a 1＋5×4 2 ×2a 1 ＝100 25＝4. 思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，d ，a n ，S n ，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)． (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d . 等差数列的判定与证明 例1 已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3； (2)证明数列???? ?? a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式． 解 (1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4， 又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2， 所以a 3＝15. (2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)， 得 na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝2， 所以???? ??a n n 是首项为a 1 1＝1，公差为2的等差数列， 则a n n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n . 思维升华 等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. (3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列． (4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列． 跟踪训练1 在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项． (1)求证：数列???? ?? 1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式； (2)求数列? ??? ?? 1n 2a n 的前n 项和S n . 解 (1)∵a n 是1与a n a n ＋1的等差中项， ∴2a n ＝1＋a n a n ＋1，∴a n ＋1＝ 2a n －1 a n ， ∴a n ＋1－1＝2a n －1a n －1＝a n －1 a n ， ∴ 1a n ＋1－1＝a n a n －1＝1＋1a n －1， ∵ 1 a 1－1 ＝1， ∴数列??? ? ?? ???? 1a n －1是首项为1，公差为1的等差数列， ∴ 1 a n －1 ＝1＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ＋1n . (2)由(1)得1n 2a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴S n ＝????1－12＋????12－13＋????13－14＋…＋? ????1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1 . 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质 例2 (2019·江西省南昌江西师范大学附属中学模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2＋a 5＝a 6＋a 3，则S 7等于( ) A ．2 B ．7 C ．14 D ．28 答案 C 解析 ∵2＋a 5＝a 6＋a 3，∴2＋a 4＋d ＝a 4＋2d ＋a 4－d ，解得a 4＝2， ∴S 7＝7(a 1＋a 7) 2＝7a 4＝14. 故选C. 命题点2 等差数列前n 项和的性质 例3 (1)(2020·漳州质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( ) A ．35 B ．42 C ．49 D ．63 答案 B 解析 在等差数列{a n }中， S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列， 即7,14，S 15－21成等差数列， 所以7＋(S 15－21)＝2×14， 解得S 15＝42. (2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 018，S 2 0192 019－S 2 013 2 013＝6，则S 2 020＝________. 答案 2 020 解析 由等差数列的性质可得???? ?? S n n 也为等差数列． 设其公差为d ，则S 2 0192 019－S 2 013 2 013＝6d ＝6，∴d ＝1. 故 S 2 0202 020＝S 1 1 ＋2 019d ＝－2 018＋2 019＝1， ∴S 2 020＝1×2 020＝2 020. 思维升华 等差数列的性质 (1)项的性质：在等差数列{a n }中， ①a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)，d ＝ a n －a m n －m . ②若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1). ②依次k 项和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列． 跟踪训练2 (1)(2020·贵州省遵义绥阳中学模拟)已知等差数列{a n }、等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝n ＋2n ＋1，则a 6b 8的值是( ) A.1316 B.1314 C.1116 D.11 15 答案 A 解析 因为等差数列{a n }、等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，S n T n ＝n ＋2 n ＋1， 所以S n T n ＝n ＋2n ＋1＝n (n ＋2)n (n ＋1) ， 不妨令S n ＝n (n ＋2)，T n ＝n (n ＋1)， 所以a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋2)－(n －1)(n ＋1)＝2n ＋1(n ≥2)， b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n (n ≥2)， 所以a 6b 8＝2×6＋12×8＝1316. 故选A. (2)(2019·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．13 答案 B 解析 根据S 13>0，S 14<0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8<0，所以可以得到a 7>0，a 8<0，所以S n 取最大值时n 的值为7，故选B. 1．(2020·长沙模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 10＝43 a 7，则a 2 020等于( ) A ．1 348 B ．675 C ．－1 344 D ．－671 答案 A 解析 由a 10＝43a 7 ，得2＋9d ＝43(2＋6d )，d ＝2 3 ，a 2 020＝2＋2 019d ＝1 348.故选A. 2．(2019·晋城模拟)记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为( ) A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－3 答案 A 解析 由等差数列性质可知，S 5＝a 1＋a 52×5＝5a 3＝35，解得a 3＝7，故d ＝a 6－a 3 6－3＝3.故选 A. 3．(2019·贵州省凯里第一中学模拟)在数列{a n }中，已知a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，a 1 011＝1，则该数列前2 021项的和S 2 021等于( ) A ．2 021 B ．2 020 C ．4 042 D ．4 040 答案 A 解析 ∵a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， ∴2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2， ∴{a n }为等差数列， ∵a 1 011＝1， ∴S 2 021＝2 021(a 1＋a 2 021)2＝2 021×2a 1 011 2 ＝2 021. 4．已知数列{a n }是等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，给出下列结论： ①a 10＝0；②S 10最小；③S 7＝S 12；④S 20＝0. 其中一定正确的结论是( ) A ．①② B ．①③④ C ．①③ D ．①②④ 答案 C 解析 因为a 1＋5(a 1＋2d )＝8a 1＋28d ， 所以a 1＝－9d ， a 10＝a 1＋9d ＝0，①正确； 由于d 的符号未知，所以S 10不一定最小，②错误； S 7＝7a 1＋21d ＝－42d ，S 12＝12a 1＋66d ＝－42d ， 所以S 7＝S 12，③正确； S 20＝20a 1＋190d ＝10d ，④错误． 所以正确的是①③，故选C. 5．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( ) A ．65 B ．176 C ．183 D ．184 答案 D 解析 根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996. 由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×7 2×17＝996， 解得a 1＝65. 由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184. 则第八个孩子分得斤数为184. 6．(2019·宁夏银川一中月考)在等差数列{a n }中，若a 10 a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值， 则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．14 答案 C 解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和有最大值， ∴等差数列{a n }为递减数列， 又 a 10 a 9 <－1，∴a 9>0，a 10<0， ∴a 9＋a 10<0， 又S 18＝18(a 1＋a 18) 2＝9(a 9＋a 10)<0， S 17＝17(a 1＋a 17)2 ＝17a 9>0， ∴S n >0成立的正整数n 的最大值是17.故选C. 7．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 3＝5，a 7＝13，则S 10＝________. 答案 100 解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13， ∴公差d ＝a 7－a 37－3＝13－54＝2， 首项a 1＝a 3－2d ＝5－2×2＝1， ∴S 10＝10a 1＋10×9 2 d ＝100. 8．(2020·三明质检)在等差数列{a n }中，若a 7＝π 2，则sin 2a 1＋cos a 1＋sin 2a 13＋cos a 13＝ ________. 答案 0 解析 根据题意可得a 1＋a 13＝2a 7＝π， 2a 1＋2a 13＝4a 7＝2π， 所以有sin 2a 1＋cos a 1＋sin 2a 13＋cos a 13 ＝sin 2a 1＋sin(2π－2a 1)＋cos a 1＋cos(π－a 1)＝0. 9．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10 b 10＝________. 答案 56 41 解析 在等差数列中，S 19＝19a 10，T 19＝19b 10， 因此a 10b 10＝S 19T 19＝3×19－12×19＋3＝5641 . 10．已知数列{a n ＋1－a n }是公差为2的等差数列，且a 1＝1，a 3＝9，则a n ＝________. 答案 (n 2－3n ＋3)2 解析 数列{ a n ＋1－a n }是公差为2的等差数列， 且a 1＝1，a 3＝9， ∴ a n ＋1－a n ＝(a 2－1)＋2(n －1)， a 3－a 2＝(a 2－1)＋2， ∴3－a 2＝(a 2－1)＋2，∴a 2＝1. ∴a n ＋1－a n ＝2n －2， ∴当n ≥2时，a n ＝2(n －1)－2＋2(n －2)－2＋…＋2－2＋1＝2×(n －1)n 2－2(n －1)＋1＝n 2－ 3n ＋3. ∴a n ＝(n 2－3n ＋3)2，n ＝1时也成立． ∴a n ＝(n 2－3n ＋3)2. 11．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1 a n －1. (1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 ∵1a n ＋1－1－1 a n －1 ＝ a n －a n ＋1 (a n ＋1－1)(a n －1)＝13 ， ∴b n ＋1－b n ＝1 3 ， ∴{b n }是首项为1，公差为1 3的等差数列． (2)解 由(1)及b 1＝1a 1－1＝1 2－1＝1， 知b n ＝13n ＋2 3 ， ∴a n －1＝3 n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2 . 12．已知等差数列{a n }的公差d >0，设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2S 3＝36. (1)求d 及S n ； (2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解 (1)由题意知(a 1＋a 2)(a 1＋a 2＋a 3)＝36， 即(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d >0，所以d ＝2， 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1) 2 ·2＝n 2. (2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝2m －1＋2(m ＋1)－1＋2(m ＋2)－1＋…＋2(m ＋k )－1＝(2m ＋k －1)(k ＋1)， 所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65， 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，且2m ＋k －1与k ＋1均为整数， 故????? 2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得????? m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4. 13．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝2n a 且b 1＋b 3＝17，b 2＋b 4＝68，则S 10等于( ) A ．90 B ．100 C ．110 D ．120 答案 A 解析 设{a n }的公差为d ， b 2＋b 4b 1＋b 3＝3241331122222222a d a a a d a a a a ++++++＝＝2d ＝6817＝4， ∴d ＝2， b 1＋b 3＝311122222a a a a d +++＝＝17， ∴12a ＝1，a 1＝0， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×9 2 ×2＝90，故选A. 14．已知数列{a n }与???? ?? a 2n n 均为等差数列(n ∈N *)，且a 1＝2，则a 20＝________. 答案 40 解析 设a n ＝2＋(n －1)d ， 所以a 2n n ＝[2＋(n －1)d ]2 n ＝d 2n 2＋(4d －2d 2)n ＋(d －2)2 n ， 由于???? ?? a 2n n 为等差数列， 所以其通项是一个关于n 的一次函数， 所以(d －2)2＝0，∴d ＝2. 所以a 20＝2＋(20－1)×2＝40. 15．(2020·黑龙江省哈尔滨市第三中学模拟)已知x 2＋y 2＝4，在这两个实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( ) A ．210 B.1210 C.10 D.3210 答案 D 解析 因为在实数x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，所以设中间三项为a ，b ，c ， 由等差数列的性质可得2b ＝x ＋y ， 所以b ＝x ＋y 2，同理可得c ＝x ＋3y 4 ， 所以后三项的和为b ＋c ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋3y 4＋y ＝3x ＋9y 4， 又因为x 2＋y 2＝4，所以可令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以3x ＋9y 4＝32(cos θ＋3sin θ)＝310 2sin(θ＋φ) ≤ 310 2 .故选D. 16．记m ＝d 1a 1＋d 2a 2＋…＋d n a n n ，若{}d n 是等差数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等差均值”； 若{}d n 是等比数列，则称m 为数列{a n }的“d n 等比均值”．已知数列{a n }的“2n －1等差均值”为2，数列{b n }的“3n －1 等比均值”为3.记c n ＝2 a n ＋k log 3b n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ， 若对任意的正整数n 都有S n ≤S 6，求实数k 的取值范围． 解 由题意得2＝a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n n ， 所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ， 所以a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1 ＝2n －2(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减得a n ＝2 2n －1(n ≥2，n ∈N *)． 当n ＝1时，a 1＝2，符合上式， 所以a n ＝2 2n －1 (n ∈N *)． 又由题意得3＝b 1＋3b 2＋…＋3n －1b n n ， 所以b 1＋3b 2＋…＋3n －1b n ＝3n ， 所以b 1＋3b 2＋…＋3n －2b n －1＝3n －3(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减得b n ＝32－n (n ≥2，n ∈N *)． 当n ＝1时，b 1＝3，符合上式， 所以b n ＝32－n (n ∈N *)． 因为c n ＝2 a n ＋k log 3 b n ，所以 c n ＝(2－k )n ＋2k －1. 因为对任意的正整数n 都有S n ≤S 6， 所以? ???? c 6≥0，c 7≤0，解得135≤k ≤114 . 第五讲 数列的极限与无穷等比数列各项的和 知识提要 1. 数列的极限 ：n 无限增大，n a 无限趋近一个常数.A （1） 数列极限的运算法则（加法、乘法法则可推广到有限多个数列）. 如果n n a ∞ →lim =A ，n n b ∞ →lim =B 存在，那么 ①B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞ →∞ →∞ →lim lim )(lim ； ②B A b a b a n n n n n n n ?=?=?∞→∞→∞→lim lim )(lim ； ③lim lim (0)lim n n n n n n n a a A B b b B →∞ →∞→∞ ==≠. （2）数列极限的几种类型： ①有理分式型：同除以某个非零因式； ②求和型：无限项，先求和再求极限；无穷数列各项的和. ③指数型0(1) 1(1)lim ;(1)(1)n n q q q q q →∞ ? 不存在不存在 ④{}n n S S .lim n n S →∞?????表示数列的极限，可先求，再求极限；无穷运动的归宿，直接考虑极限位置；无穷数列各项的和 2．无穷等比数列各项的和：若1q <且0q ≠，则1 lim 1n n a S S q →∞ == -存在. （1）1 1,0;1q q a S q <≠???=?-? 注意区别： (a)11lim ≤<-?∞→q q n n 存在; (b)1||0lim 统计学基础第五章动态数列分析 【教学目的】 1.区分不同种类的动态数列 2.熟练掌握计算平均发展水平的各种方法 3.掌握发展速度、增长速度的种类，运用它们之间的数量关系进行动态指标的相互推算 4.理解趋势的意义，运用长期趋势测定方法对长期趋势进行测定 5.计算季节比率，并且深刻理解季节比率的经济含义 【教学重点】 1.总量指标动态数列的种类和特点 2.动态比较指标和动态平均指标的计算 3.动态数列的分析方法 【教学难点】 1.绝对数时间数列中的时点数列平均指标的计算 2.相对数、平均数时间数列动态平均指标的计算 3.动态数列分析方法中的季节变动分析方法 【教学时数】 教学学时为12课时 【教学容参考】 第一节动态数列的意义和种类 一、动态数列的概念 将某一个统计指标在不同时间上的各个数值，按时间先后顺序排列，就形成了一个动态数列，也叫做时间数列。动态数列一般由两个基本要素构成：一是被研究现象所属的时间；二是反映该现象的统计指标数值。 通过编制和分析动态数列，首先可以从现象的量变过程中反映其发展变化的方向、程度和趋势，研究其质量变化的规律性。 其次，通过对动态数列资料的研究，可以对某些社会经济现象进行预测。 第三，利用动态数列，可以在不同地区或国家之间进行对比分析。 编制和分析动态数列具有非常重要的作用，这种方法已成为对社会经济现象进行统计分析的一种重要方法。 【案例】 下面图表列举了我国2004～2007年若干经济指标的动态数列。 表5-1 我国2004-2007年若干经济指标 二、动态数列的种类 按照构成动态数列的基本要素———统计指标的表现形式不同，动态数列可分为绝对数动态数列、相对数动态数列和平均数动态数列三种类型。其中绝对数动态数列是基本的数列，相对数和平均数动态数列是派生数列。 §6.3等比数列及其前n项和 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为 a n ＋1 a n ＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项?a ，G ，b 成等比数列?G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n － 1. (2)前n 项和公式： S n ＝???? ? na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1). 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n － m (n ，m ∈N *)． (2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . (3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，???? ??1a n ，{a 2n }，{a n · b n }，???? ?? a n b n (λ≠0)仍然是等比数列． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k . 4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)． 概念方法微思考 第五讲 数列综合题 例题讲解 例1、在公差为(0)d d ≠的等差数列{}n a 和公比为q 的等比数列{}n b 中，已知 11221,a b a b ===，83a b =. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）是否存在常数,a b ，使得对于一切正整数n ，都有log n a n a b b =+成立？若存在， 求出常数a 和b ，若不存在，说明理由. 2、已知：f(x)＝4 12 -x （x <—2），,点An(1 1+- n a ,n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)，且a 1 ＝1. （1）证明数列{ 21 n a }为等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式； （3）设n b ＝ 1 111++n n a a ,记S n ＝b 1＋b 2＋……＋n b ，求n s . （4）数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足 3816221 21--+=++n n a T a T n n n n ，设定1b 的值，使得数列{}n b 是等差数列； 例3、已知数列{}n a 中，n s 是其前n 项和，并且)(24* 1N n a s n n ∈+=+且11=a . (1) 设)(2*1N n a a b n n n ∈-=+,求证数列{}n b 成等比数列. (2) 设)(2 * N n a c n n n ∈= ,求证：数列{}n c 是等差数列. (3) 求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和. 例4、已知数列{}n a ，3654=a ，且1331-+=-n n n a a )2(≥n . （1） 求1a ，2a ，3a ； （2） 若存在一个实数λ使得? ?? ?? ?+n n a 3λ为等差数列，求λ； （3） 求数列{}n a 的前n 项的和. 随堂练习 已知函数)(x f 对任意实数p 、q 都满足)()()(q f p f q p f ?=+且3 1)1(=f 。 （1）、当+∈N n 时求)(n f 的表达式 （2）、设k n k n a N n n nf a 1 * ),)((=∑∈=求。 变式 1、若将题目中的条件“)()()(q f p f q p f ?=+”改为 第七章 时间序列分析 一、单项选择题 1. 根 据 时 期 序 列 计 算 序 时 平 均 数 应 采 用 ( ) A.几何平均法 B.加权算术平均法 C.简单算术平均法 D.首末折半法 ２.间隔相等的时点序列计算序时平均数应采用 （ ） Ａ.几何平均法 B.加权算术平均法 C.简单算术平均法 D.首末折半法 ３.逐日登记资料的时点序列计算序时平均数应采用 （ ） Ａ.几何平均法 B.加权算术平均法 C.简单算术平均法 D.首末折半法 ４.具有可加性的时间序列是 （ ） Ａ.时点序列 Ｂ.时期序列 Ｃ.平均指标动态序列 Ｄ.相对指标动态序列 ５.间断性的间隔不相等时点序列计算序时平均数，应采用 （ ） Ａ.以每次变动持续的时间长度对各时点水平加权平均 Ｂ.以数列的总速度按几何平均法计算 Ｃ.用各间隔长度对各间隔的平均水平加权平均 Ｄ.对各时点水平简单算术平均 6.时间序列中的派生序列是 （ ） A. 时期序列和时点序列 B.绝对数时间序列和相对数时间序列 C.绝对数时间序列和平均数时间序列 D.相对数时间序列和平均数时间序列 7.某企业生产某种产品,其产量年年增加5万吨,则该产品产量的环比增长速度 ( ) A.年年下降 B.年年增长 C.年年保持不变 D.无法做结论 8.某企业工业生产固定资产原值变动资料(单位:千元〉：1998年1月1日8000当年新增2400， 当年减少400试确定工业生产固定资产原值平均价值 （ ） A.10000 B.9000 C.5000 D.1500 9.某车间月初工作人员数资料如下 （ ） 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 280 284 280 300 302 304 320 计算该车间上半年月平均工人数计算式是： A. i i i f f α∑∑ B. i i i f f α∑∑ C. i n α∑ D. 1231 1 1 2 2 ...1 n a a a a n -++++- 10.2003年上半年某商店各月初棉布商品库存〈千元〉为 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 42 34 36 32 36 33 38 试确定上半年棉布平均商品库存。 （ ） 第六章数列基础训练（1） 1、已知等差数列{}n a 中，,23,394==a a 求2020S a 与的值. 2、已知三个数成等差数列，它们的和为18，积为162，求这三个数. 3、设数列{}n a 的前n 项和公式为4322-+=n n S n ，求该数列的通项公式. 4、在等差数列{}n a 中，26,694==a a ，求20S 5、在137和-之间插入三个数，使这5个数成等差数列，求插入的三个数. 6、已知等差数列{}n a 中，,15,1,2-===n n S a d 求1a n 与。 7、等差数列{}n a 的第2项与第4项的差为6 ，第1项与第5项的积为32-，求此数列的前三项. 8、等差数列{}n a 中 3 131=a a ，且455=S ，求4a . 9、已知在等差数列{}n a 中，,999,54,201===n n S a a 求d n 与. 10、在等差数列{}n a 中，5,6 1,651-=-==n S d a 且，求n a n 与. 11、已知等比数列{}n a 中，8 1,174-=-=a a ，求11a . 12、在等比数列{}n a 中，,32 129,43,641=-==n S a a 求项数n. 13、已知三个数组成公比大于1的等比数列，其积为216，若将各数依次分别加上1,5,6，则所得的三个数成等差数列，求原来的三个数. 14、已知等比数列{}n a 中，,26,231==S a 求3a q 与. 15、在等比数列{}n a 中，,182,2 243,211===n n S a a 求n q 与 16、在483--与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的三个数. 第五讲等差数列的基本认识 1、数列定义 （1） 1，2，3，4，5，6，7，8，… （2） 2，4，6，8，10，12，14，16，… （3） 1，4，9，16，25，36，49，… 若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。 数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项，第二个数叫做第二项，以此类推，最后一个数叫做这个数列的末项，数列中数的个数称为项数，如：2，4，6，8， (100) 2、等差数列 从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差，例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。 3、计算等差数列的相关公式 （1）末项公式：第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 项数＝（第几项－首项）÷公差＋1 （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 例1、求等差数列3，5，7，…的第10项，第100项，并求出前100项的和。 例2、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。例3、计算：6＋7＋8＋9＋……＋74＋75 例4、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？第50项是多少？ 例5、计算：（2＋4＋6＋......＋2000）－（1＋3＋5＋ (1999) 例6、有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层。最下面一层有多少根？ 例7、求100以内（包括100）所有被5除余0的自然数的和。 例8、小王和小胡两个人赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜。小王第一秒跑1米，以后每秒都比以前一秒多跑0.1米，小胡自始至终每秒跑1.5米，谁能取胜？ 课堂练习: 1、求所有除以4余1的两位数的和。 2、已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的偶数项之和与奇数项之和的差是多少？ 第五章 时间数列 （一）填空题 1、增长量可分为逐期增长量、累积增长量。两者的关系是累积增长量是相应的逐期增长量之和。 2、时间数列按其排列的指标不同可分为总量指标时间数列（绝对数时序）、相对指标时间数列（相对数时序）、平均指标时间数列（平均数时序）三种，其中总量指标时间数列是基本数列。 3、根据时间数列中不同时间的发展水平所求的平均数叫平均发展水平，又称序时平均数。 4、计算平均发展速度的方法有水平法和累计法。且两种方法计算的结果一般是不相同的。必须按照动态数列的性质和研究目的来决定采用哪种方法。如果动态分析中侧重于考察最末一年达到的水平，采用水平法为好；如果动态分析中侧重于考察各年发展水平的总和，宜采用累计法。 5、进行长期性趋势测定的方法有时距扩大法、移动平均法、趋势线配合法、曲线趋势的测定与分析等。 （二）单项选择题（在每小题备选答案中，选出一个正确答案） 1、某企业2000年利润为2000万元，2003年利润增加到2480万元，则2480万元是( A ) A. 发展水平 B. 逐期增长量 C. 累积增长量 D. 平均增长量 2、对时间数列进行动态分析的基础是（ A ） A 、发展水平 B 、发展速度 C 、平均发展水平 D 、增长速度 3、已知某企业连续三年的环比增长速度分别为6%，7%，8%，则该企业这三年的平均增长速度为 ( D ) A. B. 4、序时平均数又称作（ B ） A 、平均发展速度 B 、平均发展水平 C 、平均增长速度 D 、静态平均数 5 、假定某产品产量2002年比1998年增加50%， 那么1998-2002年的平均发展速度为( D ) 6、现有5年各个季度的资料，用四项移动平均对其进行修匀，则修匀后的时间数列项数为（ B ） A 、12项 B 、16项 C 、17项 D 、18项 7、累积增长量与其相应的各个逐期增长量的关系是( A ) A. 累积增长量等于其相应的各个逐期增长量之和 B. 累积增长量等于其相应的各个逐期增长量之积 C. 累积增长率与其相应增长量之差 D. 两者不存在任何关系 8、最基本的时间数列是（ A ） A 、绝对数时间数列 B 、相对数时间数列 C 、平均数时间数列 D 、时点数列 %8%7%6??%8%7%6++ 《时间序列》练习题及解答 一、单项选择题 从下列各题所给的4个备选答案中选出1个正确答案，并将其编号（A、B、C、D）填入题干后面的括号内。 1、构成时间数列的两个基本要素是（）。 A、主词和宾词 B、变量和次数 C、时间和指标数值 D、时间和次数 2、最基本的时间数列是（）。 A、时点数列 B、绝对数数列 C、相对数数列 D、平均数数列 3、时间数列中，各项指标数值可以相加的是（）。 A、相对数数列 B、时期数列 C、平均数数列 D、时点数列 4、时间数列中的发展水平（）。 A、只能是总量指标 B、只能是相对指标 C、只能是平均指标 D、上述三种指标均可以 5、对时间数列进行动态分析的基础指标是（）。 A、发展水平 B、平均发展水平 C、发展速度 D、平均发展速度 6、由间断时点数列计算序时平均数，其假定条件是研究现象在相邻两个时点之间的变动为（）。 A、连续的 B、间断的 C、稳定的 D、均匀的 7、序时平均数与一般平均数的共同点是（）。 A、两者均是反映同一总体的一般水平 B、都是反映现象的一般水平 C、两者均可消除现象波动的影响 D、共同反映同质总体在不同时间上的一般水平 8、时间序列最基本的速度指标是（）。 A、发展速度 B、平均发展速度 C、增长速度 D、平均增长速度 9、根据采用的对比基期不同，发展速度有（）。 A、环比发展速度与定基发展速度 B、环比发展速度与累积发展速度 C、逐期发展速度与累积发展速度 D、累积发展速度与定基发展速度 10、如果时间序列逐期增长量大体相等，则宜配合（）。 A、直线模型 B、抛物线模型 C、曲线模型 D、指数曲线模型 A、100%124%104% 108.6% 3 ++ = B、 506278 108.6% 506278 100%124%104% ++ = ++ 第五讲 等差等比 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．在等差数列 } {n a 中， 8 36a a a +=，则 = 9S （ A ） A.0 B.1 C.1- D. -1或1 2.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为q ，则2q 的值为（ D ） A.2 B. 21 5- C. 21 5+ D. 215± 3.已知数列{ n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ B ） A ．9 B ．8 C. 7 D ．6 4.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且745 3n n A n B n += +，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是（ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5.设等差数列 {}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ B ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 6. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为1 3． ★★★高考要考什么 等差数列的证明方法：1. 定义法：2．等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a 等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+=------该公式整理后是关于n 的一次函数 等差数列的前n 项和 1． 2)(1n n a a n S += 2. d n n na S n 2) 1(1-+= 3.Bn An S n +=2 等差中项: 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即： 2b a A += 或 b a A +=2 等差数列的性质:1．等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项， m a 是等差 数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+= 对于等差数列 {} n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。也就是： 派斯第五章（时间数列）练习题 一、判断题 1、在各种动态数列中，指标值的大小都受到指标所反映的时期长短的制约。（） 2、发展水平就是动态数列中的每一项具体指标数值，它只能表现为绝对数。（） 3、若逐期增长量每年相等，则其各年的环比发展速度是年年下降的。（） 4、平均增长速度不是根据各个增长速度直接来求得，而是根据平均发展速度计算的。（） 5、对间隔不等的时点数列计算平均发展水平应该采用首末折半法。（） 6、环比增长速度可以表示为逐期增长量与上期水平之比。（） 7、平均增长量是时间数列中累计增长量的序时平均数。（） 8、增长速度总是大于0。（） 9、某厂5年的销售收入为200，220，250，300，320，平均增长量为24。 二、单项选择题 1、某地区2000年工业增加值850亿元，若按每年平均增长6%的速度发展，2010年该 地区工业增加值将达到。（） A．90100亿元B．1522.22亿元C．5222.22亿元D．9010亿元 2、序时平均数与一般平均数的共同点是（）。 A．两者均是反映同一总体的一般水平 B．都是反映现象的一般水平 C．两者均可消除现象波动的影响 D．共同反映同质总体在不同时间上的一般水平 3、对间隔相等的时点数列计算序时平均数采用（）。 A．几何平均法 B．加权算术平均法C．简单算术平均法D．首末折半法4、定基发展速度和环比发展速度的关系是（）。 A．两个相邻时期的定基发展速度之商等于相应的环比发展速度 B．两个相邻时期的定基发展速度之差等于相应的环比发展速度 C．两个相邻时期的定基发展速度之和等于相应的环比发展速度 D．两个相邻时期的定基发展速度之积等于相应的环比发展速度 5、下列数列中哪一个属于动态数列（）。 A．学生按学习成绩分组形成的数列B．工业企业按地区分组形成的数列 C．职工按工资水平高低排列形成的数列D．出口额按时间先后顺序排列形成的数列 §6.2等差数列及其前n项和 最新考纲考情考向分析 1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关 系，并能用等差数列的有关知识解决相应的 问题． 4.了解等差数列与一次函数的关系. 主要考查等差数列的基本运算、基本性质， 等差数列的证明也是考查的热点．本节内容 在高考中既可以以选择、填空的形式进行考 查，也可以以解答题的形式进行考查．解答 题往往与数列的计算、证明、等比数列、数 列求和、不等式等问题综合考查．难度为中 低档. 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． (7)若{a n }是等差数列，则???? ??S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差为12d . 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1) 2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 概念方法微思考 第五讲 充要条件概念 【知识概要】 【例题及习题】 充要条件是高中数学的重要概念之一，数学思维的推证，总要从它开始.(反思：充要条件是逻辑用语，如何理解条件与 结论的相对性，教材安排的意图是什么) 一、 判断条件P 与结论q 的关系 1. 1应用充要条件的定义，直接判断 例1 “ a=1”是“函数y=cos 2ax-sin 2ax 的最小正周期为π”( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既非充分条件也非必要条件 例 2 函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1，2]上存在反函数的充分必要条件是（ ） A a ∈(-∞,1] B a ∈[2,+)∞ C [1,2] D a ∈(-∞,1]?[2,+)∞ 例3 0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 例 4 一元二次方程ax 2+2x+1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ） A a<0 B a>0 C a<-1 D a>1 例 5函数f(x)=ax 3+x+1有极值的充要条件为( ) A a>0 B a ≥0 C a<0 D a ≤0 例 6平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ; 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件) 例 7在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种.已知,αβ是两个相交平面，空间两条直线l 1、l 2在α上的射影是直线 s 1,s 2,l 1,l 2在β上的射影是t 1,t 2.用s 1与s 2,t 1与t 2的位置关系，写出一 个总能确定l 1与l 2是异面直线的充分条件：_______ 第六章《数列》单元检测题 一、选择题（3×10=30） 1、数列1214 ,,,39981--…的一个通项公式是（ ）。 A 、3n n - B 、(1)3n n n - C 、1(1)3n n - D 、以上均不对 2、若数列{a n }的通项公式是a n =2(n ＋1)＋3，则此数列是（ ）。 A 、是公差为2的等差数列 B 、是公差为3的等差数列 C 、 是公差为5的等差数列 D 、不是等差数列 3、-2与-16的等差中项是（ ）。 A 、-6 B 、-7 C 、-8 D 、-9 4、等差数列{a n }中，若a 2+a 4+a 9+a 11=32， 则a 6+a 7=（ ）。 A 、9 B 、12 C 、15 D 、16 5、已知数列{}n a 的首项为1，以后各项 由公式()122n n a a n -=+≥给出，则这个 数列的一个通项公式是（ ）。 A 、32n a n =- B 、21n a n =- C 、 1n a n =+ D 、43n a n =- 6、等差数列0， ，－7，…的第n+1项是（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、 7、在数列 中， ， 则 的值为：（ ）。 A 、49 B 、50 C 、51 D 、52 8、在首项为81，公差为－7的等差数列 中，最接近0的是第（ ）。 A 、11项 B 、12项 C 、13项 D 、14项 9.现有200根相同的钢管，把它们堆放 成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能 少，那剩余钢管的根数为( ) A 、9 B 、10 C 、19 D 、29 10．在等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的第（ ）项。 A 、60 B 、61 C 、 62 D 、63 二、填空（3×5=15） 11、已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，且13a =，则它的通项公式为＿＿＿＿． 12、公差不为0的等差数列，第二、三、 六项构成等比数列，则公比 为 。 13、三个不同的实数a 、b 、c 成等差数 列，a 、c 、d 成等比数列，则 a b = 。 14、在各项均为正数的等比数列{}n a 中, 若569,a a =则 31323334310 log log log log ...log a a a a a +++++= 。 15、已知数列{}n a 的前n 项和 2(1)n S n n =+，则5a 的值为 。 三、解答题（6+18+6+12+5+8=55分） 16、已知数列{}n a 的前n 项和2 1n S n =+，求数列的通项公式。 17、（1）等差数列{}n a 中，446,48a S ==，求1a 。 BST 金牌数学高二（必修五）专题系列之 数列（五） 真题汇编 一、等差数列 1．通项公式： . 2．等差中项： . 3．求和公式： . 4．性 质： . 二、等比数列 1.通项公式： . 2.等比中项： . 3.求和公式： . 4.性 质： . 三、等差等比通用公式： . 题型一 选择题 例1：【全国新课标Ⅰ理】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则=5a （ ） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 变式训练 1.【北京文、理】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（ ） A 32 B 322 C ．1252 D ．1272 2.【浙江】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（ ） A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <> D ．1324,a a a a >> 3.【天津一模】在等比数列{a n }中，，则a 3=（ ） A ． ±9 B ． 9 C ． ±3 D ． 3 题型二 填空题 例2：【全国新课标Ⅰ理】记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+，则6S =____________． 变式训练 1．【北京理】设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为____________． 2.【江苏】已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成 一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为____________． 3.【上海】记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=?，，则S 7=____________． 题型二 解答题 例3：【全国新课标Ⅰ文】已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ． （1）求123b b b ， ，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 职高数学第六章-数列习题及答案 练习6.1.1 填空题： (1)按照一定的次序排成的一列数叫做 ．数列中的每一个数叫做数列的 ． (2)只有有限项的数列叫做 ，有无限多项的数列叫做 ． （3）设数列{}n a 为“-5,-3,-1,1,3, 5，…” ，指出其中3a 、6a 各是什么数？ 答案：（1）数列 项 （2） 有穷数列 无穷数列 （3） -1 5 练习6.1.2 1.填空题： （1）一个数列的第n 项n a ，如果能够用关于项数n i 的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 . （2）已知数列的通项公式为)2(-=n n a n ，则 a 3= (3)已知数列通项公式为)2(-=n n a n ，则 a 4+a 6= 2.选择题： （1）数列1,4,9,16,25.。。。。的第7项是（ ） A.49 B.94 C.54 D.63 (2)下列通项公式中不是数列3,5,9.。。。的通项公式是（ ） A.a n =2n +1 B.a n =n 2-n+3 C .a n =2n+1 D.73 2553223+-+-=n n n a n 答案： 1.（1）通项公式 （2）3 （3） 32 2. （1） A （2） C 练习6.2.1 1. 填空题： 如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做 ．这个常数叫做等差数列的 ，一般用字母 表示． 2. 已知等差数列的首项为8，公差为3，试写出这个数列的第2项到第5项 3. 写出等差数列2,4,6,8,…的第10项. 答案：1.等差数列 公差 d 2. 11 14 17 20 3 20 练习6.2.2 1.求等差数列-3,1,5…的通项公式与第15项． 2.在等差数列{}n a 中，5,11115==a a ，求1a 与公差d . 3.在等差数列{}n a 中，6253,6,7a a a a 求+== 答案： 1 74-=n a n 5315=a 2 1a =15 d=-1 3 6a =13 练习6.2.3 1. 等差数列{}n a 的前n 项和公式 或 第七章时间数列分析 一、填空题 1、时间指标数值 2、逐期增长量累计增长量 3、增长水平（或增长量）发展速度 4、本期水平去年同期水平 5、年距发展速度 1（或100%） 6、几何平均法方程法 7、同季（月）平均法趋势与季节模型法 8、平均季节比重法平均季节比率法 9、报告期水平基期水平 10、序时平均数（或动态平均数）平均数 11、和差 12、季节变动长期趋势 13、逐期增长量环比增长速度 14、长明显 1-5 A C C A D 6-10 A B A D B 三、多选题 1、CDE 2、ABDE 3、ABCE 4、ACDE 5、BDE 6、BD 7、ABCD 8、ACE 9、AE 10、ACE 四、简答题 1、序时平均数与一般平均数的异同。 答：（1）相同之处。二者都是将具体数值抽象化，用一个代表性的数指来代表总体的一般水平。 （2）不同之处。①计算的依据不同。一般平均数是根据变量数列计算的，而序时平均数则是 根据时间数列计算的；②对比的指标不同。一般平均数是总体标志总量与总体单位总量对比的结果， 而序时平均数则是时间数列各期发展水平的总和与时期项数对比的结果；③说明的问题不同。一般 平均数说明现象在同一时间、不同空间上所达到的一般水平，而序时平均数则说明现象在同一空间、 不同时间上所达到的一般水平。 2、时期数列与时点数列的区别。 答：①时期数列中的指标值为时期数，时点数列中的指标值为时点数；②时期数列中的指标值 具有可加性，而时点数列中的指标值则不具有可加性；③时期数列中指标值的大小与时间间隔的长 短有直接关系，而时点数列中指标值的大小与时间间隔的长短则没有直接关系；④时期数列中的指 等差数列的前n 项和 教学重点： 掌握等差数列前n 项和通项公式及性质，数列最值的求解，与函数的关系 教学难点： 数列最值的求解及与函数的关系 1. 数列的前n 项和 一般地，我们称312...n a a a a ++++为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示；记法： 123...n n S a a a a =++++ 显然，当2n ≥时，有1n n n a S S -=- 所以n a 与n S 的关系为 n a = ①1S ()1n = ②()12n n S S n --≥ 2. 等差数列的前n 项和公式()() 11122 n n n a a n n S na d +-==+ 3. 等差数列前n 项和公式性质 （1） 等差数列中，依次()2,k k k N +≥∈项之和仍然是等差数列，即 23243,,,,...k k k k k k k S S S S S S S --- 成等差数列，且公差为2k d （2） n S n ?? ? ??? 是等差数列 （3） 等差数列 {}n a 中，若(),n m a m a n m n ==≠，则0m n a +=；若 (),,n m S m S n m n ==≠ 则()m n S m n +=-+ （4） 若{}n a 和{}n b 均为等差数列，前n 项和分别是n S 和n T ，则有 21 21 n n n n a S b T --= （5） 项数为2n 的等差数列{}n a ，有()1,n n n S n a a +=+有S 偶 -S 奇 =nd ， S S 奇 /偶 = 1 n n a a + 4. 等差数列前n 项和公式与函数的关系 等差数列前n 项和公式()112n n n S na d -=+ 可以写成2122n d d S n a n ? ?=+- ?? ? 若令 1,,22 d d A a B =-= 类型一： 数列及等差数列的求和公式 例1.已知数列{}n a 的前n 项和2 2,n S n n =+ 求{} n a 解析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+当1n =时，上式成立所以21n a n =+ 答案：21n a n =+ 练习1. 已知数列{}n a 的前n 项和2 2,n S n n =+求2a 答案：25a = 练习2：已知数列{}n a 的前n 项和2 2,n S n n =+求10a 答案：1021a = 例2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，131 ,,15,22 m a d S = =-=-求m 及m a 解析：()131..15222m m m S m -?? =+ -=- ??? ，整理得27600,m m --= 解得12m =或5m =-（舍去）()12311211522m a a ?? ∴== +-?-=- ??? 答案：1212,4m a ==- （浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第六章数列与数学归纳法 6.2 等差数列及其前n项和教师用书 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n. (3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}也是等差数列． (5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (6)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…构成等差数列． 5．等差数列的前n项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n 2 或S n ＝na 1＋ n n －1 2 d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋? ?? ??a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2 ＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，若a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 【知识拓展】 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)?{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N * )?{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)?{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2 ＋Bn (A ，B 为常数)?{a n }是等差数列． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ ) (3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ ) 1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6 答案 B 解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，故选B. 2．(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案 C 2015级2015-2016学年度第二学期数学题库 高职数学第六章数列题库题库 一、选择题 01-06-02 下列数列中不是等比数列的是…………（ ） A. 2，2，2，2； B. -1，51，-251，125 1 C. 3，-3，3，-3，3，…… D. 17，14，11，8，…… 02-06-02 等比数列 38，4，6，9，…的通项公式是（ ） A.n n a ?? ? ???=23916 B. ??? ???=23916n a C. n n a ??? ???=32916 D. 123916-?? ? ???=n n a 03-06-02已知数列｛a n ｝为等比数列，48,652==a a ，1a 的值是……………………………………………（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 04-06-02 等比数列1，－31，91，－27 1，…的前5项的和是…………………………………………………（ ） A. 8164 B. 8161- C.8161 D. 81 11 05-06-02 已知－2，x ，－8成等比数列，则x 的值是（ ） A.4 B.－4 C. －4或4 D.8 06-06-02 等比数列 ,2,1,2 1,41的前8项的和是（ ） A. 8126- B. 4125- C.4126- D. 4128- 07-06-02 等比数列12，18，27，（ ）括号内应是（ ） A.32 B.36 C.37.5 D.40.5 08-06-02 已知数列()n a 是等比数列，若1a =－2 3，4a =96，则q 的值是………………………………（ ）A.4 B.－4 C.5 D.-8 09-06-02 选择合适的数填入括号内使数列中各数都具有相同的规律……………………………………（ ） 1/9，2/27，1/27，( ) A.4/27 B.7/9 C.5/18 D.4/243 10-06-02 选择合适的数填入括号内使数列中各数都具有相同的规律……………………………………（ ） 1，1，2，-1，5，6，15，( ) A.21 B.24 C.31 D.40第五讲 数列的极限与无穷等比数列各项的和
统计学基础_第五章_动态数列分析
第六章 6.3数列
数学文-第五讲列综合题37
第七章时间序列分析
第六章数列(A)
6、第六讲 等差数列的基本认识
《统计学》-第五章-时间数列
第六章_时间数列练习题及解答
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