宿迁外事学校
中专数学（第二册）第6章教案
§6.1 数列
复习引入：
新授：
1. 数列的定义
我们把按一定次序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做这个数列的项．
数列的一般形式可以写成
a1, a2, a3, …,a n,….
简记作{a n}．其中a1叫做数列的第1项(或首项)，a2叫做数列的第2项, …，a n叫做数列的第n 项(n是正整数)．
项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
2. 数列的表示形式
数列除了表示成上述形式以外，根据实际情况需要，只要不改变有序这个特，也能以其他形式表示．例如体温记录数列(1)，表示成下面的表可能更合适：
当一个有穷数列，随着项号变化，其对应的项的变化没有规律，且数据又要求比较准确时，通常会以列表方式表示．列表表示的一般形式是
在医疗单位，表示病员体温记录的数列(1)，更常用的是如下图象表示形式，：
图1-3
图象表示形式以直观、变化趋势明显为特色．当数列项数不太多而又需要明显地表明其变化趋势时(例如产值变化、利润变化、人口增长率变化等等)，把数列用图象形式表示出来，无疑是上策．
3. 数列的通项
对于习惯于以式作为研究对象的你来讲，最乐意见到的，是数列{a n}的第n项a n与n(n是正整数)之间的关系可以用一个公式a n=f(n),n=1,2,3, …来表示.公式就叫做这个数列的通项公式．
数列的通项公式表示了数列中的任何一项，为了求得第n 项，只要把n 代入到公式中就行了，而且从通项公式还可以进一步探讨数列的性质。
例1 根据数列{a n }, {b n }的通项公式，写出它的前5项：
(1)a n =1+n n ； (2)b n =n n
2
1)(-．
例2 写出一个数列的通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)11, 21, 31, 4
1
, …； (2)2, -4, 6, -8, …．
课内练习2
1. 怎样表示下面的数列比较合适？ (1)全年按月顺序排列的月降水量；
(2)打靶10次，按打靶顺序排列的中靶环数； (3)按由小到大顺序排列的自然数负倒数数列； (4)一年中12个月的营业额． 2. 已知数列的通项，求其前4项：
(1)a n =10n ；(2)b n =n n 1
1+-)(；(3)c n =31n
；(4)d n =n (n +2)．
3. 已知数列的前4项，试求出其通项公式：
(1)2, -4, 6, -8, 10, …； (2)1, -1, 1, -1, …；
(3)21, 21, 21, 21,…； (4)21, 45, 89, 16
13
,…．
4. 已知数列{a n }的通项公式a n =1
2+n n ，8.1是这个数列中的项吗？如果是，
是第几项？
小结 作业
§6.2 等差数列
复习引入：
新授： 1.
等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．公差通常用字母d 来表示．用符
号语言来叙述，则是：如果数列{a n }满足a n ＋1-a n =d , (n 1，且n ∈N +
,d 是常数)，那么数列{a n }叫做等差数列，常数d 叫做等差数列的公差．
例1 下面的数列中，哪些是等差数列？为什么？如果是等差数列，求出公差d ：
(1)-0.70，-0.71，-0.72，-0.74，-0.76，…；(2)-9，-9，-9，-9，-9，…； (3)-1，0，1，0，-1，0， 1，…； (4)1，4，7，10，13，….
例2 下列数列都是等差数列，试求出其中的未知项： (1)3，a ，5； (2)3，b ，c ，-9．
课内练习1
1. 下面的数列中，哪些是等差数列？为什么？如果是等差数列，求出公差d ： (1)-1,-1,-1,-1,…； (2)1.1,1.11,1.111,1.1111,…；
(3)-321,-1,121,4,62
1
,…； (4)1, 0, 1, 0,1,…；
(5)1,
21
, 31, 4
1, …. 2. 已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：
(1)( ), 5, 10； (2)31, ( ), ( ), 1． 3. 已知一个无穷等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．
(1)将数列中的前m 项去掉，余下的项按原来顺序组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
(2)取出数列中的所有奇数项，按原来顺序组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
(3)取出数列中所有项数为7的倍数的各项，按原来顺序组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差各是多少？
2. 等差数列的通项公式
设{a n }是等差数列，首项是a 1，公差是d ．根据等差数列的定义，从第2项起，，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，于是有
a 2-a 1=d ，a 2=a 1+d ；a 3=a 2+d =(a 1+d )+d =a 1+2d ；a 4=a 3+d =(a 1+2d )+d =a 1+3d ；… 依次类推，得到
a n =a 1+(n -1)d , n =1,2,3, …．
例3(1)求等差数列8, 5, 2,…的第20项；
(2)在等差数列{a n }中，已知a 5=10, a 12=31，求首项a 1与公差d ．
例4 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次.奥运会如因故不能
举行，届数照算．
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)2008年北京奥运会是第几届？
(3)2050年举行奥运会吗？
例5 某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为15cm
和25cm ，求中间四个滑轮的直径．
3. 等差中项
如果a ,A ,b 这三个数成等差数列，即A -a =b -A ，则A 必定是a ,b 的算术平均值
A =2
b
a +.
从数列的角度来看，A 是成等差三个数的中间一项，故把A 叫做a 与b 的等差中项．反之，
若A 由A =2b
a +确定，则 A -a =
b -A =2a b -，即a ,A ,b 成等差数列．
在一个等差数列{a n }中，相邻三项总是等差的，因此从第2项起，每一项(有穷等差数列的
末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即
a n =2
1
1+-+n n a a ,(n ≥2)．
例6 已知两个数a =205, b =315，求它们的的等差中项．
课内练习2
1. 求等差数列3, 7, 11,…的第4项与第10项．
2. 等差数列的通项公式为 a n =-2n +7，试求其首项和公差．
3. 在等差数列{a n }中，已知a 3=10, a 9=28，求a 12．
4. 梯子的最高一级宽33cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列．计算中间各级的宽度.
5. -401是不是等差数列-5, -9, -13, … 的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
4. 等差数列的前n 项和
现设{a n }为一等差数列，欲求其前n 项的和S n =a 1+a 2+…+a n ．以 a 2=a 1+d , a 3=a 1+2d , …, a n =a 1+(n -1)d
代入，得
S n =a 1+(a 1+d )+(a 1+2d )+ …+[a 1+(n -1)d ]=na 1+[(1+2+3+…+(n -1)]d ． 应用(11-2-3)，
S n =na 1+2)
1(-n n d ；
因为 na 1+2)1(-n n d = n 2])1([11d n a a -++=2
)(1n
a a n +， 故 S n =
2
)(1n
a a n +． 即等差数列的前n 项和等于首末项的和与项数乘积的一半．
即为等差数列前n 项求和公式．两个公式虽说可以互化，但在不同场合还是应该有所选择．
例7 (1)求正奇数前100项之和；
(2)求第101个正奇数到第150个正奇数之和；
(3)等差数列的通项公式为a n =100-3n,求前65项之和； (4)在等差数列{a n }中，已知a 1=3, d =
2
1
，求S 10．
例8 某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m)分别是：7500,8000,8500,9000,9500,
10000,10500，他在7天内共跑了多少米？
例9 在例8中那位长跑运动员的教练，规定第一期训练计划为跑完150000m ．问第一期需要
多少天？ 例10 某
人以分期付款方式购买了一套住房，售价50万元．首期付20万元，余款按月归还一次，在20年内还清，欠款以利率0.5%按月计算利息，并平均加到每月还款额上．问此人每月要付多少购房款？最终实际为住房付了多少款？
例11 设等差数列{a n }的公差d =21, a n =2
3
, 前n 项之和S n =－215．求首项a 1及n ．
课内练习：
1在等差数列{a n }中:
(1)已知a n =2-0.2n , 求S 50； (2)已知a n =
3
n
, 求第10项至第50项的和S ； (3)已知a 1=100, d =-2, 求S 50； (4)a 1=14.5, d =0.7, 求S 32．
2. 设{a n }是等差数列，a 1=
65, n =34, S n =-1583
2
，求a n 和公差d ．
3. 在一个成等腰梯形屋面上铺瓦，最上面一层铺了21块，往下每一层多铺2块，共铺了19层，问共铺了多少块瓦片？
4. 一个剧场设置了20排座位，第一排38个座位，往后每一排都比前一排多3个座位.这个剧场一共设置了多少个座位？
5. 已知一个等差数列{b n }的首项b 1=-35，公差d =7，这个数列的前多少项和恰好为0？
小结： 作业：
§6.3 等比数列
复习引入：
新授：
1. 等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q , (q ≠0)表示．
用数学符号语言来说，如果数列{a n }满足
n
n a 1
+=q , (n ≥1,且n ∈N +, q ≠0, q 是常数)，那么数列｛a n ｝叫做等比数列，常数q 叫做等比数列的公比．
例1 下面是数列{a n }的前4项，据此判断哪些是等比数列？为什么？如果是等比数列，求出
公比q ：
(1)-1, -4, -16, -64, …； (2)2, 2, 2, 2, …；
(3)1, 21, 41, 61, 81
, …； (4)0, 1, 2, 22, 23, 24, … ．
例2 求出下列等比数列中的未知项：
(1)2, a , 8,(a >0)； (2)4, b , c , 2
1
．
课内练习
1. 下面是数列{a n }的前4项，由此判断哪些是等比数列？为什么？如果是等比数列，求出公比q ：
(1) 0, 0, 0, 0,…； (2)1.21, 1.331, 1.4641, 1.51051, …；
(3)1001,0.1,10,100, …． 2. 已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数： (1)( ), 3, 27；(2)16, ( ), ( ), 2． 2.
等比数列的通项公式
等差数列有通项公式，等比数列有没有通项公式？
设{a n }是一个公比为q 的等比数列．根据等比数列的定义，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于公比q ，所以每一项都等于它的前一项乘以公比q ，于是有 a 2=a 1q ； a 3=a 2q =(a 1q )q =a 1q 2； a 4=a 3q =(a 1q 2)q =a 1q 3；…．
依次类推可得 a n =a 1q n -1, n =1,2,3, …．(a 1≠0, q ≠0) 即为所求的通项公式,其中首项为a 1,公比为q ．
例3 已知等比数列{a n }2, 6, 18, 54, …，求其公比q , a 5和a n ．
例4 在等比数列{b n }中， (1)已知b 1=3, q =2，求b 6；；(2)已知b 3=20, b 6=160，求b n ．
例4 培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒
种子都可以得到下一代的120种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒？(保留两个有效数字)？
3. 等比中项
与等差中项类似，在等比问题中也有等比中项．若a ,G ,b 三个数成等比，则把中间那个项G 叫做a ,b 的等比中项．
任何两个数均存在他们的等差中项，且等差中项是唯一的．是否任何两个数都存在等比中项？两个数的等比中项也唯一吗？从等比中项定义可知，两个数a ,b 的等比中项G 应满足
G b a G =，G 2
=ab ．
这表明当且仅当两个同号的数a ,b 才有等比中项；当a ,b 同号时，其等比中项为 G =±ab ．
一个等比数列，从第2项起每一项(有穷等比数列的末首项除外)，是它的前一项与后一项的等比中项，即
2
n a =a n -1?a n +1， a n =11+-n n a a 或 a n =-11+-n n a a ．
例5 求5与125的正等比中项．
课内练习2
1. 设0.3, 0.09, 0.027, ...为一等比数列{b n }的前3项，求其公比q 及第5项和第n 项．
2. 已知等比数列的通项公式a n =
4
1
?10n ，求其首项与公比． 3. 在等比数列{a n }中，a 3=2, a 6=18，求q 与a 10． 4. 求3与27的等比中项．
5. 细胞以分裂方式繁殖，一个细胞成熟后分裂成2个．设某种细胞最初有10个，繁殖周期是1小时，且不考虑细胞的死亡，那么在一昼夜之后将有多少个细胞(保留2位有效数字)？
6. .某林场计划第一年造林15公顷，以后每年比前一年多造林20％，第5年应造林多少公顷(结果保留到个位)？
7. 在9与243中间插入两个数，使它们与这两个数成等比数列．
5. 等比数列的前n 项和
对一般的等比数列{a n }，若要求其前n 项的和S n ，
S n =a 1(1+q +q 2+...+q n -1)，qS n = a 1(q +q 2+q 3+...+q n -1+q n )，
两式相加后即可解出 S n =q a n --111)
(．
轻而易举地得到了求等比数列前n 项和的公式．因为a 1q n =a n q ，公式也能变形为
S n =q
a a n --11．
例6 在等比数列{a n }中，
(1) 已知a 1=-4, q =
2
1
，求前10项的和S 10；(2)已知a 1=1, a k =243, q =3，求前k 项的和S k ．
例6 某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10％，那么从第
一年起，约几年内可使总销售量达到30000台(保留到个位)？
例7 已知等比数列{a n }中的a 2=5, a 5=40，求其前7项之和S 7．
课内练习
1. 在等比数列{c n }中：
(1)c 4=27, q =-3，求c 7； (2)若c 3=-1, c 6=-8，求公比q 及c 10；
(3)若c 7=-125
1
, c 2=25，求公比q 及c 1．
2. 已知{x n }为等比数列，x 7=2, x 17=2048，求x 12．
3. 求3与27的等比中项．
4. 求等比数列1, -21, 41, -8
1
, ...的前8项之和．
小结： 作业：
§6.4 数列的实际应用
复习引入：
新授：
例1某企业要在今年起的今后10年内，把产值翻一番，那么平均每年增值率应为
多少？
解 设今年产值为a ，平均每年增值x %=100
x
．则各年的产值依次为
a , a ?(1+
100x ), a (1+100x )2, a (1+100x )3, ..., a (1+100
x )10
． 据企业要求x 应满足
a (1+100x )10=2a ，(1+100
x )10
=2，x =100(102-1)≈7.18．
所以，为了使企业在今后10年内把产值翻一番，每年平均增值应不小于7.18%． 例2 某商场第1年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加
10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台(保留到个位)？
解 根据题意，每年销售量从上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每
年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1=5000, q =1+10%=1.1；设销售量达30000台须n 年，则
30000=1
111115000.).(--?n ，即1.1n =1.6，n =116
1.ln .ln ≈5(年)．
所以约5年内可以使总销售量达到30000台．
例3 从一个边长为a 的原始正方形开始，每次把它分成四个小正方形、取其中
一个(见图1)．证明所有这些正方形面积的和S 等于原始正方形面积的三分之四．
证明： 原始正方形面积A 1=a 2；
第一次剖分后正方形边长为2
a ，面积A 2=41
a 2；
第二次剖分后正方形边长为
4a
，面积A 3=161a 2； 第三次剖分后正方形边长为
8
a ，面积A 4=641a 2；…
所以正方形系列的面积{A n }是一个公比为4
1
的无穷递缩 等比数列．
小结： 作业：
图1
课 题： 3.1 等差数列（一） 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程： 一、复习引入： 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子 1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个他 决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，…
（问：多少天后他的单词量达到3000？） 2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不 再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，… （问：多少天后她那3000个单词全部忘光？） 从上面两例中，我们分别得到两个数列 ① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得{}n a 的首项 是1a ，公差是d ，则据其定义可得： d a a =-12即：d a a +=12
等差数列教学设计 一．设计意图 数学要跟上时代发展的步伐，满足社会发展的需要，就应该从传统的教学模式转变为以学生为主体，以问题为中心，以探索为主线，以培养学生思维能力和创新意识为核心的素质教育的实践模式。课堂上采用学生“自主、合作、探索”的教学方式，教师是学生学习的组织者、合作者，以背景问题激发学生的学习兴趣及好奇心。以探索问题引导学生对数学问题进行自主观察、比较、分析、综合、抽象和概括。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的教学理念。 本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，探究教学，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新，从而体会学习数学的更多的乐趣！ 二．教材分析 本节内容是人教A版高中数学必修五第二章第二节——等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。 本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。 三．学情分析 学生已经对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发
习题课(2) 课时目标 1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式； 2．掌握数列求和的几种基本方法． 1．等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1) 2d . 2．等比数列前n 项和公式： (1)当q ＝1时，S n ＝na 1； (2)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q . 3．数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝? ???? S 1 n ＝1 S n －S n －1 n ≥2. 4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式： (1)1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－1 2n ＋1)； (3) 1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . 一、选择题 1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n (n ＋1)，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D.1 30 答案 B 解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1， ∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－1 6) ＝1－16＝5 6 .
2．数列{a n }的通项公式a n ＝ 1n ＋n ＋1 ，若前n 项的和为10，则项数为( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121 答案 C 解析 ∵a n ＝ 1n ＋ n ＋1 ＝ n ＋1－n ， ∴S n ＝ n ＋1－1＝10，∴n ＝120. 3．数列112，214，318，41 16，…的前n 项和为( ) A.12(n 2＋n ＋2)－12n B.12n (n ＋1)＋1－1 2n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A 解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n ) ＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋1 2n ) ＝n (n ＋1)2＋12(1－12n )1－1 2 ＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12 n . 4．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n 所确定的数列{b n }的前n 项之和是( ) A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.1 2n (n ＋7) 答案 C 解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(2n ＋4)＝n 2＋2n . ∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5) 2 . 5．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n － 1n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 答案 B
等差数列求和 教学目标 1.掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题. （1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式； （2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值； （3）会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值. 2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法. 3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题. 教学建议 （1）知识结构 本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题． （2）重点、难点分析 教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路． 推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重
要．等差数列前项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想． 高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上． （3）教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用. ②前项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活. ③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法. ④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题. ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式. 等差数列的前项和公式教学设计示例 教学目标 1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题. 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想. 教学重点，难点 教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路. 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 讲授法.
2019-2020年高中数学 第二章数列 §2.4等比数列第三课时教案 新人教A 版必修5 授课类型：新授课 （第２课时） ●教学目标 知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比中项的理解与应用 ●教学难点 灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：=q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: ， )0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛｝成等比数列=q （,q ≠0） “≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 Ⅱ.讲授新课 1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±（a ,b 同号） 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G G b a G ±=?=?=2， 反之，若G =ab ,则，即a ,G ,b 成等比数列。∴a ,G ,b 成等比数列G =ab （a ·b ≠0） [范例讲解] 课本P58例4 证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n 项与第n+1项分别为： n n n n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---??????.) ()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==??-++ 它是一个与n 无关的常数，所以是一个以q 1q 2为公比的等比数列 拓展探究： 对于例4中的等比数列{}与{}，数列{}也一定是等比数列吗？
数列的概念与简单表示法 【学习目标】 1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题. 2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系. 3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项. 4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系. 【学习策略】 数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决. 【要点梳理】 要点一、数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释： ⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项. 要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号. 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项. 要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和 数列的通项公式 如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
等差数列数学教案精选案例大全 等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。下面就是给大家带来的高中数学优质课程《等差数列》教案，希望能帮助到大家! 数学《等差数列》教案一 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊到
一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差 数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引
导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法 引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】 一：创设情境，引入新课
2.2等差数列教学设计(第一课时)
2.2.1《等差数列》教学设计 教材分析1.教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。主要内容是等差数列定义和等差数列的通项公式。 2.地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法． 教学目标知识目标 1.理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数 列是否为等差数列； 2.掌握等差数列的通项公式. 能力目标 1.通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析 探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力; 2.培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归 纳思想和化归思想并加深认识. 情感目标 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般 数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观 点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣． 教学重难点重点 1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式的推导过程及应用． 难点 理解等差数列“等差”的特点及 通项公式的含义. 教学设想 本课教学，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生理解概念，进一步引导学生通过概念来判断一个数列是否是等差数列。整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主，
真正体现课堂教学中学生的主体作用。 教学过程 教学环节 教师活动 学生 活动 设计意图 环节一 环节1 创设情境，提出问题 在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星： （1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ） 你能预测出下一次的大致时间吗？ 主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？ 天文学家陈丹说: 2062年左右。 学生活动 通过情景 引出数列，观察发现 其规律，并通过规律 填写内容。 情景引入 提高学生 的学习兴 趣， 调动 学生的积极性
数列综合 编稿： 审稿： 【学习目标】 1．系统掌握数列的有关概念和公式； 2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题； 3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ； 4．掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、数列的通项公式 数列的通项公式
一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。 要点诠释： ①不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式； ②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：数列―1，1，―1，1，… 的通项公式可以写成(1)n n a =-，也可以写成cos n a n π=； ③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。 通项n a 与前n 项和n S 的关系： 任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =++ +； 1 1 (1)(2) n n n S n a S S n -=??=? -≥?? 要点诠释： 由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =， （2）求出当n≥2时的n a ， （3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。 数列的递推式： 如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。 要点诠释： 利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二、等差数列 判定一个数列为等差数列的常用方法 ①定义法：1n n a a d +-=（常数）?{}n a 是等差数列；
等 差 数 列 教学目的： 1.要求学生掌握等差数列的概念 2.等差数列的通项公式，并能用来解决有关问题。 教学重点： 1.要证明数列{a n }为等差数列， 2.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d (n ≥1,且n ∈N *). 教学难点： 等差数列“等差”的特点。公差是每一项（从第2项起）与它的前一项的关绝对不能 把被减数与减数弄颠倒。 教学过程： 一、引导观察数列： （1）1，3，5，7，9，11， …… （2）3，6，9，12，15，18，…… （3）1，1，1，1，1，1，1，…… （4）3，0，－3，－6，－9，－12，…… 特点：从第二项起，每一项与它的前一项的差是常数 — “等差” 二、得出等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 注意：从第二项起．．．．．，后一项减去前一项的差等于同一个常数．．．．． 。 定义另叙述：在数列{n a }中，1+n a －n a =d （n ∈+N ), d 为常数， 则{a n }是等差数列，常数d 称为等差数列的公差。 评注： 1、一个数列，不从第2项起，而是从第3 项起或第4项起，每一项与它的前一项的 差是同一个常数，此数列不是等差数列. 如：（1）1，3，4，5，6，……（2）－1，0，12，14，16，18，20，…… 2、公差d ∈R ，当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时， 数列为递减数列。 三、等差数列的通项公式：a n =a 1＋（n －1）d 问题1：已知等差数列｛a n ｝的首项为a 1，公差为d ，求 d a d d a d a a d a d d a d a a d a a 3221134112312+=++=+=+=++=+=+=)()( …… 由此归纳为 d n a a n )(11-+= 当1=n 时 11a a = （成立） d n a a n )(11-+= 等差数列的通项公式 四、应用 例1 （1）求等差数列8，5，2，……的第20项 （2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，……的项， 如果是，是第几项？ 解：（1）由a 1=8,d=5－8=－3,n=20,得: a 20=8＋（20－1）×（－3）=－49 （2）由a 1=－5,d=－9－（－5）=－4,得: a n =－5＋（n －1）×（－4）即=－4n －1 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得 若 －401=－4 n －1成立 解这个关于n 的方程，得n=100
课题: §2.2等差数列 授课类型：新授课 （第1课时） ●三维目标 知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项 过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。 情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。 ●教学重点 等差数列的概念，等差数列的通项公式。 ●教学难点 等差数列的性质 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。 课本P41页的4个例子： ①0，5，10，15，20，25，… ②48，53，58，63 ③18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④10072，10144，10216，10288，10366 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 Ⅱ.讲授新课 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。 ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差。 思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： d a a =-12即：d a a +=12
课题: §2.1数列的概念与简单表示法 授课类型：新授课 （第1课时） ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1”是这个数列 的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 5 14 13 12 1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1= 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公
高中数学数列教学课件 高中数学数列教学课件 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入"数学建模"的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于
发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为： ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法，对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对"数学建模"的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情教法分析： 对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、学法指导： 在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的
高中数学等差数列教案3篇 教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是为大家收集等差数列教案，希望你们能喜欢。 等差数列教案一 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊
到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重
引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法 引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】 一：创设情境，引入新课
教学设计：等差数列 授课教师：武小鹏 2011．9．13 兰州市数学集体大备课 活动经验交流材料
附录：教学流程图 教 学 过 程 流 程 图 教学内容与教师的活动 媒体 的运用 学生 的活动 教师进行 逻辑选择 开始 导入新课 教师引导 教师引导复 习 得出结论 否 是 小组素材交流展示，组间评价 小节、布置作业 结束 课件学生回顾复习 完成 是 否 学生自主 回答 完成 课件展示图片引入新课 给出问题 小组讨论教师引导 否 是
兰州市大集体备课活动（数学）教学设计 兰州市第十四中学武小鹏 课题§2.2.1 等差数列（一） 教材普通高中课程标准实验教材人教（A版）必修5教学方法参与式教学 一、教材内容分析 数列是高中重要内容之一，它不仅有着广泛的应用，而且起到承前启后的作用.数列作为一种特殊的函数，其中蕴含着丰富的函数思想，而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列知识的进一步深入和拓展.同时等差数列也为今后学习等比数列打下了“联想”“类比”的基础。 二、学情分析 经过前几个模块的学习，一部分学生知识经验已经较为丰富，有了一定的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣不是很浓，所以在教学时注重从具体的生活实际出发，注重引导、启发、探究和探索，从而进一步促进思维能力的发展。 三、教法分析 在教学过程中，遵循学生的认知规律，在教学过程中突出学生的主体地位，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发学生的学习兴趣，发挥他们的主观能动性.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力。使学生认识到生活和数学紧密相关。 四、学法分析 学生对本节内容的知识背景比较熟悉，因而好多学生对问题都存在着“眼高手低”的现象.引导学生发现新奇，让学生参与到动手计算、动手操作的教学环境中来.学生根据具体题目，通过运算、分析解决实际问题，更深入地理解等差数列及其通项公式.留给学生足够的自由发挥，自由探讨，发现问题，分析问题，解决问题的空间。 五、教学目标 1．知识与技能 通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，能在具体的问题情境中探索数列的等差关系； 2. 过程与方法 通过观察实际生活中的数列，引导学生探索交流，归纳总结抽象出等差数列的概念，并应用归纳、叠加等方法探索等差数列的通项公式； 3．情态与价值 培养学生的观察和归纳能力及参与课堂的意识。 六、教学重、难点
澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程，不积跬步无以至千里，不积小流无以 成江海，在学习中一定要持之以恒，相信自己，你一定可以获得成功！ 高中数学 一、定义 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二．例题讲解。 一.基本问题 例1：在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：
2.2《等差数列》教案 一、教学目标： 知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想 过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验从特殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。 二、教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数 之间的联系。 三、教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 四、教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更 好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。 五、教学过程： （一）创设情景 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 探索研究 由学生观察分析并得出答案： （放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,…… 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是： 各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20，……① 48，53，58，63 ② 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢？ （由学生讨论、分析）
等差数列》教学设计 教材分析 1.教学内容： 本节课是《普通高中课程标准实验教科书?数学5》（人教A 版）第二章《数列》的第二节内容，即《等差数列》第一课时。研究等差数列的定义和通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。 2.教学地位： 本节是第二章的基础，为以后学习等差数列求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容，也是高考重点考察的内容之一，它有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。 3.教学重点难点： 重点：①理解等差数列的概念。 ②探索并掌握等差数列的通项公式的推导过程及应用。难点：理解等差数 列“等差”的特点及通项公式的含义，概括通项公式推导过程中体现出的 数学思想方法。 学情分析 我所教学的学生是我校高二（9）班、（10）班的学生，经过一年的学习，已具有一定的理性分析能力和概括能力。且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程。他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展。但也有一部分学生的基础较弱，所以我授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启
发和探究以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。教法和学法分析 1．教法 ⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 ⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题， 调动学生的积极性。 ⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 2．学法 引导学生首先从三个现实问题（课本页码问题、月均等额还款问题、操场跑道问题）概括出特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；引导学生多角度、多层面认识事物，学会探究。在本节的备课和教学过程中，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题、解决问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适、自我选择。 教学目标 通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式。能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生理解等差数列是一种函数模型。 等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来