极限思想及其应用

本科毕业论文（设计）

极限思想及其应用

学生姓名：孙金龙

学

号：071611140系

部：应用数学系专业：金融数学

指导教师：刘炎讲师

提交日期：2011年3月21日

广东金融学院

2008-JX16-

毕业论文基本要求

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3．论文应观点明确，中心突出，论据充分，数据可靠，层次分明，逻辑清楚，文字流畅，结构严谨。

4．论文字体规范按《广东金融学院本科生毕业论文写作规范》和“论文样板”执行。

5．论文应书写工整，标点正确，用用微机打印后，装订成册。

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摘要

极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。

极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。极限思想是微积分理论的基础，而微积分与经济学、物理学、机械自动化等与生活息息相关的学科是密不可分的。尤其是对于经济学来说，是一个透过现象看本质的必不可少的工具，经济学的核心词语“边际”便是一个将导数经济化的概念。只有结合微积分等数学知识，才能使经济学从一个仅仅对表面现象进行肤浅的常识推理、流于表面化的学科，变为一个用科学的方法进行数理分析、再结合各社会学科的丰富知识，从而分析出深层次的、更具有广泛应用性的基本结论的学科。

其他学科也是如此，极限思想的应用无处不在，理解掌握并合理应用极限要思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文就利用数学的极限思想在解决各个学科中的实际问题的思考过程做出初步的探索和分析。

[关键词]：极限思想；微积分；经济学

Abstract

Limit thought as a mathematical idea of the mankind from the ancient to the present limits of the full theory of the evolution of its long and tortuous journey filled with hard work of many mathematicians,intelligence,conscientiousness and pursued the struggle footprint.Limit the evolution of thought process that is thousands of years of human knowledge and transform the world's response to one aspect of the process,the human pursuit of truth,the pursuit of ideals,always realistic,vivid portrayal of innovation.

Limit the production and improvement of ideological and social needs of practice, it produces for the development of mathematics has added a new impetus,as the ideas and methods of modern mathematics foundation and starting point.Theoretical limit of thought is the basis of calculus,and calculus and economics,physics,mechanical and automation disciplines and daily life are inseparable.Especially in economics,is a look at the nature of the phenomenon through the essential tools,the core of economics,the word"marginal"is one of the guide number of economic concepts. Only the combination of calculus and other mathematical knowledge,to make economics the surface from a mere superficial knowledge of the phenomenon of reasoning,superficial subject,into a scientific approach to mathematical analysis, combined with extensive knowledge of the social sciences,to analyze the deep-seated, more widespread application of the basic conclusions of the subjects.

The same is same in other disciplines,limit the application of nowhere,without thinking,understanding and rational application of control limits to thought,allows us to solve practical problems in the process,can quickly find solutions to the problem and improve the practical results.In this paper the limits on the use of mathematical ideas in various disciplines to solve practical problems in the thinking process to make a preliminary exploration and analysis.

[Key Words]：Limit thought；Calculus；Economics

目录

摘要..............................................................................I ABSTRACT.........................................................................II 1.极限的产生及发展.. (1)

1.1极限思想的萌芽时期 (1)

1.2极限思想的发展时期 (3)

1.3极限思想的完善时期 (3)

2.极限思想在经济中的应用 (4)

2.1边际概念及其数学极限思想 (4)

2.2弹性概念及其数学极限思想 (6)

2.3消费者剩余概念及其数学极限思想 (7)

3.极限思想在保险学中的应用 (9)

3.1保险学的概率论数学原理 (9)

3.2大数法则和中心极限定理在保险中的应用 (10)

4.极限思想在其他方面的应用 (12)

4.1极限思想在建筑学中的应用 (12)

4.2极限思想在化学中的应用 (12)

5.结束语 (13)

参考文献 (14)

极限思想及其应用

1.极限的产生及发展

所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.用

极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法构思一个

与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极

限计算来得到结果.

极限思想作为一种数学思想，其发展经历了思想萌芽、理论发展和理论完善时期。在其漫长曲折的演变历程中布满了众多哲学家、数学家们的奋斗足迹，闪烁着人类智慧的光芒。极限理论的形成为微积分提供了理论基础，为人类认识无限提供了强有力的工具，它从方法论上凸显出了高等数学不同于初等数学的特点，是近现代数学的一种重要思想和方法。理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史上的一些问题将具有一定的理论意义。

1.1极限思想的萌芽时期

远在两千多年以前，人们在对无穷的萌芽认识中，极限的思想和方法就不可回避地孕育在其中了。

在我国，著名的《庄子．天下篇》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，万

世不竭。墨家著作《墨子·经下》中的也有“非半弗，则不动，说在端。根据论述，《经说下》解释道：“非，半。进前取也，前则中无为半，犹端也。前后取，则端中也。必半，毋与非半，不可也。”从中可体现出我国早期对物质的无限可

分性与连续性已有相当深刻的认识，虽然这些认识更多地属于哲学，但已反映出极限思想的萌芽。

将无穷思想创造性地运用到数学中，当属我国魏晋时期的数学家刘微。刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术"，他提出用增加圆内接正多边形

的边数来逼近圆，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。可见刘徽对无穷的认识已相当深刻，对极限的观念和

方法已经有了直观基础上的应用。正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，他一直算到192边形时，得到π≈157／50≈3．14，之后又算到3072边形时得到π≈3927／1250≈3．1416。到公元5世纪，南北朝时期的大数学家、科学家祖冲之(429—500)在其失传的《缀术》中(据数学史家考证)，同样运用“割圆术一算到24576边形得到：3．1415926<π<3．1415927，这是领先国外上千年的惊人成果。

在国外，古希腊时期也有极限思想。古希腊的巧辩派中有相当一批人对几何三大问题感兴趣。安提芬在研究。化圆为方的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积，当多边形的边数不断加倍时内接正多边形与圆周之间存在的空隙就被逐渐“穷竭’’，而布赖森(Bryson，约公元前450年)则从相反的方向，提出通过圆的外切正多边的面积来逼近圆面积的思想。不过没有他们具体计算的记载。

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克斯创立了较严格的确定面积和体积的一般方法“穷竭法"，这种方法假定量的无限可分性，并且以下面命题为基础：“如果从任何量中减去一个不小于它的一半的部分，从余部中再减去不小于他的一半的另一部分，等等，则最后将留下一个小于任何给定的同类量的量。应用穷竭法，欧多克斯正确地证明了“圆面积与直径的平方成正比例”以及“球的体积与直径的立方成正比例等结论”。欧多克斯的穷竭法，也已体现出了极限论思想。

德谟克利特(Democritus，约公元前460—357)，古希腊数学家、哲学家，他把哲学上的原子论引入了数学，创立了数学原子论。数学原子认为，线段、面积、立体多是由一些不可分的原子构成的，而计算面积、体积就是将这些“原子"累加起来。虽然思想比较粗糙，但却是不可分量的雏形，带有了古朴的积分思想。

古希腊最伟大的数学家阿基米德生于西西里岛的一个希腊殖民城市叙拉古，他的数学著作主要有：《圆的测量》、《论球与圆柱》、《抛物线求积法》、《论螺线等等》，被誉为数学之神。他巧妙地把欧多克斯等人的穷竭法与德谟克利特的原子论观点结合起来，通过严密的计算，解决了求几何图形的面积、体积、曲线长、计算万值等大量的计算问题。它突破了传统的有限运算，采用了无限逼近的思想，将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进

行比较，他的无穷小量概念到17世纪被牛顿作为微积分的基础。

由此，我们可以看到在数学无穷思想发展之初，古人就已在极限领域开创了一个光辉的起点。

1.2极限思想的发展时期

14世纪末，欧洲开始有了资本主义的萌芽，到15世纪中期，随着封建制度的解体，欧洲的生产力得到了迅速的发展，开始了“文艺复兴”时代。由于生产力的发展，也推动了科学技术的进步，当时，围绕着力学为中心，在天文学、物理学、地理学等方面都提出了大量的新问题，对这些问题的探究促进了相关学科的发展。如哥白尼“日心说”的诞生带来了一场自然科学的革命；由于对天体力学的研究，涌现出了一批科学家，如斯蒂文、伽利略、开普勒等等，他们在数学方面也做了大量的研究工作，为微积分的诞生奠定了基础，为极限思想和方法的发展及运用带来了机遇。

16世纪以后，欧洲处于资本主义的萌芽时期，生产力得到极大发展。生产和科学技术中发生了大量的变量问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题等……初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这极大地促进了极限思想的发展。

众多数学家为解决上述问题做了不懈的努力，如笛卡尔、费马、巴罗、卡瓦列里、沃利斯等……并取得了一定成果，尤其是牛顿和莱布尼兹创立微积分的工作，他们都从不同的角度运用了极限的思想和方法，虽然他们的工作过多地依赖于直观，缺乏严密的逻辑基础，但在他们开创出的新得数学领地上极限的思想和方法展示出了勃勃生机，他们的努力和成就为极限思想的进一步完善奠定了坚实的基础。

1.3极限思想的完善时期

18世纪微积分富有成果然而欠缺严谨的基础，因而受到了人们的怀疑和攻击。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到严峻的挑战。弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身的需要而且还有着认识论上的重大意义。

使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始出版了几部具有划时代意义的书与论文，给出了分析学一系列基本

概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化"。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯

给出更为完善的到目前仍在使用的“￡一6’’方法。另外，在柯西的努力下，

连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。不过，在当时情况下，由于实数的严格理论尚未建立起来，所以柯西的极限理论还不可能完善。

柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过独立深入的研究，都将分析基础归结为实数理论，并于十九世纪的七十年代各自建立了完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理“基本序列”的极限来定义无理数。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来了严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成，极限理论的完善使微积分有了坚实的基础。

2.极限思想在经济中的应用

在经济学中真正需要用到的具体的极限定理和公式,实际上并不很多,但

所受到的数学训练,所领会到的极限思想和精神,却无时无刻不在发挥着积极

的作用。

2.1边际概念及其数学极限思想

在经济学中,用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y对另一个经

济变量x的变化。平均概念表示y在自变量x的某一个范围内的平均值。显然,平均值随x的范围不同而不同。边际概念表示当x的改变量Δx趋于0时,y的相应改变量Δy与Δx比值Δy/Δx的变化,即当x在某一给定

值附近有微小变化时,y的瞬时变化。经常用到的概念有边际成本、边际收入、边际利润、边际替代率等。如边际替代率是指在维持效用水平或满足程度不变的

前提下,消费者增加一单位某种商品的消费时所放弃的另一种商品的消费数。

如图所示:

当是，有边际替代率

首先,根据边际替代率的定义,如果消费者增加单位商品的消费时所放弃

的另一种商品的消费数是,则边际替代率为

这是一个P点到q点的平均边际替代率。

然后，求极限(无限变化得精确值)。当逐渐变小,时,这是一个量变过程,但是量变达到一定界限,平均边际替代率问题向某点边际替代率飞跃发生质变,从而

由此可知,为了求出某一点的量(某一点的边际替代率),用在局部“以匀代非匀”求得这个量的近似值,然后再通过取极限的方法实现从近似到精确的过渡。在这里,使“匀”与“非匀”转化的条件是取极限,不取极限就不能转化。这是极限解决边际问题的基本思想方法。

例如，某企业每月生产x单位(单位:吨)产品的总成本C(x)(单位:千元)是产量x的函数如果每吨产品销售价格为2万元,试求每月生产8吨、10吨、15吨、20吨时的边际利润。

解：根据题意,每月生产x吨产品的总收入函数R(x)=20x(千元),则生产x

吨产品的利润为

于是边际利润函数为

则每月生产8吨、10吨、15吨、20吨时的边际利润分别为:

上式表明,当月产量为8吨时,再增产1吨,利润将增加14千元;当10吨时,再增产1吨,利润增加10千元;当15吨时,再增产1吨,利润为0;为0吨时,再增产1吨,利润不但不会增加,反而还要减少1万元。

2.2弹性概念及其数学极限思想

以需求价格弹性为例。先看需求弧弹性的概念。需求弧弹性是指用表示某商品的需求曲线上两点之间的需求量的相对变动对于价格的相对变动的反应程度,简单的说表示需求线上两点间的弹性(平均值)。设某产品的单位售价为p,该产品市场需求量为q,它的需求函数为q=q(p)。则两点间的需求弹性系数为

（1）

而需求点弹性是指某价格水平上,当价格波动很小时所引起的需求量变化的敏感程度。需求点弹性系数为

（2）

由(1)与(2)式可见,需求弧弹性与需求点弹性本质上是相同的,区别是前者为价格变动量较大时的需求曲线上两点之间的弹性(平均值),后者为价格变动量无穷小时的需求曲线上某一点的弹性。用(2)式计算点弹性,其优点在于只需确定了需求曲线的形状,就可以求出与点相对应的精确的弹性系数。

为了求出某一点的弹性,用在需求曲线上“两点之间的弹性”代替“某一点的弹性”求得弹性这个量的近似值,然后再通过取极限的方法实现从近似到精确的过渡。在这里,使“两点之间的弹性”与“某一点的弹性”转化的条件是取极限,不取极限同样也就不能实现从近似到精确的转化。

例如，假设某商品的需求函数为Q=40-5p

（1）求价格p在5元到2元间的弧弹性

（2）求p=5时的点弹性

解：弧弹性为

点弹性为

2.3消费者剩余概念及其数学极限思想

经济学中的消费者剩余就是商品价值与价格之间的差额,或是消费者根据自己对商品效用的评价所愿意支付的价格与实际付出的价格的差额。

如图所示：

p表示实际支付的价格,D是需求曲线,阴影线部分的长度表示愿意支付的价格与实际付出的价格的差额,面积A就是消费者剩余。

设需求曲线D的函数是y=f(x),计算由y=f(x),q=0,q=b所围成的曲边梯形的面积A。

首先,计算曲边梯形面积的近似值(以直代曲)。把[0,b]分成n份,从而将曲边梯形分成n个小曲边梯形,每个小曲边梯形的面积用相应的小矩形面积代替。

如图所示：

并求和得到曲边梯形面积的近似值:

然后,求极限(无限求和得精确值)。当n是有限数时,面积永远是曲边梯形面积A近似值。只有当n增加才能提高近似程度。当n→∞时,通过取极限的方法实现从近似到精确的过渡,从而实现了近似值向曲边梯形面积精确值A的转变,即

这也就是数学的另一个重要模型———定积分,即

。

例如，假设消费者的收入为m=2，分别考虑效用函数为u=xy和u=y+lnx情况下对商品x的需求函数以及消费者剩余。（其中y表示一般等价物)解：第一个效用函数为柯布—道格拉斯效用函数，根据该效用函数的特性（各商品消费支出之比等于系数之比）,因此，x的需求函数为：

相应消费者剩余为

第二个效用函数为拟线偏好的效用函数，根据最优选择下边际效用之比等于价格之比x的需求函数为：

相应消费者剩余为

因此，虽然两个效用函数下x的需求函数和消费者剩余相等，但这仅是在m=2情况下的一个特例。当m发生变动时，基于柯布—道格拉斯效用函数下的需求函数和消费者剩余均会发生变化，而对拟线性偏好下的需求及消费者剩余则不

产生影响。

极限思想不仅是重要的数学概念、方法和结论,还是将领会到数学的精神实质和思想方法通过微积分解决实际问题的重要思想来源。经济学中的边际、弹性、消费者剩余等许多问题,都涉及到极限思想这一重要方法。

3.极限思想在保险学中的应用

保险体现了“人人为我,我为人人”的互助思想.它是以数理计算为依据的,即依据概率论数学原理即大数定律(或大数法则)合理分摊,化整为零这一科学的数理计算方法,大数法则是保险业存在、发展的基础.

3.1保险学的概率论数学原理

独立同分布的辛钦大数定律设ξ1,ξ2,ξ3,…ξn…是独立的且具有相同分布的随机变量序列,并且具有数学期望和方差:,(i=1,2,…n,…),则对任意给定的ε>0,有

辛钦大数定律说明独立同分布的随机变量的算术平均值依概率收敛于它的

数学期望值,它为在实际应用中用算术平均值估计数学期望提供了理论依据.

独立同分布的中心极限定理设ξ1,ξ2,ξ3,…,ξn…是独立的且具有相

同分布的随机变量序列,并且具有数学期望和方差:(i=1,2,…n,…),则对任意实数x,有

独立同分布的中心极限定理表达了正态分布在概率论中的特殊地位,尽管的分布是任意的,但只要n充分大,随机变量近似服从标准正态分布N(0,1).或者说,当n很大时,独立同分布的随机变量的和近似服从正态分布N(nμ,n).这就是那些(可以看作由许多微小的、独立的随机因素作用的总结果,而每一个因素的影响却都很小)随机变量,一般都可以近似地服从正态分布的理论根据,因而正态分布在理论上和应用上都具有极大的重要性.

若，则当n很大时，有

3.2大数法则和中心极限定理在保险中的应用

大数法则是概率论中的一个重要法则.它揭示了这样一个规律:大量的、在一定条件下重复出现的随机现象将出现一定的规律性和稳定性.如果我们对某种随机事件进行试验,当试验次数较少时,实验结果往往很不稳定,其结果依赖于个别随机事件;当试验次数较多时,实验的结果就非常稳定,而且试验结果会脱离对个别随机事件的依赖.例如将一枚均匀的硬币投向空中,正面朝上的概率为0.5.如果只扔10次硬币,可能看到有8次是正面朝上的,但如果硬币被扔成千上万次,得到正面朝上的频率越接近0.5.因此,当投掷次数越多,实际结果越接近期望结果.这一点对保险的经营有重要意义.

风险单位是发生一次风险事故可能造成标的物损失的范围,也就是遭受损失的人、场所或事物.风险单位是保险公司确定其能够承担的最高保险责任的计算基础.理想状态下的风险单位应独立且同分布.这种现象的意义在于保险人可以据此向每个潜在的被保险人收取同样的保费.

大数法则表明,独立同分布风险单位的数目越大,对均值的实际偏差就会减少,实际结果越接近期望结果.

根据中心极限定理,含有n个风险单位的随机样本的平均损失符合正态分布.这个结论对保险费率的厘定极为重要.

保险公司是一个从事对损失理赔的行业,它的经营机制是将分散的不确定性集中起来,转变为大致的确定性以分摊损失,其最关心的是实际损失与预期损失概率的偏差.在开展新的业务前,必须通过大量的损失统计资料对风险损失概率进行精确地估算,根据大数法则,承保的风险单位越多,实际损失与预期损失概率的偏差就越小;承保的风险单位越少,实际损失与预期损失概率的偏差就越大.而实际损失与预期损失概率的偏差又影响到保险公司的服务稳定和经营效益.因此,保险公司在根据大量的损失统计资料精算出预期损失概率并制定出合理的保险费率的基础上应尽可能地多承保风险单位,也就越可能有足够的资金赔付保险期内发生的所有索赔,从而使保险公司运营更加平稳,也就越有利于投保人或被保险人.

例如，某保险公司多年统计资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以ξ表示在随机抽查的100个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数.

我们可以利用中心极限定理,求出被盗索赔户不少于14户且不多于30户的

概率近似值：

再例如，某矿区为井下工人开展人身保险.规定每人年初向保险公司交保险金20元,一年保险期内若工人死亡,保险公司向家属赔偿2000元.由历史资料知该矿井下工人的死亡率为0.0036,现此矿区有10000名井下工人参加人身保险。我们可以计算出一年内井下工人死亡数不超过30人的概率：

设ξ表示一年内井下工人死亡数.则ξ～B(10000,0.0036)

我们还可以求出保险公司一年获利不少于86000元的概率：

要使保险公司一年获利不少于86000元,必须满足：

20×10000-2000ξ86000

∴

中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下,不论总体的分布如何,样本的均值总是近似地服从正态分布。如果一个随机变量能够分解为独立同分布的随机变量序列之和,则可以直接利用中心极限定理进行解决。总之,恰当地使用中心极限定理解决实际问题有着极其重要的意义。

4.极限思想在其他方面的应用

4.1极限思想在建筑学中的应用

对于地下隧道的稳定性评价一直缺乏一个合适的评判指标，传统方法无法算出地下洞室工程的安全系数和威严的破坏面，仅凭应力、位移、拉应力区和塑性区大小很难确定地下洞室工程的安全度与破裂面。当前工程上尚没有隧道稳定安全系数的概念，一般按照经验对隧道围岩的稳定性先进行分级。极限分析法通过对岩土体强度参数的折减，使岩土处于极限状态，因而有可能使岩土体显示潜在的破裂面，并求得安全系数，这在边（滑）坡稳定分析中取得了成功，但应用于地下洞室工程中算出的塑性区往往是一大片，而不像边（滑）坡岩土体内存在明显的剪切带，因而要找出围岩内的破裂面比较困难。本文研究表明，隧道围岩发生塑性应变突变时的情况就是围岩发生破坏流动的情况，因而只要找出围岩塑性

应变发生突变时的塑性区各断面中塑性应变值最大的点，并将其连成线，就可得到围岩的潜在破坏面（如下图所示），同时可求得地下洞室的安全系数，本文所说的隧道稳定安全系数是指隧道整体安全系数，即把非等强度的真实岩体视为均质等强的岩体，据此求出安全系数。

4.2极限思想在化学中的应用

对于可逆反应而言，当反应达到平衡状态后，其各组分的量均不可能为0。而在解决一些化学平衡问题时，尤其是关系取值范围问题的解决，我们却可以借助完全反应――这一“极限思想”进行。

例如在一密闭容器进行的可逆反应：2SO2(g)＋O2(g)2SO3(g)，已知某时刻SO2、O2、SO3的浓度分别为0.2mol/L、0.1mol/L、0.2mol/L，当反应达到平衡时，我们想知道这三种气体的密度可能只在什么范围之内，这就需要我们运用极限思想进行分析。

根据可逆反应的特点可知，无论反应向正向移动还是逆向移动，达到平衡时SO2、SO3浓度的取值范围均为0

5.结束语

从微积分的产生到极限理论的建立，这个历史过程生动地表明:科学认识的产生和发展必须适应社会的经济需要和自身发展的需要;科学认识在其发展进程中面临困难，必须注意思想与方法上的革新和创造;而一种新的数学方法，不能长期停留在形象直观的阶段上，必须在不断深化认识的基础上，由定性认识转化

为定量认识，形成概念和理论的系统，否则，就不可能做出科学的抽象，也不可能适应社会经济以及数学自身发展的需要.数学方法只有在发展到概念和理论的系统以后，才能成为生产和科学技术的有力工真.极限理论的建立还给我们以重要的启示，对数和形的概念及其相互繁衍关系的认识，是逐步深化的，只要勇于探索，人们将必定了解和掌握数学自身发展的普遍规律.

参考文献

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[19]凯宾斯基.金融数学——金融工程引论[M].中国人民大学出版社，2009

极限思想及其应用

本科毕业论文（设计） 极限思想及其应用 学生姓名：孙金龙 学 号：071611140系 部：应用数学系专业：金融数学 指导教师：刘炎讲师 提交日期：2011年3月21日 广东金融学院 2008-JX16-

毕业论文基本要求 1．毕业论文的撰写应结合专业学习，选取具有创新价值和实践意义的论题。 2．论文篇幅一般为8000字以上，最多不超过15000字。 3．论文应观点明确，中心突出，论据充分，数据可靠，层次分明，逻辑清楚，文字流畅，结构严谨。 4．论文字体规范按《广东金融学院本科生毕业论文写作规范》和“论文样板”执行。 5．论文应书写工整，标点正确，用用微机打印后，装订成册。

本科毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学生签名： 时间：年月日 关于论文（设计）使用授权的说明 本人完全了解广东金融学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务，在校园网上提供服务； 3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 本人同意上述规定。 学生签名： 时间：年月日

摘要 极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。 极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。极限思想是微积分理论的基础，而微积分与经济学、物理学、机械自动化等与生活息息相关的学科是密不可分的。尤其是对于经济学来说，是一个透过现象看本质的必不可少的工具，经济学的核心词语“边际”便是一个将导数经济化的概念。只有结合微积分等数学知识，才能使经济学从一个仅仅对表面现象进行肤浅的常识推理、流于表面化的学科，变为一个用科学的方法进行数理分析、再结合各社会学科的丰富知识，从而分析出深层次的、更具有广泛应用性的基本结论的学科。 其他学科也是如此，极限思想的应用无处不在，理解掌握并合理应用极限要思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文就利用数学的极限思想在解决各个学科中的实际问题的思考过程做出初步的探索和分析。 [关键词]：极限思想；微积分；经济学

极限思想在高中数学及应用

极限思想在高中解题中的运用 宜宾县一中 雷勇 极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会是我们的解答简单而高效。 所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。 例1、过抛物线 )0(2 >=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别是p 、q ,则q p 1 1+等于（ ） (A)a 2 (B) a 21 (C) a 4 (D) a 4 分析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求a q p 、、的关 系，过程繁琐，且计算较复杂。若能充分借助于极限思想即取PQ 的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ 绕点F 顺时针方向旋转到与y 轴重合，此时Q 与O 重合，点P 运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了， 它是弦的一种极限情形，因为 a OF p QF 41 = ==，而+∞→=q PF ，所以 a q p 41 1→+，故选择（C ）。针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。 例2、正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A （ 2,n n ππ-） B （1 ,n n ππ-） C （0,2 π ） D （ 21 ,n n n n ππ--） x y F P Q O H A n A 1 A 2 A 3 S

中心极限定理及其应用论文

青岛农业大学本科生课程论文 题目：中心极限定理及其应用姓名： 学院： 专业： 班级： 学号： 指导教师： 2012 年06 月27 日

青岛农业大学课程论文任务书 论文题目中心极限定理及其应用 要求完成时间 2012年 07 月 02 日 论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。 资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。 指导教师签名：年月日

中心极限定理及其应用 信息与计算科学专业（学生姓名） 指导教师（老师姓名） 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量

Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable

数学中的极限思想及其应用

摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。 关键词：极限思想，应用 Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change. Keywords:the limit idea，application

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。 于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

中心极限定理及其应用

中心极限定理及其应用 [摘要] 在中心极限定理的基础上，通过实例介绍它的应用。 [关键词] 中心极限定理随机变量应用 中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容，而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了，无论随机变量服从什么分布，个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中，通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例，能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。 一、两个常用的中心极限定理 根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。 定理1 列维—林德伯格（Levy-Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差.则随机变量 的分布函数Fn（x）对于任意x满足 （5.7） 从定理1的结论可知，当n充分大时，有 或者说，当n充分大时，有 如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）。则（5.8）式说明，作为总和这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。 定理2（棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 设随机变量X服从参数为n，p （0＜p＜1）的二项分布，即，则

极限思想在实际生活中的应用【开题报告】

开题报告 信息与计算科学 极限思想在实际生活中的应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义 极限的思想可以追溯到我国古代, 刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用; 古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想, 但由于希腊人“对无限的恐惧”, 他们避免明显地“取极限”, 而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明. 到了16世纪, 荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法, 他借助几何直观, 大胆地运用极限思想思考问题, 放弃了归缪法的证明. 如此, 他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的. 16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期, 生产力得到极大的发展, 生产和技术中大量的问题, 只用初等数学的方法已无法解决, 要求数学突破只研究常量的传统范围, 而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具, 这是促进极限发展、建立微积分的社会背景. 起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分, 后来因遇到了逻辑困难, 所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想. 牛顿用路程的改变量与时间的改变量之S ?t ?比表示运动物体的平均速度, 让无限趋近于零, 得到物体的瞬时速度, 并由此引S t ??t ?出导数概念和微分学理论. 他意识到极限概念的重要性, 试图以极限概念作为微积分的基础, 他说:“两个量和量之比, 如果在有限时间内不断趋于相等, 且在这一时间终止前互相靠近, 使得其差小于任意给定的差, 则最终就成为相等.”但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的, 因而他无法得出极限的严格表述. 牛顿所运用的极限概念, 只是接近于下列直观性的语言描述, “如果当无限增大时, 无限地接近于常数, 那么就说以为极限” . n n a A n a A 这种描述性语言, 人们容易接受, 现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义. 但是, 这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系, 不能作为科学论证的逻辑基础. 正因为当时缺乏严格的极限定义, 微积分理论才受到人们的怀疑与攻击, 极限思想的完

大数定律与中心极限定理及其应用

重庆三峡学院毕业设计（论文）大数定律与中心极限定理及其应用 分院数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 班级 10数本1班 学号201006034109 姓名张永东 指导教师陈飞翔 (讲师) 2014年5月10日

目录 摘要.................................................................................................................................................. I ABSTRACT. ..................................................................................................................................II １大数定律的应用 .. (3) 1.1引言 (3) 1.2预备知识 (3) 1.2.1相关定义 (3) 1.2.2切比雪夫不等式及其应用 (4) 1.3几类重要的大数定律的应用 (4) 1.3.1切比雪夫大数定律及其在测绘方面的应用 (4) 1.3.2伯努利大数定律及其在重复事件方面的应用 (6) 1.3.3辛钦大数定律及其在数学分析方面的应用 (6) 1.4大数定律的意义 (8) 2 中心极限定理的应用 (8) 2.1前言 (8) 2.2几类重要的中心极限定理的应用 (9) 2.2.1林德伯格定理及其在保险方面的应用 (9) 2.2.2列维定理及其在极限求解方面的应用 (10) 2.2.3棣莫弗-拉普拉斯定理及其在实际生活方面的应用 (11) 2.2.4 李雅普诺夫中心极限定理及其在具体分布方面的应用 (14) 3 大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 3.1大数定律和中心极限定理的比较应用 (15) 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18)

数学毕业论文极限思想在中学数学中的应用

百度文库- 让每个人平等地提升自我 分类号 编号 毕业论文 题目极限思想在中学数 学中的应用 学院数学与统计学院 姓名x x x 专业数学与应用数学 学号3 研究类型x x x x x x 指导教师x x x 提交日期2013-5-10

原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：年月日 论文指导教师签名：

目录 摘要：极限在中学数学中有重要的地位，对中学数学学习有着重要意义.本文结合当前当前中学数学教学实际，介绍了极限的发展历史和极限思想在函数、解析几何、函数图像等方面的应用，通过对比，突出了极限思想在中学数学中的重要性，不但降低了问题难度，而且对开发学生思维、提升创造能力也有很大帮助. 0 关键字：极限思想中学数学教学 0 极限思想在中学数学中的应用 (1) 引言 (1) 1、极限思想的发展 (2) 最早的极限思想 (2) 极限思想的早期应用 (2) 2、极限思想在中学数学中的应用 (3) 在运动变化过程中把握极限位置 (3) 利用函数图像把握极限位置 (4) 极限思想在函数中的渗透 (5) 用极限思想解决立体几何中的有关问题 (8) 总结 (9) 参考文献 (9)

极限思想在中学数学中的应用 x x （天水师范学院数学与统计学院，甘肃，天水，741000，） 摘要：极限在中学数学中有重要的地位，对中学数学学习有着重要意义.本文结合当前当前中学数学教学实际，介绍了极限的发展历史和极限思想在函数、解析几何、函数图像等方面的应用，通过对比，突出了极限思想在中学数学中的重要性，不但降低了问题难度，而且对开发学生思维、提升创造能力也有很大帮助. 关键字：极限思想中学数学教学 Application of limit thought in mathematics teaching in high school Wang Hui (School of mathematics and statistics, Tianshui Normal University, Gansu, Tianshui, 741000,) Abstract: the limit is an important content in the middle school mathematics, has important significance to the middle school mathematics learning. According to the current state of the current middle school mathematics teaching practice, introduces the application of historical development and the ultimate limit thought in function, analytic geometry, function image etc, by contrast, highlight the importance of limit thought in middle school mathematics of, not only reduces the difficulty, but also on the development of students' thinking, creative ability also to have the very big help. Keywords: limit thought in mathematics teaching in middle school

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

中心极限定理及其意义

题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。

关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，

大数定律及中心极限定理 应用题

大数定律与中心极限定理 应用题 1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差 为0.1kg, 问（1）5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？(2)如果用一辆载重汽车运输这5000只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于0.975？ 解 设第i 只零件重为i X ，500,...,2,1=i ，则5.0=i EX ，21.0=i DX 设 ∑==500 1i i X X ，则X 是这些零件的总重量 250050005.0=?=EX ，5050001.02=?=DX 由中心极限定理 )1,0(~50 2500N X a - （1）)2510(≥X P =)50 25002510502500(-≥-X P )2(10Φ-≈=9213.01-=0.0787 (2) 设 汽车载重量为a 吨 )(a X P ≤=)502500502500(-≤-a X P 95.0)50 2500(0≥-Φ≈a 查表得 64.150 2500≥-a 计算得 59.2511≥a 因此汽车载重量不能低于2512公斤 2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，先从这批木柱中随 机的取100根，求其中至少有30根短于3m 的概率？ 解 设X 是长度小于3m 的木柱根数，则)2.0,100(~b X 由中心极限定理 )16,20(~N X a )30(≥X P =)16 20301620(-≥-X P )5.2(10Φ-≈=9938.01-=0.0062 3． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种 蛋糕的价格是随机变量，它取1元，1.2元，1.5元的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率 （2）售价为1.2元蛋糕售出多于60只的概率。

极限的应用

有很多问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来的，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生了极限概念和极限方法。 起初牛顿和莱布尼茨将无穷小的概念作为基础建立微积分，后来遇到了一些逻辑方面的坎坷，所以在他们探究的晚期都会有不同程度地接受了极限思想。牛顿运用路程的变量S ?和时间的变量t?之比 表示了运动物体的平均速度，让t?无限地趋近于零，这样就会得到物体的瞬时速度，因此引出了导数的概念和微分学理论等知识。牛顿发现了极限概念的重要性，尝试将极限概念作为微积分研究的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限的时间内不断趋近于相等，且在这一时间结束之前前互相靠近，使两个两个量和量之比差小于任意给定的差，最终就成为了相等”。但是牛顿的极限思想也是建立在几何直观上的，因此他将无法得出极限的严格而精确的表述。牛顿所应用的极限的概念，只是接近以下直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，a n无限地接近于常数A，那么就说a n以A为极限。” 例，圆是一个曲边形，它的内接正多边形是直边形，二者有内在的区别，但是这个区别又不是相绝对的，在一定的限制和所给的条件下，圆的内接正多边形可以转化为该圆周。这个条件就是“若一个圆的内接正多边形的边数无限制增多时”，注意其中“无限”二字。因此在无限的过程中，直边形可以转化为曲边形，也就是说在无限过程中，根据直边形的周长数列从而得到了曲边形的周长。这种表现就是极限的思想及方法在定义圆的周长上的应用。 根据圆的周长定义和描述，显然就会计算出半径为R的圆的周长即C=2 πR。其中，π是圆周率，R是常数。那么这个圆的周长公式是怎样得到的呢？ 我们会用直尺度量线段的长，从而也就会度量多边形的周长，因而多边形的周长是已知的。圆的周长是一条封闭的曲线，不可能用直尺直接量出它的长度。这就出现了一个新的问题：何谓圆的周长？也就是，怎样定义圆的周长？这是计算圆的周长的基础。圆的周长是个未知的新概念。我们都知道这个道理，一个新的概念必须是建立在已知概念的基础上的。在这里一个完全陌生的圆的周长是建立在已知的多边形周长的基础上的。然而我们怎么样借助于一个已知的多边形的周长去定义圆的周长呢？ 追溯到我国古代，数学家刘徽在魏景元四年（公元263年）创立的“割圆术”，这种方式就是借助于圆的一串内接正多边形的周长数列定义了圆的周长。割圆术的原理：起初做圆的内接正六边形，然后平均等分分每个边所对应的弧，接着做圆的内接正十二边形，就这样以此类推应用同样的方法，继续作一个圆的内接正二十四边形，

大数定理与中心极限定理的关系及应用

本科生毕业论文（设计） 题目大数定律与中心极限定理的 关系及应用 姓名学号 院系数学科学学院 专业数学与应用数学 指导教师职称 2013年4 月16 日 曲阜师范大学教务处制

目录 摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Key words (3) 引言 (3) 1 大数定律与中心极限定理的关系 (4) 1.1预备知识 (4) 1.1.1大数定律 (4) 1.1.2中心极限定理 (5) 1.2大数定律与中心极限定理的关系 (6) 1.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子 (7) 1.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子 (8) 1.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子 (9) 2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 (10) 2.1 在误差分析中的应用 (10) 2.2 在数学分析中的应用 (11) 2.3 在近似计算中的应用 (13) 2.4 在保险业中的应用 (14) 2.5 在企业管理方面的应用 (15) 结论 (16) 致谢 (16) 参考文献 (17)

大数定律与中心极限定理的 关系及应用 摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。 关键词：大数定律中心极限定理随机变量应用 Relationship and Applications between the Law of Large Number and Central Limit Theorem Student majoring in mathematics and applied mathematics Bai Yanfei Tutor Liu Li Abstract: Based on the law of large numbers and central limit theorem in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the random variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value. Key words: Laws of large number; Central-limit theorem; Random variables; Applications 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。 而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分

极限思想在高中数学解题中的应用

极限思想在高中解题中的运用 多伦县第三中学 刘洪庆 极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会使我们的解答简单而高效。 所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。 数学思想方法是数学的灵魂，没有数学思维就没有真正的数学学习。要让学生学好数学，用好数学，就要让学生走进数学的“灵魂深处”。 给大家介绍说明本文要用到的数学符号: ”。 “负向趋近于”表示③“”。 “正向趋近于”表示②““趋近于”。”表示①“a :a a :a : -→+→→ 举例: 大”。且比“正向趋近于”表示“11:1+→ 小”。且比“负向趋近于”表示“11:1-→ 例1、函数x x x x e e e e y ---+=的图象大致为（ ） 解析： x x x x x x x x e e e e e e e e y 11-+ =-+=--

当 +→0x 时，+→1x e ， -→11x e ，∴+→-0)1(x x e e 、2)1(→+x x e e ， +∞→+ =∴02y 。 故排除B 、C 、D 。 选A 例2、函数x x x y --=226cos 的图象大致为（ ） 解析：当 +→0x 时，+→12x ， -→121x ，∴+→-0)212(x x ，16cos →x ， ∴+∞→+ =01y 。 当 -→0x 时，-→12x ， +→121x ，∴-→-0)212(x x ，16cos →x ， ∴-∞→- =01y 。 排除A 、B 又应为x 6cos 是值域[]1,1-上的周期函数，所以选D 例3、函数x x x f tan 2)(-=在?? ? ??-2,2ππ上的图象大致为（ ） 解析: 当-→2π x 时, +∞→x tan ,-∞→-x tan ,-∞→-x x tan 2, -∞→∴)(x f ,排除B 、D 选项 当 +-→)2 (π x 时, -∞→x tan ,+∞→-x tan ,+∞→-x x tan 2,+∞→∴)(x f 排除A 选项 故选C 例4、函数x e e y x x sin )(--=的图象（部分）大致是（ ）

【文献综述】极限思想在实际生活中的应用

文献综述 信息与计算科学 极限思想在实际生活中的应用 极限思想的完善与微积分的严格化密切联系. 在很长一段时间里, 许多人尝试解决微积分理论基础的问题, 但都未能如愿. 这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量. 而人们对变量数学特有的规律还不十分清楚. 对变量数学和常量数学的区别和联系还缺乏了解. 对有限和无限的对立统一关系还不明确. 人们使用习惯了的处理常量数学的传统思想方法, 就不能适应变量数学的新需要, 仅用旧的概念说明不了这种“零”与“非零”相互转化的辩证关系. 早在我国春秋战国时期, 中国就有了极限思想的萌芽. 在《庄子·天下篇》中有名家惠施(约公元前370-310年)提出的“至大无外谓之大一, 至小无内谓之小一”以及“一尺之锤, 日取其半, 万世不竭”的无限观. 在《庄子·秋水》中还有“至精无形, 至大不可围”的说法, 与惠施的观点相同. 在墨家的代表作 《墨经》中, 包含有一定的极限思想. 墨子(约公元前478-392年) 认为:“宇, 弥异所也”（《经上》）; 宇, 东、西、家、南、北”(《经说上》); “久, 弥异时也”(《经上》); “久, 古, 今, 旦, 莫”(《经说上》). “弥”有“遍”、“满”的意思, 可用来表示无穷. 墨子认为宇宙无边无际, 时间无始无终, 含有无穷大的观念. 而且, 墨家已用具体、形象的语言给出了“有穷”、“无穷”的定义. “穷, 或有前不容尺”(《经上》) . “穷, 或不容尺, 有穷; 莫不容尺, 无穷”(《经说上》). “或”指“域”, “穷”指一个区域向前量去只剩不到一尺的距离. 一个区域向前量去只剩不到一尺的的距离, 这是有穷; 如果继续量下去, 前面总是长于一尺, 就是无穷. 《墨经》中关于极限思想还有一个精辟的论述:“非半, 勿著斤则不动, 说在端”（《经下》）; “非著斤半, 进前取也, 前则中无为半, 犹端也; 前后取, 则端中也, 著斤必半, 毋与非半, 不可著斤也. ”（《经说下》）; “著斤”有“斫取”、“分割”的意思. 墨家认为把一段木棒不断地斫去一半, 当这种斫半的过程不能再进行下去的时候, “半”就变成了“非半”, 这是因为有“端”（点）存在的缘故. 而且他们还给出了得到“端”的两种方式： 一是“进前取”, 即设木棒长为, 如图1, 去掉的一半, 得, 去掉的一半AB AB AC AC 得, 去掉的一半得, 依此至无穷次, 便得到端点. 1AC 1AC 2AC A

中心极限定理的应用

毕业论文 题目中心极限定理的应用 学生姓名张世军学号1109014148 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静 2015 年 5 月 25 日

中心极限定理的应用 张世军 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西汉中 723000） 指导教师：程小静 [摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明；其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。 [关键词]随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算 Central Limit Theorem of Application Zhang Shijun (Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics and computer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi) Tutor: Cheng Xiaojing Abstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the application. Keywords：Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory;Approximate calculation