第1章 函 数
§1.1 函数的概念与性质
1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >）
（1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+
（2
）2
112
a b a b +≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值）
一般地，1212111n n x x x n
n x x x +++≤≤
+++ （3）{}max ,22a b a b a b -+=+；{}min ,22
a b a b a b -+=- 2. 函数概念与性质
对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。
注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。
（1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈,
（2）单调性 1212,,x x I x x ?∈<
1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤???≥?
?单调递增单调递减；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ??严格单增严格单减 （3）奇偶性 ()()
()()()()f x f x f x y f x f x f x -=???-=-??为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点
注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。
（4）周期性 若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。
（5）有界性 若D x ∈?，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。 常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞；
arcsin 2x π
≤，arccos x π≤，[]1,1-；arctan 2x π
<，arccot x π<，(,)-∞+∞
3. 复合函数
设)(u f y =的定义域为f D ，)(x u ?=的值域为?Z ，且Φ≠?Z D f （空集），则称[])(x f y ?=为x 的复合函数。
4. 反函数 设1()
()f f f f y f x D Z y f x Z D -=???=??定义域为值域为定义域为值域为
注意：正反函数的图形对称于直线x y =；严格单调函数必有反函数；
1()f f x x -??=?? ()f x f x Z ∈的；[]1()f f x x -= ()f x f x D ∈的
5. 初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合而成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
基本初等函数：幂函数μx y =（μ为实数）；指数函数x a y =（0>a ，1≠a ）；对数函数x y a log =（0>a ，1≠a ）；三角函数x y sin =，x cos ，x tan ，x cot ，x sec ，x csc ；反三角函数x y arcsin =，x arccos ，x arctan ，x arc cot .
６. 分段函数与幂指函数
分段函数一般不属于初等函数，因为一般在其定义域内不能用一个解析式表示；
幂指函数x
y x =一般不属于初等函数，因为它无法用初等函数复合而成；但若规定0x >，则ln x x x y x e ==，是初等函数。
§1.2 典型例题解析
例3 已知不等式211x x +>-，用区间表示不等式的解集
分析 解此不等式应先去掉绝对值符号，由于12x =-
，1x =分别为21x +，1x -的零值点，于是将区间划分为1(,)2-∞-，1[,1]2
-
，(1,)+∞，再考虑各小区间x 的取值范围及端点，最后综合得出结论。
解法1 1211(,)21211211(,1)2211(1,)x x x x x x x x ?-->--∞-???+>-=+>--??+>-+∞???12(,)210(,1)22(1,)x x x ?<--∞-???=>-??>-+∞???
? (,2)(0,x ∈-∞
-+∞ 解法2 22(21)(1)x x +>- ? (2)0x x +> ? (,2)(0,x ∈-∞-+∞
1. 函数定义域的求法
解题思路
（1）分式的分母0≠，对数的真数0>，偶次方根下的表达式0≥，反正弦、反余弦号内的表达式绝对值1≤；
（2）复合函数的定义域=简单函数的定义域所构成的不等式组的解集。
例4 求下列函数的定义域
（1
）1arcsin 4x y -= 解 211
41lg(2)020340x x x x x ?-≤???--≥??->?--≠?? ?
351221;4x x x x x -≤≤??≤??>??≠-≠? ? (](2,4)4,5
（2）已知()f x 的定义域是[]0,1，试求()()f x a f x a ++- (0)a >的定义域
解 ()f x a +的定义域：01x a ≤+≤ ? 1a x a -≤≤-
()f x a -的定义域：01x a ≤-≤ ? 1a x a ≤≤+；
()()f x a f x a ++-的定义域：[][],1,1x a a a a ∈--+
当1a a -<，12a >时，定义域为空集；当1a a -≥，12
a ≤时，定义域为[],1a a -；故取交集定义域为[],1a a -
2. 函数解析式的求法
解题思路
（1）将已知变量凑成与()f 内的中间变量一致的形式，利用函数的无关特性求解；
（2）对()f 内作变量代换，再利用无关特性与原方程联立求解。
（3）由[]()f x ?的表达式求)(x f 的一般方法是令()u x ?=，从中解出1()x u ?-=，将其代入[]()f x ?中可得()f u
例5 求下列函数解析式
（2）已知x x bf x af sin )1
()(=-+，()a b ≠, 求)(x f ；
解 令x t 1
-=代入原式得 1
1
()()sin()bf t af t t +-=-，则
1
()()sin 11()()sin()
af x bf x
x bf x af x x ?+-=????+-=-?? ? )1
sin sin (1)(22x b x a b a x f +-=
（3）已知411
()ln ln(1)2f x x x x +=-+,求)(x f ；
解法1
2442221111111
()ln ln(1)ln ln ln 1122122
()2
x f x x x x x x x x x +=-+===+++- 令1
x t x +=，则 21
1()ln 22f t t =- ? 211
()ln 22f x x =-
解法2 将x 换成1
x ，得4111
()ln ln(1)2f x x x x +=--+，和原式相加得
441
1
11
2()ln(1)ln(1)22f x x x x +=-+-+
222211111
()ln()ln ()242f x x x x x x ??
+=-+=-+-???? 令1
x t x +=，则 21
1()ln 22f t t =- ? 211
()ln 22f x x =-
例6 求下列函数解析式
（1）已知221
(ln )1x f x x -=+，()x ?的定义域为0x <，且[]()x f x e ?=，求()
x ?
解 令ln u x =，22u x e =，221()1u u e f u e -=+，且[]()x
f x e ?=，则
2()2()11x x x e e e ??-=+ ? 2()11x
x x e e e ?+=- ? 11
()ln 21x
x e x e ?+=-（0x <）
（2）已知11
(ln )ln 01x x f x x
x ->?=?<≤?，求)(x f
解 令ln u x =， u
x e =，则 110
()010u u u e e u f u u e u ?->?>=?<≤?≤? ? 10()0x e x f x x x ?->=?≤? 3. 利用定义确定函数的有关特性
解题思路
（1）若()()0f x f x +-=，则()f x 为奇函数；
（2）若T 是()f x 的周期，则()b ax f +的周期为/T a ；若()f x ，()g x 分别是以1T ，2T 12()T T ≠为周期的函数，则()()f x g x ±的周期为1T ，2T 的最小公倍数。
（3）将函数取绝对值，由不等式的缩放法或求函数的最值确定函数的有界性；
（4）若12x x <，且21()()0f x f x -≥，21()/()1f x f x ≥，则可确定()f x 单增性。 例7 设)()()(y F x F y x F +=+，求)1121)((x a
x F y +-=，(0,1)a a >≠的奇偶性 解 设)1(211121)(x x x a a a x g +-=+-=，11()()2(1)2(1)
x x x x a a g x g x a a -----==-=-++ 由于)()()(y F x F y x F +=+，分别令0=y ，x y -=，得0)0(=F
()()(0)0F x F x F +-== ? )()(x F x F -=-
即)(x F 为奇函数，故)1121)((x
a x F y +-=为偶函数。 例8 设()f x 在[],a a -(0)a >上有定义，证明：()f x 可表示为一个奇函数与一个偶函数的和，且表示法唯一
分析 若()()x x ??-=，()()x x ψψ-=-，则有()()()f x x x ?ψ=+，
()()()f x x x ?ψ-=-，由此引入辅助函数
证 设[]1()()()2x f x f x ?=+-，[]1()()()2
x f x f x ψ=-- [][]11()()()()()()22
x f x f x f x f x x ??-=-+=+-= [][]11()()()()()()22
x f x f x f x f x x ψψ-=--=---=- 故()x ?为偶函数，()x ψ为奇函数，且
[][]11()()()()()()()22
x x f x f x f x f x f x ?ψ+=+-+--=
唯一性：设另有偶函数1()x ?及奇函数1()x ψ使得11()()()f x x x ?ψ=+，则
1111()()()()()()()()x x x x x x x x ?ψ?ψ??ψψ+=+??---=---? ? 1111
()()()()()()()()x x x x x x x x ??ψψ??ψψ-=-??-=-+? 解得1()()x x ??=，1()()x x ψψ=，即表示法唯一。
例9 证明下列函数为周期函数，并求其最小正周期
（1）()sin(23)f x x =+
解法1 由于sin x 的周期为2π，故所求周期为22
T ππ== 解法2 []()sin(23)sin(232)sin 2()3()f x x x x f x πππ=+=++=++=+，T π=
（2）sin cos y x x =+
解 ()sin()cos()cos sin ()222
f x x x x x f x πππ+=+++=+= ? 2T π= 例11 设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，证明：
（1）若()y f x =的图形关于直线x a =(0)a >对称，则()()f x a f a x +=-；
（2）若()y f x =的图形关于直线1x =，2x =对称，则()f x 是周期的偶函数。 分析（1）若()y f x =的图形关于直线x a =对称点为(,)x y 与(,)x y ''，则
2x a x '=-，y y '= ? ()(2)f x f a x =-
反之，若(2)()f a x f x -=，则()y f x =关于直线x a =对称
证（1）必要性：x R ?∈，有()(2)f x f a x =-，则
[]()2()()f x a f a x a f a x +=-+=-
充分性：若x R ?∈，有()()f x a f a x +=-，则
[][]()()()(2)f x f a x a f a x a f a x =+-=--=-
（2）由题设知(1)(1)f x f x +=-，(2)(2)f x f x +=-，则
[][]()1(1)1(1)(2)(2)f x f x f x f x f x =+-=--=-=+
[][]()1(1)1(1)(2)()f x f x f x f x f x -=-+=++=+=
故()f x 是以2为周期的偶函数
例12 判断下列函数的有界性
（1）2221
222x y x x +=-++
解 由222a b ab +≥，有2222(1)12(1)x x x x ++=++≥+，则
2222
222(1)
122(1)12(1)x x x x x x x +++=≤=+++++
23221122222x x x +-≤-≤++ ? 22213
2222x x x +
-≤++
例13 设1λμ+=（0,0λμ>>），证明：
（1）若()f x 是[)0,+∞的单减函数，则()()()f x f x f x λλμμ≤+；
（2）若()
f x x 是(0,)+∞的单减函数，则()()()f x f x f x λμ≤+；
（3）()()()f a b f a f b +≤+（0,0a b >>）
证（1）由题设知，
01λ<<，01μ<< ? x x λ≤，x x μ≤，[)0,x ∈+∞
由于()f x 单减，有()()f x f x λ≥，()()f x f x μ≥，则
()()()()()f x f x f x f x f x λλμμλμ+≥+=
（2）由于()f x x 单减，有()()f x f x x x λλ≥，()
()
f x f x x x μμ≥，则
()()f x f x λλ≥，()()f x f x μμ≥ ? ()()()f x f x f x λμ+≥
（3）令x a b =+，a a b λ=+，b
a b μ=+，则
()()()f a f b f a b +≥+
例14 求下列函数的反函数
分析：求分段函数的反函数，要注意x 的不同取值范围对应原来函数的值域
（2）?????≤≤+<≤+=2
1)2(31
1
0)1(212
x x x x y
解 当10<≤x 时，)1(2
12+=x y 的值域为 12
1<≤y ? 12-=y x 当21≤≤x 时，)2(3
1x y += 的值域为 3
41≤≤y ? 23-=y x 故
11243213y x y y ≤<=??-≤≤??
? ?????≤≤-<≤-=3412312112x x x x y 例15 在底为a ，高为h 的三角形中内接一矩形，将矩形面积S 表示为其底x 的函数。 解 设矩形高为y ，由三角形相似关系得h y x h a -=，hx y h a
=-，则 ()h S xy x a x a
==- 例16 某商场以每件a 元的价格出售某种商品，若顾客一次购买50件以上，则超出50件的商品以每件0.8a 元的价格出售，试将一次成交的销售收入R 表示成销售量x 的函数。
解 050050500.8(50)500.81050
ax x ax x R a a x x ax a x ≤≤≤≤??==?
?+->+>??
最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)
法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<
而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以
第1章 函 数 §1.1 函数的概念与性质 1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >） （1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+ （2 ）2 112 a b a b +≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值） 一般地，1212111n n x x x n n x x x +++≤≤ +++ （3）{}max ,22a b a b a b -+=+；{}min ,22 a b a b a b -+=- 2. 函数概念与性质 对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。 注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。 （1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, （2）单调性 1212,,x x I x x ?∈< 1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤???≥? ?单调递增单调递减；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ??严格单增严格单减 （3）奇偶性 ()() ()()()()f x f x f x y f x f x f x -=???-=-??为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点 注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。 （4）周期性 若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。 （5）有界性 若D x ∈?，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。 常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞；
1、已知函数2,02 ()2,24x f x x ≤≤?=?-<≤? ，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。 2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3 ()f x 的定义域。 3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。 (1)(1)f x + (2)()(0)f ax a ≠ (3)(sin )f x (4)(sin 1)f x + 4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件？ 1 (1)() y f x = (2)y = (3)log ()(0a 1)a y f x a =>≠且 (4)arccos ()y f x = 5、求下列函数的定义域。 22(1)16x y x = +- 2 (2)arcsin 3x y -= (3)y =+ 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。 211(1)()ln ;()2ln f x x g x x ==g 2222(2)()1;()sin cos f x g x x x ==+ 33(2)(3) (3)()3;()2 x x f x x g x x -+=+= - 44(4)()()1f x g x x ==- 7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。 8、设2 ()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2 2 11 (),()f x x f x x x +=+ 求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。 11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数。 (1)()sin f x x x =g (2)()sin f x x tgx =+ (3)()f x = (4)()ln(f x x = 2(5)()f x x x =- 12、判断下列函数的奇偶性。 3(1)()f x x x =+ (2)()cos f x x x =? (3)()(0)tgx f x x x = ≠ (4)()ln(f x x x =- 13、求下列函数的周期。
高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x
第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设
解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定
习题一 1．y ＝lg （－x 2）是不是函数关系？为什么？ 2．Y ＝1 12--x x 与y ＝x ＋1是不是相同的函数关系？什么？ 3．确定下列函数定义域： （1）y ＝29x - （2）y ＝211 x -＋2+x （3）y ＝4 5 2+-x （4）y ＝arcsin 21-x （5）y ＝1－e 1－x2 （6）y ＝1 ||) 3lg(--x x （7）y ＝45lg 2x x - （8）y ＝6712arccos 2---x x x 4．已知 f （x ）＝x 2－3x ＋2，求f （0），f （1），f （2），f （－x ），f （ x 1），f （x ＋1） 5．设f （x ）＝x x -1，求f[f (x)]和f{f[f (x)]} 6．如果f （x ）＝x 5－2x 3＋3x ，证明f （－x ）＝－f （x ） 7．如果f （x ）＝1 1 +---x x e e ，证明f （－x ）＝－f （x ） 8．如果f （x ）＝x x cos 12 -，证明f （－x ）＝f （x ） 9．如果f （x ）＝a x ，证明 f （x ）·f （y ）＝f （x ＋y ）， )()(y f x f ＝f （x －y ） 10．如果f （x ）＝log a x ，证明 f （x ）＋f （y ）＝f （x·y ）， f （x ）－f （y ）＝f （ y x ） 11．确定下列函数的定义域并作出函数图形： （1）f （x ）＝?????<=>0 100 01x x x
（2））f （x ）＝?????<<-≤-2||11 1||12x x x x 12．将函数y ＝5－|2x －1|用分段形式示，作出函数图形。 13．设f （x ）＝?? ???>=<0100 01x x x ，求f （x －1），f （x 2－1） 14．设?????≤<≤≤=+21210)1(2 x x x x x ?，求)(x ? 15．判断下列函数的奇偶性： （1）y ＝21 x （2）y ＝tanx （3）y ＝a x （4）y ＝2 x x a a -+ （5）y ＝x ＋sinx （6）y ＝xe x （7）y ＝lg x x +-11 16．判断下列函数的单调增减性： （1）y ＝2x ＋1 （2）y ＝（ 21）x （3）y ＝log a x （4）y ＝1－3x 2 （5）y ＝x ＋lgx 17．函数y ＝cos3x 的周期是多少？ 18．求下列函数的反函数： （1）y ＝2x ＋1 （2）y ＝2 2-+x x （3）y ＝x 3＋2 （4）y ＝1＋lg （x ＋2） 19．如果y ＝u 2， u ＝log a x ，将y 表成x 的函数。 20．如果y ＝u ，u ＝2＋2υ，υ＝cosx ，将y 表成x 的函数。 21．如果f （x ）＝3x 3＋2x ，?（t ）＝lg （l ＋t ），求f[?（t ）]。 22．下列函数可以看成由哪些简单函数复合而成： （1）y ＝13-x （2）y ＝a 31x + （3）y ＝（1＋lnx ）5 （4）y ＝e e-x2 （5）y=x ln （6）y ＝lg 2arccosx 3 23．分别就a ＝2，a ＝2 1，a ＝－2讨论y ＝lg （a －sinx ）是不是复合函数。如果是复合函数，求其定义域。
求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常
见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．
随堂练习 一 第一章 函数与极限 一、填空题 1、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 2、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 3、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 4、=++++∞→3 52352) 23)(1(lim x x x x x x 。 5、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 6、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 7、当+∞→x 时， x 1 是比 3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 9、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 10、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 11、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 12、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 13、设? ??>≤+=0,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。 二、计算题 1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++ ∞ → ； （2）2)1(321lim n n n -++++∞→ ；
（3）35lim 22-+→x x x ； （4）1 1 2lim 221-+-→x x x x （5）)12)(11(lim 2x x x -+ ∞ → ； （6）x x x 1 sin lim 20→ ； （7）x x x x +---→131lim 21 ； （8）)1(lim 2 x x x x -++∞ → ； 2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim 0→ ； （2）x x x 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ； （4）x x x x )1( lim +∞→ ； （5）1 )11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1 )1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶 （1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(2 1 112 x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+x x 与x 。 4、利用等价无穷小性质求极限 （1）30sin sin tan lim x x x x -→ ； （2）),()(sin ) sin(lim 0是正整数m n x x m n x → ； 5、讨论函数的连续性 。 在? ??=>-≤-=11,31 ,1)(x x x x x x f 6、利用函数的连续性求极限 （1）)(lim 22 x x x x x -- ++∞ →； （2）x x x sin ln lim 0 → （3）x x x 2)11(lim + ∞→； （4）)1 1 (lim ,)1(lim )(1 --=+ →∞→t f n x x f t n n 求设 （5）)1(lim 2 x x x x -++∞ → ； （6）1)1232( lim +∞→++x x x x ； （7）3 0sin tan lim x x x x -→ ； 7、设函数???≥+<=0 ,0 ,)(x x a x e x f x 应当怎样选择a ，使得) ()(∞+-∞，成为在x f 内的连续函数。 8、证明方程135 =-x x 至少有一个根介于1和2之间。 9、设????? ≤+>=0 ,0,1sin )(2 x x a x x x x f 要使),()(∞+-∞在x f 内连续， 应当怎样选择数a ？
第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 1． 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ
如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中，E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+
第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知 ，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ）
高等数学第一章测试题 一、单项选择题（20分） 1、当0x x →时，()(),x x αβ都是无穷小，则当0x x →时（ ）不一定是无穷小. (A) ()()x x βα+ (B) ()()x x 22 βα + (C) [])()(1ln x x βα?+ (D) )() (2 x x βα 2、极限a x a x a x -→??? ??1 sin sin lim 的值是（ ）. （A ） 1 （B ） e （C ） a e cot （D ） a e tan 3、 ??? ??=≠-+=0 01sin )(2x a x x e x x f ax 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ） 1 （B ） 0 （C ） e （D ） 1- 4、函数 ??? ?? ? ???<+<≤>-+=0,sin 1 0,2tan 1,1) 1ln()(x x x x x x x x x f π 的全体连续点的集合是 （ ） (A) (-∞,+∞) (B) (-∞,1) (1,+ ∞) (C) (-∞,0) (0, +∞) (D) (-∞,0) (0,1) (1,+ ∞) 5、 设 )1 1( lim 2 =--++∞ →b ax x x x ，则常数a ,b 的值所组成的数组（a ,b ）为（ ） （A ） （1，0） （B ） （0，1） （C ） （1，1） （D ） （1，-1） 6、已知函数 231 )(2 2 +--= x x x x f ，下列说法正确的是（ ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断
第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。 二、 求极限： 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ →
5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上 至少有一点，使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ， 至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+
第十章 多元函数积分学（Ⅰ） 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学内容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.
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2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；
(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→
第一章函数、极限、连续 一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。 （A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（） （A）必不存在 （B）至多只有有限多个 （C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数） （A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在 （D）数列{ x n }一定不存在极限
9.数列 （A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（） （A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一 （C）先确定δ后给定ε （D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（） （A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值 （B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C） f（x）在x0的函数值可以不存在 （D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（） （A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数 （C）以0为极限的一个变量 （D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（） （A）无穷大量可能是有界量
第一章函数 一、实数集合 关于邻域：设a为某个正数，称开区间（x0-a，x0+a）为点x0的邻域。记作U（x0，a）。称x0为该邻域的中心，a为该邻域的半径。 A、点x0的空心邻域即（x0-a，x0+a）｛x0｝或U（x0，a） B、点x0的左邻域（x0-a，x0] 空心左邻域（x0-a，x0） C、点x0的右邻域[x0，x0+a）空心右邻域（x0，x0+a） 二、函数关系 A、一个函数的两个基本要素圈①定义域记作D（f）或D.②对应规则记作 f B、绝对值函数y=|x| 去绝对值符号的方法，分类讨论 C、符号函数y=sgnx ①x＞0时y=1 ②x=0时y=0 ③x＜0时y=-1 D、取整函数y=[x]=n n≤x＜n+1 n=0，±1，±2….. [x]表示不超过x的最大整数，称为x的整数部分[2.6]=2 [π]=3 [-2.8]=-3 取整函数的图像 E、函数的自然定义域：即定义域 一般需要注意：分式的分母不为零，对负数不能开偶次方根，对数的真数必须为正。 三、函数的基本特性 A、单调性证明函数的单调性：任取x1、x2∈D且x1＜x2.，求解f（x1）与f（x2）的大小关 系。由此函数单调性得证。 B、有界性：若存在常数M＞0，使得对任意的x∈D，恒有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在 D上有界，否则则称无界。（判断函数是否有界一般为求解函数的值域） ①有上界：f（x）≤M ②有下界：f（x）≥M C、奇偶性奇函数：任意x∈D，恒有f（-x）=-f（x） 偶函数：任意x∈D，恒有f（-x）=f（x） 非奇非偶：不是奇函数也不是偶函数 判断函数奇偶性一般先判断定义域是否关于原点对称，如果不对称则一定为非奇非偶函 数；若对称则求f（-x）的表达式，观察是否可以化成f（x）或f（-x）的形式，由此判断 D、周期性f（x）在D上有定义，存在常数T＞0，使对任意的x∈D，恒有x+T∈D，且f （x+T）=f（x）成立，则称f（x）为周期函数。满足上式的最小正数T0为f（x）的周期
答案： 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(，且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见 f(x)为奇函数； 反过来，若f(x)为奇函数，则? x dt t f 0 )(为偶函数，从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ，所以 x=0为第二类间断点； 0)(lim 1=+ →x f x ，1)(lim 1 -=- →x f x ，所以x=1为第一类间断点，故 应选(D).
【评注】 应特别注意：+∞=-+ →1 lim 1x x x ，.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ，.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C 解 原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极 的每项作等价替换，则 原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x .
第一章函数 历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题] 1、 设函数，则f(x)=（） A、x(x+1) B、x(x-1) C、(x+1)(x-2) D、(x-1)(x+2) 【正确答案】B 【答案解析】 本题考察函数解析式求解. ，故 [单选题] 2、 已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）. A、[1，3] B、[-1，5] C、[-1，3] D、[1，5] 【正确答案】A 【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4 即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题] 3、 设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）. A、[0，2] B、[0，16] C、[-16，16] D、[-2，2] 【正确答案】D 【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足： [单选题] 4、 函数的定义域为（）. A、[-1,1] B、[-1,3] C、(-1,1) D、(-1,3) 【正确答案】B 【答案解析】 根据根号函数的性质，应该满足： 即 [单选题]
写出函数的定义域及函数值（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】C 【答案解析】 分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集， 故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）. [单选题] 6、 设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】A 【答案解析】本题考察三角函数公式。 . [单选题] 7、 设则=（）. A、 B、
高等数学(数二> 一.重点知识标记 高等数学 科目大纲章节知识点题型重要度等级 高等数学 第一章函数、极限、连续 1 .等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★ 2 .函数连续的概念、函数间断点的类型 3 .判断函数连续性与间断点的类型★★★ 第二章一元函数微分学 1 .导数的定义、可导与连续之间的关系 按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★ 2 .函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★ 3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★ 第三章一元函数积分学 1 .积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★ 2 .有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分 计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★ 第四章多元函数微分学 1 .隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系 2 .函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连 续性的讨论与它们之间的因果关系★★ 3 .多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★ 第五章多元函数积分学 1. 二重积分的概念、性质及计算 2.二重积分的计算及应用★★ 第六章常微分方程 1.一阶线性微分方程、齐次方程， 2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★ 一、函数、极限、连续部分：
极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则>、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理>，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。 二、微分学部分： 主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。 一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。函数的凹凸性、拐点及渐近线，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。 多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问题。 三、积分学部分： 一元函数积分学 一个重点是不定积分与定积分的计算。在计算过程中，会用到不定积分/定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法。其中，换元积分法是重点，会涉及到三角函数换元、倒代换，如何准确地进行换元从而得到最终答案，却是需要下一番工夫的。定积分的应用同样是重点，常考的是面积、体积的求解，多练掌握解题技巧。对于定积分在物理上的应用(数二有要求>，如功、引力、压力、质心、形心等，近几年考试基本都没有涉及，考生只要记住求解公式即可。 多元函数积分学的一个重点是二重积分的计算，其中要用到二重积分的性质，以及直角坐标与极坐标的相互转化。这部分内容，每年都会考到，考生要引起重视，需要明白的是，二重积分并不是难点。 四、微分方程： 这里有两个重点：一阶线性微分方程。二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程。 线性 第一章行列式 1.行列式的运算 2.计算抽象矩阵的行列式★★★ 第二章矩阵 1. 矩阵的运算 2. 求矩阵高次幂等★★★ 3. 矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题★★★★★ 第三章向量 1. 向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法 2. 向量组的线性相关性★★★★★ 3. 线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示★★★★