第 2 课时集合的表示
1．掌握用列举法表示有限集．
2．理解描述法格式及其适用情形． 3．学会在集合不同的表示法中作出选择和转换．
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ } ”括起来表示集合的方法叫做列举法．
温馨提示： (1) 元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P( x)的元素x 所组成的集合表示为 {x∈A|P(x)} ，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值( 或变
化 )范围，
再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
温馨提示： (1) 写清楚集合中元素的符号．如数或点等．
(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等．
(3)不能出现未被说明的字母．
1．观察下列集合：
①方程x2－4＝0 的根；
②20 的所有正因数组成的集合．
(1)上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？
(2)如何表示上述两个集合？
[ 答案 ] (1) 能．①中的元素为－ 2,2 ；②中的元素为 1,2,4,5,10,20
(2) 用列举法表示 2．观察下列集合： ①不等式 x －2≥3的解集；
②函数 y ＝x 2
－1 的图象上的所有点． (1) 这两个集合能用列举法表示吗？
(2) 你觉得用什么方法表示这两个集合比较合适？ [ 答案 ] (1) 不能 (2) 利用描述法
3．判断正误 ( 正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 由 1,1,2,3 组成的集合可用列举法表示为 {1,1,2,3} ． ( ) (2) 集合{(1,2)} 中的元素是 1和 2.( )
(3) 集合 A ＝ {x |x －1＝0}与集合 B ＝{1} 表示同一个集合． ( ) (4) 集合{ x |4< x <5}可用列举法表示． ( )
[ 答案 ] (1) × (2) × (3) √ (4) × 题型一用列举法表示集合 【典例 1】 用列举法表示下列集合：
(1) 方程 x (x －1)2
＝0 的所有实数根组成的集合； (2) 不大于 10 的非负偶数集；
(3) 一次函数 y ＝x 与 y ＝2x － 1 图象的交点组成的集合． [ 思路导引 ] 用列举法表示集合的关键是弄清集合中的元素是什么， 元素个数．
[解] (1) 方程 x (x －1)2
＝0 的实数根为 0,1， 故其实数根组成的集合为 {0,1} ．
(2) 不大于 10 的非负偶数即为从 0 到 10 的偶数，故不大于 {0,2,4,6,8,10} ．
y ＝ x
x ＝ 1， (3) 由 ，解得 y ＝ 2x －1 y ＝ 1.
故一次函数 y ＝x 与 y ＝ 2x － 1 图象的交点组成的集合为 {(1,1)} ．
还要弄清集合中的
10 的非负偶数集为
用列举法表示集合的 3 个步骤
[ 针对训练 ]
1．用列举法表示下列集合： (1) 我国现有的所有直辖市； (2) 绝对值小于 3 的整数集合；
24 (3) 一次函数 y ＝x －1与 y ＝－ 3x ＋3的图象交点组成的集合．
[ 解 ] (1) 我国现有的直辖市有北京市、天津市、上海市和重庆市，故我国现有的所有 直辖市组成的集合为 { 北京市，天津市，上海市，重庆市 }．
(2) 绝对值小于 3 的整数有－ 2，－ 1,0,1,2 ，故绝对值小于 3 的整数集合为 { －2，－ 1,0,1,2} ．
7
y ＝x － 1，
题型二用描述法表示
集合
典例 2】 用描述法表示下列集合： (1) 正偶数集；
(2) 被 3 除余 2 的正整数的集合；
(3) 平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合； (4) 不等式 3x －2<4 的解集．
[ 思路导引 ] 用描述法表示集合的关键是确定代表元素的属性和表示元素的共同特征．
[解] (1) 偶数可用式子 x ＝ 2n ，n ∈Z 表示， 但此题要求为正偶数，故限定 n ∈N *，所以
正偶数集可表示为 {x | x ＝2n ，n ∈N *
}．
(2) 设被 3 除余 2 的数为 x ，则 x ＝ 3n ＋2，n ∈ Z ，但元素为正整数， 故 x ＝ 3n ＋2，n ∈N ， 所以被 3除余 2的正整数集合可表示为 {x | x ＝3n ＋2，n ∈N}．
x ＝5，
解得
2
y ＝
5
故一次函数 y ＝x － 1 与 y ＝
2
3
x ＋3 43
的图象交点组成的集合为
72 5，5
(3) 坐标轴上的点 ( x，y) 的特点是横、纵坐标中至少有一个为 0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为 {( x，y)| xy＝0} ．
(4)不等式 3x－ 2<4 可化简为x<2，所以不等式 3x－2<4 的解集为
{x|x<2}．
用描述法表示集合应注意的 3 点
(1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．
(2)用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说
明其含义或取值范围．
(3)多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．
[ 针对训练 ]
2．用描述法表示下列集合：
(1) 所有被 5 整除的数；
(2) 方程 6x2－5x＋1＝0 的实数解集；
(3) 直线y＝x 上去掉原点的点的集合．
[解] (1) 被 5 整除的数可用式子x＝ 5n，n∈Z表示，所以所有被 5 整除的数的集合可表示为 {x| x＝5n，n∈Z} ．
2 1 1 2
(2) 由 6x2－5x＋ 1＝0 解得x＝2或x＝3，所以方程 6x2－ 5x＋1＝0 的实数
解集为
(3)直线y＝x 上除去原点，即x≠0，所以直线y＝x 上去掉原点的点的集合
为 {( x，y)| y ＝x，且x≠ 0}.
题型三集合表示方法的应用
【典例 3】 (1) 若集合A＝{x| ax2－8x＋16＝0，a∈R} 中只有一个元素，则a 的值为 ( )
A． 1 B． 4
C． 0 D． 0 或 1
(2) 已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－ 2∈A，则k 的取值范围是．
[ 思路导引 ] 借助描述法求值或范围的关键是弄清集合中元素的特征．[解析] (1) ①当a＝0 时，原方程为 16－ 8x＝ 0.
∴ x ＝ 2，此时 A ＝{2} ；
②当 a ≠0时，由集合 A 中只有一个元素，
∴方程 ax 2
－8x ＋16＝0 有两个相等实根， 则 Δ＝64－ 64a ＝0，即 a ＝1. 从而 x 1＝x 2＝4，∴集合 A ＝ {4} ． 综上所述，实数 a 的值为 0或1.故选 D ． (2) ∵－ 2∈ A ，∴－ 2k ＋2>0，得 k <1. [ 答案 ] (1)D (2) k <1
[ 变式 ] (1) 本例 (1) 中条件“有一个元素”改为有“两个元素”，其他条件不变，求 a
的取值范围．
(2) 本例(2) 中条件“－ 2∈A ”改为“－ 2?A ”，其他条件不变，求 k 的取值范围． [ 解 ] (1) 由题意可知方程 ax 2
－ 8x ＋16＝ 0 有两个不等实根． a
≠0，
∴ 解得 a <1，且 a ≠ 0. Δ＝64－64a >0，
(2) ∵－ 2?A ，∴－ 2k ＋2≤0，得 k ≥1.
集合表示方法的应用的注意点
(1) 若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键．
(2) 与方程 ax 2
－8x ＋16＝0的根有关问题易忽视 a ＝0 的情况．
[ 针对训练 ]
2
3．已知集合 A ＝{x |x 2
－ax ＋b ＝0}，若A ＝{2,3} ，求 a ，b 的值．
当x ＝2时，2＋62＝3
2?N.所以 1∈B,2?B .
6
(2) ∵2＋x ∈N ，x ∈N ，∴2＋x 只能取 2,3,6.
2 ＋ x ∴ x 只能取 0,1,4. ∴B ＝{0,1,4} ．
－ ax ＋ b ＝ 0 的两根为
2,3 ，由根与系数的关系得， 2＋ 3＝
a ，
因此 a ＝5， b ＝6. ［解由 A ＝ {2,3} 知，方程 x
课堂归纳小结
1．表示集合的要求
(1) 根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．
(2) 一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数 无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合 .
2. 在用描述法表示集合时应注意的问题
(1) 弄清元素所具有的形式 (即代表元素是什么 ) ，是数、还是有序实数对 (点) 、 合或其他形式？
(2) 元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪 存真，而不能被表面的字母形式所迷惑 .
1．用列举法表示集合 {x |x 2
－2x ＋1＝0} 为( ) A ． {1,1} B ． {1}
C ．{ x ＝ 1}
D ．{x 2
－2x ＋1＝0}
22
[解析 ] ∵ x 2
－ 2x ＋ 1＝ 0，即( x － 1) 2
＝ 0，∴ x ＝1，选 B. [ 答案 ] B
2．已知集合 A ＝{x ∈N *
| － 5≤x ≤ 5} ，则必有 ( ) A ．－ 1∈ A B ． 0∈A C. 3∈ A
D ． 1∈A
[解析 ] ∵x ∈N *
，－ 5≤x ≤ 5 ，∴ x ＝ 1,2 ，即 A ＝{1,2} ，∴ 1∈
A ，选 D.
[ 答案 ] D
3．一次函数 y ＝x －3与 y ＝－ 2x 的图象的交点组成的集合是 ( ) B ．{x ＝1，y ＝－2} D ．{(1 ，－ 2)}
[ 答案 ] D
还是集 A ． {1 ，－ 2} C ．{( －
[ 解析 ] 由
y ＝ x －3，
y ＝－ 2x
x ＝1， 得 y ＝－
∴交点为 (1，－ 2)，故选 D.
4．若 A ＝ { － 2,2,3,4}
，B ＝{x |x ＝t 2
，t ∈A } ，用列举法表示集合 B 为
[解析] 当t＝－2 时，x＝4；
当t ＝ 2 时，x ＝ 4；
当t ＝ 3 时，x ＝ 9；
当t ＝ 4 时，x ＝ 16；
∴ B＝ {4,9,16} ．
[ 答案 ] {4,9,16}
5．选择适当的方法表示下列集合：
(1)绝对值不大于 2 的整数组成的集合；
(2)方程(3 x－ 5)( x＋2) ＝0的实数解组成的集合；
(3) 一次函数y＝x＋6 图象上所有点组成的集合．
[ 解 ] (1) 绝对值不大于 2 的整数是－ 2，－ 1,0,1,2 ，共有 5 个元素，则用列举法表示为{ －2，－ 1,0,1,2} ．
55
(2) 方程(3 x－ 5)( x＋ 2) ＝0的实数解仅有两个，分别是3，－ 2，用列举法表示为35，－2 .
(3)一次函数y＝x＋6 图象上有无数个点，用描述法表示为 {( x，y)| y＝x＋6}．
课内拓展课外探究
集合的表示方法
1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．
当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．
对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．
【典例 1】用列举法表示下列集合：
(1) 正整数集；
(2) 被 3 整除的数组成的集合．
[ 解] (1) 此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为 {1,2,3,4 ，?} ．
(2) 此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为 {?，－ 6，－
3,0,3,6 ，?}．
[ 点评 ] (1){1,2,3,4 ，? }一般不写成 {2,1,4,3 ，?} ；
(2) 此题中的省略号不能漏掉．
2．集合含义的正确识别
集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的
形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有
（如何属性表示数集、点集等）．
【典例 2】已知下面三个集合：① ｛x|y＝x2＋1｝；② ｛y|y＝x2＋1｝；③｛（x，y）| y＝x2 ＋1｝．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？
[ 解 ] ∵三个集合的代表元素互不相同，
∴它们是互不相同的集合．
集合① ｛x| y＝x2＋1｝的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1 中的所有x，∴｛x| y＝x2＋
1｝＝ R.
集合② ｛y| y＝x2＋1｝的代表元素是y，满足条件y＝x2＋ 1的y 的取值范围是y≥1，∴｛y|y
＝x2＋1｝＝｛y|y≥1｝．
集合③ ｛（x，y）| y＝x2＋ 1｝的代表元素是（x，y），可认为是满足条件y＝x2＋1 的实数对（x，y）的集合，也可认为是坐标平面内的点（x，y），且这些点的坐标满足y＝x2＋1.
22
∴｛（x，y）| y＝x2＋1｝＝｛P| P是抛物线y＝x2＋ 1上的点｝．
[ 点评 ] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x ＋ 1 有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．
课后作业（二）
复习巩固
一、选择题
1．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是
（）
2
C．｛1｝D．｛y|（y－ 1）2＝ 0｝
[解析] ｛x| x2＝1｝＝｛－1,1｝，另外三个集合都是｛1｝，选 B.
[ 答案 ] B
3．已知M＝｛x|x－1< 2｝，那么（）
A．2∈M，－2∈M
D．2?M，－2∈M
[ 解析 ] 若x＝2，则x－1＝1< 2，所以 2∈M；若x＝－ 2，则x－ 1＝－ 3< 2，所以－
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
[ 解析 ] 集合 M 的三个元素是互不相同的， 所以作为某一个三角形的边长， 三边是互不 相等的，故选 D.
[ 答案 ] D
2．下列集合中，不同于另外三个集合的是 （ ） 2 A ．｛x |x ＝1｝ B ．｛x |x 2
＝1｝
2∈M . 故选 A.
[ 答案 ] A
4．下列集合的表示方法正确的是 （ ）
A ．第二、四象限内的点集可表示为 {（ x ，y ）| xy ≤0， x ∈R ，y ∈R}
B ．不等式 x － 1<4的解集为 {x <5}
C ．{ 全体整数 }
D ．实数集可表示为 R
[ 解析 ] 选项 A 中应是 xy <0 ；选项 B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规 范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素 x ；选项 C 的“{ } ”与“全体”意思重复．
[ 答案 ] D
x ＋y ＝1，
5方程组 2 2 的解集是 ( )
x 2－ y 2
＝ 9
A
．
( － 5,4) B ． (5，－ 4) C ．
{( － 5,4)} D ． {(5 ，－ 4)}
x ＋y ＝1， x ＝5，
[ 解析 ] 解方程组 2 2 得 故解集为 {（5 ，－
x － y ＝y ＝－4，
[ 答案 ] D
二、填空题
6．设集合 A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2
－3a,0}，若 A ，B 相等，则实数 a ＝ ________________________________________________________________________
a 2－1＝0， [ 解析 ] 由集合相等的概念得 2 解得 a ＝ 1. a － 3a ＝－ 2，
[ 答案 ] 1
22
7．设－ 5∈{ x | x 2－ax －5＝0} ，则集合 {x | x 2
＋ ax ＋ 3＝ 0} ＝ . [ 解析 ] 由题意知，－ 5 是方程 x 2
－ax －5＝0 的一个根，
2
B ．2∈M ，－ 2?M
C ．2?M ，－ 2?M
所以（－5）2＋5a－5＝0，得a＝－ 4，
22
则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－ 4x＋3＝0，解得x＝ 1 或x＝ 3，
2
所以{x| x2－4x＋3＝0}＝{1,3} ．
[ 答案 ] {1,3}
8．若A＝ { －2,0,2,3} ，B＝
{( x，
y）| y＝x2，x∈A} ，用列举法表示集合B 为
________________________________________
x＝－ 2，x＝x＝ 2，x＝ 3，
[ 解析 ] 由y＝
0，
得集合B＝{（－ 2,4），（0,0），y＝ 4，y＝4，y＝ 9，
(2,4) ，(3,9)} ．
[ 答案 ] {( － 2,4) ，
(0,0) ，(2,4)
，(3,9)}
三、解答题
9．用适当的方法表示下列集合：
(1) 一年中有 31 天的月份的全体；
(2) 由直线y＝－x＋4 上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．
[ 解] (1){1 月，3 月， 5月， 7 月，8 月，10 月， 12月} ．
(2) 用描述法表示该集合为M＝{( x，y)| y＝－x＋4，x∈N，y∈N} ，或用列举法表示该集合为 {(0,4) ， (1,3) ， (2,2) ，(3,1) ，(4,0)} ．
10．含有三个实数的集合A＝a2，b，a ，若 0∈A且 1∈A，求a2019＋b2019的值．
a
2b
[ 解 ] 由 0∈ A，“0 不能做分母”可知a≠ 0，故a ≠ 0，所以＝ 0，即b ＝ 0.
a
又 1∈ A，可知a2＝ 1 或a＝ 1.
当a＝1 时，得a2＝1，由集合元素的互异性，知a＝1 不合题意．
当a2＝1时，得a＝－1或a＝1(舍)．
故a＝－1，b＝0，所以a2019＋b2019的值为－ 1.
综合运用
11．集合A＝{ y| y＝x2＋ 1} ，集合B＝{( x，y)| y＝x2＋ 1}( A，B中x∈ R，y∈ R) ．选项中元素与集合的关系都正确的是 ( )
A．2∈A，且2∈ B
B．(1,2) ∈A，且(1,2) ∈B
C．2∈A，且(3,10) ∈B
D．(3,10) ∈ A，且2∈ B
[解析] 集合A中元素y是实数，不是点，故选项 B，D不对．集合 B的元素(x，y)是
点而不是实数， 2∈B不正确，所以 A 错．
[ 答案 ] C
12．定义P* Q＝ { ab| a∈ P，b∈Q} ，若P＝{0,1,2} ，Q＝{1,2,3} ，则
P* Q中元素的个数是 ( )
A．6个B．7个 C ．8个 D．9个
[ 解析 ] 若a＝0，则ab＝0；若a＝1，则ab＝1,2,3 ；若a＝ 2，则ab＝2,4,6. 故P*Q ＝{0,1,2,3,4,6} ，共 6 个元素．
[ 答案 ] A
13．已知集合A＝{ －1,0,1} ，集合B＝{y|y＝|x| ，x∈A}，则B＝.
[ 解析 ] ∵ x∈ A，∴当x＝－ 1 时，y＝| x| ＝1；
当x＝0 时，y＝|x|＝0；当x＝1 时，y＝| x|＝1.
[ 答案 ] {0,1}
14. 用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为__
[ 解析 ] 依题设知：该集合为一点集，且其横坐标满足 0≤ x ≤ 2，
纵坐标满足 0≤ y≤1，
所以该集合为 {( x，y)|0 ≤ x≤2,0 ≤ y≤1}．
[答案 ] {( x，y)|0 ≤ x≤2,0 ≤ y≤1}
2
15．设集合A＝{x| x2＋ax＋1＝0} ．
(1) 当a＝2 时，试求出集合A；
(2) a 为何值时，集合A中只有一个元素；
(3)a为何值时，集合A中有两个元素．
[解] 集合A是方程x2＋ax＋1＝0 的解构成的集合．
22
(1) 当a＝2 时，x2＋ 2x＋ 1＝ 0，即 (x＋1)2＝0，x＝－1，所以A＝{－1}．
(2) A中只有一个元素，即方程x2＋ax＋ 1＝0 有两个相等实根，由Δ＝a2－
4＝0，得a ＝±2.
所以a＝±2 时，集合A中只有一个元素．
(3) A 中有两个元素，即方程x2＋ax＋ 1＝ 0 有两个不相等的实根，由Δ＝a2－ 4>0，得
a<－ 2 或a>2.
所以a<－ 2 或a>2 时，集合A 中有两个元素．
(3) 由 2 4
y＝－3x＋3，
6
4．设集合B＝x∈N ∈ N .
2＋x
(1) 试判断元素 1,2 与集合B 的关系；
(2) 用列举法表示集合B.
［解］ (1) 当x＝1 时，2＋61＝ 2∈N.
集合与简易逻辑重要知识点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一）集合 1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用 . 2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ； ②空集是任何集合的子集，记为A ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ，同时A B ，那么A=B. 如果C A C B B A ，那么，. [注]：①Z ={整数}（√）Z ={全体整数}（×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例： S=N ；A=N ， 则C s A={0}） ③空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A =，C A B =C S （C A B ）=D （注：C A B =）. 3.①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R 二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R }一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例：1323 y x y x 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是.（例：A={(x ，y )|y =x +1}B={y |y =x 2+1}则A ∩B =） 4.①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有2n －1个.③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题. 例：①若325b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a =2且b =3，则a+b =5，成立，所以此命题为真. ②，且21y x 3y x . 解：逆否：x+y =3x=1或y =2. 21y x 且3y x ,故3y x 是21y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3.例：若255x x x 或，. 4.集合运算：交、并、补. 5.主要性质和运算律 （1）包含关系：,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B I I U U C （2）等价关系：U A B A B A A B B A B U I U U C （3）集合的运算律： 交换律：. ;A B B A A B B A 结合律:) ()();()(C B A C B A C B A C B A 分配律:.) ()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A 0-1律：,,,A A A U A A U A U I U I U 等幂律：. ,A A A A A A 求补律：A ∩C U A =φA ∪C U A=U?C U U =φ?C U φ=U 反演律：C U (A ∩B)=(C U A)∪(C U B)C U (A ∪B)=(C U A )∩(C U B) 6.有限集的元素个数 定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card(A)规定card(φ)=0. 基本公式： (3)card (?U A )=card(U)-card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） ①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”； (为了统一方便)
2020-2021学年高一数学晚练（一） 命题人：范修团 时间：45分钟 满分：80分 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.下列各项中，能组成集合的是（ ） A ．高一（3）班的好学生 B ．嘉兴市所有的老人 C ．不等于0的实数 D ．我国著名的数学家 2.已知集合P ={|14}<
一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤
9、 满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式
集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 一、基础知识 1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. (4)五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B (或B ?A )． (2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ?????? A ? B ，A ≠B . 既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不 属于A . (3)集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ?? ???? A ? B ， A ? B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一 个元素也符合A 中元素的特性． (4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
3．集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . 二、常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中 元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．
第1练集合与常用逻辑用语 [考情分析] 1.集合作为高考必考内容，命题较稳定，难度较小，常与简单的一元二次不等式结合命题.2.高考对常用逻辑用语考查的概率较低，其中充分必要条件的判断需要关注，常与函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等结合命题． 考点一集合的概念与运算 要点重组 1．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2. 2．A∩B＝A?A?B?A∪B＝B. 3．若已知A∩B＝?，要注意不要漏掉特殊情况：A＝?或B＝?； 若已知A?B，要注意不要漏掉特殊情况：A＝?. 1．(2020·全国Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则?U(A∪B)等于() A．{－2,3} B．{－2,2,3} C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3} 答案 A 解析∵A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}， ∴A∪B＝{－1,0,1,2}． 又U＝{－2，－1,0,1,2,3}， ∴?U(A∪B)＝{－2,3}． 2．(2020·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()
A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C 解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素． 3．(2020·聊城模拟)已知集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x 2－x －6≥0}，则A ∩(?R B )等于( ) A ．{x |2≤x <3} B ．{x |2 第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1 （一）集合的有关概念 ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对 象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： 知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】 一、集合及其运算 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即若 x∈A，则x∈B) A?B (或B?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中 至少有一个元素不在集合A中 A?B (或B?A) 集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B 互为子集 A＝B 3.集合的基本运算 运算自然语言符号语言Venn图 交集由属于集合A且属于集合B 的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集由所有属于集合A或属于集 合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集由全集U中不属于集合A的 所有元素组成的集合 ?U A＝{x|x∈U且x?A} 【知识拓展】 1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 3．A∩(?U A)＝?；A∪(?U A)＝U；?U(?U A)＝A. 二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题及相互关系 2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ?q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)如果p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ?p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【知识拓展】 1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A ?B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A ?B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A B 且A ?B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【易错提醒】 1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集． 2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0??，而??{0}． 3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A ?B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝?的情况． 5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ?”，其否命题为“若p ?，则q ?”． 6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论． 集合及其表示方法 一、复习巩固 1．方程x 2－2x ＋1＝0的解集中元素个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1，根据元素的互异性知其解集中有1个元素． 答案：B 2．下列各组中集合P 与Q 表示同一个集合的是( ) A ．P 是由元素1， 3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－ 3|构成的集合 B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合 C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序实数对(2,3)构成的集合 D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集 解析：由于A 中P ，Q 的元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合．而B ，C ，D 中P ， Q 的元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A. 答案：A 3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b a ，b .若集合A 与集 合B 相等，则b －a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2 解析：由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ，∴b a ＝－1，∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝ 2. 答案：C 4．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ?A C ．a ∈A D ．a ＝A 解析：由于集合A 中只含有一个元素a ，由元素与集合的关系可知，a ∈A ，故选C. 答案：C 5．已知集合A 中有四个元素0,1,2,3，集合B 中有三个元素0,1,2，且元素a ∈A ，a ?B ，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：∵a ∈A ，a ?B ，∴由元素与集合之间的关系知，a ＝3. 答案：D 6．若1－a 1＋a 是集合A 中的元素，且集合A 中只含有一个元素a ，则a 的值为________． 解析：由题意，得1－a 1＋a ＝a ，所以a 2＋2a －1＝0且a ≠－1，所以a ＝－1± 2. 答案：－1± 2 7．已知集合A 中的元素x 满足2x ＋a >0，且1?A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1?A ，∴2＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：a ≤－2 8．用符号“∈”和“?”填空：0________N *，3________Z,0________N ，3＋2________Q ，4 3 ________Q . 解析：只要熟记常见数集的记法所对应的含义就很容易判断，故填?，?，∈，?，∈. 答案：? ? ∈ ? ∈ 9．若a 2＝3，则a ________R ；若a 2＝－1，则a ________R . 1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2 （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（? 也可表示为 ）两种。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集A 记作 a ?A （或a A ） 注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 请回答：已知a+b+c=m ，A={x|ax 2+bx+c=m}，判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3 . 理解 ”、“?”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程： 观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A=?，B={0}. ∈?∈ 第一章：集合与常用逻辑用语 §·集合的概念及运算 一、知识清单 1.集合的含义与表示 （1）集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。 （2）常用的集合表示法：①列举法；②描述法；③数轴或图像表示法；④venn 图法 2.集合的特性 3.常用的集合 特 性 理 解 应 用 确定性 要么属于该集合，要么不属于，二者必居其一； 判断涉及的总体是否构成集 合 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的； 1.判断集合表示是否正确； 2.求集合中的元素 无序性 集合的不同与元素的排列无关； 通常用该性质判断两个集合 的关系 集合 (){}0|=x f x (){}0|>x f x (){}x f y x =| (){}x f y y =| ()(){}x f y y x =|, (){}x f y = 常见数集的记法： 4.集合间的基本关系 （2）有限集合中子集的个数 【提醒】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。符号表示为：5.集合的运算 集），写作C S A。 二、高考常见题型及解题方法 1.解决集合问题的常用方法 2.集合问题常见题型 （1）元素与集合间关系问题 （2）集合与集合间关系问题 （3）集合的基本运算： ①有限集（数集）间集合的运算； ②无限集间集合的运算：数轴（坐标系）画图、定域、求解； ③用德·摩根公式法求解集合间的运算。 【针对训练】 例1.已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A.1 B.3 C.5 D.9 例2.设集合{} {}R x x x P R x x x y y M ∈≤≤-=∈--==,42|,,12|2 ，则集合M 与P 之间的关系式为（ ） 第1课 集合与常用逻辑用语 本节主要考察以下几个方面： 1、考察求几个集合的交、并、补集； 2、通过给定的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力； 3、“命题及其关系” 主要考查四种命题的意义及相互关系；4、“简单的逻辑联结词”主要考查逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容；5、“全称量词与存在量词”主要考查对含有一个量词的命题进行否定；6、考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解。7、会用集合语言、分类讨论、数形结合（数轴、韦恩图解），探究集合问题，把握充要条件，实现命题的等价转换。 〖基点问题1〗（集合的运算） 例1、 已知集合{}1 349,46,(0,)A x R x x B x R x t t t ? ? =∈++-≤=∈=+ -∈+∞???? ，则 集合A B = ＿＿＿＿＿＿＿＿。 〖基点问题2〗（充分必要条件） 例2、设0＜x ＜ 2 π，则“x sin 2x ＜1”是“x sinx ＜1”的 （ ） （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 〖基点问题3〗（复合命题真假的判定） 例3、已知命题p 1：函数y=2x -2-x 在R 上为增函数，p 2：函数y=2x +2-x 在R 上为减函数，则 在命题112212312q :p p ,q :p p ,q (p )p ∨∧?∨： 和412:p (p )q ∧?中，真命题是（ ） A.q 1,q 3 B.q 2,q 3 C.q 1,q 4 D.q 2,q 4 〖基点问题4〗（命题的否定与否命题） 例4、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ） A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B. 所有能被2整除的整数都不是偶数 C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数 D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数 〖热点考向1〗 例5、已知函数12cos 32 )4 ( sin 4)(2 --+=x x x f π ，且给定条件p :“ 2 4 π π ≤ ≤x ”,（1）求)(x f 的最大值及最小值 （2）若又给条件"2|)(|:"<-m x f q 且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围。 高一数学必修1第一章：集合概念 集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队 员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 u 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集) 记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1) 列举法：{a,b,c……} 2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4) Venn图: 4、集合的分类： (1) 有限集含有有限个元素的集合 (2) 无限集含有无限个元素的集合 (3) 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意： 有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。AÍA ②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) ③如果AÍB, BÍC ,那么AÍC ④如果AÍB 同时BÍA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的 精心整理 第一练集合与常用逻辑用语一.强化题型考点对对练 1.（集合的基本运算）已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥，集合{|01}B x x =<<，则（） A.{}1A B ?= B.A B R ?= C.()(]0,1R C A B ?= D.()R A C B A ?= 【答案】D 2．（集合的基本运算）若集合{}02A x x =<<，且A B B =I ，则集合B 可能是（） A.{}0 2， B.{}0 1， C.{}0 1 2，， D.{}1 【答案】D 【解析】由题意得,因为,所以选B. 3.（集合的基本运算）设集合{}|2M x x =<，{}1,1N =-，则集合M C N 中整数的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】{}(){}|22,2,1,1M x x N =<=-=-Q ，()()()2,11,11,2,M N ∴=--?-?∴e集合M N e中整数只有0，故个数为1，故选C. 4.（集合间的关系）已知集合 ，若，则（） A.0或1 B.0或2 C.1或2 D.0或1或2 【答案】C 【解析】或.故选C. 5．（充分条件和必要条件）设x R ∈，i 是虚数单位， 则“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯虚数”的 A.充分不必要条 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由3x =-，得()()2 22332330x x +-=-+?--=，1314x -=--=-． 而由2230{ 10 x x x +-=-≠，得3x =-．所以“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯数”的充要条件．故选C. 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 课时作业1 集合的概念 知识点一 集合的概念 1.下列对象能组成集合的是( ) A ．中央电视台著名节目主持人 B ．我市跑得快的汽车 C ．上海市所有的中学生 D ．香港的高楼 答案 C 解析 对于A ，“著名”无明确标准；对于B ，“快”的标准不确定；对于D ，“高”的标准不确定，因而A ，B ，D 均不能组成集合．而对于C ，上海市的中学生是确定的，能组成集合． 2．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 当a ＝0时，四个数都是0，组成的集合只有一个数0，当a ≠0时，a 2＝|a |＝? ?? a (a >0)，－a (a ＜0)，所以组成的集合中有两个元素，故选B. 知识点二 元素与集合的关系 3.给出下列关系： ①1 2∈R ；②2?Q ；③|－3|?N ；④|－3|∈Q ；⑤0?N .其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 ①②正确；③④⑤不正确． 4．集合A 中的元素x 满足6 3－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． 答案 0,1,2 解析∵ 6 3－x∈N，x∈N，∴当x＝0时， 6 3－x＝2∈N，∴x＝0满足题意；当x＝1时， 6 3－x＝3∈N，∴x＝1满足题意；当x＝2时， 6 3－x＝6∈N，∴x＝2满足题意，当x＞3时， 6 3－x＜0不满足题意，所以集合A中的元素为0,1,2. 知识点三集合中元素特性的应用 5.已知集合A由a，a＋b，a＋2b三个元素组成，B由a，ac，ac2三个元素组成，若集合A与集合B相等，求实数c的值． 解分两种情况进行讨论． ①若a＋b＝ac，a＋2b＝ac2，消去b，得a＋ac2－2ac＝0. 当a＝0时，集合B中的三个元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，故a≠0.所以c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1时，B中的三个元素相同，不符合题意． ②若a＋b＝ac2，a＋2b＝ac，消去b，得2ac2－ac－a＝0. 由①知a≠0，所以2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0. 解得c＝－1 2或c＝1(舍去)，当c＝－ 1 2时， 经验证，符合题意． 综上所述，c＝－1 2. 易错点忽视集合中元素的互异性致误 6.方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集中含有几个元素？ 易错分析本题产生错误的原因是没有注意到字母a的取值带有不确定性而得到错误答案两个元素．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性． 正解x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x1＝1，x2＝a. 若a＝1，则方程的解集中只含有一个元素1；若a≠1，则方程的解集中含有两个元素1，a. 课 题：1.1集合 教学目的：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初 步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程： 一、复习引入： 1．简介数集的发展；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔（德国 数学家）；4．“物以类聚”，“人以群分”；5．教材中例子。 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： （1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有关概念： 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的，我们说， 每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集 合，也简称集。集合中的每个对象叫做这个集合的元素。 定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合。 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集合记作N *或N +，如{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合，记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合，记作R ，{} 数数轴上所有点所对应的 =R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 3、元素对于集合的隶属关系 一集合（§1.1.1 集合） 教学时间 :第一课时 课题:§1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学方法:尝试指导 教具准备:投影片（3张） 教学过程: （I）引入新课 同学们好！首先，我祝贺大家能升入苍梧第一高级中学进行高中学习。下面我想初步了解一下同学们的情况。请来自××中学的同学站起来。依次询问他们的名字，并板书。同样询问来自另一学校学生情况。××同学你为什么不站起来？来自××中学的三位虽然性别不同，年龄有差异，但他们有一个共同的性质——来自××中学。所以，在数学上可以把他们看作为有3个元素的集合（板书课题：集合，并将其姓名用{ }括起来），同样，××中学的二位同学也可看作有2个元素的集合。显然，刚才抽到的××同学如果作为一个元素就不属于上面这两个集合了。同学们！这节课我们将系统地研究集合的一些概念。讲四个问题：（1）集合和元素；（2）集合的分类；（3）集合的表示方法；（4）为什么要学习集合的表示方法？ （II）复习回顾 师生共同回顾初中代数中涉及“集合”提法. （Ⅲ）讲授新课 通过以上实例，教师指出： 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 师：进一步指出： 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 生：例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 师：请同学们另外举出三个例子，并指出其元素. 生：略.（教师给予评议）。 师：一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2 生：在师指导下一一回答上述问题. 师：由以上四个问题可知， 集合元素具有三个特征： （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 ∈师：元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（?也可表示为）两种。高一数学必修1第一章集合教案
知识点集合与常用逻辑用语
2020_2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法课时
人教版高中数学集合教案
集合与常用逻辑用语(高三复习、教案设计)
第1课 集合与常用逻辑用语
高一数学必修1第一章： 集合概念
集合与常用逻辑用语练习测试题.doc
第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念
高一数学第一章集合概念
人教版高中数学必修1集合教案
相关主题
文本预览