旋转专题
1．如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm
2．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（）
A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（，0）D．（0，﹣）
3．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为（）
A．15°B．20°C．30°D．45°
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后
得到Rt△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积是（）
A．B．C．D．
5．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，将△ABC绕点A顺时针旋转后得到△ADE（点B的对应点是点D，点C的对应点是点E），当点E在BC边上时，连接BD，则∠BDE的大小为（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
6．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，现将△ABC绕B逆时针旋转一定角度，点C′恰好落在边BC上的高所在的直线上，则阴影部分的面积为（）
A．πB．C．D．3π
7．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O 分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，
依次进行下去…，若点A（，0），B（0，4），则点B2016的横坐标为（）
A．5 B．12 C．10070 D．10080
8．如图，在平面直角坐标系中将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A1B1C1，设点A1的坐标为（m，n），则点A的坐标为（）
A．（﹣m，﹣n）B．（﹣m，﹣n﹣2）C．（﹣m，﹣n﹣1）D．（﹣m，﹣n+1）
9．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），将△ABC 绕点B顺时针旋转一定的角度后得到△DBE，且使点D落在y轴上，与此同时顶点E恰好
落在y=的图象上，则k的值为（）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣3
二．填空题（共6小题）
10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，则BD=．
11．如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD=90°，则∠B的度数是．
12．如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D 分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E恰好是对角线BD的中
点，那么的值是．
13．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图如图①摆放，分别延长DA和QP交
于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固
定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针开始旋转，如图②，当点P恰好落在BC边上时，S阴影=．
14．如图，等腰直角三角形的斜边长AB=8，一直线l绕顶点B任意旋转，过A向l作垂线，垂足为H，则线段CH长的取值范围是．
15．将一个含45°角的三角板ABC如图摆放在平面直角坐标系中，将其绕点C顺时针旋转75°，点B的对应点B′恰好落在x轴上，若点C的坐标为（1，0），则点B′的坐标为．
三．解答题（共6小题）
16．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，
得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，连接C1B1，则C1B1与BC的位置关系为；
（2）如图2，当△ABC是锐角三角形，∠ABC=α（α≠60°）时，将△ABC按照（1）中的方式旋转α，连接C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在图2的基础上，连接B1B，若C1B1=BC，△C1BB1的面积为4，则△B1BC 的面积为．
17．如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与
点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP=°；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
18．已知Rt△DAB中，∠ADB=90°，扇形DEF中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE，将Rt△ADB
的边与扇形DEF的半径DE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF绕点D按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）
（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB时，求α；
（2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，BC=2cm，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°．按要求画图（保留画图痕迹）：以点B
为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′）．
（1）填空：∠ABC=；
（2）求线段OA+OB+OC的长．
20．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．
（1）线段BE与AF的位置关系是，=．
（2）如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣2，求旋转角a的度数．
21．如图①，将?ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D
坐标为（0，4），直线MN：y=x﹣6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在
平移过程中该直线被?ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图②所示．
（1）填空：点C的坐标为；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？；（填“B”或“D”）
（2）点B的坐标为，n=，a=；
（3）在平移过程中，求该直线扫过?ABCD的面积y与t的函数关系式．
旋转初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2016?兰州）如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（）
A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm
【解答】解：根据题意得：l==3πcm，
则重物上升了3πcm，
故选C
2．（2016?河南）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（）
A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（，0）D．（0，﹣）
【解答】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得
D点坐标为（1，1）．
每秒旋转45°，则第60秒时，得
45°×60=2700°，
2700°÷360=7.5周，
OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），
故选：B．
3．（2016?呼兰区模拟）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为（）
A．15°B．20°C．30°D．45°
【解答】解：如图，连接BB′；由题意得：
AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠B′BA=60°，BB′=BA；
在△BB′C′与△BAC中，
，
∴△BB′C′≌△BAC（SSS），
∴∠B′BC′=∠ABC′=30°，
故选C．
4．（2016?十堰二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积是（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，
∴AB=，
∴S扇形ABD==．
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴Rt△ADE≌Rt△ACB，
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=．
故选：A．
5．（2016?香坊区一模）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，将△ABC绕点A顺时针旋转后得到△ADE（点B的对应点是点D，点C的对应点是点E），当点E在BC边上时，连接BD，则∠BDE的大小为（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转后得到△ADE，
∴AE=AC，AD=AB，∠ADE=∠ABC=30°，∠DAB=∠EAC，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠C=45°，
∴∠EAC=90°，
∴∠DAB=90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴∠ADB=45°，
∴∠BDE=∠ADB﹣∠ADE=45°﹣30°=15°．
故选A．
6．（2016?聊城模拟）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，现将△ABC绕B逆时针旋转一定角度，点C′恰好落在边BC上的高所在的直线上，则阴影部分的面积为（）
A．πB． C． D．3π
【解答】解：如图，过点C′作C′E⊥BC于点E，
∵点C′恰好落在边BC上的高所在的直线上，AB=AC，
∴C′、A、E在一条直线上，
∴BE═EC=BC，
∵BC=BC′，
∴BE=BC′，
∵∠BEC′=90°，
∴∠BC′E=30°，
∴∠C′BE=60°，
∵AB=AC=3，∠A=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=，
∵△C′A′B≌△CAB，
∴∠A′BC′=∠ABC=45°，
∴∠A′BA=∠C′BC=60°，
∴S阴影=S扇形C′BC+S△C′A′B﹣S扇形A′BA﹣
S△ABC==．
故选：B．
7．（2016?平顶山三模）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位
置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（，0），B（0，4），则点B2016的横坐标为（）
A．5 B．12 C．10070 D．10080
【解答】解：由图象可知点B2016在第一象限，
∵OA=，OB=4，∠AOB=90°，
∴AB===，
∴B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），…
∴B2016（10080，4）．
∴点B2016纵坐标为10080．
故选D．
8．（2016?滑县二模）如图，在平面直角坐标系中将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A1B1C1，设点A1的坐标为（m，n），则点A的坐标为（）
A．（﹣m，﹣n）B．（﹣m，﹣n﹣2）C．（﹣m，﹣n﹣1）D．（﹣m，﹣n+1）
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），
∵△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A1B1C1，点A1的坐标为（m，n），
∴=0，=﹣1，
解得x=﹣m，y=﹣n﹣2，
所以，点A的坐标为（﹣m，﹣n﹣2）．
故选B．
9．（2016?东明县一模）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度后得到△DBE，且使点D落在y轴上，
与此同时顶点E恰好落在y=的图象上，则k的值为（）
A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣3
【解答】解：∵A（﹣3，5），B（﹣3，0），C（2，0），
∴AB⊥x轴，AB=5，BC=5，
∴AC=5，
∵△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度后得到△DBE，且使点D落在y轴上，
∴BD=AB=5，BE=BC=5，DE=AC=5，
在Rt△OBD中，OD===4，
∴D（0，4），
设E（a，b），
∴BE2=（a+3）2+b2=25①，DE2=a2+（b﹣4）2=50②，
①﹣②得b=③，
把③代入①整理得a2+6a﹣7=0，解得a1=﹣7（舍去），a2=1，
当a=1时，b=﹣3，
∴E（1，﹣3），
把E（1，﹣3）代入y=得k=1×（﹣3）=﹣3．
故选A．
二．填空题（共6小题）
10．（2016?大连）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，
若∠CAE=90°，AB=1，则BD=．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转的到△ADE，点C和点E是对应点，
∴AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，
∴BD===．
故答案为．
11．（2016?龙岩模拟）如图，△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，点C恰好在AB上，∠AOD=90°，则∠B的度数是57°．
【解答】解：根据旋转性质得△COD≌△AOB，
∴CO=AO，
由旋转角为38°，
可得∠AOC=∠BOD=38°，
∴∠OAC=（180°﹣∠AOC）÷2=71°，
∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOC﹣∠BOD=14°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=52°，
在△AOB中，由内角和定理得∠B=180°﹣∠OAC﹣∠AOB=180°﹣71°﹣52°=57°．
答：∠B的度数为57°．
12．（2016?杨浦区二模）如图，将平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，其中点B、C、D分别落在点E、F、G处，且点B、E、D、F在一直线上，如果点E
恰好是对角线BD的中点，那么的值是．
【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A旋转到平行四边形AEFG的位置，点E恰好是对角线BD的中点，
∴∠1=∠2，BE=BD，AB=AE，
∵EF∥AG，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△BAE∽△BDA，
∴AB：BD=BE：AB，∠AEB=∠DAB，
∴AB2=BD2，
∴=，
∵AE=AB，
∴∠AEB=∠ABD，
∴∠ABD=∠DAB，
∴DB=DA，
∴=．
故答案为．
13．（2016?海安县一模）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图如图①摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针开始旋转，如图②，
当点P恰好落在BC边上时，S阴影=+．
【解答】解：如图所示：设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H 过点R作RE⊥KQ于点E，在Rt△OPH中，PH=AB=1，OP=2，
∴∠POH=30°，
∴α=60°﹣30°=30°，
∵AD∥BC，
∴∠RPO=∠POH=30°，
∴∠RKQ=2×30°=60°，
∴S扇形KRQ==，
在Rt△RKE中，RE=RK?sin60°=，
∴S△PRK=××=，
∴S阴影=+；
故答案为：+．
14．（2016?海陵区一模）如图，等腰直角三角形的斜边长AB=8，一直线l绕顶点B任意旋转，过A向l作垂线，垂足为H，则线段CH长的取值范围是0≤CH≤8．
【解答】解：如图，∵∠ACB=∠AHB=90°，
∴A、C、H、B四点共圆，
∵AB是直径，CH是弦，
∴CH的最小值是0（此时C与H重合），
CH的最大值是直径，
∴0≤CH≤8．
故答案为0≤CH≤8．
15．（2016?威海一模）将一个含45°角的三角板ABC如图摆放在平面直角坐标系中，将其绕点C顺时针旋转75°，点B的对应点B′恰好落在x轴上，若点C的坐标为（1，0），则点B′的坐标为（1+，0）．
【解答】解：如图，∵∠ACB=45°，∠BCB′=75°，
∴∠ACB′=120°，
∴∠ACO=60°，
∴∠OAC=30°，
∴AC=2OC，
∵点C的坐标为（1，0），
∴OC=1，
∴AC=2OC=2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC=，
∴B′C=A′B′=，
∴OB′=1+，
∴B′点的坐标为（1+，0）．
三．解答题（共6小题）
16．（2016?吉林）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，连接C1B1，则C1B1与BC的位置关系为平行；
（2）如图2，当△ABC是锐角三角形，∠ABC=α（α≠60°）时，将△ABC按照（1）中的方式旋转α，连接C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在图2的基础上，连接B1B，若C1B1=BC，△C1BB1的面积为4，则△B1BC 的面积为6．
【解答】解：（1）平行，
∵把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，
∴∠C1BC=∠B1BC=90°，BC1=BC=CB1，
∴BC1∥CB1，
∴四边形BCB1C1是平行四边形，
∴C1B1∥BC，
故答案为：平行；
（2）证明：如图②，过C1作C1E∥B1C，交BC于E，则∠C1EB=∠B1CB，
由旋转的性质知，BC1=BC=B1C，∠C1BC=∠B1CB，
∴∠C1BC=∠C1EB，
∴C1B=C1E，
∴C1E=B1C，
∴四边形C1ECB1是平行四边形，
∴C1B1∥BC；
（3）由（2）知C1B1∥BC，
设C1B1与BC之间的距离为h，
∵C1B1=BC，
∴=，
∵S=B
1C1?h，S=BC?h，
∴===，
∵△C1BB1的面积为4，
∴△B1BC的面积为6，
故答案为：6．
17．（2016?市中区一模）如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD 上任意一点（点P与点A不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP=60°；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．
【解答】解：（1）∠QEP=60°；
证明：连接PQ，
∵PC=CQ，且∠PCQ=60°，
则△CQB和△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（SAS），
∴∠CQB=∠CPA，
又因为△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，
∴∠QEP=∠QCP=60°．
故答案为：60；
（2）∠QEP=60°．以∠DAC是锐角为例．
证明：如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=6O°，
∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP=∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠APC=∠Q，
∵∠1=∠2，
∴∠QEP=∠PCQ=60°；
（3）连结CQ，作CH⊥AD于H，如图3，
与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，
∴∠APC=30°，∠PCB=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH=CH=AC=×4=2，
在Rt△PHC中，PH=CH=2，
∴PA=PH﹣AH=2﹣2，
∴BQ=2﹣2．
18．（2016?定州市一模）已知Rt△DAB中，∠ADB=90°，扇形DEF中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE，将Rt△ADB的边与扇形DEF的半径DE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF绕点D按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB时，求α；
（2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′．
【解答】解：（1）∵∠ADB=90°，DA=DB，
∴∠BAD=45°，
∵DF′∥AB，
∴∠ADF′=∠BAD=45°，
∴α=45°﹣30°=15°，
（2）∵α=120°，
∴∠ADE′=120°，
∴∠ADF′=120°+30°=150°，
∠BDE′=360°﹣90°﹣120°=150°，
∴∠ADF′=∠BDE′，
在△ADF′和△BDE′中，
，
∴△ADF′≌△BDE′，
∴AF′=BE′．
19．（2016?滑县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2cm，BC=2cm，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°．按要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′）．
（1）填空：∠ABC=30°；
（2）求线段OA+OB+OC的长．
【解答】解：（1）∵∠C=90°，AC=2，BC=2，
∴tan∠ABC===，
∴∠ABC=30°；
故答案为30°；
（2）AB==4，
∵将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），
九年级数学旋转几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°． （1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE △绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程； （2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有 EF=BE+DF； （3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案； （2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即 180 ADG ADF ∠+∠=?，即180 B D ∠+∠=?； （3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长． 【详解】 （1）解：如图， ∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是： 如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°； （3）解：∵△ABC中，2BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22 AB AC +，
第10章《轴对称、平移与旋转》培优习题2：平 移 考点1：平移变化 例1、如图，A 、B 、C 、D 四个图案中可以由左图平移得到的是（ ） 【同步练习】 1、2019年10月18日，第七届军人运动会在武汉举行，如图是第七届运动会的吉祥物兵兵，下列图案中，是通过图平移得到的图案是（ ） 2、下列图形中，哪一幅可以由第一幅图平移得到（ ） 考点2：平移的性质 例2、为构建和谐校园，营造良好的教育范围，某学校服在如图所示的长方形草坪上修建甬道， 道路的宽忽略不计，若草坪周长为320m ，则道路的总长为（ ） A 、120m B 、160m C 、240m D 、 320m 【同步练习】如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台阶上铺上一块红地毯，问这 块红地毯至少需要（ ） 例题 2 图 8m 5m 10m 同步练习 A B C D A B C D A B C D 考点汇编
A 、23平方米 B 、90平方米 C 、130平方米 D 、120平方米 例3、如图，将ABC ?沿BC 方向平移1cm 得到DEF ?，若ABC ?的周长为8cm ，则四边形 ABFD 的周长为（ ） A 、8cm B 、9cm C 、10cm D 、11cm 【同步练习】 1、如图，DAF ?沿直线AD 平移得到CDE ?，CE ，AF 的延长线交于点BA 。若?=∠111AFD ，则=∠CED （ ） A 、110° B 、111° C 、112° D 、113° 2、如图，将ABC ?水平向右平移至DEF ?的位置，点B ，E ，F 在同一直线上，已知6=BF ， 1=CE ，则_________=BE . 例4、将ABC Rt ?沿边向右平移得到DEF Rt ?，8=AB ，6=BE ，3=DG ，求阴影部分的面 积。 【同步练习】 1、如图，将ABC ?沿直线AB 向右平移后到达BDE ?的位置，连接CD 、CE ，若ACD ?的面积为10，则BCE ?的面积为（ ） A 、5 B 、6 C 、10 D 、4 2、如图，将ABC ?沿BC 方向平移一定距离得到三角形DEF ，若8=AB ，3=BE ，2=DG ，则图中阴影部分面积为 . 例5、如图，已知两条射线CN OM //，动线段AB 的两个端点A ，B 分别在射线OM ，CN 上， 且?=∠=∠108OAB C ，点E 在线段CB 上，OB 平分AOE ∠、 （1）图中有哪些与AOC ∠相等的角？并说明理由； （2）若平移AB ，那么OBC ∠与OEC ∠的度数比是否随着AB 位置变化而变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值。 【同步练习】 如图，已知直线CD AB //，?=∠=∠100C A ，E ，F 在CD 上，且满足ABD DBF ∠=∠，BE 平 例题4图 同步练习 1 同步练习2 B 例题3图 C E A F D B 同步练习1 C E B F D 同步练习2 C E A F D B
第二十章数据的分析 20.1 数据的代表 专题二平均数、中位数、众数的综合应用 1.十名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12， 设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（） A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a 2. 芦山地震牵动每个人的心，一方有难，八方支援，某市5位在外打工人员也捐款献爱心. 已知5人平均捐款560元(每人捐款数额均为百元的整数倍)，捐款数额最少的也捐了200元，最多的(只有1人)捐了800元，其中一人捐600元，600元恰好是5人捐款数额的中位数，那么其余两人的捐款数额分别是___________. 3. 某校举办校园歌唱比赛，选出10名同学担任评委，并事先拟定从如下四种方案中选择合 理方案来确定演唱者的最后得分(每个评委打分最高10分). 方案1：所有评委给分的平均分. 方案2：在所有评委中，去掉一个最高分和一个最低分，再计算剩余评委的平均分. 方案3：所有评委给分的中位数. 方案4：所有评委给分的众数. 为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演唱成绩进行统计实验，右侧是这个同学的得分统计图： (1)分别按上述四种方案计算这个同学演唱的最后得分； (2) 根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演唱的最后得分？ 【温馨提示】 1. 加权平均数是算术平均数的特例，加权平均数的实质是考虑不同权重的平均数. 2. 一组数据的中位数是唯一的，而一组数据的众数可以有一个，也可以有多个；一组数据 的中位数可以是这组数据中的数，也可以不是，但一组数据的众数一定是这组数据中的数. 【方法技巧】
图形的平移和旋转培优训 练A Prepared on 22 November 2020
图形的平移和旋转A 例1. 已知：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分∠EAD交CD于点F，说明AE＝ BE＋DF的理由。 例2. 在△ABC的边BC上，取两点D、E，使BD＝CE，观察AB＋AC与AD＋AE的大小关 系。 例3.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，?以BP为边作∠PBQ=60°，且 BQ=BP，连结CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论． （2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并 说明理由． 变式训练：1、如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求 ∠APB的度数． 2、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它 的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如 图1），易证BM+DN=MN． P A B Q C A B C D P
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系写出猜想，并加以证明． （2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系并说明理由． 3、已知Rt△ABC中，? = ∠90 ACB，CB CA=，∠MCN为? 45。 （Ⅰ）如图①，当M、N在AB上时，求证：2 2 2BN AM MN+ =； （Ⅱ）如图②，将∠MCN绕C旋转，当M在BA的延长线上时，关系式2 2 2BN AM MN+ =是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 4、如图所示，A、B两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，（Ⅰ）要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。（Ⅱ）桥建在何处才能使AB两村到桥的距离相等 M B C N 图3 A D B C N M 图2 A D B C N M 图1 A D
九年级上数学《旋转》复习专题 班级：姓名： 【知识点梳理】 1、旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做，转动的角度叫做。 练习1： 在右边四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A．①②③④ B．③ C．①③ D．①③④ 练习2： 如图，该图形围绕自己的旋转中心，按下列角度旋转后，不能 ．．与其自身重合的是（） A.72° B.108° C.144° D.216° 练习 3： 如图,将正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是( ) 2、旋转的性质 （1）对应点到的距离相等。 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于。 ）旋转前后两个图形 练习4： 如图1，P是正△ABC内的一点，若将△PBC绕点B旋转到△P’BA，则∠PBP’的度数是（） B．60° C．90° D．120° 练习5： ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合．则旋转中心是，旋转角等于度，如果连接EF，那么△AEF是
3 3 2 3、中心对称图形与中心对称： （1）中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。 （2）中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转度后能与重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。 注意：中心对称和中心对称图形的区别 （3）中心对称的性质： 关于中心对称的两个图形。 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过心，并且被心平分。关于中心对称的两个图形，对应线段（或者在同一直线上）且。 练习6：如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，BC=1，则BB’的长为（） A．4 B． C． D． 3 3 4 4、坐标系中对称点的特征 （1）关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（，） （2）关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x，y的符号，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（） （3）关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y,，x的符号，即点）关于y轴的对称点为P’（） 练习7：在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣6，8），则点A关于x轴对称的点的坐标是，点A关于y轴对称的点的坐标是，点A关于原点对称的点的坐标是．【巩固练习】 一、选择题： 1、下列图形中，中心对称图形的是（） A. B. C. D. 2、下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（） A.等边三角形 B.矩形 C.平行四边形 D.菱形 3、将方格纸中的图形（如图所示）绕点O沿顺时针方向旋转90°后，得到的图形是 30° A C B’ B C’ 3 3
旋转平移轴对称作图专题 一．解答题（共21小题） 1．如图，四边形ABDC的四个顶点都在正方形网格中的小正方形顶点上，每个小正方形的边长为1． （1）将四边形ABDC先向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到四边形A 1B 1 D 1 C 1 ， 其中顶点A，B，D，C的对应点分别为点A 1、B 1 、D 1 、C 1 ，请在网格中画出四边形 A 1B 1 D 1 C 1 ； （2）将四边形ABDC沿着直线MN翻折后得到四边形A 2B 2 DC 2 ，连接D 1 A 2 ，并直接写出 线段D 1A 2 的长度． 2．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题： （1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的△ A 1B 1 C 1 ； （2）将△DEF绕D点逆时针旋转90°，画出旋转后的△DE 1F 1． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的9×9网格中，给出了格点△ABC （顶点是网格线交点），点O在格点上． （1）画出将△ABC向右平移2个单位长度得到△A 1B 1 C 1 ． （2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A 2B 2 C 2 ． 4．如图，将△ABC平移，可以得到△DFE，点C的对应点为点E，请画出平移后的△DFE． 5．如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点． （1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A 1B 1 C 1 ； （2）图中AC与A 1C 1 的关系是：； （3）画出△ABC的AB边上的高CD；垂足是D； （4）图中△ABC的面积是． 6．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸中将△ABC 经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出来点A，点B′、点C和它的对应点C′． （1）请画出平移前后的△ABC和△A′B′C′； （2）利用网格画出△ABC中BC边上的中线AD；
数据的代表综合测试 一、选择题 1、某校初三·一班6名女生的体重（单位：kg）为： 35 36 38 40 42 42 则这组数据的中位数等于（）． A．38 B．39 C．40 D．42 2、初三年级某班十名男同学“俯卧撑”的测试成绩（单位：次数）分别是9，14，10，15 ，7，9，16，10，11，9，这组数据的众数、中位数、平均数依次是（） A. 9,10,11 B.10,11,9 C.9,11,10 D.10,9,11 3、期中考试后，学习小组长算出全组5位同学数学成绩的平均分为M，如果把M?当成另一个同学的分数，与原来的5个分数一起，算出这6个分数的平均值为N，那么M：?N为（） A．5 6 B．1 C． 6 5 D．2 4、 A、B、C、D、E五名射击运动员在一次比赛中的平均成绩是80环，而A、B、C三人的 平均成绩是78环，那么下列说法中一定正确的是（） A. D、E的成绩比其他三人好 B. D、E两人的平均成绩是83环 C. 最高分得主不是A、B、C D. 最高分得主不是D、E 5、一组数据由5个整数组成，已知中位数是4，唯一众数是5，则这组数据最大的和可能是（） A. 19 B. 20 C. 22 D. 23 6、十名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12， 设其平均数为，中位数为，众数为，则有（） A．B．C．D． 7、一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图1所示，这组数据的众数与中位数分别为（） A．9与8 B．8与9 C．8与8.5 D．8.5与9
8、由小到大排列一组数据a 1、a 2、a 3、a 4、a 5，其中每个数据都小于0，则对于样本a 1、a 2、－a 3、－a 4、－a 5、0的中位数可表示为（ ） A. 232a a - B. 252a a - C. 205a - D. 2 03 a - 9、某篮球队队员共16人，每人投篮6次，且表(一)为其投进球数的次数分配表。若此队投进球数的中位数是2.5，则众数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10、已知5个正数的平均数是，且 ，则数据 的平均数和中位数是（ ） A ． B ． C ． D ． 11、某汽车从甲地以速度v 1匀速行驶至乙地后，又从乙地以速度v 2匀速返回甲地，则汽车 在整个行驶过程中的平均速度为（ ）． A ． 12 1212 12 12 12 12 2. . . 2 v v v v v v v v B C D v v v v v v ++++ 12、国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．为此，我市就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题随机调查了某区300名初中学生．根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：B Ａ组：0.5h t <； Ｂ组：0.5h 1h t <≤； Ｃ组：1h 1.5h t <≤； Ｄ组： 1.5h t ≥． 根据上述信息，你认为本次调查数据的中位数落在 A ． B 组 B ． C 组 C ． D 组 D ．A 组 二、填空题 A B C D 组别 人数 第12题
D B 旋转 1、旋转的定义：把一个平面图形绕平面内 转动 就叫做图形的旋转。 旋转的三要素：旋转 ；旋转 ；旋转 旋转的基本性质： （1）对应点到 的距离相等。 （2）每一组对应点与旋转中心所连线段的夹角相等都等于 （3）旋转前后的两个图形是 2、 旋转作图基本步骤： ○ 1明确旋转三要素：______________、______________、_______________ ○ 2找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置。 ○ 3按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形。 3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转?180，如果它能够与 重合， 那么就说 关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。 性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ，而且被对称中心 。 （2）中心对称的两个图形是 图形。 4、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转?180，如果旋转后的图形能够与 完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 中心对称、中心对称图形是两个不同的概念，它们既有区别又有联系。 区别：中心对称是针对 图形而言的，而中心对称图形指是 图形。 联系：把中心对称的两个图形看成一个“整体”，则成为 。把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则它们 。 5、 利用尺规作关于中心对称的图形： ○ 1明确对称中心的位置 ○ 2利用“对应点的连线被对称中心平分”的特性，分别找出原图形中各个关键点的对应点 ○ 3按原图形中各点的次序，将各对应点连接起来 6、点（x ，y ）关于x 轴对称后是（ , ）
点（ , ）关于y 轴对称后是（-x ，y ） 点（x ，y ）关于原点对称后是（ ， ） 第二部分：例题剖析 例题1、如图，根据要求画图． （1）把△ABC 向右平移5个方格，画出平移的图形． （2）以点B 为旋转中心，把△ABC 顺时针方向旋转90 度，画出旋转后的图形． 例题2、如图，已知P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2， PC=3，以点B 为旋转中心，将△ABP 沿顺时针方向旋转， 使点A 与点C 重合，这时P 点旋转到G 点． （1）请画出旋转后的图形，并说明此时△ABP 以点B 为旋转中心旋转了多少度？ （2）求出PG 的长度； （3）请你猜想△PGC 的形状，并说明理由． 第三部分：典型例题 例题1、如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点均 在格点上． （1）填空：△ABC 是 ________三角形，它的面积等于_______平方单 位； （2）将△ACB 绕点B 顺时针方向旋转90°，在方格图中用直尺画出旋转 后对应的△A′C′B ，则A′点的坐标是（， ），C′点的坐标是（ ， ）． 【变式练习】 1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，-1）、 B （-1，1）、 C （0，-2）． （1）点B 关于坐标原点O 对称的点的坐标为_______ （2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A 1B 1C ； （3）求过点B 1的反比例函数的解析式． 2、如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的 三角形，即111A B C △和222A B C △． （1）请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将111A B C △重 合到222A B C △上； （2）在方格纸中将111A B C △经过怎样的变换后可以与222A B C △成 中心对称图形？画出变换后的三角形并标出对称中心． 例题2、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，点D 在BC 的延长线上，且BD=AB ，过点B 作BE ⊥AC ，
图形平移和旋转专题 二、几种常见的类型 （一）正三角形类型 在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP 也为正三角形。 例1、如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________. （二）正方形类型 在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。 例2、如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。
（三）等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=Rt∠, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。 例3、如图，在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠BPC的度数。 例4、如图，将ΔABC绕顶点A顺时针旋转60o后得到ΔAB′C′，且C′为BC的中点， 则C′D:DB′=（） A．1:2 B．1:C．1: D．1:3 例5、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于（） A．30°B．45°C．60°D．75° 例6、D、E为AB的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处。若∠B=50°，则∠BDF=＿＿
图形的平移和旋转 一：知识点 1 ?平移的定义与规律 关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向. (1) 平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，？对应点所连的线段平行且相等 (或共线且相等)? (2) 简单作图 平移的作图主要关注要点：1 ?方向，2?距离?整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平 行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的. 2 ?旋转的定义与规律 (1) 定义：在平面内，将一个图形绕一 个定点沿某个方向转动一个角度， ？这样的图形运动称为旋转. 关键： 旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向. (2) 旋转的规律 经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连 线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等. (3) 简单的旋转作图： 旋转作图关键有两点： ①旋转方向，②旋转角度.主要分四步： 边、转、截、连.旋 转 就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改 变的，即对应点与旋转中心距离相等. 二：小试牛刀 1 ?平移是由 ______________________________________________ 所决定。 2. 平移不改变图形的 ____________和 __________ ，只改变图形的. 3. 钟表的分针匀速旋转一周需要 _____ 60分，它的旋转中心是 O ,经过20分，分针旋 度。 90 ° ①厶 AED N AEF ;② BE DC DE ③S ^ ABE + S ^ ACD >SA AED ④ BE 2 DC 2 DE 2 :例题讲解 ，将△ O 连接EF ,下列结论，其中正确的是 ADC 绕点A 顺时针旋转90后，得到△ AFB ,
考点达标训练30 数据的分析 平均数、众数和中位数(数据的代表) 1. (2014·江苏盐城)数据－1，0，1，2，3的平均数是( ) A.－1 B. 0 C. 1 D. 5 2. (2015·浙江丽水)某小组7位学生的中考体育测试成绩(满分30分)依次为27，30，29，27，30，28，30，则这组数据的众数与中位数分别是( ) A. 30，27 B. 30，29 C. 29，30 D. 30，28 3. (2015·湖南益阳)某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示： 劳动时间(h)3 3.54 4.5 人数1121 关于“劳动时间”的这组数据，下列说法正确的是( ) A. 中位数是4，平均数是3.75 B. 众数是4，平均数是3.75 C.中位数是4，平均数是3.8 D. 众数是2，平均数是3.8 4. (2015·浙江衢州)某班七个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，6，7.已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. (2015·浙江温州)某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面
进行量化考核．甲、乙、丙的各项得分如下表所示： 笔试面试体能 甲837990 乙858075 丙809073 (1)根据三项得分的平均分从高到低，确定三名应聘者的排名顺序． (2)该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用． 极差、方差和标准差(数据的波动) 6. (2015·湖南常德)某村引进甲、乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550 kg/亩，方差分别为S甲2＝141.4，S乙2＝433.3，则产量稳定，适合推广的品种为( ) A. 甲、乙均可 B. 甲 C. 乙 D. 无法确定 7. (2015·浙江湖州)已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是( ) A. 9 B. 3 C. 3 2 D. 3 8. (2015·湖北孝感)某村小为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了
旋转及综合专题 一、旋转相关定义 1、定义：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转 动的角叫做旋转角。 2、如果图形上的点 P 经过旋转变为 P 1 ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。 3、（1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后图形全等。 4、把一个图形绕着某一点旋转180? ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于 这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。 5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分； （2）关于中心对称的两个图形是全等图形。 6、把一个图形绕着某一点旋转180? ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形 叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 二、旋转相关结论 如 图 ， 将 ?ABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 α 角 到 ?AB 1C 1 。点 B 和点 B 1 为对应点，点 C 和C 1 为对 应点。 结论 1：旋转中心为对应点所连线段垂直平分 线的交点，也即对应点所连线段的垂直平分线 均经过旋转中心。如图，线段 BB 1 的垂直平分 线l 1 、线段CC 1 的垂直平分线l 2 都经过旋转中心 点 A 。利用这个结论我们可以利用对应点坐标 求出旋转中心的坐标。由于对应点所连线段的 垂直平分线均经过旋转中心，因此只需求出两 组对应点所连线段的垂直平分线解析式，然后 联立即可求出旋转中心坐标。 结论 2：对应点与旋转中心所构成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角α。 如图， ?ABB 1 和 ?ACC 1 均为等腰三角形， ∠BAB 1 = ∠CAC 1 = α。
2009中考数学第一轮复习 平移与旋转专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 26 分） １、平移由移动的＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿所决定。 ２、线段CD 是由AB 平移得来的，已知AB ＝3cm ，则CD ＝ ＿＿＿＿cm 。 ３、如图，△ABC 平移后得到△DEF ，若BE ＝4cm ，EC ＝3cm ， 则平移的距离是＿＿＿＿。 ４、已知A 、B 两点关于O 点成中心对称，若AO ＝3cm ， 则BO ＝＿＿＿＿cm 。 ５、如图，将△ABC 平移到△DEF 的位置，则BC ∥＿＿＿＿。 第3题 第5题 第8题 ６、电风扇的叶片转动＿＿＿＿°后能与自身重合。 ７、根据生活实际举一个平移的实例： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ８、Rt △ABC 绕着B 点旋转90°后得到△EBD ，则AC 与ED 的位置关系是＿＿＿＿＿＿。 ９、如图，△ABC 是等边三角形，且△ABE ≌△ACD ，则我们可以将△ACD 看做是△ABE 绕＿＿＿点，逆时针旋转＿＿＿度而得到的。 10、将一图形沿着正北方向平移 5cm 后，再沿着正西方向平移 5cm ，这时图形在原来位置的＿＿＿＿方向上。 11、平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是＿＿＿＿＿＿＿＿。 12、把△ABC 绕着点C 顺时针旋转35°，得到△A'B'C'，A'B'交AC 于点D ，若∠A'DC ＝90°，则∠A 的度数是＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、在下列现象中，是平移现象的是（ ） ①方向盘的转动 ②电梯的上下移动 ③保持一定姿势滑行 ④钟摆的运动 A 、①② B 、②③ C 、③④ D 、①④ ２、右图是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合， 至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为（ ） A 、30° B 、60° C 、120° D 、180° A D E C F B A B C D E F A B D C E
八年级下-平移和旋转培优训练题-含详细答案
H 平移和旋转培优训练题 １、如图, 所给的图案由ΔABC 绕点O 顺时针 旋转( )前后的图形组成的。 A. 450 、 900 、1350 B. 900、1350、1800 C.450、900、1350、1800 D.450、1800、2250 2、将如图1所示的Rt △ABC 绕直角边BC 旋转一周，所得几何体的左视图是（ ） 3、如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m 、n ，那么?AEG 的面积的值 （ ） A ．与m 、n 的大小都有关 B 的大小都无关
C ．只与m 的大小有关 D ．只与n 的大小有关 4、如图，线段AB =CD ，AB 与CD 相交于点O ，且0 60AOC ∠=，CE 由AB 平移所得，则AC +BD 与 AB 的大小关系是：（ ） A 、AC BD A B +< B 、A C B D AB += C 、AC BD AB +≥ D 、无法确定 O B C E D A P A B D （第4题图） （第5题图） （第6题图）
5、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转0 30到正方形/// AB C D ，则图中阴影部分面积 为（ ） A 、13 - B 、3 C 、14- D 、12 6、如图，点P 是等边三角形ABC 内部一点， ::5:6:7 APB BPC CPA ∠∠∠=，则以PA 、PB 、PC 为边的三 角形的三内角之比为（ ） A 、2：3：4 B 、3：4：5 C 、4：5：6 D 、 不能确定 7、如图，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到1 1 AB C △． （1）在正方形网格中，作出1 1 AB C △；（不要求写 作法） （2）设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表
第八章 数据的代表精编小测卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1、期中考试后，学习小组长算出全组5位同学数学的平均分为M ，如果把M 当成另一个同学的分数，与原来的5个分数一起算出6个人分数的平均值为N ，那么M ：N 为（ ） A. 6 5 B.1 C. 5 6 D.2 2、已知54321x x x x x ，，，，的平均数是a ，1576x x x ，，，?的平均数是b ，则1521x x x ，，，?的平均数是（ ） A. )(2 1b a + B. )(15 1 b a + C. )105(15 1 b a + D. ) 155(20 1b a + 3、某商店选用每千克28元的A 型糖果3kg ，每千克20元的B 型糖果2kg ，每千克12元的C 型糖果5kg ，混合成杂拌糖后出售，则杂拌糖平均每千克售价应为（ ） A.20元 B.18元 C.19.6元 D.18.4元 4、在一次电脑汉字输入比赛中，八年级（1）班24名男生平均每人每分钟输入汉字86个，26名女生平均每人每分钟输入汉字98个，则这个班平均每人每分钟输入汉字（ ） A.92个 B.92.24个 C.91.76个 D.92.06个 5、10名男生的平均体重是65kg ，2名女生的平均体重是53kg ，那么这12名学生的平均体重是（ ） A.60kg B.63kg C.58kg D.59kg 6、某校12名同学参加今年全国初中数学竞赛，其中8名男同学的平均成绩为85分，4名女同学的平均成绩为76分，则这12名同学的平均成绩为（ ） A.85分 B.80.5分 C.76分 D.82分 7、一个班40人，数学老师第一次统计这个班的数学平均成绩为83分，在复查时，发现漏记了一个学生的成绩80分，那么这个班学生的实际平均成绩应为（ ） A.83分 B.85分 C.81分 D.87分 8、在一次数学考试中，第一小组10名学生的成绩与全班平均成绩88分的差分别为：2，-1，0，-5，-6，10，8，2，3，-3，这个小组的平均成绩是（ ） A.90 B.89 C.88 D.86 9、如果一组数 5 4321x x x x x ，，，，的平均数是 x ，则另一组数432154321++++x x x x x ，，，，的平均数是（ ） A.x B.2+x C.2 5+ x D.10+x 10、若数据11121+?++n x x x ，，的平均数为10，则对于数据33321+?++n x x x ，，，下列 结论正确的是（ ） A.平均数为10 B.平均数为11 C.平均数为12 D.平均数不能确定 11、某次歌咏比赛中，选手张华的唱功、音乐常识、综合知识分别得了90分、80分、85分，若这三项按5：3：2的比例计算平均分，则张华的平均分是（ ） A.80分 B.85分 C.86分 D.87分 12、一组数据由五个正整数组成，中位数是3，且唯一众数是7，则这五个正整数的平均数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 二、填空题（每空2分，共40分） 13、某次数学测验中，五位同学的分数分别是：89、91、105、110.这组数据中的中位数是______，众数是______，平均数是_______. 14、一组数1，a ，3，6，7的平均数是4，则这组数的中位数是_______. 15、甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中进球数分别为9，9，x ，7，在这组数中，众数与平均数恰好相等，则这组数的中位数为________. 16、如果将23，24，25，26依次写15遍，得到由60个数字组成的一组数据，这组数据的平均数是_________.中位数是_________.众数是________. 17、将30个数分别减去300后，得到的一组新数据的平均数是4，那么原30个数据的和是____. 18、一段山路上山约400m ，1人上山每分钟走50米，下山每分钟走80米，那么此人上山下山的平均速度为________. 19、有20个数的平均数是15，另外10个数的平均数是18，那么这30个数的平均数是______. 20、一人往返两地，去时速度为a 千米/时，（按原路返回）返回时速度为b 千米/时，则这人的平均速度为______。 21、一人往返两地，去时花了a 时，（按原路返回）返回时花了b 时，则这人的平均速度为______。
九年级旋转专题复习 1．下列图案既是中心对称，又是轴对称的是（ ） A B C D 2．已知点A 的坐标为()a b ，，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90得1OA ，则点1A 的坐标为（ ） A ．()a b -， B ．()a b -， C ．()b a -， D ．()b a -， 3．下面图形：四边形，三角形，正方形，梯形，平行四边形，圆，从中任取一个图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为 ． 4．如图，把面积为1的正方形纸片ABCD 放在平面直角坐标系中， 点B 、C 在x 轴上，A 、D 关于y 轴对称，将C 点折叠到y 轴上的C′，折痕BP ，则经过P 点反比例函数的解析式为 ． 5．（1）点（2，4）绕点（0，2）顺时针旋转90°得到的点的坐标是 . （2）直线y=2x 绕点（0，2）顺时针旋转90°得到的直线解析式是 . (3) 求直线y=2x+2绕点（0，2）顺时针旋转90°得到的直线的解析式是 . 6．如图，已知ABC △: （1）AC 的长等于_______． （2）若将ABC △向右平移2个单位得到A B C '''△， 则A 点的对应点A '的坐标是_____； （3）若将ABC △绕点C 按顺时针方向旋转90后得到 ?A 1B 1C 1，则A 点对应点A 1的坐标是_________． 7. 正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，Q 为CD 上任意一点， AQ 交BD 于M ，过M 作MN ⊥AM 交BC 于N ，连AN 、QN. 下列结论：①MA ＝MN ；②∠AQD ＝∠AQN ； ③ABNQD AQN S S 五边形2 1 = ?； ④AQ.MN=QN.CD 。其中正确的结论有（ ） （A ）①②③④. （B ）只有①③④. （C ）只有②③④. （D ）只有①②. 8．如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°， 将△ADC 绕点A 顺时针旋转90?后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论： ①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ≌△ACD ； ③BE DC DE +=； ④2 22BE DC DE += 其中正确的是 【 】 (第8题图） A B C D E F 12题 Q N M D O C B A
图形的平移和旋转培优 训练A 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
图形的平移和旋转A 例1. 已知：如图，E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，AF 平分∠EAD 交CD 于点F ，说明AE ＝BE ＋DF 的理由。 例2. 在△ABC 的边BC 上，取两点D 、E ，使BD ＝CE ，观察AB ＋AC 与AD ＋AE 的大小关系。 例3.如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，?以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连结CQ ． （1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论． （2）若PA ：PB ：PC =3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由． 变式训练：1、如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA =1，PB =2，PC =3，求 ∠APB 的度数． 2、已知：正方形ABCD 中，∠MAN =45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时（如图1），易证BM +DN =MN ． （1）当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． （2）当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？并说明理由． 3、已知Rt △ABC 中，?=∠ 90ACB ，CB CA =，∠MCN 为?45。 （Ⅰ）如图①，当M 、N 在AB 上时，求证：222BN AM MN +=； （Ⅱ）如图②，将∠MCN 绕C 旋转，当M 在BA 的延长线上时，关系式222BN AM MN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 4、如图所示，A 、B 两村之间有一条河，河宽为a ，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，（Ⅰ）要 使AB 两村路程最近，请确定修桥的地点。（Ⅱ）桥建在何处才能使AB 两村到桥的距离相等？ 4．如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF 、M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上。 A B C D P M B C N 图3 A D B C N M 图2 A D B C N M 图1 A D A B D C E F M N
人教版九年级上册数学 旋转几何综合专题练习（word 版 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2 y ax bx c =++的顶点是A(1，3)，将OA 绕点O 顺时针旋转90?后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与 OAB ?的边分别交于M ，N 两点，将AMN ?以直线MN 为对称轴翻折，得到A MN '?． 设点P 的纵坐标为m ． ①当A MN '?在OAB ?内部时，求m 的取值范围； ②是否存在点P ，使' 5 6 A MN OA B S S ?'?=,若存在，求出满足m 的值；若不存在，请说明理 由． 【答案】()2 1y x 22x =-++；（2）①433 m <<；②存在，满足m 的值为619-或 639 -． 【解析】 【分析】 （1）作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，然后证明△AOD ≌△BOE ，则AD=BE ，OD=OE ，即可得到点B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式； （2）①由点P 为线段AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P 与点A 重合时；点P 与点C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案； ②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时；当点M 在线段OB 上，点N 在AB 上时；先求出直线OA 和直线AB 的解析式，然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m 的值． 【详解】