集合及其表示方法
一、复习巩固
1．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1，根据元素的互异性知其解集中有1个元素．
答案：B
2．下列各组中集合P 与Q 表示同一个集合的是( ) A ．P 是由元素1，
3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－
3|构成的集合
B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合
C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序实数对(2,3)构成的集合
D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集
解析：由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合．而B ，C ，D 中P ，
Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.
答案：A
3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b a
，b .若集合A 与集
合B 相等，则b －a ＝( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
解析：由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ，∴b a
＝－1，∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝
2.
答案：C
4．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ?A C ．a ∈A
D ．a ＝A
解析：由于集合A 中只含有一个元素a ，由元素与集合的关系可知，a ∈A ，故选C. 答案：C
5．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ?B ，则a 的值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：∵a ∈A ，a ?B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 答案：D
6．若1－a 1＋a 是集合A 中的元素，且集合A 中只含有一个元素a ，则a 的值为________．
解析：由题意，得1－a
1＋a ＝a ，所以a 2＋2a －1＝0且a ≠－1，所以a ＝－1±
2.
答案：－1±
2
7．已知集合A 中的元素x 满足2x ＋a >0，且1?A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1?A ，∴2＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：a ≤－2
8．用符号“∈”和“?”填空：0________N *，3________Z,0________N ，3＋2________Q ，4
3
________Q . 解析：只要熟记常见数集的记法所对应的含义就很容易判断，故填?，?，∈，?，∈. 答案：? ? ∈ ? ∈
9．若a 2＝3，则a ________R ；若a 2＝－1，则a ________R .
解析：平方等于3的数是±3，当然是实数；而平方等于－1的实数是不存在的，故填
∈，?.
答案：∈ ?
10．已知集合A 中含有两个元素x 2＋x －3和2x －1.若3是集合A 中的元素，试求实数
x 的值．
解析：∵3∈A ，∴x 2＋x －3＝3或2x －1＝3. 若x 2＋x －3＝3，则x 2＋x －6＝0. 即x ＝－3或x ＝2.
当x ＝－3时，2x －1＝－7，知集合A 中的两个元素是3，－7，满足题意．
当x ＝2时，由2x －1＝3，知集合A 中的两个元素是3,3，不满足集合中元素的互异性．故舍去．
若2x －1＝3，则x ＝2，x 2＋x －3＝3，不满足集合中元素的互异性．故舍去．综上可知，
x 的值为－3.
二、综合应用
11．下列结论正确的有( )
①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合；③由1，32，64，|1
2|，0.5这些数组成的集合有5个元素；④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指
第二和第四象限内的点集．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：①错的原因是元素不确定；②前者是数集，而后者是点集，不是同一个集合；③
3
2＝64，|1
2|＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④集合包括坐标轴，而坐标轴不属于任何象限．
答案：A
12．设P，Q是两个非空集合，定义一种新的运算：P@Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3}，则P@Q中元素的个数是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：若a＝0，b＝1,2,3，则a＋b＝1,2,3；若a＝1，b＝1,2,3，则a＋b＝2,3,4；若a ＝2，b＝1,2,3，则a＋b＝3,4,5.
答案：A
13．由实数x，－x，|x|，x2，－3
x3所组成的集合里面元素最多有________个．
解析：x2＝|x|，－3
x3＝－x，故所组成的集合里面元素最多有2个．
答案：2
14．已知集合A＝{a－3,2a－1，a2＋1}，a∈R.
(1)若－3∈A，求实数a的值；
(2)当a为何值时，集合A的表示不正确？
解析：(1)由题意知，A中的任意一个元素都有等于－3的可能，故需要讨论．当a－3＝－3时，a＝0，集合A＝{－3，－1,1}，满足题意；当2a－1＝－3时，a＝－1，集合A＝{－4，－3,2}，满足题意；当a2＋1＝－3时，方程无解．综上所述，a＝0或a＝－1.
(2)若元素不互异，则集合A的表示不正确．若a－3＝2a－1，则a＝－2；若a－3＝a2＋1，则方程无解；若2a－1＝a2＋1，则方程无解．∴满足条件的a值为－2.
15．写出方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集．
解析：x2－(a＋1)x＋a＝0，即(x－a)(x－1)＝0，所以方程的实数根为x＝1或x＝a.
若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}．
16．用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
解析：(1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
(2)设被3除余2的整数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
集合与简易逻辑重要知识点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一）集合 1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用 . 2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ； ②空集是任何集合的子集，记为A ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ，同时A B ，那么A=B. 如果C A C B B A ，那么，. [注]：①Z ={整数}（√）Z ={全体整数}（×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例： S=N ；A=N ， 则C s A={0}） ③空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A =，C A B =C S （C A B ）=D （注：C A B =）. 3.①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R 二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R }一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例：1323 y x y x 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是.（例：A={(x ，y )|y =x +1}B={y |y =x 2+1}则A ∩B =） 4.①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有2n －1个.③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题. 例：①若325b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a =2且b =3，则a+b =5，成立，所以此命题为真. ②，且21y x 3y x . 解：逆否：x+y =3x=1或y =2. 21y x 且3y x ,故3y x 是21y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3.例：若255x x x 或，. 4.集合运算：交、并、补. 5.主要性质和运算律 （1）包含关系：,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B I I U U C （2）等价关系：U A B A B A A B B A B U I U U C （3）集合的运算律： 交换律：. ;A B B A A B B A 结合律:) ()();()(C B A C B A C B A C B A 分配律:.) ()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A 0-1律：,,,A A A U A A U A U I U I U 等幂律：. ,A A A A A A 求补律：A ∩C U A =φA ∪C U A=U?C U U =φ?C U φ=U 反演律：C U (A ∩B)=(C U A)∪(C U B)C U (A ∪B)=(C U A )∩(C U B) 6.有限集的元素个数 定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card(A)规定card(φ)=0. 基本公式： (3)card (?U A )=card(U)-card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） ①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”； (为了统一方便)
2020-2021学年高一数学晚练（一） 命题人：范修团 时间：45分钟 满分：80分 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列各项中，能组成集合的是（ ） A ．高一（3）班的好学生 B ．嘉兴市所有的老人 C ．不等于0的实数 D ．我国著名的数学家 2.已知集合P ={|14}<
一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤
9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式
集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 一、基础知识 1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. (4)五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B (或B ?A )． (2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ?????? A ? B ，A ≠B . 既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不 属于A . (3)集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ?? ???? A ? B ， A ? B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一 个元素也符合A 中元素的特性． (4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
3．集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . 二、常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中 元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．
第1练集合与常用逻辑用语 [考情分析] 1.集合作为高考必考内容，命题较稳定，难度较小，常与简单的一元二次不等式结合命题.2.高考对常用逻辑用语考查的概率较低，其中充分必要条件的判断需要关注，常与函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等结合命题． 考点一集合的概念与运算 要点重组 1．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2. 2．A∩B＝A?A?B?A∪B＝B. 3．若已知A∩B＝?，要注意不要漏掉特殊情况：A＝?或B＝?； 若已知A?B，要注意不要漏掉特殊情况：A＝?. 1．(2020·全国Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则?U(A∪B)等于() A．{－2,3} B．{－2,2,3} C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3} 答案 A 解析∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}， ∴A∪B＝{－1,0,1,2}． 又U＝{－2，－1,0,1,2,3}， ∴?U(A∪B)＝{－2,3}． 2．(2020·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()
A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C 解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素． 3．(2020·聊城模拟)已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x 2－x －6≥0}，则A ∩(?R B )等于( ) A ．{x |2≤x <3} B ．{x |2 第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1 （一）集合的有关概念 ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对 象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： 知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】 一、集合及其运算 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即若 x∈A，则x∈B) A?B (或B?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中 至少有一个元素不在集合A中 A?B (或B?A) 集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B 互为子集 A＝B 3.集合的基本运算 运算自然语言符号语言Venn图 交集由属于集合A且属于集合B 的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集由所有属于集合A或属于集 合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集由全集U中不属于集合A的 所有元素组成的集合 ?U A＝{x|x∈U且x?A} 【知识拓展】 1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 3．A∩(?U A)＝?；A∪(?U A)＝U；?U(?U A)＝A. 二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题及相互关系 2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ?q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)如果p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ?p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【知识拓展】 1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A ?B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A ?B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A B 且A ?B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【易错提醒】 1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集． 2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0??，而??{0}． 3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A ?B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝?的情况． 5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ?”，其否命题为“若p ?，则q ?”． 6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论． 集合及其表示方法 一、复习巩固 1．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1，根据元素的互异性知其解集中有1个元素． 答案：B 2．下列各组中集合P 与Q 表示同一个集合的是( ) A ．P 是由元素1， 3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－ 3|构成的集合 B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合 C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序实数对(2,3)构成的集合 D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集 解析：由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合．而B ，C ，D 中P ， Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A. 答案：A 3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b a ，b .若集合A 与集 合B 相等，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 解析：由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ，∴b a ＝－1，∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝ 2. 答案：C 4．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ?A C ．a ∈A D ．a ＝A 解析：由于集合A 中只含有一个元素a ，由元素与集合的关系可知，a ∈A ，故选C. 答案：C 5．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ?B ，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：∵a ∈A ，a ?B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 答案：D 6．若1－a 1＋a 是集合A 中的元素，且集合A 中只含有一个元素a ，则a 的值为________． 解析：由题意，得1－a 1＋a ＝a ，所以a 2＋2a －1＝0且a ≠－1，所以a ＝－1± 2. 答案：－1± 2 7．已知集合A 中的元素x 满足2x ＋a >0，且1?A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1?A ，∴2＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：a ≤－2 8．用符号“∈”和“?”填空：0________N *，3________Z,0________N ，3＋2________Q ，4 3 ________Q . 解析：只要熟记常见数集的记法所对应的含义就很容易判断，故填?，?，∈，?，∈. 答案：? ? ∈ ? ∈ 9．若a 2＝3，则a ________R ；若a 2＝－1，则a ________R . 1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2 （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（? 也可表示为 ）两种。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集A 记作 a ?A （或a A ） 注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 请回答：已知a+b+c=m ，A={x|ax 2+bx+c=m}，判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3 . 理解 ”、“?”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程： 观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A=?，B={0}. ∈?∈ 第一章：集合与常用逻辑用语 §·集合的概念及运算 一、知识清单 1.集合的含义与表示 （1）集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。 （2）常用的集合表示法：①列举法；②描述法；③数轴或图像表示法；④venn 图法 2.集合的特性 3.常用的集合 特 性 理 解 应 用 确定性 要么属于该集合，要么不属于，二者必居其一； 判断涉及的总体是否构成集 合 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的； 1.判断集合表示是否正确； 2.求集合中的元素 无序性 集合的不同与元素的排列无关； 通常用该性质判断两个集合 的关系 集合 (){}0|=x f x (){}0|>x f x (){}x f y x =| (){}x f y y =| ()(){}x f y y x =|, (){}x f y = 常见数集的记法： 4.集合间的基本关系 （2）有限集合中子集的个数 【提醒】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。符号表示为：5.集合的运算 集），写作C S A。 二、高考常见题型及解题方法 1.解决集合问题的常用方法 2.集合问题常见题型 （1）元素与集合间关系问题 （2）集合与集合间关系问题 （3）集合的基本运算： ①有限集（数集）间集合的运算； ②无限集间集合的运算：数轴（坐标系）画图、定域、求解； ③用德·摩根公式法求解集合间的运算。 【针对训练】 例1.已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A.1 B.3 C.5 D.9 例2.设集合{} {}R x x x P R x x x y y M ∈≤≤-=∈--==,42|,,12|2 ，则集合M 与P 之间的关系式为（ ） 第1课 集合与常用逻辑用语 本节主要考察以下几个方面： 1、考察求几个集合的交、并、补集； 2、通过给定的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力； 3、“命题及其关系” 主要考查四种命题的意义及相互关系；4、“简单的逻辑联结词”主要考查逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容；5、“全称量词与存在量词”主要考查对含有一个量词的命题进行否定；6、考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解。7、会用集合语言、分类讨论、数形结合（数轴、韦恩图解），探究集合问题，把握充要条件，实现命题的等价转换。 〖基点问题1〗（集合的运算） 例1、 已知集合{}1 349,46,(0,)A x R x x B x R x t t t ? ? =∈++-≤=∈=+ -∈+∞???? ，则 集合A B = ＿＿＿＿＿＿＿＿。 〖基点问题2〗（充分必要条件） 例2、设0＜x ＜ 2 π，则“x sin 2x ＜1”是“x sinx ＜1”的 （ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 〖基点问题3〗（复合命题真假的判定） 例3、已知命题p 1：函数y=2x -2-x 在R 上为增函数，p 2：函数y=2x +2-x 在R 上为减函数，则 在命题112212312q :p p ,q :p p ,q (p )p ∨∧?∨： 和412:p (p )q ∧?中，真命题是（ ） A.q 1,q 3 B.q 2,q 3 C.q 1,q 4 D.q 2,q 4 〖基点问题4〗（命题的否定与否命题） 例4、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ） A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B. 所有能被2整除的整数都不是偶数 C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数 D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数 〖热点考向1〗 例5、已知函数12cos 32 )4 ( sin 4)(2 --+=x x x f π ，且给定条件p :“ 2 4 π π ≤ ≤x ”,（1）求)(x f 的最大值及最小值 （2）若又给条件"2|)(|:"<-m x f q 且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围。 高一数学必修1第一章：集合概念 集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队 员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 u 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集) 记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法：{a,b,c……} 2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图: 4、集合的分类： (1) 有限集含有有限个元素的集合 (2) 无限集含有无限个元素的集合 (3) 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AÍA ②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AÍB, BÍC ,那么AÍC ④如果AÍB 同时BÍA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的 精心整理 第一练集合与常用逻辑用语一.强化题型考点对对练 1.（集合的基本运算）已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥，集合{|01}B x x =<<，则（） A.{}1A B ?= B.A B R ?= C.()(]0,1R C A B ?= D.()R A C B A ?= 【答案】D 2．（集合的基本运算）若集合{}02A x x =<<，且A B B =I ，则集合B 可能是（） A.{}0 2， B.{}0 1， C.{}0 1 2，， D.{}1 【答案】D 【解析】由题意得,因为,所以选B. 3.（集合的基本运算）设集合{}|2M x x =<，{}1,1N =-，则集合M C N 中整数的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】{}(){}|22,2,1,1M x x N =<=-=-Q ，()()()2,11,11,2,M N ∴=--?-?∴e集合M N e中整数只有0，故个数为1，故选C. 4.（集合间的关系）已知集合 ，若，则（） A.0或1 B.0或2 C.1或2 D.0或1或2 【答案】C 【解析】或.故选C. 5．（充分条件和必要条件）设x R ∈，i 是虚数单位， 则“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯虚数”的 A.充分不必要条 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由3x =-，得()()2 22332330x x +-=-+?--=，1314x -=--=-． 而由2230{ 10 x x x +-=-≠，得3x =-．所以“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯数”的充要条件．故选C. 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 课时作业1 集合的概念 知识点一 集合的概念 1.下列对象能组成集合的是( ) A ．中央电视台著名节目主持人 B ．我市跑得快的汽车 C ．上海市所有的中学生 D ．香港的高楼 答案 C 解析 对于A ，“著名”无明确标准；对于B ，“快”的标准不确定；对于D ，“高”的标准不确定，因而A ，B ，D 均不能组成集合．而对于C ，上海市的中学生是确定的，能组成集合． 2．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 当a ＝0时，四个数都是0，组成的集合只有一个数0，当a ≠0时，a 2＝|a |＝? ?? a (a >0)，－a (a ＜0)，所以组成的集合中有两个元素，故选B. 知识点二 元素与集合的关系 3.给出下列关系： ①1 2∈R ；②2?Q ；③|－3|?N ；④|－3|∈Q ；⑤0?N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 ①②正确；③④⑤不正确． 4．集合A 中的元素x 满足6 3－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． 答案 0,1,2 解析∵ 6 3－x∈N，x∈N，∴当x＝0时， 6 3－x＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时， 6 3－x＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时， 6 3－x＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x＞3时， 6 3－x＜0不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2. 知识点三集合中元素特性的应用 5.已知集合A由a，a＋b，a＋2b三个元素组成，B由a，ac，ac2三个元素组成，若集合A与集合B相等，求实数c的值． 解分两种情况进行讨论． ①若a＋b＝ac，a＋2b＝ac2，消去b，得a＋ac2－2ac＝0. 当a＝0时，集合B中的三个元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，故a≠0.所以c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，B中的三个元素相同，不符合题意． ②若a＋b＝ac2，a＋2b＝ac，消去b，得2ac2－ac－a＝0. 由①知a≠0，所以2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0. 解得c＝－1 2或c＝1(舍去)，当c＝－ 1 2时， 经验证，符合题意． 综上所述，c＝－1 2. 易错点忽视集合中元素的互异性致误 6.方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集中含有几个元素？ 易错分析本题产生错误的原因是没有注意到字母a的取值带有不确定性而得到错误答案两个元素．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性． 正解x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x1＝1，x2＝a. 若a＝1，则方程的解集中只含有一个元素1；若a≠1，则方程的解集中含有两个元素1，a. 课 题：1.1集合 教学目的：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初 步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程： 一、复习引入： 1．简介数集的发展；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔（德国 数学家）；4．“物以类聚”，“人以群分”；5．教材中例子。 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： （1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有关概念： 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的，我们说， 每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集 合，也简称集。集合中的每个对象叫做这个集合的元素。 定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合。 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集合记作N *或N +，如{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合，记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{} 数数轴上所有点所对应的 =R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 3、元素对于集合的隶属关系 一集合（§1.1.1 集合） 教学时间 :第一课时 课题:§1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学方法:尝试指导 教具准备:投影片（3张） 教学过程: （I）引入新课 同学们好！首先，我祝贺大家能升入苍梧第一高级中学进行高中学习。下面我想初步了解一下同学们的情况。请来自××中学的同学站起来。依次询问他们的名字，并板书。同样询问来自另一学校学生情况。××同学你为什么不站起来？来自××中学的三位虽然性别不同，年龄有差异，但他们有一个共同的性质——来自××中学。所以，在数学上可以把他们看作为有3个元素的集合（板书课题：集合，并将其姓名用{ }括起来），同样，××中学的二位同学也可看作有2个元素的集合。显然，刚才抽到的××同学如果作为一个元素就不属于上面这两个集合了。同学们！这节课我们将系统地研究集合的一些概念。讲四个问题：（1）集合和元素；（2）集合的分类；（3）集合的表示方法；（4）为什么要学习集合的表示方法？ （II）复习回顾 师生共同回顾初中代数中涉及“集合”提法. （Ⅲ）讲授新课 通过以上实例，教师指出： 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 师：进一步指出： 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 生：例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 师：请同学们另外举出三个例子，并指出其元素. 生：略.（教师给予评议）。 师：一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2 生：在师指导下一一回答上述问题. 师：由以上四个问题可知， 集合元素具有三个特征： （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 ∈师：元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（?也可表示为）两种。高一数学必修1第一章集合教案
知识点集合与常用逻辑用语
2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法课时
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集合与常用逻辑用语(高三复习、教案设计)
第1课 集合与常用逻辑用语
高一数学必修1第一章： 集合概念
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第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念
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