(完整版)高等数学(同济大学第七版)第一章函数与极限课后答案

高等数学（同济大学数学系第七版）上册第一章：函数与极限课后习题答案

同济大学2017年硕士数学系招生介绍_同济大学考研网

同济大学2017年硕士数学系招生介绍 一、学科介绍 1984年同济大学基础数学专业经国务院学位委员会批准获得硕士学位授予权，至2000年相继获得其余四个二级学科硕士点；1998年被批准获得基础数学博士学位授予权；2003年被批准获得应用数学博士学位授予权；至此，同济大学数学学科包括五个二级硕士学科（基础数学、应用数学、计算数学、概率论与数理统计、运筹学与控制论）和两个博士二级学科（基础数学和应用数学）。2005年获得数学一级学科博士点，即数学类的每个二级学科均可招收和培养博士研究生；2006年在国务院学位委员会进行的博士点评估中，基础数学博士点取得了满分的好成绩。 二、研究方向 1、基础数学 （01多复变函数；02整体微分几何；03代数数论与模形式；04代数群、李群及其表示理论；05算子代数及其应用；06密码学） 2、计算数学 （01计算金融；02微分方程数值解；03数值逼近；04数值代数） 3、概率论与数理统计 （01应用统计；02极限理论及其统计分析；03多元统计分析） 4、应用数学 （01组合数学与图论；02金融数学；03偏微分方程及其应用；04泛函微分方程理论及应用） 5、运筹学与控制论 （01线性及非线性优化；02非线性最优控制理论与应用；03复杂系统理论与应用；04脉冲控制理论与应用；05最优化方法） 三、人才培养 在研究生培养方面，数学系取得了很好的成绩。从2007年至今，数学系共有14位博士和硕士研究生

获得上海市研究生优秀成果奖；2011年获得全国百篇优秀博士论文提名奖1次；获教育部学术新人奖3人次；每年都有数十篇研究生论文获SCI/ISTP检索，有些研究生论文发表在SCI一区的数学刊物上。毕业研究生多数已成为用人单位的业务骨干，到高校任教的毕业生教学科研成果丰硕，有些已经晋升为教授，获得了用人单位的普遍好评。国际合作与交流方面，数学系与欧美知名高校签订研究生双学位培养协议，每年都有众多研究生到欧美国家的知名高校及研究所进行学术交流访问。 文章来源：文彦考研

数学与应用数学专业培养方案-同济大学数学系

数学与应用数学专业培养方案 一、专业历史沿革 同济大学数学系始建于1945年，程其襄、杨武之、朱言钧、樊映川、张国隆、陆振邦等一大批知名专家曾在此任教。解放后，几经国家调整，本系时有间断。于1980年，（应用）数学系正式恢复，陆续引进一批国内外培养的具有博士学位的青年教师，原有师资队伍的结构有了变化，充实了教学与科研力量。从20世纪90年代开始，学校又先后引进国内知名数学家、博土生导师陈志华、陆洪文、姜礼尚教授等来数学系工作，教学和科研整体实力有很大提高。数学与应用数学专业在建系后就已设立，文革期间中断了招生，1978年恢复高考后数学与应用数学专业也随之恢复了招生。至今本专业已培养了毕业生3000多人，数学系的学生遍布国内外的许多国家,有的继续从事做数学的教学及科学研究工作，有的在大型国企和外企，特别是银行、金融、计算机等行业工作，很多毕业生已成为杰出科学家和行业精英。 二、学制与授予学位 四年制本科。 本专业所授学位为理学学士。 三、基本学分要求

四、专业培养目标 本专业培养具备扎实数学基础，并具备运用数学知识和计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育、信息、金融保险等部门及企事业单位从事研究、教学、管理及计算机软件开发等具有国际视野的复合型高级专门人才，或能继续在国内外攻读研究生学位的高级专门人才。 五、专业培养标准

六、主干学科 数学。 七、核心课程 数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程、复变函数、实变函数、概率论(理)、数值分析(理)、数理方程(理)等。 八、教学安排一览表 见附表一。 九、实践环节安排表 见附表二。 十、课外安排一览表 见附表三。 十一、有关说明 1. 公共基础课中的有3门计算机课程，其中在硬件技术基础、数据库技术基础、多媒体技术基础、Web技术基础和软件开发技术基础5门课程中应至少选修1门。 2. 培养方案中打*的课程为研究生阶段设置的课程，供要求较高的学生选修。 3. 各类选修课要求与建议： 本专业学生在如下的专业选修课中，选修15学分。 金融衍生物定价理论、现代金融市场概论、金融工程案例分析、运筹学(理)、应用随机过程、泛函分析(研)*、抽象代数(研)*、微分流形(研)*、矩阵分析(研)*、李群与李代数(研)*、偏微分方程(研)*、有限元方法(研)*、运筹学通论(研)*、图论及其应用(研)*、有限差分方法与谱方法(研)*。其中金融衍生物定价理论、现代金融市场概论、金融工程案例分析这三门课程是金融数学方向的课群组，如果想选修金融数学方向建议3门课程全部选修。已经取得保研资格的学生，建议选修打*的10门研究生专业基础课中的相关课程。 公共选修课至少选修8学分，课程任选，其中至少要有一门艺术类课程。

复变函数与积分变换期末试题 同济大学13-14 二A

同济大学课程考核试卷（A卷） 2013—2014学年第二学期 命题教师签名：审核教师签名： 课号：122144课名：复变函数与积分变换考试考查：考试 此卷选为：期中考试( )、期终考试(√)、重考( )试卷 （注意：本试卷共六大题，三大张，满分100分．考试时间为120分钟。要求写出解题过程，否则不予计分） 1. (24%) 定义双曲函数sinh z=1 2e z?e?z，cosh z=1 2 e z+e?z (1)(8%)计算它们的导数（要求仍用双曲函数表示）。 (2)(8%)这两个函数是否有零点？说明理由。 (3) (8%)求出cosh z sinh z 在扩充复平面上一切孤立奇点的类型 2.(16%)设f(z)为解析函数。 (1)(4%) 以下哪个函数可能是f(z)的实部？ A. x2+y2 B. x2y2 C. 1 x2+y2+1 D. x2?y2 (2)(6%)在第（1）题基础上，进一步要求f1=1，求f z。 (3)(6%) 求积分 f z dz C 这里C为连接(0,0)和(2,0)的半圆弧。

3. (24%)设f z=sin z 1?z (1) (8%) 求f(z)在0点的Taylor展开式中前三个非零项。 (2) (8%)求f(z)在1点的Laurent展开式中前三个非零项。 (3) (8%)求积分 dz f(z) z=14.(1) (8%)求积分 dθ 2π (2) (8%)求函数 f x= 1?|x|?1

5. (10%) 求解微分方程初值问题 x′′t+4x t=e t,x0=0,x′0=0.6.(10%) 证明：对任何一条给定的落在单位圆内部，且与单位圆正交的圆弧，必定存在一个由单位圆盘到其自身的分式线性变换，将该圆弧变为区间[-1,1]。

同济大学高等数学习题答案共49页

习题一解答 1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。 解Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}； A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}； B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）} 2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}． (1)叙述事件ABC的含义． (2)在什么条件下，ABC＝C成立？ (3)在什么条件下，C?B成立？ 解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员． (2)由于ABC?C，故ABC＝C当且仅当C?ABC．这又当且仅当C?AB，即科普队员都是三年级的男生． (3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C?B成立． 3.将下列事件用A，B，C表示出来： （1）只有C发生；

（2）A 发生而B ，C 都不发生； （3）三个事件都不发生； （4）三个事件至少有一个不发生； （5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。 解 （1）ABC ； （2）ABC ： （3）ABC （4）A B C U U ； （5）AB BC AC U U ； （6）ABC ABC ABC U U ； （7）ABC ； （8）A B C U U 。 4.设 A ， B ， C 是三个随机事件，且 =====)()(,4 1)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81 )(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有 一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )． 又因为

高等数学同济第七版7版下册习题 全解

数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

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( ) 题号一二三四五六七总分 得分 ，则（2 、管路敷设技术术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接行检查和检测处理。、电气课件中调试编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气技术资料，并且了解现场设备高中资料试、电气设备调试高中资料试卷技术料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资高中资料试卷主要保护装置。

3 设 在复平面解析， 并满足，则（ 0 ）4 （ 0 ）5 设为正整数，（ ）6 （ ）7 是的（ ）级极点。8 把（ 直线 ）映为单位圆。9 设 ，则（ ）10 设，则（ ）。二. （10分）设函数在复平面上解析，并满足。利用复数的三角表示式和C-R 条件证明：在复平面上 恒等于零。 解：由于，又由于、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

同济大学复变函数以往考题

2009年B 卷 一、研究方程（10分） 方程1-=z e 在复数范围内是否有解？若有解，求出其所有的解。若无解，说明理由。 二、计算与证明（20分） 1. 已知22ln ),(y x y x u +=，x y y x v arctan ),(=。 1）证明：),(),()(y x iv y x u z f +=在复平面的第I,IV 象限（不包含y 轴）上解析。 2）对上述的 )(z f ，计算复积分?γz z f d )(，这里γ为由i -经1到i 的折线段。（8分） 2. 已知xy y x u =),(。问是否存在定义在全平面的函数),(y x v ，使得函数),(),()(y x iv y x u z f +=在复平面上解析？如存在求出一个满足条件的),(y x v ，如不存在，请说明理由。（5分） 三、 计算（20分） 已知函数z z f sin 1)(=。 1. 求 )(z f 在1点的Taylor 级数（只需展开至平方项），并指出该级数的收敛半径。（7分） 2. 求)(z f 的一切孤立奇点，并判断其类型。（8分） 3. 复平面上的极限z z z sin lim 0→是否存在？若存在，求出该极限，若不存在，说明理由。 四、计算（20分） 1. 计算广义积分?+∞ ++04 221d os x x x x c α，这里α为非负常数。（10分） 2. 利用上题结论，计算42211 )(x x x f ++=的Fourier 变换。（10分） 五、利用积分变换法求解常微分方程定解问题（10分） ???===+0 )0(',0)0()()(''x x e t x t x t 六、研究保形映照（第1题15分，第2题5分，共20分） 设D 为圆域}2|1{|<-z 和}2|1{|<+z 的公共部分。 1. 构造D 到上半平面}0{Im >z 的可逆保形映照)(z f ，且满足0)0(',)0(>=f i f 2. 该映射在i ±点是否保形？说明理由。

高等数学同济第七版7版下册习题全解

第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ (

A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n "

9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

复变函数与积分变换课后习题答案详解

复变函数与积分变换 （修订版）主编：马柏林 （复旦大学出版社） ——课后习题答案

习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππe cos isin 44-??????=-+- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+ ); 33 3;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 322222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ (( )( ){ }3 3 2 3 2 111313188-+? ???== --?-?+?-????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1=?? , Im 0=?? ． ④解： ∵ () ( )(( )2 3 3 2 3 13131i 8 ??--?-?+?-???? =?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1 =? ? , Im 0=? ? ． ⑤解： ∵()()1,2i 211i, k n k n k k n k ?-=? =∈?=+-???￠． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i -+= 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()( )2i 32i 2i 32i ++=++= ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 22++== ()1i 11i 222i ++-??== ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+，

复变函数与积分变换习题答案

一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i π ππ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 13i + 解：()/31322cos /3sin /3i i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2 221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos ) 2 2 2 2 2 2 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα ?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos 3sin 3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin 1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解： 3/4 11cos 3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) a ib + 解： 1ar 2ar 2 2 22 4 21ar 2 2421ar 2242 b b i ctg k i ctg k a a b i ctg a b i ctg a a i b a b e a b e a b e a b e ππ?? ?? ++ ? ? ?? ?? += += +?+?=? ?-+? (2) 3 i 解：6 226 36346323 2332 2322 i k i i i i k i e i i e e e e i π ππππππππ?? ??++ ? ???????+ ?????+ ??? ?=+ ?? ??====-+? ??=-?

高等数学同济第六版上册课后答案

2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用

了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。

高等数学同济课后答案

总习题一 1、 在“充分”、“必要”与“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内: (1)数列{x n }有界就是数列{x n }收敛的________条件、 数列{x n }收敛就是数列{x n }有界的________的条件、 (2)f (x )在x 0的某一去心邻域内有界就是 )(lim 0 x f x x →存在的________条件、 )(lim 0 x f x x →存在就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内有界的________条件、 (3) f (x )在x 0的某一去心邻域内无界就是 ∞=→)(lim 0 x f x x 的________条件、 ∞=→)(lim 0 x f x x 就是f (x ) 在x 0的某一去心邻域内无界的________条件、 (4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等就是)(lim 0 x f x x →存在的________条件、 解 (1) 必要, 充分、 (2) 必要, 充分、 (3) 必要, 充分、 (4) 充分必要、 2、 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A )f (x )与x 就是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )就是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )就是比x 低阶的无穷小. 解 因为x x x x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim ) (lim 0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln ) 1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) . 所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域就是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x )、 解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]、 (3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]、 (4) 由0≤ cos x ≤1得2 222π πππ+≤≤- n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?), 即函数f (cos x )的定义域为[2 ,2 2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?)、 4、 设

复变函数与积分变换答案修订版,习题

习题四 1. 复级数 1 n n a ∞ =∑与 1 n n b ∞ =∑都发散,则级数 1 ()n n n a b ∞ =±∑和1 n n n a b ∞ =∑发散.这个命题是否成立? 为什么? 答.不一定．反例: 221111 1111 i ,i n n n n n n a b n n n n ∞ ∞ ∞∞ =====+=-+∑∑∑∑发散 但 2 1 12 ()i n n n n a b n ∞ ∞ ==+=? ∑∑收敛 112 ()n n n n a b n ∞ ∞ ==-=∑∑发散 24 1 1 11[( )]n n n n a b n n ∞ ∞ ===-+∑∑收敛. 2. 下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛? (1)21 1 1i n n n +∞=+∑ (2)115i ()2n n ∞=+∑ (3) π1e i n n n ∞ =∑ (4) 1i ln n n n ∞ =∑ (5) 0 cosi 2n n n ∞ =∑ 解 (1) 211111i 1(1)i 1(1)i n n n n n n n n n n +∞ ∞∞===++-?-==+?∑∑∑ 因为11n n ∞ =∑发散,所以21 11i n n n +∞ =+∑发散 (2)11 15i 2n n n n ∞ ∞ ==+=∑∑发散 又因为15i 15lim()lim(i)0222 n n n n →∞ →∞+=+≠ 所以1 15i ()2n n ∞ =+∑发散

(3) πi 11e 1n n n n n ∞ ∞ ===∑ ∑发散,又因为π111ππcos isin e 1ππ(cos isin )i n n n n n n n n n n n ∞ ∞ ∞ ===+==+∑∑∑收敛,所以不绝对收敛. (4) 1 1i 1 ln ln n n n n n ∞ ∞ ===∑ ∑ 因为11ln 1 n n >- 所以级数不绝对收敛. 又因为当n=2k 时, 级数化为1(1)ln 2k k k ∞ =-∑收敛 当n=2k+1时, 级数化为1(1)ln(21) k k k ∞ =-+∑也收敛 所以原级数条件收敛 (5) 0000cosi 1e e 1e 11()()22 22222n n n n n n n n n n n e -∞ ∞∞∞====+=?=+∑∑∑∑ 其中0 e ()2n n ∞ =∑ 发散,01()2n n e ∞=∑收敛 所以原级数发散. 3.证明:若Re()0n a ≥,且 1 n n a ∞ =∑和 21 n n a ∞ =∑收敛,则级数 21 n n a ∞ =∑绝对收敛. 证明:设2222 i ,(i )2i n n n n n n n n n n a x y a x y x y x y =+=+=-+ 因为 1n n a ∞ =∑和 21n n a ∞ =∑收敛 所以 21 1 1 1 ,,(),n n n n n n n n n n x y x y x y ∞ ∞ ∞ ∞ ====-∑∑∑∑收敛 又因为Re()0n a ≥,

同济版高数课后习题答案1-9

习题1-9 1. 求函数6 33)(2 2 3-+--+= x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0 x f x →, )(lim 3 x f x -→及)(lim 2 x f x →. 解 ) 2)(3()1)(1)(3(6 33)(2 2 3 -++-+= -+--+= x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续 的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点x =0处, 2 1)0()(lim 0 = =→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞ =-++-+=→→) 2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 2 2 x x x x x x f x x , 5 82 ) 1)(1(lim )(lim 3 3 - =-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ?(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续. 证明 已知)()(lim 00 x f x f x x =→, )()(lim 00 x g x g x x =→. 可以验证 ] |)()(|)()([21 )(x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(x g x f x g x f x --+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x -++=?, ] |)()(|)()([2 1 )(00000x g x f x g x f x --+=ψ. 因为 ] |)()(|)()([2 1lim )(lim 0 x g x f x g x f x x x x x -++=→→? ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210 x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++= ] |)()(|)()([2 1 0000x g x f x g x f -++==?(x 0), 所以?(x )在点x 0也连续. 同理可证明ψ(x )在点x 0也连续. 3. 求下列极限: (1)5 2lim 2 +-→x x x ;

高等数学同济课后答案

总习题一 1. 在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格: (1)数列{x n }有界是数列{x n }收敛的________条件. 数列{x n }收敛是数列{x n }有界的________的条件. (2)f (x )在x 0的某一去心邻域有界是)(lim 0 x f x x →存在的________条件. )(lim 0 x f x x →存在是 f (x )在x 0 的某一去心邻域有界的________条件. (3) f (x )在x 0的某一去心邻域无界是∞=→)(lim 0x f x x 的________条件. ∞=→)(lim 0 x f x x 是f (x )在x 0 的某一去心邻域无界的________条件. (4)f (x )当x →x 0时的右极限f (x 0+)及左极限f (x 0-)都存在且相等是)(lim 0 x f x x →存在的________条件. 解 (1) 必要, 充分. (2) 必要, 充分. (3) 必要, 充分. (4) 充分必要. 2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论: 设f (x )=2x +3x -2, 则当x →0时, 有( ). (A )f (x )与x 是等价无穷小; (B )f (x )与x 同阶但非等价无穷小; (C )f (x )是比x 高阶的无穷小; (D )f (x )是比x 低阶的无穷小. 解 因为x x x x x f x x x x x x x x 13lim 12lim 232lim )(lim 0000-+-=-+=→→→→ 3ln 2ln ) 1ln(lim 3ln )1ln(lim 2ln 00+=+++=→→u u t t u t (令2x -1=t , 3x -1=u ) . 所以f (x )与x 同阶但非等价无穷小, 故应选B . 3. 设f (x )的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域: (1) f (e x ); (2) f (ln x ); (3) f (arctan x ); (4) f (cos x ). 解 (1)由0≤e x ≤1得x ≤0, 即函数f (e x )的定义域为(-∞, 0]. (2) 由0≤ ln x ≤1得1≤x ≤e , 即函数f (ln x )的定义域为[1, e ]. (3) 由0≤ arctan x ≤1得0≤x ≤tan 1, 即函数f (arctan x )的定义域为[0, tan 1]. (4) 由0≤ cos x ≤1得2 222π πππ+≤≤- n x n (n =0, ±1, ±2, ? ? ?), 即函数f (cos x )的定义域为[2 ,2 2ππππ+-n n ], (n =0, ±1, ±2, ? ? ?). 4. 设

同济大学硕士弹性力学第1讲_绪论、张量简介

硕士研究生课程 弹塑性力学II(C)第一讲绪论、张量分析简介同济大学地下建筑与工程系

《弹性力学》，徐芝伦，高等教育出版社，2006v4 《弹性力学》，杨桂通，高等教育出版社，1998 《弹塑性力学引论》，杨桂通，清华大学出版社2004 《塑性力学》，夏志皋，同济大学出版社，1991 《塑性力学基础》，王仁等，科学出版社，1982 《塑性力学基础》，北川浩，高等教育出版社，1982 《岩土塑性力学原理》，郑颖人等，建筑工业出版社，2002 相关书籍 Timoshenko S.P, Goodier J N. Theory of elasticity. 3rd ed. New York: McGraw-Hill Book Co, 1970 (徐芝伦译) Chen W.F. Limit analysis and soil plasticity. 1975, New York: Elsevier Scientific Publishing Company; J. C. Simo, T. J. Hughes. Computational Inelasticity.1998,Springer.

弹性力学部分

目录 §1.1弹性力学的任务、内容和方法§1.2弹性力学的基本假设 §1.3弹性力学的发展简史

§1.1弹性力学的任务、内容和方法?弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学 科的一个分支 基本任务：解决构件的强度、刚度和稳定问题。最 大限度解决并统一经济与安全的矛盾。 研究对象：完全弹性体（包括构件、实体）。 主要研究内容：在外界因素（载荷或温度变化）作 用下，弹性体的应力和变形问题。