摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。
关键词：极限思想，应用
Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.
Keywords:the limit idea，application
目录
1 绪论 (3)
1.1研究意义 (3)
1.2国外研究现状 (3)
1.3 本文解决的主要问题 (3)
2数学极限思想的在解题中应用 (5)
2.1数学极限思想在数列中的应用 (5)
2.1.1利用极限思想处理无穷等比数列 (5)
2.1.2利用极限思想简化运算过程，优化解题方案 (6)
2.2数学极限思想在函数中的应用 (7)
2.2.1利用极限思想确定函数图像 (7)
2.2.2利用极限思想确定函数定义域 (7)
2.2.3利用极限思想求未知变量的取值围 (8)
2.3数学极限思想在三角函数中的应用 (9)
2.3.1通过求极端位置求三角函数的取值围 (9)
2.3.2通过假设极端状态推出角的取值围 (9)
2.4数学极限思想在不等式中的应用 (10)
2.4.1通过假设变量的极限求得答案 (10)
2.4.2利用极限思想解决不等式证明题 (10)
2.4.3应用极限思想并结合排除法解决不等式解集问题 (11)
2.5数学极限思想在平面几何图形中的应用 (11)
2.5.1利用极限思想求某些平面图形阴影部分面积 (11)
2.5.2利用极限思想解决圆锥图形的问题 (12)
2.6数学极限思想在立体几何中的应用 (14)
2.6.1数学极限思想在解决求立体图形体积中的应用 (14)
2.6.2利用极限思想探索立体图形的等量关系 (14)
2.6.3利用极限思想解决探索动点轨迹 (14)
3对一道数学题探索解题思路 (16)
结论 (17)
辞 (18)
参考文献 (19)
1 绪论
极限思想是近代数学的一种重要思想，数学分析中的一系列重要概念如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助极限来定义的。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。随着高中课程的改革，高考中将加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。
本文就数学极限思想在解决几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。
1.1研究意义
极限思想作为一种重要思想，在整个数学发展史上占有重要地位。极限思想在现代数学乃至物理学中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简，拓宽考虑问题的思路，为数学问题的顺利解决提供较大的帮助。
1.2 国外研究现状
由于数学中的极限思想对学生数学思维方法培养的重要性，因此数学极限思想的相关问题一直受到国外众多学者的关注。如为了引起广大师生对极限思想广泛关注和高度重视，苟玉德和董玉武在2006年给出了《渗透极限思想，优化解题过程》，说明了利用极限思想，把问题放置于极限状态，能提高解题能力；2007年明远给出了《极限思想在解题中的应用》，通过列举极限在函数、三角函数、数列、不等式和解析几何中的应用说明极限思想对于优化解题过程，降低解题难度的重要作用；道斌于2007年发表了《利用极限思想巧解立几问题》，列举了极限思想在解决一些立体几何选择题的例；2005年黄加卫给出了《极限思想在数列中的几个“闪光点”》,认为极限是微积分中最基本、最主要的概念，同时列举了极限思想在解决等比数列问题和数列证明中的几个例；2007年徐素琳给出了《极限思想的妙用》，认为极限思想即运用“化整为零，又积零为整”的思想在图形面积、周长、体积和函数等方面有重要作用；2007年牛保华给出了《极限思想在解题中的应用》，分析了极限思想在解题时简化运算过程、优化解题方案、探索解题思路的作用。
1.3 本文解决的主要问题
本文主要对数学极限思想在数列中、在立体几何中、在函数中、在三角函数中、在不等式中和在平面几何图中的应用进行分析，然后具体比较了数学极限思想和一般解法在解决一道数学题的不同，进而反映了极限思想的优势。
2 数学极限思想的在解题中应用
2.1 数学极限思想在数列中的应用
2.1.1 利用极限思想处理无穷等比数列
例1：（1）已知数列{}n c ，其中23n n n c =+，且数列{}1n n c pc +-为等比数列，求常数p ；
（2）已知数列{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n c a b =+，证明: 数列{}n c 不是等比数列。
解：（1）设{}1n n c pc +- 的公比为q ，则有：
()()
22112111123232323n n n n n n n n n n n n p c pc q c pc p ++++++++++-+-==-+-+()()()()1122332233n n n n p p p p ++-+-=-+- ()()()()2223332233n
n p p p p ??-+- ???
=??-+- ??? 对上式两端取极限，当3p =时，lim22n q →∞
==； 当3p ≠时，()()
033lim 303n p q p →∞+-==+-，此时，()2113n n n n c pc c pc +++-=-，即()()()2211112323323323n n n n n n n n p p +++++++-+=+-+
整理得21122322n n n n p +++-=?-，即4263p p -=-，得2p =
故常数2p = 或3p =。
（2） 假设数列{}n c 是等比数列，设{}n a 、{}n b 、{}n c 的公比分别为p ，q ，r
()p q ≠，n n n c a b =+111111111
1111n
n n
n n n n n n n n n p a b q c a b a p b q r c a b a p b q a b p p q q +++--??+ ?++??∴====++??+ ??? 两边取极限：
若p q =，,,1p p q p q q
≠∴=-=-，此时左边极限为r ，右边极限不存在，矛盾； 若p q ≠，不妨设1p q <,则1111
11lim lim n n n n p a b q b r q b a b p q p q q →∞→∞??+ ???
===??+ ???
此时()11111111111n n n n n n n n a c b c r b q c q b q c b q -----=-=-=-=-
表明数列{}n a 的公比p q =，这与题设矛盾。故假设不成立，即数列{}n c 不是等比数列。
注1:极限分析法是处理无穷等比数列的一个有效方法，设数列{}n a 是公比为q 的无穷等比数列, 将1n n a q a +=两边取极限, 得1lim lim n n n n
a q q a +→∞→∞==，说明等比数列中的1n n a a +的极限存在, 且就是公比q 。
2.1.2利用极限思想简化运算过程，优化解题方案
例2：已知数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数N ，总有12n n n a a a +=
-, 是否存在实数a 、b , 使得23n n a a b ??=-- ???
对于任意自然数N 恒成立? 若存在，给出证明；若不存在，说明理由。
分析：解此题的一般思路是，按照“从一般到特殊, 再从特殊到一般”的思维原则。 先从具体、特定的实例入手, 从中探测出问题的结论, 再经过严格的论证, 但这样解题过程比较复杂，不如用极限思想优越，因为本题有它的特殊性，可利用极限考虑。
解：如果这样的a ，b 存在的话, 则由23n
n a a b ??=-- ???
可得lim n n a a →∞=， 对12n n n a a a +=-两边取极限, 得2a a a =-，解得0a =或3a = 若0a =, 则数列{}n a 应该是以1为首项, 以23
-为公比的等比数列。显然不可能对任意的正整数N 都满足12
n n n a a a +=-
本科毕业论文（设计） 极限思想及其应用 学生姓名：孙金龙 学 号：071611140系 部：应用数学系专业：金融数学 指导教师：刘炎讲师 提交日期：2011年3月21日 广东金融学院 2008-JX16-
毕业论文基本要求 1．毕业论文的撰写应结合专业学习，选取具有创新价值和实践意义的论题。 2．论文篇幅一般为8000字以上，最多不超过15000字。 3．论文应观点明确，中心突出，论据充分，数据可靠，层次分明，逻辑清楚，文字流畅，结构严谨。 4．论文字体规范按《广东金融学院本科生毕业论文写作规范》和“论文样板”执行。 5．论文应书写工整，标点正确，用用微机打印后，装订成册。
本科毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学生签名： 时间：年月日 关于论文（设计）使用授权的说明 本人完全了解广东金融学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务，在校园网上提供服务； 3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 本人同意上述规定。 学生签名： 时间：年月日
摘要 极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。 极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。极限思想是微积分理论的基础，而微积分与经济学、物理学、机械自动化等与生活息息相关的学科是密不可分的。尤其是对于经济学来说，是一个透过现象看本质的必不可少的工具，经济学的核心词语“边际”便是一个将导数经济化的概念。只有结合微积分等数学知识，才能使经济学从一个仅仅对表面现象进行肤浅的常识推理、流于表面化的学科，变为一个用科学的方法进行数理分析、再结合各社会学科的丰富知识，从而分析出深层次的、更具有广泛应用性的基本结论的学科。 其他学科也是如此，极限思想的应用无处不在，理解掌握并合理应用极限要思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高实际效果.本文就利用数学的极限思想在解决各个学科中的实际问题的思考过程做出初步的探索和分析。 [关键词]：极限思想；微积分；经济学
极限思想在高中解题中的运用 宜宾县一中 雷勇 极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会是我们的解答简单而高效。 所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。 例1、过抛物线 )0(2 >=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别是p 、q ,则q p 1 1+等于（ ） (A)a 2 (B) a 21 (C) a 4 (D) a 4 分析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求a q p 、、的关 系，过程繁琐，且计算较复杂。若能充分借助于极限思想即取PQ 的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ 绕点F 顺时针方向旋转到与y 轴重合，此时Q 与O 重合，点P 运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了， 它是弦的一种极限情形，因为 a OF p QF 41 = ==，而+∞→=q PF ，所以 a q p 41 1→+，故选择（C ）。针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。 例2、正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A （ 2,n n ππ-） B （1 ,n n ππ-） C （0,2 π ） D （ 21 ,n n n n ππ--） x y F P Q O H A n A 1 A 2 A 3 S
极限思想在小学数学教学中的渗透-小学数学论文-教育期刊 网 极限思想在小学数学教学中的渗透 浙江湖州市织里镇轧村小学（３１３００８）陆小琴 极限思想作为社会实践的产物，在近代数学中有着极其重要的地位，它主要是通过极限概念分析和解决数学问题，由于其本身固有的思维功能，在现代数学中有着广泛的应用，更是微积分的基本思想。 一、数学教学中融合极限思想 小学数学作为小学生的启蒙学科，正确教学方法的运用有利于学生在以后高等数学中顺利学习。这就要求教师在教学中融合极限思想，使学生养成良好的思维惯式。 如在四年级下册中有关循环小数的学习中，我首先在黑板中写出１与３两个数相除，运算得出结果为０．３３３……，以此为基准，得出循环小数概念，即在小数点后某一位开始依次不断重复出现的前一个或一节数字的十进制无限小数，叫做循环小数。随后，我再提出“０．９９９……是否等于１”的问题，学生普遍认为：无论小数点后的９的数量如何增加，它也只能无限接近于１，但始终不等于１。于是，我以代数法进行证明： 假设x＝０．９９９…… １０x＝９．９９９…… １０x－x＝９．９９９……－０．９９９…… 即９x＝９，所以x＝１。 这种在教授新的知识点中融合极限思想的教学方法，能够使学生在脑海中对无限
等概念形成较为直观的印象，并由此加深记忆。 二、数学概念推导中渗透极限思想 数学公式、定理和概念是学生解答题目的前提和关键，但是数学概念和公式定理通常短小精悍，这是小学数学教学中的难题。而在数学概念中渗透极限思想不仅能够加深学生对数学概念的理解，还能够激发学生学习数学的兴趣。 如小学六年级“平面图形的周长和面积”一章中，一般学生需要记住周长和面积的公式，但是公式过于抽象化，容易造成学生不求甚解，生搬硬套。例如在对圆的面积公式进行推导时，以小组为单位，我让学生把一个圆形纸片进行数次对折，并讨论：圆形纸片在对折过程中有什么变化规律。学生在对折过程中发现圆在进行对折后越来越接近于三角形。当把圆形展开后，学生更加惊讶地发现：折痕把一个完整的圆分成了无数个等腰三角形，而且三角形的腰长与圆形的半径是相等的。通过计算三角形的周长和面积，学生最终自己得出了圆形的周长和面积，并且利用这一极限规律，推导出了整个圆形的面积公式。随后，我引导学生对圆形进行剪裁组合。学生发现，把圆形沿折痕进行剪裁后，就可以把圆转化为长方形、梯形等。这样，学生独自推导出的公式自然会深深印在脑海中。 随后，在进行第二单元“圆柱和圆锥”的学习时，不同于平面图形的学习，这里要求学生具有空间想象能力。因此在进行圆柱体积公式推导时，我引导学生在观察有限分割的基础上，建立起无限分割的想象，并通过图形分割拼合的变化趋势，最终想象出图形的最终形态。在教学中，我把学生分成几个小组，要求学生对圆柱体模型进行自主切割拼合，并进行小组成果汇报。有的学生发现，圆柱的底面是一个圆形，那把它平均分成无数份，最终可以拼合成一个长方形，而圆柱体就变成了一个长方体，由此可以得出：圆柱的体积＝底面积×高。另外也有学生从
青岛农业大学本科生课程论文 题目：中心极限定理及其应用姓名： 学院： 专业： 班级： 学号： 指导教师： 2012 年06 月27 日
青岛农业大学课程论文任务书 论文题目中心极限定理及其应用 要求完成时间 2012年 07 月 02 日 论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。 资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。 指导教师签名：年月日
中心极限定理及其应用 信息与计算科学专业（学生姓名） 指导教师（老师姓名） 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量
Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable
摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。 关键词：极限思想，应用 Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change. Keywords:the limit idea，application
中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。 于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
极限思想在小学数学教材中的渗透 教育科学学院小学教育专业100401056 赵倩 指导教师苏明强副教授 【摘要】数学教学既要教授知识技能，也要重视学生对数学思想的感悟。极限思想作为小学数学常见的数学思想之一，蕴含在小学数学的诸多知识领域中。本文将立足于小学这一教育阶段，以北师大版小学数学教材为例，针对“极限思想”在教材中的渗透进行初步探索，挖掘教材中所蕴含的极限思想，为教师进行教材分析，设计教学方案提供参考。 【关键词】极限思想；小学数学；教材；北师大版 在《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程目标中的“总目标”明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”[1]其中新增的“基本思想”则对应三维目标中的“过程与方法”，注重在学生学习数学知识的过程中体会数学思想。从这一变化上可以看出，课程标准重视在数学教学中渗透数学的基本思想，重视数学思想对学生思维发展的作用。 极限思想是一种重要的数学思想，在小学数学教材中十分常见。所谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某个对象在无限变化过程中变化结果的思想。它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辩证思想。[2]极限思想蕴含在小学数学诸多知识领域中。基于此，本文将立足于小学这一特定的教育阶段，针对“极限思想”在小学数学教材中的渗透进行初步探索，挖掘不同教学内容中所蕴含的极限思想，为教师的教学设计提供参考。 一、极限思想在数与代数中的渗透 （一）数的认识中的蕴含的极限思想
《数学》三年级下册P2。教材以学生最为熟知的买文具的生活情境进行导入，以呈现商品价格来引出小数。“像3.50,1.06,16.85……这样的数，都是小数。”通过用省略号来表示余下的小数，由此可以知道，小数的个数有无数个。小数可以越来越大，也可以越来越小，小数是数不完的。在教学中可以从“数量”上突出“无限多”，渗透极限的数学思想。 《数学》三年级下册P4。小数有无限多个与其等值的小数。例如：与0.5相同的小数有无限多个。因此，在比较两个小数的大小时，可以转化成与原小数等值的小数进行比较。 《数学》三年级下册P54。分数的个数是无限多的。教材以分苹果，分割圆片为例，引出分数的表示方法。把一张纸等分为四份，其中一份用 41表示，其中的两份用4 2 表示……随着份数的逐渐增加，则可用于表示的分数也增加。如果将物体一直分下去，那么这是一个 “无限”的过程。在这个无限“分”的过程中产生的分数越来越多，直至无限多个。因此，分数的个数是无限多的。分数可以无穷大，也可以无穷小。这里蕴含着极限的数学思想，教学时可以适时让学生体会分数的个数有无数个。 《数学》四年级上册P4。数可以越来越大，没有尽头。教材以数位表的形式展示数的
中心极限定理及其应用 [摘要] 在中心极限定理的基础上，通过实例介绍它的应用。 [关键词] 中心极限定理随机变量应用 中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容，而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了，无论随机变量服从什么分布，个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中，通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例，能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。 一、两个常用的中心极限定理 根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。 定理1 列维—林德伯格（Levy-Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差.则随机变量 的分布函数Fn（x）对于任意x满足 （5.7） 从定理1的结论可知，当n充分大时，有 或者说，当n充分大时，有 如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）。则（5.8）式说明，作为总和这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。 定理2（棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 设随机变量X服从参数为n，p （0＜p＜1）的二项分布，即，则
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/1e17941324.html, 浅论极限思想在小学数学中的应用 作者：王琳 来源：《中国校外教育(中旬)》2020年第07期 【摘要】极限思想是近代数学的一种重要思想。随着我国对数学教育教学改革力度的不断加大，从小学数学开始抓起，注重将数学思想植根于小学生的脑海里，使他们应用极限思想的思维方式、量化方法和内在规律，来指导他们分析问题和解决问题，理解问题和总结问题，从而激发学生的学习兴趣，提高他们的数学素养和综合能力，使小学数学教学质量得到有效提升。 【关键词】极限思想小学数学应用 一、极限思想在小学数学教学中应用的重要意义 随着教育体制改革，数学的教育教学改革力度也在不断地加大，注重从小学数学开始抓起，将数学思想牢牢植根于小学生的脑海里，用来指导他们分析问题和解决问题，充分调动学生的参与激情，变被动为主动，激发他们的学习兴趣，活跃课堂气氛，化繁为简，有效提高课堂的教学质量。 1.激发学习兴趣，变被动为主动，充分调动学生的参与激情 小学生思维比较活跃，喜欢动脑筋，但小学阶段数学的内容相对简单，基本概念比较多，而且受传统教育模式的影响，课堂教学以老师讲，学生听为主，学生的学习兴趣不高。那么，将极限思想渗透到小学数学教学过程中，让学生充分发挥想象，扩散他们的思维，比如，老师在讲射线概念的时候，它是由线段的一端无限延长所形成的直的线，那个“无限延长”就是极限思想的体现，让学生尽情地想象，就像铁轨一眼望不到头，就像喷气式飞机在天空留下的飞行轨迹一样直到天际之外，又像远行的航船驶向海的尽头。通过学生积极的思维活动，有利于激发他们的学习兴趣，变被动为主动。 2.活跃课堂气氛，化繁为简，有效提高课堂的教学质量 小学生的思维虽然相对活跃但思维能力有限，小学阶段数学概念较多，有些概念解释起来比较饶舌，学生往往理解困难，使课堂气氛沉闷。这时老师要改变教学方法，将极限思想渗透给学生，比如在学习无限小数的时候，按照传统的教学方法，老师将无限小数的概念告诉学生并让他们记住就完事了，虽然在学生脑海里对无限小数概念中的“无穷尽”有一个大大的问号，但教材就是这样说的，老师的讲解也到此为止了。但是，应用极限思维的方法，老师引导学生积极思考，将“无穷尽”与生活结合起来，像海水能斗量吗？天上的星星能数过来吗？这样学生
开题报告 信息与计算科学 极限思想在实际生活中的应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义 极限的思想可以追溯到我国古代, 刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用; 古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想, 但由于希腊人“对无限的恐惧”, 他们避免明显地“取极限”, 而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明. 到了16世纪, 荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法, 他借助几何直观, 大胆地运用极限思想思考问题, 放弃了归缪法的证明. 如此, 他就在无意中指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向. 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的. 16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期, 生产力得到极大的发展, 生产和技术中大量的问题, 只用初等数学的方法已无法解决, 要求数学突破只研究常量的传统范围, 而提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具, 这是促进极限发展、建立微积分的社会背景. 起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分, 后来因遇到了逻辑困难, 所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想. 牛顿用路程的改变量与时间的改变量之S ?t ?比表示运动物体的平均速度, 让无限趋近于零, 得到物体的瞬时速度, 并由此引S t ??t ?出导数概念和微分学理论. 他意识到极限概念的重要性, 试图以极限概念作为微积分的基础, 他说:“两个量和量之比, 如果在有限时间内不断趋于相等, 且在这一时间终止前互相靠近, 使得其差小于任意给定的差, 则最终就成为相等.”但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的, 因而他无法得出极限的严格表述. 牛顿所运用的极限概念, 只是接近于下列直观性的语言描述, “如果当无限增大时, 无限地接近于常数, 那么就说以为极限” . n n a A n a A 这种描述性语言, 人们容易接受, 现代一些初等的微积分读物中还经常采用这种定义. 但是, 这种定义没有定量地给出两个“无限过程”之间的联系, 不能作为科学论证的逻辑基础. 正因为当时缺乏严格的极限定义, 微积分理论才受到人们的怀疑与攻击, 极限思想的完
百度文库- 让每个人平等地提升自我 分类号 编号 毕业论文 题目极限思想在中学数 学中的应用 学院数学与统计学院 姓名x x x 专业数学与应用数学 学号3 研究类型x x x x x x 指导教师x x x 提交日期2013-5-10
原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：年月日 论文指导教师签名：
目录 摘要：极限在中学数学中有重要的地位，对中学数学学习有着重要意义.本文结合当前当前中学数学教学实际，介绍了极限的发展历史和极限思想在函数、解析几何、函数图像等方面的应用，通过对比，突出了极限思想在中学数学中的重要性，不但降低了问题难度，而且对开发学生思维、提升创造能力也有很大帮助. 0 关键字：极限思想中学数学教学 0 极限思想在中学数学中的应用 (1) 引言 (1) 1、极限思想的发展 (2) 最早的极限思想 (2) 极限思想的早期应用 (2) 2、极限思想在中学数学中的应用 (3) 在运动变化过程中把握极限位置 (3) 利用函数图像把握极限位置 (4) 极限思想在函数中的渗透 (5) 用极限思想解决立体几何中的有关问题 (8) 总结 (9) 参考文献 (9)
极限思想在中学数学中的应用 x x （天水师范学院数学与统计学院，甘肃，天水，741000，） 摘要：极限在中学数学中有重要的地位，对中学数学学习有着重要意义.本文结合当前当前中学数学教学实际，介绍了极限的发展历史和极限思想在函数、解析几何、函数图像等方面的应用，通过对比，突出了极限思想在中学数学中的重要性，不但降低了问题难度，而且对开发学生思维、提升创造能力也有很大帮助. 关键字：极限思想中学数学教学 Application of limit thought in mathematics teaching in high school Wang Hui (School of mathematics and statistics, Tianshui Normal University, Gansu, Tianshui, 741000,) Abstract: the limit is an important content in the middle school mathematics, has important significance to the middle school mathematics learning. According to the current state of the current middle school mathematics teaching practice, introduces the application of historical development and the ultimate limit thought in function, analytic geometry, function image etc, by contrast, highlight the importance of limit thought in middle school mathematics of, not only reduces the difficulty, but also on the development of students' thinking, creative ability also to have the very big help. Keywords: limit thought in mathematics teaching in middle school
中心极限定理的涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。
题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。
关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，
小学数学教学中极限思想的渗透点 北京市东城区教师研修中心高泽新 ［摘要］极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念。极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础，极限的思想方法为数学的发展提供了有力的思想武器。当今数学教学界，非常重视数学思想方法在教学中的渗透。然而实际教学中，部分教师对极限思想方法的理解及应用还存在着偏颇，本文将在小学数学教学中极限思想的渗透上提出自己的观点。 ［关键词］数学思想极限思想极限思想的渗透点 极限是用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态的概念[1]。极限的思想方法为建立微积分学提供了严格的理论基础，极限的思想方法为数学的发展提供了有力的思想武器。当今数学教学界，非常重视数学思想方法在教学中的渗透。然而在小学数学的实际教学中，部分教师对极限思想方法的理解及应用还存在着一定的忽视，本文对如将极限的思想方法应用于小学数学教学之中,提出自己的观点和同行们探讨与交流。 这是大家都非常熟知的一个故事：有一个牧民，临终前要把17匹马分给他 的3个儿子。于是留下遗嘱：分给老大，分给老二，分给老三。牧民死后， 三个儿子都不知道如何来分。一位邻居牵来自己的一匹马来帮忙分，这时就有18匹马了，所以老大得9匹，老二得6匹，老三得2匹，邻居牵着自己的那匹走了。 有人对上述分马的方法提出了异议，认为这实际上分的是18匹马，而不是17匹。那么我们不妨换一种办法来分: 共17匹马。老大可以分得：17×=匹；老二可以分得：17×=匹；老三分得17×=匹。还剩下17－－－=匹。
我们就把剩下匹马按遗嘱继续分。老大又可以分得：匹；老二又 可以分得：匹；老三又分得匹。还剩下匹。就这样我们可以继续不断地分下去…… 现在让我们来看一看老大分得的马匹数： 第一次得，第二次得，第三次得，……，第ｎ次得 ……这是一个无穷递缩等比数列，这个数列所有项的和是S=+ ++…++…==9，即老大分得9匹。 利用这种办法我们也可以求出：老二可以分得6匹，老三可以分得2匹。而9+6+2=17，恰好分完。这样既满足了牧民的心愿，又符合规则，问题得到圆满解决。 “借马分马”的故事虽然简单，但第二种分马的方法其中所蕴含的极限思想却极其珍贵。如果你只认识到“只分一次”是不够的，这种办法的核心是要将分 遗产的过程无限的进行下去，每分一次剩下的马匹数都缩小到上一次的，最 后每个人分得的马匹数就逼近于一个整数了，这实际就是极限的思想的一个具体应用。
有很多问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来的，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生了极限概念和极限方法。 起初牛顿和莱布尼茨将无穷小的概念作为基础建立微积分，后来遇到了一些逻辑方面的坎坷，所以在他们探究的晚期都会有不同程度地接受了极限思想。牛顿运用路程的变量S ?和时间的变量t?之比 表示了运动物体的平均速度，让t?无限地趋近于零，这样就会得到物体的瞬时速度，因此引出了导数的概念和微分学理论等知识。牛顿发现了极限概念的重要性，尝试将极限概念作为微积分研究的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限的时间内不断趋近于相等，且在这一时间结束之前前互相靠近，使两个两个量和量之比差小于任意给定的差，最终就成为了相等”。但是牛顿的极限思想也是建立在几何直观上的，因此他将无法得出极限的严格而精确的表述。牛顿所应用的极限的概念，只是接近以下直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，a n无限地接近于常数A，那么就说a n以A为极限。” 例，圆是一个曲边形，它的内接正多边形是直边形，二者有内在的区别，但是这个区别又不是相绝对的，在一定的限制和所给的条件下，圆的内接正多边形可以转化为该圆周。这个条件就是“若一个圆的内接正多边形的边数无限制增多时”，注意其中“无限”二字。因此在无限的过程中，直边形可以转化为曲边形，也就是说在无限过程中，根据直边形的周长数列从而得到了曲边形的周长。这种表现就是极限的思想及方法在定义圆的周长上的应用。 根据圆的周长定义和描述，显然就会计算出半径为R的圆的周长即C=2 πR。其中，π是圆周率，R是常数。那么这个圆的周长公式是怎样得到的呢？ 我们会用直尺度量线段的长，从而也就会度量多边形的周长，因而多边形的周长是已知的。圆的周长是一条封闭的曲线，不可能用直尺直接量出它的长度。这就出现了一个新的问题：何谓圆的周长？也就是，怎样定义圆的周长？这是计算圆的周长的基础。圆的周长是个未知的新概念。我们都知道这个道理，一个新的概念必须是建立在已知概念的基础上的。在这里一个完全陌生的圆的周长是建立在已知的多边形周长的基础上的。然而我们怎么样借助于一个已知的多边形的周长去定义圆的周长呢？ 追溯到我国古代，数学家刘徽在魏景元四年（公元263年）创立的“割圆术”，这种方式就是借助于圆的一串内接正多边形的周长数列定义了圆的周长。割圆术的原理：起初做圆的内接正六边形，然后平均等分分每个边所对应的弧，接着做圆的内接正十二边形，就这样以此类推应用同样的方法，继续作一个圆的内接正二十四边形，
本科生毕业论文（设计） 题目大数定律与中心极限定理的 关系及应用 姓名学号 院系数学科学学院 专业数学与应用数学 指导教师职称 2013年4 月16 日 曲阜师范大学教务处制
目录 摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Key words (3) 引言 (3) 1 大数定律与中心极限定理的关系 (4) 1.1预备知识 (4) 1.1.1大数定律 (4) 1.1.2中心极限定理 (5) 1.2大数定律与中心极限定理的关系 (6) 1.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子 (7) 1.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子 (8) 1.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子 (9) 2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 (10) 2.1 在误差分析中的应用 (10) 2.2 在数学分析中的应用 (11) 2.3 在近似计算中的应用 (13) 2.4 在保险业中的应用 (14) 2.5 在企业管理方面的应用 (15) 结论 (16) 致谢 (16) 参考文献 (17)
大数定律与中心极限定理的 关系及应用 摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。 关键词：大数定律中心极限定理随机变量应用 Relationship and Applications between the Law of Large Number and Central Limit Theorem Student majoring in mathematics and applied mathematics Bai Yanfei Tutor Liu Li Abstract: Based on the law of large numbers and central limit theorem in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the random variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value. Key words: Laws of large number; Central-limit theorem; Random variables; Applications 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。 而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分
极限思想在高中解题中的运用 多伦县第三中学 刘洪庆 极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会使我们的解答简单而高效。 所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。 数学思想方法是数学的灵魂，没有数学思维就没有真正的数学学习。要让学生学好数学，用好数学，就要让学生走进数学的“灵魂深处”。 给大家介绍说明本文要用到的数学符号: ”。 “负向趋近于”表示③“”。 “正向趋近于”表示②““趋近于”。”表示①“a :a a :a : -→+→→ 举例: 大”。且比“正向趋近于”表示“11:1+→ 小”。且比“负向趋近于”表示“11:1-→ 例1、函数x x x x e e e e y ---+=的图象大致为（ ） 解析： x x x x x x x x e e e e e e e e y 11-+ =-+=--
当 +→0x 时，+→1x e ， -→11x e ，∴+→-0)1(x x e e 、2)1(→+x x e e ， +∞→+ =∴02y 。 故排除B 、C 、D 。 选A 例2、函数x x x y --=226cos 的图象大致为（ ） 解析：当 +→0x 时，+→12x ， -→121x ，∴+→-0)212(x x ，16cos →x ， ∴+∞→+ =01y 。 当 -→0x 时，-→12x ， +→121x ，∴-→-0)212(x x ，16cos →x ， ∴-∞→- =01y 。 排除A 、B 又应为x 6cos 是值域[]1,1-上的周期函数，所以选D 例3、函数x x x f tan 2)(-=在?? ? ??-2,2ππ上的图象大致为（ ） 解析: 当-→2π x 时, +∞→x tan ,-∞→-x tan ,-∞→-x x tan 2, -∞→∴)(x f ,排除B 、D 选项 当 +-→)2 (π x 时, -∞→x tan ,+∞→-x tan ,+∞→-x x tan 2,+∞→∴)(x f 排除A 选项 故选C 例4、函数x e e y x x sin )(--=的图象（部分）大致是（ ）