摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几
类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在
三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学
极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂
的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点
看待并解决问题。
关键词：极限思想，应用
Abstract: In this paper, the application of the limit idea in solving problems is explained. What’s more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.
Keywords: the limit idea，application
目录
1 绪论 (3)
1.1 研究意义 (3)
1.2 国内外研究现状 (3)
1.3 本文解决的主要问题 (3)
2 数学极限思想的在解题中应用 (5)
2.1数学极限思想在数列中的应用 (5)
2.1.1利用极限思想处理无穷等比数列 (5)
2.1.2利用极限思想简化运算过程，优化解题方案 (6)
2.2数学极限思想在函数中的应用 (7)
2.2.1利用极限思想确定函数图像 (7)
2.2.2利用极限思想确定函数定义域 (7)
2.2.3利用极限思想求未知变量的取值范围 (8)
2.3数学极限思想在三角函数中的应用 (9)
2.3.1通过求极端位置求三角函数的取值范围 (9)
2.3.2通过假设极端状态推出角的取值范围 (9)
2.4数学极限思想在不等式中的应用 (10)
2.4.1通过假设变量的极限求得答案 (10)
2.4.2利用极限思想解决不等式证明题 (10)
2.4.3应用极限思想并结合排除法解决不等式解集问题 (11)
2.5数学极限思想在平面几何图形中的应用 (11)
2.5.1利用极限思想求某些平面图形阴影部分面积 (11)
2.5.2利用极限思想解决圆锥图形的问题 (12)
2.6数学极限思想在立体几何中的应用 (14)
2.6.1数学极限思想在解决求立体图形体积中的应用 (14)
2.6.2利用极限思想探索立体图形的等量关系 (14)
2.6.3利用极限思想解决探索动点轨迹 (14)
3 对一道数学题探索解题思路 (16)
结论 (17)
谢辞 (18)
参考文献 (19)
1 绪论
极限思想是近代数学的一种重要思想，数学分析中的一系列重要概念如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助极限来定义的。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。随着高中课程的改革，高考中将加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。
本文就数学极限思想在解决几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。
1.1研究意义
极限思想作为一种重要思想，在整个数学发展史上占有重要地位。极限思想在现代数学乃至物理学中有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简，拓宽考虑问题的思路，为数学问题的顺利解决提供较大的帮助。
1.2 国内外研究现状
由于数学中的极限思想对学生数学思维方法培养的重要性，因此数学极限思想的相关问题一直受到国内外众多学者的关注。如为了引起广大师生对极限思想广泛关注和高度重视，苟玉德和董玉武在2006年给出了《渗透极限思想，优化解题过程》，说明了利用极限思想，把问题放置于极限状态，能提高解题能力；2007年刘明远给出了《极限思想在解题中的应用》，通过列举极限在函数、三角函数、数列、不等式和解析几何中的应用说明极限思想对于优化解题过程，降低解题难度的重要作用；孙道斌于2007年发表了《利用极限思想巧解立几问题》，列举了极限思想在解决一些立体几何选择题的范例；2005年黄加卫给出了《极限思想在数列中的几个“闪光点”》,认为极限是微积分中最基本、最主要的概念，同时列举了极限思想在解决等比数列问题和数列证明
中的几个范例；2007年徐素琳给出了《极限思想的妙用》，认为极限思想即运用“化整为零，又积零为整”的思想在图形面积、周长、体积和函数等方面有重要作用； 2007年牛保华给出了《极限思想在解题中的应用》，分析了极限思想在解题时简化运算过程、优化解题方案、探索解题思路的作用。
1.3 本文解决的主要问题
本文主要对数学极限思想在数列中、在立体几何中、在函数中、在三角函数中、在不等式中和在平面几何图中的应用进行分析，然后具体比较了数学极限思想和一般解法在解决一道数学题的不同，进而反映了极限思想的优势。
2 数学极限思想的在解题中应用
2.1 数学极限思想在数列中的应用
2.1.1 利用极限思想处理无穷等比数列
例1：（1）已知数列{}n c ，其中23n n n c =+，且数列{}1n n c pc +-为等比数列，求常数p ；
（2）已知数列{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n c a b =+，证明: 数列{}n c 不是等比数列。
解：（1）设{}1n n c pc +- 的公比为q ，则有：
()()
22112111123232323n n n n n n n n n n
n n p c pc q c pc p ++++++++++-+-==-+-+()()()()11
22332233n n n
n p p p p ++-+-=-+- ()()()()222333
2233n
n p p p p ??
-+- ???=??
-+- ???
对上式两端取极限，当3p =时，lim22n q →∞
==；
当3p ≠时，()()
033lim 303n p q p →∞+-==+-，此时，()2113n n n n c pc c pc +++-=-，即
()()()2211112323323323n n n n n n n n p p +++++++-+=+-+ 整理得21122322n n n n p +++-=?-，即4263p p -=-，得2p = 故常数2p = 或3p =。
（2） 假设数列{}n c 是等比数列，设{}n a 、{}n b 、{}n c 的公比分别为p ，q ，r
()p q ≠，n n n c a b =+11
1111111
1111
n
n n
n n n n
n n n n n p a b q
c a b a p b q r c a b a p b q a b p p q q +++--??
+ ?++??∴==
==++??+ ???
两边取极限：
若p q =，
,,
1p
p q p q q
≠∴=-=-，此时左边极限为r ，右边极限不存在，矛盾； 若p q ≠，不妨设1p q <,则11
11
11lim lim n
n n n p a b q b
r q b a b p q p q q →∞→∞??+ ???===??+ ???
此时()11111111111n n n n n n n n a c b c r b q c q b q c b q -----=-=-=-=-
表明数列{}n a 的公比p q =，这与题设矛盾。故假设不成立，即数列{}n c 不是等比数列。
注1:极限分析法是处理无穷等比数列的一个有效方法，设数列{}n a 是公比为q 的无穷等比数列, 将
1n n a q a +=两边取极限, 得1lim lim n n n n
a q q a +→∞→∞==，说明等比数列中的1n n a
a +的
极限存在, 且就是公比q 。
2.1.2利用极限思想简化运算过程，优化解题方案
例2：已知数列{}n a 中，11a =，且对于任意自然数N ，总有12
n
n n a a a +=
-, 是否存在实数a 、b , 使得23n
n a a b ??
=-- ??? 对于任意自然数N 恒成立? 若存在，给出证明；若不
存在，说明理由。
分析：解此题的一般思路是，按照“从一般到特殊, 再从特殊到一般”的思维原则。 先从具体、特定的实例入手, 从中探测出问题的结论, 再经过严格的论证, 但这样解题过程比较复杂，不如用极限思想优越，因为本题有它的特殊性，可利用极限考虑。
解：如果这样的a ，b 存在的话, 则由23n
n a a b ??
=-- ???
可得lim n n a a →∞
=，
对12n n n a a
a +=
-两边取极限, 得
2
a
a
a =-，解得0a =或3a = 若0a =, 则数列{}n a 应该是以1为首项, 以2
3
-为公比的等比数列。显然不可能对任意
的正整数N 都满足12
n
n n a a a +=
- 若3a =，将11a =代入 23n
n a a b ??=-?- ???,可求得3b =-, 此时, 2333n
n a ??
=+?- ???验证2
a 即得出矛盾。所以, 这样的实数a 和
b 不存在。
注2:灵活地运用极限思想解题, 常可避开抽象、复杂的运算, 优化解题过程, 降低解题难度，这是减少运算量的一条重要途径。
2.2 数学极限思想在函数中的应用
2.2.1利用极限思想确定函数图像
例3：函数1
11
y x =-
-的图像是（ ）
(A) (B)
(C) (D)
分析 当1x >,且1x →时，y →-∞，故选（B ）
2.2.2利用极限思想确定函数定义域
例4：从盛满aL 纯酒精的容器中倒出1L ，然后用纯水填满，再倒出1L 混合液后又用水填满，这样继续下去。设倒完第()1n n ≥次时前后一共倒出纯酒精xL ，倒完第()1n +次时前后一共倒出纯酒精()f x L ，求函数()f x 的表达式。
分析：混合溶液问题是我们经常遇到的应用题，根据混合前后浓度的变化即可写出其函
数表达式()1
11a x a f x x x a a
--=+?=+.由操作的重复性知，操作的次数越多，溶液的浓
度越小，但是不可能是浓度为零，故x a <。
解：根据题意，第()1n +次倒出的混合液中纯酒精的体积分数为a x
a
-,
a-1
()*1=1a a x f x x x a -∴=+
+
下面确定定义域,由于第一次就倒出1L 纯酒精，故1x ≥；又经过有限次(无论n 有多大)操作，总不可能将全部的aL 纯酒精倒出，只能无限趋近于a ，即x a <，故定义域为)1,a ??。
2.2.3利用极限思想求未知变量的取值范围
例5： 已知有向线段PQ 的起点P 和终点Q 的坐标分别是)(1,1P -和)(2,2Q ,若直线
:0L x my m ++=与线段PQ 的延长线相交,求m 的取值范围。
图一
解：若0m =,则直线:0L x =与线段PQ 相交,不合题意，故0m ≠,此时L 的方程为
1
1y x m
=-
-
如图 易知直线L 恒过定点)(0,1M -,不妨先考虑直线L 的极限情形:
由于直线L 必须与有向线段PQ 的延长线相交,L 的斜率必须小于M ，Q 两点所在直线1L 的斜率13
2
k =
；当L 离开1L 的位置绕点M 顺时针旋转时, L 与PQ 的延长线的交点N 逐渐远离Q 点,当交点N 与Q 的距离趋向无穷大时, L 逐渐趋向2L ()2L PQ 平行于,这时L 的斜率趋向PQ 的斜率212k =
，故L 应夹在1L 与2L 之间,则211
k k m
<-<，即 11322m <-<，故2
23
m -<<-为所求。
2.3数学极限思想在三角函数中的应用
2.3.1通过求极端位置求三角函数的取值范围
例6：已知长方形的四个顶点)(0,0A ,)(2,0B ,)(2,1C 和)(0,1D ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD ,DA 和AB 上的点2P ，3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 坐标为(4,0)x ,若412x <<,则tan θ的取值范围是
图二
1,13A ?? ??? 12,33B ?? ??? 21,52C ?? ??? 22,53D ??
???
分析：本题可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出tan θ的取值范围，根据极限的观点，令41x →，不妨 令4P 与0P 重合，依据入射角等于反射角，即知1P ，2P ，3P 均为各边中点，此时
1
tan 2θ=
，而四个选项中仅有选项()C 与此数据有关，故选()C 注3：将精算与估算相结合， 是一种重要的数学能力。运用极限的思想，化繁为简，为解题提供思路。此类数学试题给高中数学教学变革教与学的方向以启示，注重多元联系表示，拓宽思维，提高思维质量。 2.3.2通过假设极端状态推出角的取值范围
例7：若sin cos tan 02παααα?
?+=<< ??
?，则(
)α∈
.0,6A π??? ?? .,64B ππ??? ?? .,43C ππ??? ?? .,32D ππ??
? ?
? 分析：本题中角α显然不是熟知的特珠角，如果我们将方程的两边看作是两个连续的函数的话，利用极限思想，借助函数的大小关系即可得出答案。
解 当0α→时，sin cos 1αα+→，tan 0α→，此时有sin cos tan ααα+>
当6
π
α→时，sin cos αα+→
，tan α→，此时有sin cos tan ααα+>
当4
π
α→时，sin cos αα+，tan 1α→，此时有sin cos tan ααα+>
当3
π
α→
时，sin cos αα+→
，tan α→sin cos tan ααα+< 因此，由4
π
α→
和3π
α→
两式值的特点和；两式在区间,43ππ??
? ?
?上连续可得,43
ππα??
∈? ?
?
，故答案为C
注4：由本例可见，在解决有关三角函数中的范围问题时，因为答案都是不等关系，所以可应用极限思想来确定正确选项。
2.4数学极限思想在不等式中的应用
2.4.1通过假设变量的极限求得答案
例8：已知01x y a <<<<，则有（ ）
(A) ()log 0a xy < (B) ()0log 1a xy <<
(C) ()1log 2a xy << (D) ()log 2a xy >
分析：当x a →时，由题意y a →，此时2xy a →，()log 2a xy →，故可排除()A 和()B ,当0y →时，由题意0x →，此时0xy →，又01a <<，则()log a xy →+∞，故可排除()C ，从而选()D
2.4.2利用极限思想解决不等式证明题
例9：已知11a -<<，11b -<<，求证
22112
111a b ab
+≥
--- 分析：本题属于不等式证明，可用作差比较法、三角换元法，分析法等，但用极限思想
尤为简单 246
2
11...1a a a a =++++-， 2462
1
1...1b b b b =++++-， 22446622
11
2()()()...11a b a b a b a b
∴+=+++++++-- 22332222...ab a b a b ≥++++
()22
33
2
21...1ab a b a b ab =+++=
-
当且仅当a b =时，等号成立，故原不等式成立。
2.4.3应用极限思想并结合排除法解决不等式解集问题
例10：不等式组03232x x x x x >??
--?>?++?
的解集是（ ）
A }{
02x x <<
B {}0 2.5x x <<
C {0x x <<
D {}03x x << 分析：此不等式组中关健是解绝对值不等式
3232x x
x x
-->++，但是过程相当复杂，如果应用极限思想并结合排除法，此题便可轻松获解。 解：当3x →时，
303x
x
-→+，
2125x x -→+，显然原绝对值不等式不成立，故排除选项D 当2x =时，
31
35
x x -=+，202x x -=+，显然3232x x x x -->++故排除选项A
而当 2.5x →时，
31
311
x x -→+，
2129x x -→+，显然原绝对值不等式不成立，故又排除选项B 。
故正确选项为C 。
2.5数学极限思想在平面几何图形中的应用
2.5.1利用极限思想求某些平面图形阴影部分面积
例11 求抛物线2y x =与直线1x =及x 轴围城的阴影部分面积S
图三
解：在x 轴上将线段[]0,1等分为n 份，每份长度为
1
n
，以每份线段为底，以此线段端点坐标对应抛物线的值为高分别作n 个矩形，由此可见，这n 个矩形的面积之和n S 近似等于图中阴影部分面S ，当n →+∞时，n S S =
12...n n S M M M ∴=+++
22211121()()...()n n n n n n n =+++ 2
2231(12...)n n
=
+++ 3
(1)(21)6n n n n ++=
323236n n n
n ++=
32323
1
lim lim 63
n n n n n n S S n →∞→∞++∴===
2.5.2利用极限思想解决圆锥图形的问题
例12：已知抛物线22(0)y px p =>，试问：在x 轴正方向上是否必存在一点M ，使得对于抛物线上任意一点过M 的弦PQ 均有
22
11
MP MQ +为定值。
图四
分析：假设符合条件的点M 存在，考虑过点M 的一条特殊的弦（垂直与x 轴的弦的情形），设)(0,0M x 、)(000,P x y 、)(000,Q x y -,则
22222000000
111121
MP MQ y y y px +=+== 但是仅凭此式还是看不出M 点的位置，再考虑过点M 的弦的极限情形一弦与x 的正半轴重合，此时过点M 的弦PQ 的一个端点Q 是原点，另一个端点P ，则可看成是一个在无穷远的点，
即MP →+∞,则222000111MP MQ x +→，于是2
0011
px x =，解得0x p =。于是可猜得顶点)(,0M p
下面证明过点)(,0M p 的任意一条弦PQ 均有
22
0011
MP MQ +为定值。 设过点M 的直线方程为
{
cos sin x p t y t αα=+=代入抛物线方程得222sin 2cos 20
t pt p αα--=
设方程的两根为1t 、2t ，它们的几何意义分别为MP 、MQ 的长，则
122
2cos sin p t t α
α
+=，21222sin p t t α-= 21212222222
1212
()21111t t t t MP MQ t t t t +-+=+=2222424cos 4sin 14p p p p αα
+== 故点(,0)M p 是符合条件的点。
2.6 数学极限思想在立体几何中的应用
2.6.1数学极限思想在解决求立体图形体积中的应用
例13：如图，直三棱柱'''ABC A B C -的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱'AA 、'CC 上的点，且'AP C Q -，则四棱锥B APQC -的体积为( )
图五
（A). 12V (B) 13V （C ）14V (D) 1
5
V
解：由于上、下底三角形形状未定，P 、Q 可移动，直接找B APQC V -与V 之间的关系不太方便，在此可考虑P 、Q 的极端位置:令P A →、'Q C → , 则有
''1
3
B APQ
C B ACC C ABC V V V V ---→==，故选(B )。
2.6.2利用极限思想探索立体图形的等量关系
例14：一个正四棱台上、下底面边长分别为a 、b ，高为h ，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系中正确的是( )。
（A ）111h a b =+ (B) 11h a b =+ (C) 111a b h =+ (D) 111b a h =+
解析考虑极限情况:令a b →，则由侧面积等于两底面积之和得224a b ah +=，即2a h = 对照选项可知(A)符合，故选(A)。
2.6.3利用极限思想解决探索动点轨迹
例15：如图，正方体''''ABCD A B C D -，且点P 在侧面''BCC B 及边界上运动，且总保持
'AP BD ⊥,则动点P 的轨迹是（ ）
图六
(A)线段'B C (B)线段'BC (C) 'BB 中点与'CC 中点连成的线段 (D) BC 中点与'B C 中点连成的线段
解：直接求符合条件的点P 的轨迹不容易，因此，可以考察各选择支P 点的极端位置。
P 点运动到线段'B C 的端点C (即点P 与端点C 重合)时，易证'AP BD ⊥；当P 点运动到线段'B C 的端点'B 时，也易证'AP BD ⊥。而选择支B 、C 、D 中，当P 点运动到各线段的端点时都不满足'AP BD ⊥。故选(A)。