集合与常用逻辑用语
1．设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.????－3，－3
2 B.????－3，3
2 C.????1，32 D.????32，3
答案 D
解析 由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1 B ＝{x |2x －3>0}＝? ??? ?? x ?? x >32 ， 得A ∩B ＝??????x ?? 32 2 ，3，故选D. 2．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 D 解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 3．命题“?x ∈R ，?n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．?x ∈R ，?n ∈N *，使得n ＜x 2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 C．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 D．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2 答案 D 解析原命题是全称命题，条件为?x∈R，结论为?n∈N*，使得n≥x2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D选项符合． 1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题. 2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断. 热点一集合的关系及运算 1．集合的运算性质及重要结论 (1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A. (2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A. (3)A∩(?U A)＝?，A∪(?U A)＝U. (4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A. 2．集合运算中的常用方法 (1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解； (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解． 例1(1)已知集合M＝{x|x2－2x－8≤0}，集合N＝{x|lg x≥0}，则M∩N等于() A．{x|－2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥－2} (2)若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集?属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{?，{a}，{c}，{a，b，c}}； ②τ＝{?，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}； ③τ＝{?，{a}，{a，b}，{a，c}}； ④τ＝{?，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}． 其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是____________． 答案(1)C(2)②④ 解析(1)M＝{x|－2≤x≤4}，N＝{x|x≥1}，考查交集的定义，由数轴可以看出M∩N＝{x|1≤x≤4}． (2)①τ＝{?，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}＝{a，c}?τ，所以①错；②④都满足集合X上的一个拓扑的集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}?τ，故③错．所以答案为②④. 思维升华(1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn图或数轴求解． (2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证． 跟踪演练1(1)若全集U＝{0,1,2,4}，且?U A＝{1,2}，则集合A等于() A．{1,4} B．{0,4} C．{2,4} D．{0,2} (2)设集合M＝{x|m≤x≤m＋3 4}，N＝{x|n－ 1 3≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集， 如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是() A.13 B.23 C.112 D.512 答案 (1)B (2)C 解析 (1)集合A ＝?U (?U A )＝{0,4}，故选B. (2)由已知，可得????? m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤1 4 ， ????? n －13≥0，n ≤1， 即1 3 ≤n ≤1， 取m 的最小值0，n 的最大值1， 可得M ＝????0，34，N ＝????2 3，1. 所以M ∩N ＝????0，34∩????23，1＝??? ?23，3 4. 此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝1 12. 故选C. 热点二 四种命题与充要条件 1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假． 2．若p ?q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ?q ，则p ，q 互为充要条件． 例2 (1)下列命题： ①已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m ⊥α，n ?β，则“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件；②不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x (2)已知p ：“直线l 的倾斜角α>π 4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 (1)① (2)B 解析 (1)①当α⊥β时，n ?β可以是平面内任意一直线，所以得不到m ∥n ，当m ∥n 时，m ⊥α，所以n ⊥α，从而α⊥β，故“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件．所以①正确．②log 2x ＝ lg x lg 2，log 3x ＝lg x lg 3，因为lg 2 lg 3 ，即log 2x (2)若直线l 的倾斜角为α＝π2，它满足“α>π 4”的要求，但此时直线l 的斜率不存在，则p 不 是q 的充分条件；若直线l 的斜率k >1，则倾斜角π4<α<π 2，则p 是q 的必要条件．综上可得， p 是q 的必要不充分条件． 思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法 (1)定义法：正、反方向推理，若p ?q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ?q ，且qD ?/p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)． (2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ?B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． (3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 跟踪演练2 (1)下列四个结论中正确的个数是( ) ①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件； ②命题：“?x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“?x 0∈R ，sin x 0>1”； ③“若x ＝π 4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题； ④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)设p ：1 D ．既不充分也不必要条件 答案 (1)A (2)A 解析 (1)对于①，x 2＋x －2>0?x >1或x <－2，故“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，所以①错误；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π 4”， ∵tan x ＝1推出的是x ＝π 4＋k π，k ∈Z .所以③错误．对于④，log 32≠－log 23，所以④错误．② 正确．故选A. (2)因为2x >1，所以x >0，即命题q ：x >0.因为p ：1 1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题． 2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )． 3．“?x ∈M ，p (x )”的否定为“?x 0∈M ，綈p (x 0)”；“?x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“?x ∈M ，綈p (x )”． 例3 (1)设p ，q 是两个命题，如果綈(p ∨q )是真命题，那么( ) A ．p 是真命题且q 是假命题 B ．p 是真命题且q 是真命题 C ．p 是假命题且q 是真命题 D ．p 是假命题且q 是假命题 (2)已知命题p ：“?x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“?x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－2或a ＝1 B ．a ≤－2或1≤a ≤2 C ．a >1 D ．－2≤a ≤1 答案 (1)D (2)C 解析 (1)由綈(p ∨q )是真命题可得p ∨q 是假命题，由真值表可得p 是假命题且q 是假命题． (2)命题p 为真时a ≤1；“?x 0∈R ，x 20＋2ax 0 ＋2－a ＝0”为真，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.(綈p )∧q 为真命题，即(綈p )真且q 真，即a >1. 思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． 跟踪演练3 (1)已知命题p ：?x 0∈R ，使sin x 0＝5 2 ；命题q ：?x ∈????0，π2，x >sin x ，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为真 D ．p ∨q 为假 (2)命题p ：?b ∈R ，使直线y ＝－x ＋b 是曲线y ＝x 3－3ax 的切线．若綈p 为真，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 3 B ．a ≤1 3 C ．a >13 D ．a ≥1 3 答案 (1)B (2)A 解析 (1)由于三角函数y ＝sin x 的有界性：－1≤sin x 0≤1，所以p 假；对于q ，构造函数y ＝x －sin x ，求导得y ′＝1－cos x ，又x ∈????0，π 2，所以y ′>0，y 为单调递增函数，有y >0恒成立，即?x ∈??? ?0，π 2，x >sin x ，所以q 真．判断可知，B 正确． (2)由y ＝x 3－3ax 得y ′＝3x 2－3a ≥－3a .因为命题“?b ∈R 使直线y ＝－x ＋b 是曲线y ＝x 3－3ax 的切线”是假命题，所以直线y ＝－x ＋b 的斜率－1?[－3a ，＋∞)，即－1<－3a ，解得a <1 3 .故选A. 1．已知函数f(x)＝ 1 1－x2 的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∪(?R N)等于() A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－1} C．{x|x<1} D．{x|x≥1} 押题依据集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题．集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇． 答案 C 解析M＝{x|1－x2>0}＝{x|－1 N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}， ∴?R N＝{x|x≤－1}， ∴M∪(?R N)＝{x|－1 2．已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合： ①M＝{(x，y)|y＝1 x}； ②M＝{(x，y)|y＝e x－2}； ③M＝{(x，y)|y＝cos x}； ④M＝{(x，y)|y＝ln x}． 其中是“Ω集合”的所有序号为() A．②③B．③④ C．①②④D．①③④ 押题依据以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口． 答案 A 解析 对于①，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则x 1x 2＋1x 1·1 x 2＝0，即(x 1x 2)2＝－1，可知①错误；对于④， 取(1,0)∈M ，且存在(x 2，y 2)∈M ，则x 1x 2＋y 1y 2＝1×x 2＋0×y 2＝x 2>0，可知④错误．同理，可证得②和③都是正确的．故选A. 3．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念． 答案 A 解析 当φ＝0时，f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 为偶函数成立；但当f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数时，φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝0时，必要条件不成立．故选A. 4．给出下列四个命题，其中正确的命题有( ) ①函数y ＝sin 2x ＋cos 2x 在x ∈????0，π2上的单调递增区间是??? ?0，π 8； ②a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，集合A ＝{x |a 1x ＋b 1>0}，B ＝{x |a 2x ＋b 2>0}，则“a 1a 2＝b 1 b 2” 是“A ＝B ”的必要不充分条件； ③若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题； ④命题?x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0的否定为?x ∈R ，x 2＋x ＋1<0. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 押题依据 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题． 答案 C 解析 ①y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ????2x ＋π 4， 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π 2(k ∈Z )， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π 8 (k ∈Z )， 又x ∈????0，π2，因此递增区间是??? ?0，π8； ②充分性不成立，如a 1＝1，b 1＝1，a 2＝－1＝b 2，满足a 1a 2＝b 1 b 2 ，但A ＝{x |x ＋1>0}＝(－1， ＋∞)，B ＝{x |－x －1>0}＝(－∞，－1)，A ≠B ； 必要性成立：A ＝B ?a 1a 2>0?－b 1a 1＝－b 2a 2?a 1a 2＝b 1 b 2 ； ③p ∨q 为真命题时，p ，q 不一定全真，因此p ∧q 不一定为真命题； ④命题?x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0的否定应为?x ∈R ，x 2 ＋x ＋1≥0. 所以①②为真，选C. A组专题通关 1．已知集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?R A)∩B等于() A．{－2，－1} B．{－2} C．{－1,0,1} D．{0,1} 答案 A 解析A＝{x|x>－1}，所以?R A＝{x|x≤－1}， 所以有(?R A)∩B＝{－2，－1}，故选A. 2．已知集合M＝{x|log2x<3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则M∩N等于() A．(0,8) B．{3,5,7} C．{0,1,3,5,7} D．{1,3,5,7} 答案 D 解析由M中不等式变形得：log2x<3＝log28， 即0 ∵N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，∴M∩N＝{1,3,5,7}，故选D. 3．命题“?x∈[－2，＋∞)，x＋3≥1”的否定为() A．?x0∈[－2，＋∞)，x0＋3<1 B．?x0∈[－2，＋∞)，x0＋3≥1 C．?x∈[－2，＋∞)，x＋3<1 D．?x∈(－∞，－2)，x＋3≥1 答案 A 解析根据全称命题的否定规则可知应选A. 4．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x≤0}，则A∩B等于() A．{x|－1≤x≤2} B．{x|－1≤x≤0} C ．{x |1≤x ≤2} D ．{x |0≤x ≤1} 答案 D 解析 由x 2－2x ≤0，得0≤x ≤2，所以B ＝{x |0≤x ≤2}．又A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}． 故选D. 5．“a ＝5”是“点(2,1)到直线x ＝a 的距离为3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析 由点(2,1)到直线x ＝a 的距离为3，得|a －2|＝3，解得a ＝5或a ＝－1，所以“a ＝5”是“点(2,1)到直线x ＝a 的距离为3”的充分不必要条件，故选B. 6．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝ π 2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真 答案 C 解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确． 7．已知命题p ：2x x －1<1，命题q ：(x ＋a )(x －3)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1] B ．[－3，－1] C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－3] 答案 C 解析 由p ：2x x －1<1，得x ＋1x －1<0，－1 所以－a ≥1，a ≤－1.故选C. 8．下列命题是假命题的是( ) A ．?φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 B ．?α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β C ．向量a ＝(2，－1)，b ＝(3,0)，则a 在b 方向上的投影为2 D ．“|x |≤1”是“x <1”的既不充分也不必要条件 答案 A 解析 对于选项A ，当φ＝π 2 时，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，该命题是假命题； 对于选项B ，当α＝π2，β＝－π 4时，cos(α＋β)＝cos α＋cos β，所以该命题是真命题；对于选 项C ，a 在b 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝6 3＝2，所以该命题为真命题；对于选项 D ，由|x |≤1，当x ＝1时，x <1不成立，由x <1得不出|x |≤1，所以“|x |≤1”是“x <1”的既不充分也不必要条件，所以该命题为真命题． 9．已知集合M ＝{x |x 2<4}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}，则集合M ∩N ＝________. 答案 (－1,2) 解析 由不等式的解法，可得M ＝{x |x 2<4}＝{x |－2 10．已知集合A ＝{x |－1 解析 ? ???? m －5≤－1，2m ＋3≥5，解得1≤m ≤4.故应填[1,4]． 11．“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的______________．(空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 答案 充分不必要条件 解析 f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增?f ′(x )＝a －sin x ≥0在R 上恒成立?a ≥(sin x )max ＝1，所以“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的充分不必要条件． 12．给出下列四个命题： ①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题； ②“?x 0∈R ，使得x 20－x 0 >0”的否定是：“?x ∈R ，均有x 2－x <0”； ③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件； ④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }?{a ，b ，c }，p 且q 为真命题． 其中真命题的序号是________． 答案 ①④ 解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题， 所以其逆否命题亦为真命题，①正确； 对②，命题“?x 0∈R ，使得x 20－x 0 >0”的否定应是： “?x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错； 对③，因为由“x 2＝4”得x ＝±2， 所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错； 对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确． B 组 能力提高 13．下列说法中，不正确的是( ) A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题“若am 2 B ．命题“?x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”的否定是：“?x ∈R ，x 2 ＋x －2≤0” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题 D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件 答案 C 解析 A 正确，因为此时m 2>0；B 正确，特称命题的否定就是全称命题；C 不正确，因为命题“p 或q ”为真命题，那么p ，q 有一个真，p 或q 就是真命题；D 项，小集合是大集合的充分不必要条件．故选C. 14．已知圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝r 2 (r >0)，若p ：1≤r ≤3；q ：圆C 上至多有3个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由点到直线的距离公式，得圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离为2，故0 A ．命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1” B ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件 C ．若“命题p ：?x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”，则“綈p ：?x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0” D ．若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 均为真命题 答案 D 解析 对于若“p ∨q ”为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题，∴D 选项错误．故选D. 16．已知集合M ＝???? ?? x |ax －5x 2 －a <0，若3∈M,5?M ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ??? ?1，5 3∪(9,25] 解析 ∵集合M ＝???? ?? x |ax －5x 2 －a <0， 得(ax －5)(x 2－a )<0， 当a ＝0时，显然不成立， 当a >0时，原不等式可化为??? ?x －5 a ()x －a (x ＋a )<0， 若a <5a ，只需满足????? a <3<5a ，a ≥1， 解得1≤a <53 ； 若a >5a ，只需满足?????