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微积分第一章

高等数学教案

、

第一章函数、极限与与连续

本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下：

1．理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中

逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2．掌握极限四则运算法则。

3．了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4．了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。

7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。

第一章共12学时，课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时第一章习题课 2课时

绪论

数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。关于数学应用和关于微积分的评价：

恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。

华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。

张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二）

初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。

本学期教学内容：第一章函数、极限与连续

第二章导数与微分第三章导数学的应用第四章不定积分

参考书：高等数学（同济大学应用数学系主编第五版）《数学分析》武汉大学数学系编电子阅览室（网络）高等数学精品课程

学习高等数学应注意的方法：上课认真听讲（最好能预习），积极参与课堂讨论、研究，课后及时复习；透彻理解概念，熟练掌握重要定理、公式、运算法则，做适量练习；应用所学知识解决实际问题；归纳总结，不断提高，建构起高等数学适应体系。

第一节函数、第二节初等函数

1.掌握区间、邻域的概念。

2.了解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

4.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。

5.掌握基本初等函数的性质及其图形。

一．邻域 (,)(,)U a a a δδδ?-+，以a 为中心的δ邻域

(,)(,)(,)U a a a a a δδδ?-+

，以a 为中心的去心δ邻域

二．函数：

定义1 设x 和y 是两个变量，D 是一个数集。如果对于D 中的每一个x ，按照某个对应法则f ，y 都有确定的值和它对应，那么称y 为定义在数集D 上的x 的函数，记作

()y f x =。x 叫做自变量，y 叫做因变量，，数集D 叫做函数的定义域。

y 为因变量的函数也可表示为)(x y ?=，()y F x =，)(x y y =，……

函数的两个要素：对应法则、定义域。

三．分段函数 1．{

3,0,

()45,0.

x x y f x x x +≥==

-< 0=x 称为“分界点”。

2．符号函数 ??

??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y

3．取整函数：不超过x 的最大整数，记做：][x y =，如：[3.1]3=，[ 3.1]4-=-。

四．反函数的定义：设有函数),(x f y =其定义域D ，值域为W ，如果对于W 中的每一个y

值，都可以从关系式),(x f y =确定唯一的x 值（D x ∈）与之对应，这样所确定的以y 为自变量的函数)()(1

y f

x y x -==或?叫做函数)(x f y =的反函数，它对定义域为

W ，值域为D 。

习惯上，函数的自变量都用x 表示，所以反函数通常表示为).(1

x f y -=

五．函数的几种特性

1．有界性：设)(x f y =，定义域为D ，∈?x D ，0>?M ，恒有M x f ≤)(。则称函数在D 上有界。否则称函数在D 上无界。

例如：函数x

x f 1

)(=

，在[1,)+∞内有界；在(0,1)内无界。 2．单调性：设)(x f y =，定义域为D ，∈?21,x x D ，当21x x <时?)()(21x f x f <，单调递增；当21x x >时?)()(21x f x f <，单调递减。单调递增与单调递减的函数统称为单调函数。

3．奇偶性：偶函数 )()(x f x f =- ，

奇函数 )()(x f x f -=-。

4．周期性：周期函数 ∈?x D ，∈+T x D ，)()(x f T x f =+

例1．狄里克莱函数?

??==为无理数为有理数

x x x D y ,0,1)(。狄里克莱函数是周期函数，但它没有最

小正周期。

2．符号函数??

??<-=>==0,10,00

,1sgn x x x x y

六．复合函数

定义如果y 是u 的函数)(u f y =，而u 是x 的函数)(x u ?=，且()x ?的值全部或部分地落在()y f u =的定义域内，那么y 通过u 的联系也是x 发函数。称这个函数是由

()y f u =及()u x ?=复合而成的，称为复合函数，记作)]([x f y ?=，其中u 叫做中间变

量。

注：设()y f u =、()u x ?=，如果()u x ?=的值部分地落在()y f u =的定义域内，则复合函数)]([x f y ?=的定义域是()u x ?=的定义域的子集；如果()u x ?=的值全部落在

()y f u =的定义域内，则复合函数)]([x f y ?=的定义域与()u x ?=的定义域相同。如果()u x ?=的值全部落在()y f u =的定义域外，则不能构成复合函数。

例3．将下列函数“分解”成“简单”的函数：

2sin x y =，x y 2sin =，x e y arctan =

七．基本初等函数与初等函数： 1、常数函数 )(为常数C C y = 2、幂函数 )(为实常数μμx y = 3、指数函数 ),1,0(为常数a a a a y x ≠>= 4、对数函数 ),1,0(log 为常数a a a x y a ≠>=

5、三角函数x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======

6、反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====

初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限复合步骤所构成，并且可以用一个式子表示的函数叫做初等函数。八．双曲函数与反双曲函数

sh 2x x e e y x --==，ch 2x x e e y x -+==，x x

x x

e e y thx e e ---==+。

作业P20~21 习题 2（3）、（4）、（6）；5；7。

第四节

数列的极限

数列极限的定义

数列的定义：数列实质上是整标函数)(n f x n =，∈n 正整数集N

（i ）n x n 1=

：1，21，31，…，n

，…→0 （ii ）n x n n 1)1(1+-+=：2，21，34，…，1+n

n 1

)1(+-，…→1

确定n

x n 1

-：要使1-n x <0.01，只要n >100；要使1-n x <0.0001，只要n >10000；

要使1-n x <ε，只要n >[

1]。（iii ）1)1(--=n n x ：1，-1，1，…， 1

)

1(--n ，…→不存在

数列极限描述性定义（P27）：如果当n 无限增大时，数列{}n x 无限接近于一个确定的常数a ，那么a 就叫做数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记作

a x n n =∞

→lim 或当.,a x n n →∞→时

数列极限的定义：如果存在常数a ，使得对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在

正整数N ，只要n N >，绝对值不等式a x n -<ε恒成立，则称数列{n x }以常数a 为极限，记为n n x ∞

→lim =a （或a x n →，∞→n ）。

数列极限的分析（N -ε）定义：设R a ∈，0>?ε，0>?N ，当N n >时，ε

<-a x n

恒成立，则将数列{n x }以常数a 为极限，记为n n x ∞

→lim =a （或a x n →，∞→n ）。

例1．证明数列2，21，34，43，…，n

n n 1

)1(+-+，…的极限是1。

证：[分析]令n x =n n n 1)1(+-+，记a =1，要使a x n -=

1)1(1--++n n n =n 1=n

<ε，只要

n 1>ε，取N=??

???ε1。 [证明]0>?ε，??

???=?ε1N ，当n>N 时，恒有ε<--++1)1(1n n n ，故

n n n 1

)1(l i m +∞→-+=1。例2．若21)

(n n

in +=

s x n ，证明：0lim =∞→n n x 。证：[分析]a x n -=0)1(sin 2-+n n =2)1(sin +n n ≤

2)1(1+n <11+n

1，要使a x n -<ε，只要ε1

n ，取N=??

???ε1，再放大

[证明]],1

[,0ε

ε=?>?N 当n>N 时，

ε<-+01)(n n sin 2

恒成立，故01)(n n

sin lim 2=+∞→n 。

例3．设1

q ，…，1

-n q

，…的极限是0。

证：[分析]令1

-=n n q

x ，记a =0，由于01

--n q =1-n q =1

-n q

，要使ε<-a x n ，只

要ε

<-1

n q

，只要

εln ln )1(<-q n ，只要q ln ln 1-n ε>

，只要1ln ln +>q

n ε

，取N=???

????+1ln ln q ε。

[证明]0>?ε ，1ln ln +???

???

??=?q

N ε，当n>N 时，恒有ε<--01

n q ，故1lim -∞

→n n q =0（当1

。例4．数列{n x } 有界，又0lim =∞

→n n y ，证明n n n y x ∞

→lim =0。

证：0>?M ，对一切n 均有M x n ≤，又0>?ε ，对于01>=

ε，0>?N ，

当n>N 时，恒有ε<-0n n y x ，εε<<≤1M y M y x n n n ，所以n n n y x ∞

→lim =0。

收敛数列的性质

性质1（有界性）收敛数列一定有界。注：有界数列不不一定收敛。

性质2（唯一性）如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。数列极限的运算法则

如果a x n n =∞

→lim ，b y n n =∞

→lim ，那么

（1）=+∞

→)(lim n n n y x n n x ∞

→lim +b a y n n +=∞

→lim

（2）=?∞

→n n n y x lim ?∞

→n n x lim b a y n n ?=∞

→lim

（3）=

∞→n

n n y x

lim )0(lim lim ≠=

∞

→∞

→b b

y x n

n n

n 特别地，如果C 为常数，那么由（2）得

=∞

→n n Cx lim C n ∞

→lim Ca x n n =?∞

→lim

无穷递缩等比数列的和（P30）

a q a q a q a a S n -=

++++=-11

112111 化循环小数为分数

例（P29例3）

作业P32第2题（1）、（3）、（6）、（8）；第3题（3）、（4）；第4题（2）

第五节函数的极限

一、当∞→x 时函数()y f x =极限

函数极限的描述性定义：设函数)(x f 当|x |a >时有定义（a 为某个常数），如果当自变量x 的绝对值无限增大（记作∞→x ）时，其函数值)(x f 无限接近于某确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记作

A x f n =∞

→)(lim 或当∞→x 时，A x f →)(

函数在当∞→x 时（X -ε）定义：0>?ε，0>?X ，当||x X >时，ε<-a x f )(恒成立，则称A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记作A x f x =∞

→)(lim

注意：X x X x >?>或X x -<

???=?=-∞→+∞

→-∞

→+∞→∞→)(lim )(lim .3)(lim .2)(lim .1)(lim x f x f x f x f a x f x x x x x 存在

存在

二、当0x x →时函数()y f x =极限

引例：1

)(2--=x x x f ，当1≠x 时，1)(+=x x f ，1→x 时，2)(→x f

即 2)(lim 1

=→x f x

研究：)(x f 在点0x 的某个去心邻域内有定义，当0x x →时，a x f →)(

定义：如果存在常数a ，使得对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，当δ<-<00x x 时，ε<-a x f )(恒成立，记作a x f x x =→)(lim 0

。

0>?ε，0δ?>，当δ<-<00x x 时，ε<-a x f )(恒成立。

例1．证明下列极限：（1）C C x x =→0

lim ；（2）00

lim x x x x =→；（3）0sin lim 0

=→x x 。

证：（1）[分析]这里0)(=-=-C C a x f ，0>ε恒成立

[证明]0>?ε，任取一个正数δ，当δ<-<00x x 时，ε<=-0C C 恒成立，证之。

（2）[分析]由于ε<-=-0)(x x a x f ，只要ε<-0x x ，取εδ=

[证明]0>?ε，εδ=?，当δ<-<00x x 时，ε<-0x x 恒成立，故00

lim x x x x =→

（3）[分析]由于x x a x f s i n 0s i n )(=-=-，要使ε<-0x x ，只要

εε<<-x s i n ，只要εεarcsin arcsin <<-x ，即εa r c s i n 00<-

[证明] 0>?ε，εδarcsin =?，当δ<

=→x x

例2．证明21241lim 2

1=+--

→x x x 。证：[分析]21-

→x ，2

-≠x ，012≠+x

由于a x f -)(=1

224412+---x x x =12)12(2

++-x x =12+x

要使ε<-a x f )(，只要ε<+12x ，即ε<--)21

(2x ，只要2

21ε

x ，

取2εδ= [证明]0>?ε，2ε

δ=?，当δ<--<)2

(0x 时，

ε<-+-212412x x 恒成立，证之。例3．证明1lim 0

=→x

x e 。

证：[分析]由于1)(-=-x e a x f ，要使ε<-1x e ，只要εε+<<-11x

e ，只要

)1ln()1ln(εε+<<-x ，即)1l n (0)1l n (εε+<-<-x ，取{})1l n (,)1l n (m i n εεδ-+=

[证明]0>?ε，{}

)1ln(,)1ln(min εεδ-+=?，当δ<-<00x 时，ε<-1x e 恒成立，证之。

左极限)0()(lim )(lim 00

0-==-→-→x f x f x f x x x x

右极限)0()(lim )(lim 00

0+==+→+→x f x f x f x x x x

极限存在???

??=右极限左极限右极限存在左极限存在

.3.2.1

例4．当2→x 时，讨论?????<>=2

,)(x e x x x f x 的极限

三、极限的性质

???→∞

→∞

→)(lim )(lim lim 0x f x f x x x x n

n 具有四个性质，下面证其中一种极限性质，余可类似证明之。性质1．（唯一性）如果)(lim 0

x f x x →存在，则极限唯一。

证：反证法。

设a x f x x =→)(lim 0

，b x f x x =→)(lim 0

，且a b ≠。

02>-=

?a b ε，01>?δ，当100δ<-

)(a b a x f -<

-；

>-=

?a b ε，02>?δ，当200δ<-

b a

f x b --<

。取},min{21δδδ=，上面两式均成立，由

[()][()]()()22

b a b a

b a f x a f x b f x a f x b b a ---=---≤-+-<

+=- 矛盾！

性质2．（局部有界性）：如果)(lim 0

x f x x →存在，则在点0x 的某个去心邻域内，函数)

(x f 有界。证：令)(lim 0

x f x x →=a ，由定义，0>?ε，（对于ε=1），0>?δ，当0(,)x U x δ∧

∈，

ε<-a x f )(，?()()()f x f x a a f x a a a ε=-+≤-+<+。

推论：收敛数列必有界；无界数列必发散。

性质3．（局部保号性）如果a x f x x =→)(lim 0

且0>a （或0

邻域内，函数0)(>x f （或0)(

证：不妨令0>a ，取2

=ε，0>?δ，当0(,)x U x δ∧∈时，ε<-a x f )(，

εε+<<-a x f a )(，?02

2)(>=-=->a

a a a x f ε。

性质4．（函数极限与数列极限的关系）设)(lim 0

x f x x →存在，设{}n x 是函数)(x f 的定义

域内任一收敛于0x 的数列，且满足：0x x n ≠（n N ∈），那么相应的函数值数列()n f x 必收敛，且)(lim )(lim 0

x f x f x x n n →∞

→=。

证：设0

lim ()x x f x A →=，0>?ε，0>?δ，当0(,)x U x δ∈

，恒有()f x A ε-<，即

()(,)f x U A ε∈。

由于0lim x x n n =∞

→，故知数列{}n x 只有有限多项在0(,)U x δ

之外，从而数列{}()n f x 只

有有限多项在(,)U A ε

之外，根据数列极限的定义得

lim ()lim ()n n x x f x A f x →∞

→==

例1 数列})1{(1+-n 是发散的。为什么？例2 证明当0→x 时，x

sin

没有极限。证：取两个收敛于0的数列：10,limsin 010,limsin 122

n n n n n n

x n x t t n ππ

→∞→∞?=→=??

?=→=?+?? lim ()0lim ()1n n n n f x f t →∞

→∞=???=??

，所以0lim sin x x π→不存在。例3 对于数列{}n x ，若)(12∞→→-k a x k ，)(2∞→→k a x k ，证明)(∞→→n a x n

证：0>?ε，01>?N ，当12121->-N k 时，ε<--a x k 12

0>?ε，02>?N ，当222N k >时，ε<-a x k 2

?0>?ε，}2,12max{

21N N N -=?，当N n >时，恒有ε<-a x n ，即 a x n n =∞

→lim

作业：P38 T1（1）、92）（3）、（7）、（8）。T5。

第六节．函数极限的运算法则、两个重要极限

一、函数极限的四则运算法则

定理1：设A x f =)(lim ，B x g =)(lim 。则

（1）)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±；

（2）)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ?=?=?；

（3）当0≠b 时，)

(lim )

(lim )()(lim

x g x f B A x g x f ==。推论1、常数因子可以提到极限符号外面去，即

).(lim )](lim[x f C x Cf =

推论2如果)(lim x f 存在，则

k k x f x f )]([lim )](lim[= )(为自然数

注：上述法则对于∞→x 时的情形也是成立的。例1．求下列极限：（1）16

（1）137243lim 233++++-∞→x x x x x x ；（2）137243lim 232++++-∞→x x x x x x ；（3）1

372

43lim 23+++-∞→x x x x x 。

a ax x a x a x a x a x a x a x a x a

准则Ⅰ 如果数列{}n x 、{}n y 、{}n z 满足下列条件：

（1） n y ≤n x ≤n z (1,2,n =…

)，（2） l i m n n y a →∞

=，lim n n z a →∞

那么数列{}n x 的极限存在，且.lim a x n n =∞

例1 求下列极限：（1）x x x tan lim

→；（2）22

0202sin 2lim cos 1lim x

x x →→=-；（3）lx mx x sin sin lim 0→。例2 求x

. 作业：P43 T1（1）、（3）、（5）、（7）。T2（2）（4）、（6）。T （1）、（2）。

第七节、无穷小与无穷大

一、无穷小 1、无穷小的定义

定义：以0为极限的函数（变量），称为无穷小量。

定理：在自变量同一变化过程中，函数f (x)有极限A 的充分必要条件是)()(x A x f α+=，其中()x α是无穷小量。

2、无穷小的性质

性质1、有限个无穷小量之和是无穷小量；证：（1）设0

lim ()0x x x α→=，0)(lim 0

性质2、有限个无穷小的乘积仍为无穷小。性质3、有界函数与无穷小量之积是无穷小量。推论：常数与无穷小量之积是无穷小量。例1．求x

x x 1sin

lim 0

→。二、无穷大 1、无穷大的定义

定义2、如果当)(0∞→→x x x 时，函数)(x f 的绝对值无限增大，那么称)(x f 为当

)(0∞→→x x x 时的无穷大量，简称无穷大，记为

))(lim ()(lim 0

∞=∞=∞

→→x f x f x x x

定义2 0>?M （不论它多么大），0>?δ，当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，记作 ∞=→)(lim 0

x f x x

2、无穷大与无穷小的关系

定理：在自变量的同一变化过程中，若)(x f 是无穷大量，则

)

x f 是无穷小量；反之，若)(x f 是无穷小量，且0)(≠x f ，则

)

x f 是无穷大量。三、无穷小的比较

引入02lim

20=→x x x ，∞=→2302lim x x x ，3

32lim 220=→x x x ，1sin lim 0=→x x x

定义：在自变量同一变化过程中，如果α，β均为无穷小量，若

1．0lim

=α

，称β是比α高阶的无穷小量，记为=βo )(α； 2．∞=α

lim

，称β是比α低阶的无穷小量； 3．C =α

lim

（0≠C ），称β与α是同阶无穷小量； 4．特别地当C=1时，即1lim

=α

，称β与α是等价无穷小量，记为β~α 例1．21

)cos 1tan (lim )cos 1(tan lim sin tan lim

203030=-?=-=-→→→x

x x x x x x x x x x x x 21

cos 1lim

20=-→x

x x ，称x cos 1-是x 的二阶无穷小。四、等价无穷小量的性质

性质1、

βα与是等价无穷小的充分必要条件为).(ααβ +=

性质2、设α，α，β，β是无穷小量，且α~α，β~β，如果a =α

lim

，则a =αβlim

证：α

αβαααβββαβlim 1lim 1lim lim

=??=??=。例2．求下列极限

（1）)3tan(5sin lim 0x x

x -→；（2）x x x x arcsin sin )1(lim 0+→；（3）x x x )1ln(lim 0+→；（4）x

e x x 1lim 0-→；

（5）x

x x 55

0sin sin lim →；（6）x x x x x /sin /arcsin lim 0→。

常见的等价无穷小有：当0→x 时，（1）;sin ~x x （2）;tan ~x x

（3）;arctan ~x x （4）221~

cos 1x x -；（5）x n

x n 1

~1+。作业：P51 T2（1）、（2）、（5）、（8）。T3 第八节

函数的连续性

一、函数的连续性 1、函数的改变量

定义1、如果变量u 从初值1u 变到终值2u ，那么终值与初值的差12u u -叫做变量u 的改变量（或增量），记作u ?，即 u ?=12u u -。改变量u ?可以是正的，也可以是负的。

给自变量x 以改变量x ?，函数()f x 有相应的改变量()()y f x x f x ?=+?-。

2、函数的连续性

定义2：设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，若)(lim 0

x f x x →存在，且其极限值

等于)(0x f ，即)()(lim 00

x f x f x x =→，称函数)(x f 在点0x 处连续，点0x 是)(x f 的连续点。

即：0>?ε，0>?δ，当δ<-0x x 时，恒有ε<-)()(0x f x f 。

记x x x x x x ?+=-+=000)(，)()(00x f x x f y -?+=?

定义3：若0lim 0

=?→?y x ，则称函数)(x f 在点0x 处连续。

)()(lim 00x f x f x x =→?????

???==→.

.3,)(lim .2,

)(.10

函数值极限值存在有意义处有定义在x f ）（x x x f x x 若)()(lim 00

x f x f x =-→，则称()f x 在0x 处左连续；若)()(lim 00

x f x f x =+

→，则称()f x 在0x 处右连续。

函数()f x 在0x 处连续?)()(lim 00

x f x f x =-→且)()(lim 00

x f x f x =+

→。如果函数在开区间(),a b 内的每一点处连续，则称为开区间(),a b 内的连续函数，(),a b 称为函数的连续区间。如果函数在区间(),a b 内的每一点处连续，且在点a 处右连续，在点

b 处右连续，则称为闭区间[],a b 上的连续函数

重要结论：基本初等函数在其定义区间内连续。

3、函数的间断点

如果函数)(x f 在点0x 处不连续，则称0x 是)(x f 的不连续点或间断点。

如果函数)(x f 有下列三种情形之一：

（1）在点0x 处无定义，即)(0x f 不存在；

（2）)(lim 0

x f x x →不存在；

（3）)(lim 0

x f x x →及)(0x f 都存在，但≠→)(lim 0

x f x x )(0x f 。

则0x 就是)(x f 的间断点。

微积分第一章

高等数学教案、

第一章函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1．理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2．掌握极限四则运算法则。 3．了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4．了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。第一章共12学时，课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时第一章习题课 2课时绪论数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二）初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。

大学高等数学上考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（）.

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积

大学高等数学第一章函数(习题精讲)

第1章函数 §1.1 函数的概念与性质 1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >）（1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+ （2 ）2 112 a b a b +≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值）一般地，1212111n n x x x n n x x x +++≤≤ +++ （3）{}max ,22a b a b a b -+=+；{}min ,22 a b a b a b -+=- 2. 函数概念与性质对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。（1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, （2）单调性 1212,,x x I x x ?∈< 1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤???≥? ?单调递增单调递减；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ??严格单增严格单减（3）奇偶性 ()() ()()()()f x f x f x y f x f x f x -=???-=-??为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。（4）周期性若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。（5）有界性若D x ∈?，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞；

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导一、考试说明考试题型包括：选择题(10道题，每题２分或者3分）。填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。证明题(2道题，平均每题10分）。考试时间：90分钟。二、课程章节要点第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数１．考试内容集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求（１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。（2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限１．考试内容数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念（2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。（3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。（5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续１．考试内容函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求（1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

定积分及微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a2，c ＝??02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

大学一年级上学期-微积分试题-第一学期期末试卷A

课程编号：A071001 北京理工大学2006-2007学年第一学期 2006级《微积分A 》期末试卷(A 卷) 班级学号姓名成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1 设,1arctan 122???=x x x x y 求.y ′ 2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x x x ∫++ 3 求极限.)(tan lim ln 110 x x x ++→ 4 计算定积分)(202322∫?=a x a dx I 其中 .0>a 5 求微分方程.142+=′?′′x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分） 1 设当0→x 时，c bx ax e x ???2是比2 x 高阶的无穷小，求的值. c b a ,,2 求函数)4()(3?=x x x f 在),(+∞?∞内的单调区间和极值. 3 设)(x y y =是由方程组所确定的隐函数，求?????=??+=∫0 1cos sin )cos(20t t y du t u x t .dx dy 4 求证： .sin sin 42222∫∫ππππ=dx x x dx x x . 三、（8分）设)(x y 在内单调递增且可导，又知对任意的),0[+∞,0>x 曲线)(x y y =，上点到点)1,0(),(y x 之间的弧长为,12?= y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点作曲线)0,1(?x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1）求图形D 的面积；

（2）求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 五、（7分）求证：方程010cos 042 =++∫∫?x t x dt e dt t 有并且只有一个实根. 六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。假设桶内的溶液始终保持为500升，求任意t 时刻桶内溶液的含盐量. 七、（6分）设)(x f 在上可导，且满足]1,0[∫=21 )(2)1(dx x f e e f x ，求证：至少存在一点，使得)1,0(∈ξ.0)()(=ξ+ξ′f f

(微积分)第一章

第一章习题1-1 1. 用区间表示下列不等式的解. ⑴ x%9; (2) x — 1 1； (3) (x-1)(x 2) :0; (4) 0 . x 1:: 0.01 解(1)原不等式可化为(x —3)(x+3)苴0 ,其解为—3苴x<3,用区间表示是[-3,3]. (2) 原不等式可化为x—1》1或x—1<—1 ,其解为x》2或x<0 ,用区间表示是 (-8 ,0^(2,+ 8 ). (3) 原不等式的解为—2 e x <1,用区间表示是(-2,1). -0.01 ：x 1 ：0.01 口-1.0 V： x ：-0.99 (4) 原不等式可化为4 即/ x 1=0 x=1 用区间表示是(-1.01,-1) U (-1,-0.99). 2. 用区间表示下列函数的定义域： (1) y =[ - .1 -x2；(2) y = arcsin(1 - x) ig(ig x)； x (3) y = . 6 -5x -x2 ---------- - --- . ln(2 -x) a - x=0 r x = 0 解⑴要使函数有意义，必须｛… 即4 1-x2-0 -1%&1 所以函数的定义域为[-1,0) U (0,1]. (2)要使函数有意义，必须J lg x A 0 即< x A1 x 0 x 0

所以函数的定义域是1

高中数学之定积分与微积分基本定理含答案

专题06 定积分与微积分基本定理 1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（） A．B．4C．D．6 【答案】A 【解析】联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为： S．故选:A． 2．设f（x）=|x﹣1|，则=（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为，故选A.

3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（） A．B．C．D．【答案】D 【解析】令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为，故选D 4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为 A．B．C．1D．【答案】C 【解析】直线与函数的图象围成区域的面积S dx ＝

∴ 故选：C 5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A．B．1C．D．【答案】B 【解析】题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B. 6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A．B．C．D．【答案】A 【解析】依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A. 7．（） A．B．-1C．D．【答案】C 【解析】解：

．故选：C． 8．，则T的值为 A．B．C．D．1 【答案】A 【解析】由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π， ∴， ∴．故选A． 9．下列计算错误．．的是（） A．B． C．D．【答案】C 【解析】在A中，，在B中，根据定积分的几何意义，，在C中，，根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C.

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。（3） Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。（4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。（5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。（6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

大学数学微积分第1章练习题

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

定积分与微积分含答案

定积分与微积分基本定理基础热身 1．已知f (x )为偶函数，且 ??0 6f(x)d x ＝8，则? ?6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 2．设f(x)＝??? x 2，x ∈[0，1]， 1 x ，x ∈1，e ] (其中e 为自然对数的底数)，则??0 e f(x)d x 的值为( ) B ．2 C ．1 3．若a ＝??0 2x 2d x ，b ＝??0 2x 3d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a

A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上均不对 9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ． J 10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝????? K ，fx ≤K ，fx ，fx >K ，则当函数f (x )＝1x ，K ＝1时，定积分??214f K (x)d x 的值为________． (x －x 2)d x ＝________. 12． ∫π 20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________. 13．由抛物线y 2 ＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为27 4，求f(x)的解析式．图K 15－2 15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t (00)，

大学微积分1方法总结

第一章函数、极限、连续注 “★”表示方法常用重要. 一、求函数极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等. ★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。三、无穷小量阶的比较的方法利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开四、函数的连续与间断点的讨论的方法如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。

五、求数列极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理； 4. )()(lim )()(lim ∞=?∞=∞ →+∞→A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若∑∞ =1n n a 收敛，则0lim =∞→n n a ；8. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量；9.等价量替换等. 【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算， 2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理 3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则. 4.由数列{}n a 中的通项是n 的表达式，即).(n f a n =而)(lim )(lim x f n f x n ∞ →∞→与是特殊与一般的关系，由归结原则知 ★5. 有lim 1011()()n n i i f f x dx n n →∞ ==?∑或1lim 1001()()n n i i f f x dx n n -→∞==?∑ 第二章一元函数微分学 ★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法：利用导数定义，经常用第三种形式二、研究导函数的连续性的方法：

大一上微积分试题(山东大学)

数学试题热工二班温馨提示：各位同学请认真答题，如果您看到有的题目有种似曾相识的感觉，请不要激动也不要紧张，沉着冷静的面对，诚实作答，相信自己，你可以的。祝你成功！一、填空题（共5小题，每题4分，共20分） 1、求极限2 2lim (1)(1)......(1)n n x x x →∞ +++= (1x <) 2、曲线y=（2x-1）e x 1 的斜渐近线方程是（） 3、计算I=dx e x e x x ? -+2 2 41sin π π =（） 4、设y=x e x 1si n 1t an ，则'y =（） 5、已知()()() 100 2 1000 ln 1212x y x t t t ??=++-+? ?? ? ?dt ，求( ) ()x y 1001 二、选择题（共5小题，每题4分，共20分）６、设()0 ()ln 1sin 0,1,1lim x x f x x A a a a →? ?+ ? ? ?=>≠-求20 ()lim x f x x →＝（）Ａ．ln a Ｂ．Ａln a Ｃ２Ａln a Ｄ．Ａ７、函数 1.01 ().12 x x x f x e e x -≤

（）Ａ.当()f x 是偶函数时，()F x 必是偶函数Ｂ.当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数Ｃ．当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数Ｄ．当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数９、设函数()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是（）Ａ．2 0()x f t dt ? Ｂ．2 0()x f t dt ? Ｃ[]0 ()()x t f t f t - -?dt Ｄ．[]0 ()()x t f t f t + -?dt １０、设函数ｙ＝()f x 二阶导数，且 () f x 的一阶导数大于０， ()f x 二阶导数也大于０，x 为自变量ｘ在0x 处得增量，y 与dy 分别为()f x 在点0 x 处的增量与微分，若x ＞０，则（）Ａ．０＜dy ＜ y Ｂ．０＜y ＜dy Ｃ．y ＜dy ＜０Ｄ．dy ＜ y ＜０三、计算，证明题（共６０分）１１、求下列极限和积分（１）222 22 sin cos (1)ln(1tan ) lim x x x x x x e x →--+（５分）（２）3 5 sin sin x xdx π -? （５分）（３）lim (cos 1cos x x x →∞ +-）（５分）１２．设函数()f x 具有一阶连续导数，且 " (0)f （二阶）存在，(0) f

微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第一章习题详解

第一章习题1-1 1.用区间表示下列不等式的解 2(1)9;(2)1;1(3)(1)(2)0;(4)00.01 1 x x x x x ≤>--+<<<+ 解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3]. (2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞). (3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1). (4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+??>?即0210x x x ≤≤??>??>? 所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2]. (3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->?即6112x x x -≤≤??≠??

微积分定积分练习题(有答案)

1利用定积分的几何意义计算」''1 - x2dx. 2. 计算定积分"2(x+ 1)dx. J i 3. 定积分"bf(x)dx的大小() ?a A .与f(x)和积分区间［a, b］有关，与E的取法无关 B.与f(x)有关，与区间［a，b］以及&的取法无关 C .与f(x)以及8的取法有关，与区间［a, b］无关 D .与f(x)、区间［a，b］和8的取法都有关 4. 在求由x= a，x= b(a

8. 10 利用定积分的几何意义求 —9 — x — 3 2dx. (1)| 2(x 2+ 2x + 1)dx ; 广n (2) 1 (sinx — cosx)dx ； (3)| J* 2 / 、 1 x — X 2 +_ 1 丿。 1 < X 丿 (4) 0-?cosx + e x )dx. ⑹p (2x + 1)dx ; ⑺ 丿0 1 2x + 一 dx x 广1 ⑺f; x (8) 1x 3dx ; ■ 0 (9) 1e x dx. 11 求 y = — x 2与 y = x — 2围成图形的面积S. 15 A.— 4 17 B.— 4 1 C.—|n 2 2 D . 2ln2 已知"2 f(x)dx = 3，贝U 2 [f(x) + 6]d 1 1 12 .由直线x =2，x =2，曲线y =严x 轴所围图形的面积为 13.已知 f 1— 1(x 3 + ax + 3a — b)dx= 2a + 6 且 f(t) = f (x 3 + ax + 3a — b)dx 为偶函数，求下列定积分: dx ; 2 1 x 2dx