10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导
第一章 函数
一．本章重点
复合函数及分解，初等函数的概念。 二．复习要求
1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。
2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。
3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中
⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运
算性质，还能熟练应用它与指数函数 x y e =互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln v
u
v u
e
=
⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟
习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.
4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。
5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解
例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2
sin
x
y e =
⑵.2
1arctan()1y x
=+
分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。 解：
⑴.2
,
,
s in u y e u v
v x
===⑵.2
1arctan ,, 1.
y u u v x v
==
=+
例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot 1arc ＝？ 答：
cot y arc x = 是cot ,
(0,
)y x x π=∈
的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知c o t y a r c x =的定义域是
(,
)f D =-∞+∞，值域为(0,
)f
Z
π=.
cot 14
arc π
=
四．练习题及参考答案
1. ()arctan f x x =
则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = .
2.
f x x
=
则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) =
；2f =
.
3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3
ln(1)y x =- 答案：
1.（-∞ +∞）, (,
)2
2
π
π
-
,
,04
π
2. []1,1,,
,,
2
22
3
π
πππ??
--????
.3. ⑴.,
3u y e u x ==-
⑵.3
ln ,
1.
y u u x ==-
自我复习：习题一.（A ）55．⑴、⑵、⑶； 习题一.（B ）.11.
第二章 极限与连续
一．本章重点
极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数
的连续性。
二．复习要求
1．了解变量极限的概念，掌握函数f (x )在x 0点有极限的充要条件是：函数在x 0点的左右极限都存在且相等。
2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如： 0
1sin lim sin
0,lim
0x x x x x
x
→→∞
==
3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，
利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有： 当()x α 0时,有：
sin ()x α～()x α； tan ()x α～()x α
()
1x e
α-～()x α;
ln(1())x α+～()x α
;
1～
()
x n
α
1cos ()x α-～
2
()2
x α.…….
（参见教材P79）
4.掌握两个重要极限:
(Ⅰ).0
sin lim
1x x x →=
(Ⅱ).1
1lim (1)lim (1)x
x x x e x x
→∞
→+
==+
记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展
形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求1∞型未定式极限：
1
lim (1)
lim (1)x
k
x x x k e
kx x
→∞
→+
==+
1
lim (1)
lim (1)x
k
x x x k e
kx x
-→∞
→-
==-
5.掌握函数连续的概念， 知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f (x )在分段点x 0处连续的充要条是：函数在x 0点极限存在且等于
0()f x ，即：
0lim ()()x x f x f x →=
当分段函数在分段点0x 的左右两边表达式不相同时，函数f (x )在分段点x 0处连续的充要条件则是：
0lim ()lim ()()x x x x f x f x f x -+→→==.
6. 掌握函数间断点及类型的判定。
函数的不连续点称为间断点，函数()f x 在
0x 点间断，必至少有下列三种情况之一发生：
⑴、()f x 在0x 点无定义；
⑵、0
lim ()x x f x →不存在；
⑶、存在0
lim ()x x f x →，但0
0lim ()()x x f x f x →≠.
若0x 为()f x 的间断点，当)(lim
x f x x +
→及
)(lim
x f x x -
→都存在时，称0x 为()f x 的第一类间断
点，特别)(lim
x f x x +
→＝)(lim
x f x x -
→时
（即0
lim ()x x f x →存在时），称0x 为()f x 的可去间断点；
)(lim )(lim 0
x f x f x x x x -+→→≠时称0x 为()f x 的跳
跃间断点。
不是第一类间断点的都称为第二类间断点。 7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。
8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。
三.例题选解
例1.单项选择题
⑴下列极限中正确的是（ ）
A.sin lim
1x x x
→∞
= B. 1sin
lim
11x x x
→∞
=
C. 2
sin lim
1x x x
→= D. 0
tan lim
1x x x
→=
⑵ 当0x →
1是2
sin x 的
（ ）
A.低阶无穷小；
B.高阶无穷小；
C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；
D. 等价无穷小；
分析与解： ⑴． A 与 C 显然都不对，对于D, 记tan ()x f x x
=
，
则tan 0
()tan 0
x
x x
f x x x x
?>??=?
?
tan lim ()lim
1x x x f x x
+
+
→→==
tan lim ()lim 1x x x f x x
--
→→==--0
lim ()x f x +→≠
即D 也不对，剩下的B 就是正确答案。
⑵． 由于
2
222
2
00
212lim
lim lim
1
sin x x x x
x x x
x
→→→-===代换
∴ 应选择D. 例3.求极限： ⑴0
lim
x →2
ln(1)1cos x x
--
⑵lim x →∞
2(
)5
x
x x --
解: ⑴ 此极限为
00
型
∵当0x →时，有
2
ln(1)x -～2
()x -, 1cos x -～
2
2
x
∴0
lim
x →2
ln(1)1cos x x
-- 2
2
lim
22
x x x
→-==-
⑵ 此极限为1∞型，可用重要极限()II 。
lim x →∞
2(
)5
x
x x -- ＝x
x x )5
31(lim -+
∞
→
x
x x x x ?-?
-∞
→-+
=5
33
5
)
5
31(lim x
x x x x ?--∞→??
????-+=5
335
)531(lim
3
e =. )35
3lim
5
3lim
(=-=?-∞
→∞
→x x x x x x
例2．判断函数2
2
96
x y x x -=
-- 的间断点，并
判断其类型。 解：由于2
2
9(3)+3)6
(3)(2)
x x x y x x x x --=
=
---+（
∴3,2x x ==-是函数y 无定义的点，因而是
函数y 的间断点。 ∵3
3
(3)(3)36lim
lim
(3)(2)
2
5
x x x x x x x x →→-++==
-++
∴ 3x =为函数 y 的可去间断点； ∵22
(3)(3)3lim
lim
(3)(2)
2
x x x x x x x x →-→--++==∞-++
∴ 2x =-为函数 y 的第二类（无穷型）间断。
例3．函数
2
1cos 2
()00
x f x x x x k ?
-??=≠??
=??
在点0x =处连续，求常数k .
分析与解：由于分段函数()f x 在分段点0x =的左右两边表达式相同，因此()f x 在0x =连续的充要条件是
lim ()(0).x f x f k →==
∵
2
22
0001cos 82lim ()lim lim x x x x
x
f x x x
→→→-==代换
1.8= ∴1
.8
k =
四.练习题及参考答案
1.填空
⑴.当0x →时，(1)sin 2x
e x -与
1)ln(12)x +相比，是
__________________无穷小；
⑵.21lim (
)23
x
x x x →∞
-=+ __________________；
⑶.22
[cos(3)1]tan
3lim
(1)ln(15)
x
x x
x e
x →-=-+______________. 2.单项选择题
⑴．设2
(3)(2)56
x x y x x +-=
-+，下面说法正确的是
________；
A. 点3,2x x =-=都是可去间断点；
B. 点2x =是跳跃间断点，点3x =是无穷间断
点；
C. 点2x =是可去间断点，点3x =是无穷间断
点； D. 点2x =是可去间断点，点3x =是跳跃间断
点； ⑵．下面正确的是______________. A.0
tan lim
1x x x
→= ； B. 0
1lim sin
0x x x
→=；
C. 0
tan lim
x x x
→不存在； D. 0
tan lim
1x x x
→=.
答案:1. ⑴.同阶而不等价的 ；⑵.2e - ；⑶.320
-
.
2. ⑴.C; ⑵.B .
自我复习.习题二(A) 11. (4).24. ⑴,(4),⑺. 27.⑴. (4).28.⑴,⑵. 30.⑵.37．⑴,⑶.
习题二(B).14. 第三章 导数与微分
一.本章重点.
导数的概念，导数及微分的计算.
二.复习要求
1.掌握函数()x ?在0x 处可导的定义，并能熟练应
用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。 导数是一个逐点概念，
()x ?在0x 处的导数的定
义式常用的有如下三种形式：0000
()()
()lim
x f x x f x f x x
?→+?-'=?
000
()()
lim
h f x h f x h
→+-=
00
()()
lim
x x f x f x x x →-=- . 2.知道导数的几何意义，会求()x ?在0x 处的切线方程。
3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数： ⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导； ⑵复合函数求导法； ⑶隐函数求导法； ⑷取对数求导法。
4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。
5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。
6.掌握函数可微,可导及连续的关系。
三.例题选解
例1.求下列函数的导数： ⑴．2(1)y f x =＋ ，求,.y y '''
⑵．y
= 求.y '.
⑶．设y =tan x
e
，求dy
⑷. 3
ln (1)y x =+ ,求y ''
解：⑴、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得：
22
1()(1)y f x x '''=＋＋
2
(1)2f x x '=+?
2
2(1)x f x '=?+ .
22
2(1)2(1)2y f x xf x x '''''=+++?
2
2
2
2(1)4(1)
f x
x
f x '''=+++ ⑵ 本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。
原方程两边取对数：
ln ln y x =
上式两边对x 求导，视y 为中间变量:
'y y
1ln x x
+
1ln 12y x ?
'=?+??
1ln 12x ?
=?+??
12
ln (
1)2
x =+
注：本题除此方法外，也可以： x
x e y ln 3?= )13ln 3321(
ln 3x x x x
e
y x
x ?
+
??='∴?
⑶． ∵tan (tan )x y e x ''=? tan 2sec x e x =? .
∴tan 2sec x dy e xdx =?
⑷. 23
31x
y x
'=
+
3
2
2
3
2
6(1)33(1)
x x x x
y x +-?''=
+ 3
3
2
3(2)(1)
x x x -=
+
例2. 设()x ?在1x =处可导,且'(1)2?=.
求1
(43)lim
1
x x x →---??(1)
分析:将()x ?在1x =处的导数的定义式理解为
结构式:
(1)'?=0
(1)(1)
lim
→+-
??
其中 为1-=?x x 或x ?的函数.且当0
→?x
时,0→ 即可. 解: 1
1
(43)lim
1
(1)]lim
(3)3(1)
3(1)6
x x x x x x f →→-----=?---'=-=-??(1)
?[1-3?(1)
例3．求曲线 3333x y axy a +-=在点
()0,a 处的切线方程。
解：显然，点()0,
a 在曲线上，
现求切线的斜率，即(0,)y a ' 曲线方程两边对x 求导：
22
33330x y y ay axy ''+?--=
解得 2
2
ay x
y y ax
-'=
-
∴(0,)y a '＝1
切线方程为：y a x -=
即 y x a -=
例4、设2
1()000
x e f x x x
x -?-?
=≠??=?
试讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性。
分析与解：由已知，(0)0f =； （1）讨论()f x 在0x =处的连续性。
∵
2
00
2
1lim ()lim
lim
0(0).
x
x x x e
f x x
x f x
-→→→-=-=代换
＝＝
∴()f x 在0x =处连续。
（2）讨论()f x 在0x =处的可导性。
分段函数在分段点的导数必须用定义求：
(0)
()lim
x f x f f x →-'=-（）０
2
1
lim
x
x e x
x -→--=-
2
2
22
01lim
lim 1x
x x e
x
x
x -→→--===-代换 即存在 () 1.f '=-０
四.练习题及参考答案
1.单项选择题
.设22
ln (1)
()10
x x x f x x ?-?≠??
=?
?-=???
下面说法正确的是（ ）. A.()f x 在0x =不连续；
B. .()f x 在0x =连续，但不可导；
C. ()f x 在0x =可导，且(0)1f '=-；
D. ()f x 在0x =可导，且(0)0f '=.
2.填空题
()f x 在0x x =处可导，且0()1f x '=-,则
（1）000
()()
lim
______h f x h f x h h
→+--=
3.求函数的导数或微分：
⑴1
x y x =, 求y ' ⑵[]
ln(1)(1)y f x x =-<,
求,
y y '''
⑶．ln
y =dy .
4.设3
cos()y x xy =+确定y 是x 的函数，求
dy dx
，并求出函数在点(0,1)的切线方程。
5、证明：（1）若)(x f 是偶函数且可导，那么)(x f '是奇函数，（2）若)(x f 是奇函数且可导，那么
)(x f '是偶函数，
答案：1.D. 2. 2-
3.⑴.1
2
(1ln )x
y x x -'=- (2).[]1ln(1)1
y f x x ''=
?-- ；
[]
[]
2
2
1
ln(1)(1)1
ln(1)(1)
y f x x f x x ''''=
--'-
--
⑶.2
1
x dy dx x =
-.
4.
2
1sin()3sin()
dy y xy dx
y x xy -=
+；
切线方程：33y x -=.
自我复习:习题三(A) 13； 21,⑹，⑼； 24.⑴，⑵； 25；26.⑴,⑺; 27.⑸；29.⑵，⑹，⑺； 47.⑴，⑵．54.
习题三(B) 1 ；3；11.
第四章 中值定理与导数的应用
一.本章重点
求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；
二.复习要求
1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的ξ，掌握拉格朗日定理推论的意义。
2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
注意:⑴洛必达法则只能直接用于求“00
”型或
“
∞∞
”型未定式的极限，对于其他类型的未定式
极限，必须将其转化为“00
”型或“
∞∞
”型未定
式才能使用法则。
⑵洛必达法则可以连续使用,当再次使用法则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算.
⑶．在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。
3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。
4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法.
5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等.
6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法.
三.例题选解
例1. 求下列极限 (1). 0
sin 21
lim
ln(1)
x
x e x x x x →+--+
(2). 2sin 0
lim x
x x
+→
(3). 011
lim ln (1)x x
x →??-
?
?+??
解：
(1) 0
sin 21
0lim
()ln(1)
x
x e x x x x →+--+
2
sin 21
lim
x
x e x x x
→+--代换
＝
cos 2
lim
()20
x
x e x x
→+-洛
＝
sin lim
()2
x
x e x
→-洛
＝不是未定式 12
=
.
(2) 原式为幂指型不定式（00型），利用代数变换：
ln v
u
v u
e
=，得：
2sin 2si ln n 2si 0
li ln n m lim lim x x
x x x x
x x
e x
e
+++
→?→→?==
其中 0
lim 2sin ln (0)x x x
+
→??∞
x x x ln 2lim 0
?=+→ （代换）
2l n lim
1x x x
+
→= （
∞
∞） 0
2
2
lim 1x x x
+
→=-
洛
lim (2)0x x +
→=-=. ∴原式＝0
1e =
(3) 0
11
lim ln (1)x x
x →??
-
?
?+??
()∞-∞型
=0
ln(1ln(1)lim
)
x x x x x →+-+ 00
()通分化为
型
=0
ln(1)lim
x x x
x x →+-? （代换）
01
1
1lim 2x x x
→-+= （洛必达）
＝0
1lim
2(1)
2
x x x x →-=-+.
例2.求函数2
1x y x
=+的单调区间和极值，凹凸区
间和拐点。
解：函数2
1x y x
=
+的定义域为(,
)-∞+∞
2
22
2
2
2
(1)21(1)
(1)
x x x
x
y x x +-?-'=
=
++，
222
2
24
(2)(1)2(1)2(1)
(1)
x x x x x y x -?+-+??-''=
+
2
2
32(3)(1)
x x x -=+ 。
令2
2
(1)(1)0(1)
x x y x -+'=
=+，得驻点1x =-，
1x =；无不可导点。
两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下：
令0(1)y x ''=
=+
得 0,x x ==±
y ''不存在的点。曲线的
凹向及拐点列表讨论如下：
由上面的讨论看出： 函数2
1x y x
=
+的单减区间为 (,1)(1,)-∞-?+∞；
单增区间为[1,
1]-。极小值是1(1)2
y -=-
，
极大值是1(1)2
y =
。 曲线2
1x y x
=
+
的凸区间是(,-∞?
凹区间是(0))?+∞。
曲线2
1x y x
=+
的拐点有三个：(4-
，
(0,0)
，4
。
例3.证明不等式 2
1(1)ln(1)(0)2x x x x
x ++<
+>
分析与证：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令 2
1()(1)ln(1)2f x x x x x =++-
-
则问题转化为证()0(0)(0)f x f x <=>
即证在0x >时，()f x 单减。
∵1()ln(1)11x f x x x x
+'=++--+
l n (1)x x =+-
1()1011x f x x
x
-''=
-=
<++
∴0x >时，()f x '单减，有
()(0)0f x f ''<=
∴()f x 也单减，有()(0)0f x f <=， 证毕。 例4.证明：对任意1x ≥，有
1arctan arcsin
2
x
π
=
分析： 本题为恒等式的证明。我们设
1()arctan arcsin
F x x
=
由拉格朗日定理的推论，若能证明
()0F x '= 则()F x c ?≡，再确定
2
c π
=
即可。
证：当1x ≥时，
1(
)()F x '''=
+
22
1
1
11x x =
?
+-
0==
∴
()F x c ≡
∵2
1arcsin 0arctan )1(π
=
+=F
∴ 2
c π
=
，证毕！
例5求出函数543
551y x x x =-++在区间
[2,1]-上的最大、最小值。
解：显然函数543
551y x x x =-++在闭区间
[2,1]-上连续，因而必存在最大、最小值。 4
3
2
2
520155(1)(3)y x x x x x x '=-+=--
由0y '=，解得区间(1,2)-内的可疑点为：
120,
1x x ==. 比较以下函数值，
(1)10,(0)1,(1)2,(2)7f f f f -=-===-
得 m ax m in (1)2,(1)10f f =-=-.
例 6.某食品加工厂生产x 单位的总成本为
2
()20040.03C x x x =++，得到的总收益是
2
()80.02R x x x =-，求出生产该商品x 单位的
边际利润、生产300单位时的边际利润，当生产多少单位时利润最大。 解：⑴.利润函数
2
()()()0.014200L x R x C x x x =-=-+-
边际利润函数()0.024L x x '=-+. ⑵.当300x =时，
(300)0.0230042L '=-?+=
⑶.令()0.0240L x x '=-+= 解得：200x =
(200)0.020L ''=-<，
∴产量200x =单位时，可获最大利润。 注：设函数)(x f y =可导，导函数)(x f '也称为边际函数。
四.练习题与参考答案
1. 求极限 (1) 2
1lim (1cos
)x x x
→∞
-
⑵ 0
11lim (
)sin x x
x
→-
⑶ 1
ln 0
lim (tan )
x
x x +
→
2. 证明. 当1x >时，有: (1)ln 2(1)x x x +>-.
3证明： 2
1cos 1(0)2
x x
x >-
>
4 .求3
2
399y x x x =--+单调区间和极值，凹凸区间和拐点。
5. 证明当0x >时，有：
arctan
arctan
C =，并求出常数C.
参考答案： 1. (1).
12
； ⑵.0 ； ⑶.e .
4. 单增区间(,1)(3,)-∞-?+∞；
单减区间(1,1)-；极大值(1)14y -=， 极小值(3)18y =-；
上凹区间（1 ＋∞）；下凹（凸）区间（-∞ 1） ； 拐点（1 , －2）. 5. 2
C π
=
.
自我复习：
习题四 （A ）
8, 9.⑸,⑻,⑼，⑾ ，⑿； 14.⑴,⑶,⑸； 18.⑴，⑵；19.⑴ ；20.⑴,⑶；32.⑵，⑷；37； 41。
习题四 （B ） 10；12.
高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????
（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为： X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解：原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解：原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0 【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1 （α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7 ）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 数乘运算 加减运算 线性运算 （8） ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）分段函数的积分 例题说明：{}dx x? ?2,1 max （12）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解 大学的考试比较简单，主要以书本为主，下面的复习指导可作提引作用。 10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导 第一章 函数 一．本章重点 复合函数及分解，初等函数的概念。 二．复习要求 1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。 2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。 3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中 ⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运 算性质，还能熟练应用它与指数函数 x y e =互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln v u v u e = ⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值. 4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。 5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解 例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2 sin x y e = ⑵.2 1 arctan( )1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。 解： ⑴.2,,sin u y e u v v x ===⑵.21 arctan ,, 1.y u u v x v == =+ 例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答： cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是 (,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=. cot14 arc π = 四．练习题及参考答案 1. ()arctan f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = . 2.()arcsin f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；f = . 3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3 ln(1)y x =- 答案： 1.（-∞ +∞）, (, )2 2 π π - , ,04 π 高等数学（上）模拟试卷一 一、 填空题（每空3分，共42分） 1 、函数lg(1)y x = -的定义域是 ； 2、设函数20() 0x x f x a x x ?<=?+≥?在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ； 4、已知3()f x dx x C =+? ，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ； 8、曲线x y xe =的拐点是 ；9、201x dx -?= ； 10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+r r r r r r r r ，且a b ⊥r r ，则λ= ； 11、2 lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ； 12、311lim x x x -→= ；13、设 ()f x 可微，则()()f x d e = 。 二、 计算下列各题（每题5分，共20分） 1、011lim()ln(1)x x x →-+2 、y =y '； 3、设函数()y y x =由方程xy e x y =+所确定，求0x dy =； 4、已知cos sin cos x t y t t t =??=-?，求dy dx 。 三、 求解下列各题（每题5分，共20分） 1、421x dx x +? 2、2sec x xdx ?3 、40?4 、2201dx a x + 四、 求解下列各题（共18分）： 1、求证：当0x >时，2 ln(1)2x x x +>- （本题8分） 2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋 大一（上） 微积分 知识点 第一章 函数 一、A ?B=?,则A 、B 是分离的。 二、设有集合A 、B ，属于A 而不属于B 的所有元素构成的集合，称为A 与B 的差。 A-B={x|x ∈A 且x ?B}（属于前者，不属于后者） 三、集合运算律：①交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致； ②摩根律：交的补等于补的并。 四、笛卡尔乘积：设有集合A 和B ，对?x ∈A,?y ∈B ，所有二元有序数组（x,,y ）构成的集合。 五、相同函数的要求：①定义域相同②对应法则相同 六、求反函数：反解互换 七、关于函数的奇偶性，要注意： 1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数的定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言，那么函数既不是奇函数也不是偶函数； 2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f =-成立，则)(x f 为偶函数；若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f -=-成立，则)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-不能对所有的)(f D x ∈成立，则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数； 3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数；一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零）；两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。 第二章 极限与连续 一、一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的。 二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。 三、无穷小量的几个性质： 1、limf(x)=0，则 2、若limf(x)=)(lim x g =0，则0)()(lim =+x g x f 3、若limf(x)=)(lim x g =0，则lim )(x f ·)(x g 0= 4、若g(x)有界（|g(x)|＜M ），且limf(x)=0，则limf(x)·g(x ）=0 四、无穷小量与无穷大量的关系： ①若 y 是无穷大量，则y 1是无穷小量； ②若y （y ≠0)是无穷小量，则y 1是无穷大量。 中南民族大学06、07微积分（下）试卷 及参考答案 06年A 卷 评分 阅卷人 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 0 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则= ')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 评分 阅卷人 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与?-e p x x dx 1 1 ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数???? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若 2 2223 11 1x y I x y dxdy +≤= --?? ,22223212 1x y I x y dxdy ≤+≤=--??, 2 2223 324 1x y I x y dxdy ≤+≤=--?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分) 评分 评分 评阅人 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 大一经典高数复习资料经典最新(经典全面复习) ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ? 高等数学(本科少学时类型) 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）(★★★) ○邻域（去心邻域)(★) (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-< 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★) 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 １．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = ２.即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★) (定理三）假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小, 则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四)在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大,则()1f x -为无穷小;反之，若()x f 为无穷小,且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） １.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界；） ２．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小; （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；) 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????） 第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） (定理一）加减法则 (定理二）乘除法则 关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算 设:()()?????+?++=+?++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1 101 10 则有()()???????∞=∞→0 lim 0 b a x q x p x m n m n m n >=< ()()() ()000lim 0 0x x f x g x f x g x →?? ??=∞????? ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== (特别地，当()()00 lim 0 x x f x g x →=（不定型）时，通常分子 分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解) 【题型示例】求值2 3 3 lim 9 x x x →-- 大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限 高等数学（本科少学时类型） 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<- 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 （第七题删掉了） 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422 11、(本小题5分) ． 求? π +20 2sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) . d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 823 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 (答案) 学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线-------------------------------- 易错点 10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导 第一章 函数 一．本章重点 复合函数及分解，初等函数的概念。 二．复习要求 1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。 2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。 3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中 ⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 x y e =互为反函数的关系，能熟练将幂指函数 作如下代数运算： ln v u v u e = ⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值. 4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。 5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解 例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2 sin x y e = ⑵.2 1 arctan( )1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。 解： ⑴. 2, ,sin u y e u v v x ===⑵.21 arctan , , 1.y u u v x v == =+ 例2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答： cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是 (,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=. cot14 arc π = 四．练习题及参考答案 1. ()arctan f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = . 2.()arcsin f x x = 则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ； 2 f = . 3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3 ln(1)y x =- 答案： 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+ 大一上学期高数复习要点 同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点； 1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。 2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。 3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。没有用到公式的要死抓定义定理！ 一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。 一函数与极限 熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理 本章公式： 两个重要极限： 二.导数与微分 熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数 洛必达法则： 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点： 注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间 求极值和最值 利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号） 四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍） 对原函数的理解 原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式） 不定积分的性质 最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！大学微积分知识点总结
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