一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）请问EG与CG存在怎样的数量关系，并证明你的结论；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（请直接写出结果，不必写出理由）
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）结论仍然成立
【解析】
【分析】
（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．
（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明
△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．
（3）结论依然成立．
【详解】
（1）CG=EG．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF=90°．在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=1
2
FD，
同理．在Rt△DEF中，EG=1
2
FD，∴CG=EG．
（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．
证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG=CG；
在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG （ASA），∴MG=NG．
∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，∴四边形AENM是矩形，在矩形AENM中，AM=EN．在△AMG与△ENG中，∵AM=EN，∠AMG=∠ENG，MG=NG，∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG=EG，∴EG=CG．
证法二：延长CG至M，使MG=CG，连接MF，ME，EC．在△DCG与△FMG中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG，∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，
∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF．
在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=CB，∠MFE=∠EBC=90°，EF=BE，∴△MFE≌△CBE
∴∠MEF=∠CEB，∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，∴△MEC为直角三角形．
∵MG=CG，∴EG=1
MC，∴EG=CG．
2
（3）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．
由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证
∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC
∵∠FEC+∠BEC=90°，∴∠FEC+∠FEM=90°，即∠MEC=90°，∴△MEC是等腰直角三角形．∵G为CM中点，∴EG=CG，EG⊥CG
【点睛】
本题是四边形的综合题．（1）关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答；（2）关键是利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质解答．
2．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．
①求证：四边形BFDE是菱形；
②直接写出∠EBF的度数；
(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；
(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.
【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH ＝
3FH ；（3）EG 2＝AG 2+CE 2． 【解析】 【分析】
（1）①由△DOE ≌△BOF ，推出EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ＝ED 即可．
②先证明∠ABD ＝2∠ADB ，推出∠ADB ＝30°，延长即可解决问题． （2）IH ＝3FH ．只要证明△IJF 是等边三角形即可．
（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，先证明△DEG ≌△DEM ，再证明△ECM 是直角三角形即可解决问题． 【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，OB ＝OD ， ∴∠EDO ＝∠FBO ， 在△DOE 和△BOF 中，
EDO FBO OD OB
EOD BOF ∠∠??
??∠∠?
＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ， ∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ， ∴四边形EBFD 是平行四边形， ∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ， ∴EB ＝ED ，
∴四边形EBFD 是菱形． ②∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠EBD ， ∵EB ＝ED ， ∴∠EBD ＝∠EDB ， ∴∠ABD ＝2∠ADB ，
∵∠ABD +∠ADB ＝90°， ∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°， ∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°， ∴∠EBF ＝60°． （2）结论：IH
＝3FH ．
理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．
∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°， ∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ， ∴∠JDH ＝∠FGH ， 在△DHJ 和△GHF 中，
DHG GHF DH GH
JDH FGH ∠∠??
??∠∠?
＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ， ∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ， ∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ， ∴BE ＝IM ＝BF ， ∵∠MEJ ＝∠B ＝60°， ∴△MEJ 是等边三角形， ∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60° 在△BIF 和△MJI 中，
BI MJ B M BF IM ??
∠∠???
＝＝＝， ∴△BIF ≌△MJI ，
∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ， ∴IH ⊥JF ，
∵∠BFI +∠BIF ＝120°， ∴∠MIJ +∠BIF ＝120°， ∴∠JIF ＝60°， ∴△JIF 是等边三角形，
在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°， ∴∠FIH ＝30°，
∴IH ＝
3FH ．
（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．
理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，
∵∠FAD +∠DEF ＝90°， ∴AFED 四点共圆，
∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°， ∴∠ADF +∠EDC ＝45°， ∵∠ADF ＝∠CDM ，
∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ， 在△DEM 和△DEG 中，
DE DE EDG EDM DG DM ??
∠∠???
＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ， ∴GE ＝EM ，
∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ， ∴∠ECM ＝90° ∴EC 2+CM 2＝EM 2， ∵EG ＝EM ，AG ＝CM ， ∴GE 2＝AG 2+CE 2． 【点睛】
考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.
3．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：
如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）． 问题探究：
把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．
(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)记
AC
BC
＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）
【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 为3
3
时，CPE 总是等边三角形 【解析】 【分析】
（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有
EM FP
MC PB
=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ． （2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．
（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC
BC
=tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可． 【详解】
解：（1）PC=PE 成立，理由如下：
如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴
EM FP
MC PB
=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；
（2）PC=PE 成立，理由如下：
如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中 ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ， ∴△DAF ≌△EAF （AAS ）， ∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中， ∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ， ∴△DAP ≌△EAP （SAS ）， ∴PD=PE ，
∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ， ∴FD ∥BC ∥PM ， ∴
DM FP
MC PB
=， ∵点P 是BF 的中点， ∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ， ∴PC=PD ，又∵PD=PE ， ∴PC=PE ；
（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵
AC k BC =，AC
BC
=tan30°， ∴k=tan30°=3
∴当k 为
3
3
时，△CPE 总是等边三角形．
【点睛】
考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．
4．已知Rt△DAB中，∠ADB=90°，扇形DEF中，∠EDF=30°，且DA=DB=DE，将Rt△ADB的边与扇形DEF的半径DE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形DEF绕点D按顺时针方向旋转，得到扇形DE′F′，设旋转角为α（0°＜α＜180°）
（1）如图2，当0°＜α＜90°，且DF′∥AB时，求α；
（2）如图3，当α=120°，求证：AF′=BE′．
【答案】（1）15°；（2）见解析．
【解析】
试题分析：（1）∵∠ADB=90°，DA=DB，∴∠BAD=45°，∵DF′∥AB，
∴∠ADF′=∠BAD=45°，∴α=45°﹣30°=15°；
（2）∵α=120°，∴∠ADE′=120°，∴∠ADF′=120°+30°=150°，∠BDE′=360°﹣90°﹣
120°=150°，∴∠ADF′=∠BDE′，在△ADF′和△BDE′中，，
∴△ADF′≌△BDE′，∴AF′=BE′．
考点：①旋转性质；②全等三角形的判定和性质．
5．在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________；
（2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．
【答案】（1）30°；（2）30°；（3）α=120°-m°，α=60°或α=240-m°.
【解析】
试题分析：（1）由∠BAC=100°，AB=AC，可以确定∠ABC=∠ACB=40°，旋转角为α，α=60°时△ACD是等边三角形，且AC=AD=AB=CD，知道∠BAD的度数，进而求得∠CBD的大小.（2）由∠BAC=100°，AB=AC，可以确定∠ABC=∠ACB=40°，连结DF、BF．AF=FC=AC，
∠FAC=∠AFC=60°，∠ACD=20°，由∠DCB=20°案．依次证明△DCB≌△FCB，
△DAB≌△DAF．利用角度相等可以得到答案．
（3）结合（1）（2）的解题过程可以发现规律，求得答案．
试题解析：（1）30°；（2）30°；
（2）如图作等边△AFC，连结DF、BF．
∴AF=FC=AC，∠FAC=∠AFC=60°．
∵∠BAC=100°，AB=AC，∴∠ABC=∠BCA=40°．
∵∠ACD=20°，∴∠DCB=20°．
∴∠DCB=∠FCB=20°．①
∵AC=CD，AC=FC，∴DC=FC．②
∵BC=BC，③
∴由①②③，得△DCB≌△FCB，
∴DB=BF，∠DBC=∠FBC．
∵∠BAC=100°，∠FAC=60°，∴∠BAF=40°．
∵∠ACD=20°，AC=CD，∴∠CAD=80°．∴∠DAF=20°．
∴∠BAD=∠FAD=20°．④
∵AB=AC，AC=AF，∴AB=AF．⑤
∵AD=AD，⑥
∴由④⑤⑥，得△DAB≌△DAF．∴FD=BD．∴FD=BD=FB．∴∠DBF=60°．∴∠CBD=30°．
（3）α=120°-m°，α=60°或α=240-m°．
考点：1.全等三角形的判定和性质；2.等边三角形的判定和性质．
6．已知：一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，以B为旋转中心，将△BOA逆时针旋转，得△BCD（其中O与C、A与D是对应的顶点）.
（1）求AB的长；
（2）当∠BAD=45°时，求D点的坐标；
（3）当点C在线段AB上时，求直线BD的关系式.
【答案】（1）5；（2）D（4，7）或（-4，1）；（3）
【解析】
试题分析：（1）先分别求得一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标，再根
据勾股定理求解即可；
（2）根据旋转的性质结合△BOA的特征求解即可；
（3）先根据点C在线段AB上判断出点D的坐标，再根据待定系数法列方程组求解即可.（1）在时，当时，，当时，
∴；
（2）由题意得D（4，7）或（-4，1）；
（2）由题意得D点坐标为（4，）
设直线BD的关系式为
∵图象过点B（0，4），D（4，）
∴，解得
∴直线BD的关系式为.
考点：动点的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
7．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将
△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM ＝BD，EN＝CE，得到图③，请解答下列问题：
(1)若AB＝AC，请探究下列数量关系：
①在图②中，BD与CE的数量关系是________________；
②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；
(2)若AB＝k·AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证
明．
【答案】（1）①BD=CE；
②AM=AN，∠MAN=∠BAC 理由如下：
∵在图①中，DE//BC，AB=AC
∴AD="AE."
在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE.
∴BD=CE，∠ACE=∠ABD.
在△DAM与△EAN中，
∵DM=BD，EN=CE，BD=CE，∴DM=EN，∵∠AEN=∠ACE+∠CAE，
∠ADM=∠ABD+∠BAD，∴∠AEN=∠ADM.
又∵AE=AD，∴△ADM≌△AEN.∴AM=AN，∠DAM=∠EAN.∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴AM=AN，∠MAN=∠BAC.
（2）AM=kAN，∠MAN=∠BAC.
【解析】
（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；
②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，
DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．
（2）直接类比（1）中结果可知AM=k?AN，∠MAN=∠BAC．
8．如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，22，10.△ADP沿点A旋转至△ABP′，连接PP′，并延长AP与BC相交于点Q.
(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；
(2)求∠BPQ的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPQ=45°．
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，因为
∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三角形；
（2）根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形，再根据平角定义求出结果.【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，
∴AP=AP′，∠PAP′=∠DAB=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形；
（2）∵△APP′是等腰直角三角形，
∴
，∠APP′=45°，
∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，
∴
，
在△PP′B中，，，，
∵
）2+（2=）2，
∴PP′2+PB2=P′B2，
∴△PP′B为直角三角形，∠P′PB=90°，
∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及逆定理的综合运用，有一定难度，关键是明确旋转的不变性．
A B C D E 固始三中八年级上期《全等三角形》数学培优作业 （考查内容：边角边） 命题人：吴全胜1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF。 2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF． 求证：△ABE≌△CDF． 3、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE 4、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知：如图，AD∥BC，CB AD=。求证：CBA ADC? ? ?。 6、已知：如图，AD∥BC，CB AD=，CF AE=。求证：CEB AFD? ? ?。 7、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DB AC=，DF AE=，AD EA⊥，AD FD⊥，垂足分别是A、D。求证：FDC EAB? ? ?
8、已知：如图，AC AB=，AE AD=，2 1∠ = ∠。求证：ACE ABD? ? ?。 9、如图，在ABC ?中，D是AB上一点，DF交AC于点E，FE DE=，CE AE=， AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。 10、已知：如图，DBA CAB∠ = ∠，BD AC=。求证∠C=∠D 11、已知：如图，AC和BD相交于点O，OC OA=，OD OB=。 求证：DC∥AB。 12、已知：如图，AC和BD相交于点O，DC AB=，DB AC=。求证：C B∠ = ∠。 13、已知：如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE． 求证：(1)BD=FC (2)AB∥CF 14、已知: 如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D．求证：BD=CD． 15、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证： BE=AD D C A B E
菱形的判定专项练习30题（有答案） 1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长． 2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD． 求证：BC=2DN． 3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点． （1）求证：四边形AEDF是菱形； （2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长． 4．如图，在?ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F； （2）?ABCD是菱形． 菱形的判定--- 1
5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：AF=DC； （2）若∠BAC=90°，求证：四边形AFBD是菱形． 6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形． 7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE． （1）求证：四边形ADCE是菱形． （2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？ 8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形． 9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作?ADFE交BC于点G，H，且EH=EC． 求证：（1）∠B=∠C； （2）?ADFE是菱形． 菱形的判定--- 2
全等三角形证明题专练 1、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 2、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 3、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 A E D C B A B C D E F O
4、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 5、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。 （１） 请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。 你添加的条件是：________ ___ （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： ______________（不再添加其他线段，不再标注或使用 其他字母，不必写出证明过程） 6、已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 F E D C A B G H A B C D E F
7、已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A’B’C’。 8、已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F 。求证：OE=OF 。 A B C D E F O 9、已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。 O B A C D E A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4
第10章《轴对称、平移与旋转》培优习题2：平 移 考点1：平移变化 例1、如图，A 、B 、C 、D 四个图案中可以由左图平移得到的是（ ） 【同步练习】 1、2019年10月18日，第七届军人运动会在武汉举行，如图是第七届运动会的吉祥物兵兵，下列图案中，是通过图平移得到的图案是（ ） 2、下列图形中，哪一幅可以由第一幅图平移得到（ ） 考点2：平移的性质 例2、为构建和谐校园，营造良好的教育范围，某学校服在如图所示的长方形草坪上修建甬道， 道路的宽忽略不计，若草坪周长为320m ，则道路的总长为（ ） A 、120m B 、160m C 、240m D 、 320m 【同步练习】如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台阶上铺上一块红地毯，问这 块红地毯至少需要（ ） 例题 2 图 8m 5m 10m 同步练习 A B C D A B C D A B C D 考点汇编
A 、23平方米 B 、90平方米 C 、130平方米 D 、120平方米 例3、如图，将ABC ?沿BC 方向平移1cm 得到DEF ?，若ABC ?的周长为8cm ，则四边形 ABFD 的周长为（ ） A 、8cm B 、9cm C 、10cm D 、11cm 【同步练习】 1、如图，DAF ?沿直线AD 平移得到CDE ?，CE ，AF 的延长线交于点BA 。若?=∠111AFD ，则=∠CED （ ） A 、110° B 、111° C 、112° D 、113° 2、如图，将ABC ?水平向右平移至DEF ?的位置，点B ，E ，F 在同一直线上，已知6=BF ， 1=CE ，则_________=BE . 例4、将ABC Rt ?沿边向右平移得到DEF Rt ?，8=AB ，6=BE ，3=DG ，求阴影部分的面 积。 【同步练习】 1、如图，将ABC ?沿直线AB 向右平移后到达BDE ?的位置，连接CD 、CE ，若ACD ?的面积为10，则BCE ?的面积为（ ） A 、5 B 、6 C 、10 D 、4 2、如图，将ABC ?沿BC 方向平移一定距离得到三角形DEF ，若8=AB ，3=BE ，2=DG ，则图中阴影部分面积为 . 例5、如图，已知两条射线CN OM //，动线段AB 的两个端点A ，B 分别在射线OM ，CN 上， 且?=∠=∠108OAB C ，点E 在线段CB 上，OB 平分AOE ∠、 （1）图中有哪些与AOC ∠相等的角？并说明理由； （2）若平移AB ，那么OBC ∠与OEC ∠的度数比是否随着AB 位置变化而变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值。 【同步练习】 如图，已知直线CD AB //，?=∠=∠100C A ，E ，F 在CD 上，且满足ABD DBF ∠=∠，BE 平 例题4图 同步练习 1 同步练习2 B 例题3图 C E A F D B 同步练习1 C E B F D 同步练习2 C E A F D B
- - 优质资料 绝密★启用前 乐学教育菱形证明专题训练 1. 已知:如图,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,E ,F 为对角线AC 上两点,且AE =CF ,DF ∥BE ,AC 平分∠ BAD.求证:四边形ABCD 为菱形. 【答案】∵AB ∥CD , ∴∠BAE =∠DCF. ∵DF ∥BE , ∴∠BEF =∠DFE , ∴∠AEB =∠CFD. 又∵AE =CF , ∴△AEB ≌∠CFD , ∴AB =CD. ∵AB ∥CD , ∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵AC 平分∠BAD , ∴∠BAE =∠DAF. 又∠BAE =∠DCF , ∴∠DAF =∠DCF , ∴ AD =CD , ∴四边形ABCD 是菱形. 2. 如图，矩形ABCD 中，点O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连 接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO .若∠COB =60°，FO =FC . 求证: (1)四边形EBFD 是菱形; 【答案】连接OD .∵点O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点， ∴B ,D , O 三点共线且BD =DO =CO =AO . 在矩形ABCD 中，AB ∥DC ，AB =DC ，∴∠FCO =∠EAO . 在△CFO 和△AEO 中，
第2页共20页※ ※ 请 ※ ※ 不 ※ ※ 要 ※ ※ 在 ※ ※ 装 ※ ※ 订 ※ ※ 线 ※ ※ 内 ※ ※ 答 ※ ※ 题 ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ ※ .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . 外 .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . 装 .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . 订 .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . 线 .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. . o .. .. .. .. .. .. .. o .. .. .. .. .. .. .. o .. .. .. .. .. .. .. o .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ∴△CFO≌△AEO，∴FO=EO. 又∵BO=DO，∴四边形BEFD是平行四边形. ∵BO=CO，∠COB=60°， ∴△COB是等边三角形.∴∠OCB=60°. ∴∠FCO=∠DCB-∠OCB=30°. ∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°. ∴∠FOB=∠FOC+∠COB=90°. ∴EF⊥BD.∴平行四边形EBFD是菱形. (2)MB∶OE=3∶2. 【答案】∵BO=BC，∴点B在线段OC的垂直平分线上. ∵FO=FC，∴点F在线段OC的垂直平分线上. ∴BF是线段OC的垂直平分线. ∴∠FMO=∠OMB=90°. ∴∠OBM=30°.∴OF=BF. ∵∠FOC=30°，∴FM=OF. ∴BM=BF-MF=2OF-OF=OF. 即FO=EO，∴BM∶OE=3∶2. 3. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC边上的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.求证:四边形BGFD是菱形. 【答案】∵FG∥BD,BD=FG,∴四边形BGFD是平行四边形. ∵CF⊥BD,AG∥BD,∴CF⊥AG.又∵∠ABC=90°,点D是AC的中点,∴BD=DF=AC, ∴平行四边形BGFD是菱形.
1 、如图，三角形ABC 内任一点P ，连接PA 、PB 、PC ， 求证：1/2（AB+BC+AC ）
8、如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠ C ＝60°，求∠DAC 及∠BOA ． 9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。 （1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小，并 说明理由。 C B A P 图① （2）将（1）中点P 移至△ABC 内，得图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 图② （3）将（2）中点P 变为两个点P 1、P 2得图③，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 1P 2 图③ （4）将（3）中的点P 1、P 2移至△ABC 外，并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧，且∠P 1BC ＜∠ABC ，∠P 2CB ＜∠ACB ，得图④，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 图④ C B A P 1P 2
图形的平移和旋转培优训 练A Prepared on 22 November 2020
图形的平移和旋转A 例1. 已知：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分∠EAD交CD于点F，说明AE＝ BE＋DF的理由。 例2. 在△ABC的边BC上，取两点D、E，使BD＝CE，观察AB＋AC与AD＋AE的大小关 系。 例3.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，?以BP为边作∠PBQ=60°，且 BQ=BP，连结CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论． （2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并 说明理由． 变式训练：1、如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求 ∠APB的度数． 2、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它 的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如 图1），易证BM+DN=MN． P A B Q C A B C D P
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系写出猜想，并加以证明． （2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系并说明理由． 3、已知Rt△ABC中，? = ∠90 ACB，CB CA=，∠MCN为? 45。 （Ⅰ）如图①，当M、N在AB上时，求证：2 2 2BN AM MN+ =； （Ⅱ）如图②，将∠MCN绕C旋转，当M在BA的延长线上时，关系式2 2 2BN AM MN+ =是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 4、如图所示，A、B两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，（Ⅰ）要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。（Ⅱ）桥建在何处才能使AB两村到桥的距离相等 M B C N 图3 A D B C N M 图2 A D B C N M 图1 A D
矩形、菱形与正方形专题训练(含答案) 班级________姓名________成绩________ 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°， 则矩形ABCD的面积是( ) A．12 B．24 C．12 3 D．163 第1题图第2题图第3题图第4题图 2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．17 3．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE， 则四边形ADCF一定是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6．如图，?ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( ) A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm 第6题图第9题图第10题图 7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( ) A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1 8．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等 腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( ) A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤ 9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋ S2的值为( ) A．16 B．17 C．18 D．19 10．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD的面积 为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( )
全等三角形培优经典题
全等三角形培优习题 1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）直接写出线段EG与CG的数量关系； （2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ A D E G 图1 F A D C G 图2 F A E 图3 D
2、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E是边BC的中点．90 AEF ∠=o，且EF交正方 形外角DCG ∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的 中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A D F C G E 图A D F C G E 图 A D F C G E B 图
E D F C B A 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
矩形和菱形专题拔高训练 例1：如图，矩形ＡBCD中,E是AD上一点，F是AB上一点,EF＝EC，且EF⊥ＥＣ，ＤＥ=２cm，矩形ABＣD周长为1６ｃｍ，求AE及CＦ的长。 分析与解答： 例2：矩形ＡBCD，E、F分别在ＢC、AD上，且ＥF垂直平分AC于Ｏ, （1）求证：四边形ＡECF为菱形; （2）若AD=8，AB＝6,求AE的长。 分析与解答: 例３:如图：以△AＢC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△AＢD、△BCＥ、△ＡCＦ.请回答下列问题：（１）四边形ADEF是什么四边形?（２)当△ＡBC满足什么条件时，四边形AＤEＦ是矩形？（3）当△AＢＣ满足什么条件时,以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？(不要求证明) 分析与解答: --
-- 例4：如图，矩形ABCG 中，点Ｄ是AG 的中点,点Ｅ是A Ｂ上一点，且BE ＝BC ，D Ｅ⊥DC ，CE 交BD 于F, （1）求证:BD 平分∠CDE ； （2） 求EF EA 的值。 分析与解答: 例5：如图；矩形ＡＢC Ｄ中，点Ｈ在对角线BD 上，HC ⊥BD,ＨC 的延长线交∠BAD 的平分线于点Ｅ,说明CE 与ＢＤ的数量关系。 分析与解答： 例６:如图,在△A ＢC 中，∠A 、∠B 的平分线交于点D,DE ∥AC 交BC 于点E ，ＤF ∥BC 交ＡＣ于点F 。 （1）点Ｄ是△ABC 的________心; （2）求证：四边形DEC Ｆ是菱形。 分析与解答：
1.填空题 （1）如图，Ｐ是矩形ＡBCD内一点,PＡ=３,ＰD＝4，PＣ=５，则PB=_＿_＿＿_. （2）若矩形的两邻边之比是3：4，周长为42cm,则它的边长分别是＿______． （3）矩形的对角线相交成120角，其较短边长4ｃm,则对角线长__＿___cｍ. （4）在矩形AＢCＤ中，点E为AB边的中点，且ＤE⊥CE，若矩形的周长为30，则AB=_＿_＿___, AD=＿＿___＿_. （5）从矩形的一个顶点向对角线引垂线，此垂线分对角线所成的两部分比为1:3，已知两对角线交点到矩形较长边的距离为3.６cm，则矩形的对角线长为＿___. （6）已知，如图△ABC中,BC=15，Ｅ、F分ＢＣ为三等分点,AＥ=13，AF＝12,G、Ｈ分别为AＣ、AＢ的中点,则四边形EFGＨ的周长为＿____，面积为______. （7）如图，在矩形AＢCD中,横向阴影部分是矩形,另一阴影部分是平行四边形,依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积,其面积是＿＿_＿__． 第6题第７题 （8）如图,矩形ABＣD面积为5,它的两条对角线交于点O1,以AＢ、AO１为两邻边作平行四边形AＢC１O１，平行四边形ABC1O1,的对角线交于O２,同样以AB、AO2为两邻边作平行四边形ABＣ２O2，……依此类推，则平行四边形ＡBCｎＯｎ的面积为＿__＿__. （9）如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形ＥＦGH，若EH＝3,ＥF=4，则边AD的长为＿______. 第8题第9题 （10）如图,矩形纸片ABCＤ，AB＝2,点E在BC上，且AＥ=EC.若将纸片AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长为_______． （11）如图,矩形AＢCD，ＡB=２,ＢＣ=3，对角线AC的垂直平分线交AＤ，BC于E、F,连接CE,则CＥ长＿＿_＿_＿__. 第1０题第11题 --
等腰三角形培优提高试题
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一．选择题（共6小题） 1．已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或15 2．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线且相交于点F，则图中的等腰三角形有（） A．6个B．7个C．8个D．9个 （第2题）（第3题）（第4题） 3．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、 A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2 5．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10 6．如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（） A．当∠B为定值时，∠CDE为定值B．当∠α为定值时，∠CDE为定值 C．当∠β为定值时，∠CDE为定值D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值 二．填空题（共8小题） 7．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成2：1两部分，已知三角形底边长为5cm，
则腰长为cm． 8．如图，在△ABC中，EG∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，AB=10，AC=12，△AEG的周长为． （第8题）（第9题）（第10题） 9．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠BAC=°．10．如图，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P．若△ABC的面积为32cm2，BP=6cm，且△APB的面积是△APC的面积的3倍．则AP=cm． 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为．12．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2，则六边形的周长是． （第12题）（第14题）（第14题） 13．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s 的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t （s）表示移动的时间，当t=时，△POQ是等腰三角形． 14．如图：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为． 三．解答题（共15小题） 15．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
图形的平移和旋转 一：知识点 1 ?平移的定义与规律 关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向. (1) 平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，？对应点所连的线段平行且相等 (或共线且相等)? (2) 简单作图 平移的作图主要关注要点：1 ?方向，2?距离?整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平 行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的. 2 ?旋转的定义与规律 (1) 定义：在平面内，将一个图形绕一 个定点沿某个方向转动一个角度， ？这样的图形运动称为旋转. 关键： 旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向. (2) 旋转的规律 经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连 线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等. (3) 简单的旋转作图： 旋转作图关键有两点： ①旋转方向，②旋转角度.主要分四步： 边、转、截、连.旋 转 就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改 变的，即对应点与旋转中心距离相等. 二：小试牛刀 1 ?平移是由 ______________________________________________ 所决定。 2. 平移不改变图形的 ____________和 __________ ，只改变图形的. 3. 钟表的分针匀速旋转一周需要 _____ 60分，它的旋转中心是 O ,经过20分，分针旋 度。 90 ° ①厶 AED N AEF ;② BE DC DE ③S ^ ABE + S ^ ACD >SA AED ④ BE 2 DC 2 DE 2 :例题讲解 ，将△ O 连接EF ,下列结论，其中正确的是 ADC 绕点A 顺时针旋转90后，得到△ AFB ,
菱形证明专题训练
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绝密★启用前 乐学教育菱形证明专题训练 1.已知:如图，在四边形ABCD中,AＢ∥CD，E,Ｆ为对角线AC上两点,且 AＥ＝CF，DF∥BE,AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD为菱形．? 【答案】∵AＢ∥ＣＤ， ∴∠BＡＥ=∠ＤCF.?∵DＦ∥ＢE, ∴∠BEF＝∠ＤFE，?∴∠AEＢ＝∠CFD. 又∵AE=ＣF,?∴△AEＢ≌∠CFD, ∴AB=CD．?∵ＡB∥CＤ，?∴四边形ABＣD是平行四边形. ∵ＡＣ平分∠BAD, ∴∠BAE＝∠DAF.?又∠BAE=∠DＣＦ, ∴∠DAＦ=∠ＤCF,?∴ＡD=ＣD， ∴四边形ABCD是菱形. 2．如图，矩形AＢCD中，点O为AＣ的中点，过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F，连接BF交AC于点M,连接DＥ，ＢＯ.若∠ＣOB=６0°,FO=FC. 求证: (１)四边形EＢＦD是菱形; 【答案】连接OD.∵点O为矩形ABCＤ的对角线AC的中点， ∴B,D, O三点共线且BD＝DO=CＯ=ＡO． 在矩形AＢCD中,ＡB∥ＤC,AB=DC，∴∠FCO＝∠EAＯ. 在△ＣFO和△AEＯ中,?∴△CFＯ≌△AEO,∴ＦO=EＯ.?又∵BO=DO,∴四边形BＥFD是平行四边形. ∵BＯ=CＯ,∠ＣOB=６0°，?∴△COB是等边三角 形.∴∠OCＢ=6０°.?∴∠FＣＯ=∠DCB-∠ＯCＢ=30°.?∵FO=FC，∴∠FOC=∠FCO=30°.?∴∠FOB=∠FOＣ+∠ＣOB＝90°. ∴EF⊥BD．∴平行四边形EＢFＤ是菱形. （2)MB∶OE=3∶2. 【答案】∵BＯ=ＢC,∴点Ｂ在线段ＯＣ的垂直平分线上． ∵FO=FC,∴点Ｆ在线段OC的垂直平分线上． ∴BF是线段OC的垂直平分线.?∴∠FＭO=∠OＭＢ=90°．?∴∠OBＭ=30°.∴OＦ=ＢF．?
《三角形》练习题 班级_________ 姓名__________ 分数__________一、选择题（每题4分） 1．等腰三角形的两边长分别是3和7，那么它的周长是（） A、13 B、16 C、17 D、13或17 2、如图1，图中三角形的个数为（） A．17 B．18 C．19 D．20 3、在△ABC中，∠A-∠C=25°，∠B-∠A=10°，则∠B=（） A、28° B、35° C、15° D、21° 4、如图2，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点， ∠A=50°，则∠D=（） A．15°B．20°C．25°D．30° 5、已知一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是（） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 6、如图3，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°， 则∠P的度数为（） A．15°B．20°C．25°D．30° 7、一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形，它的内角和为2520°， 则原来多边形的边数不可能是（） A、15条 B、16条 C、17条 D、18条 8、已知三条线段分别是a、b、c且a＜b＜c（a、b、c均为整数）， 若c=6，则线段a、b、c能组成三角形的个数为（） A、3个 B、4个 C、5个 D、6个
图1 图2 图3 二、填空题（每题4分） 9、若△ABC的三边长分别是4，X，9，则X的取值范围是_____， 周长L的取值范围是_____；当周长为奇数时，X=_____ 10、一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a 的取值范围__________． 11、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分， 则此等腰三角形的腰长是_____ 12、如图4，小亮从A点出发，沿直线前进100m后向左转30°，再沿直线前进100m， 又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了________m 13、如图5，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，S△ABC=12， 则S△ADF -S△BEF=_____. 14、如图6，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是______° 15、如图7，DC平分∠AD B，E C平分∠AEB，若∠DAE＝α， ∠D BE＝β，则∠D CE＝______ (用α、β表示)． 16、如图8，DO平分∠CDA，BO平分∠CBA，∠A=20°，∠C=30°，∠O=______°.
八年级下-平移和旋转培优训练题-含详细答案
H 平移和旋转培优训练题 １、如图, 所给的图案由ΔABC 绕点O 顺时针 旋转( )前后的图形组成的。 A. 450 、 900 、1350 B. 900、1350、1800 C.450、900、1350、1800 D.450、1800、2250 2、将如图1所示的Rt △ABC 绕直角边BC 旋转一周，所得几何体的左视图是（ ） 3、如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m 、n ，那么?AEG 的面积的值 （ ） A ．与m 、n 的大小都有关 B 的大小都无关
C ．只与m 的大小有关 D ．只与n 的大小有关 4、如图，线段AB =CD ，AB 与CD 相交于点O ，且0 60AOC ∠=，CE 由AB 平移所得，则AC +BD 与 AB 的大小关系是：（ ） A 、AC BD A B +< B 、A C B D AB += C 、AC BD AB +≥ D 、无法确定 O B C E D A P A B D （第4题图） （第5题图） （第6题图）
5、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转0 30到正方形/// AB C D ，则图中阴影部分面积 为（ ） A 、13 - B 、3 C 、14- D 、12 6、如图，点P 是等边三角形ABC 内部一点， ::5:6:7 APB BPC CPA ∠∠∠=，则以PA 、PB 、PC 为边的三 角形的三内角之比为（ ） A 、2：3：4 B 、3：4：5 C 、4：5：6 D 、 不能确定 7、如图，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到1 1 AB C △． （1）在正方形网格中，作出1 1 AB C △；（不要求写 作法） （2）设网格小正方形的边长为1cm ，用阴影表
全等三角形培优竞赛训练题 1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF , G为DF中点，连接EG, CG. (1 )直接写出线段EG与CG的数量关系； (2)将图1中厶BEF绕B点逆时针旋转450，如图2所示，取DF中点G,连接EG, CG. 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. (3)将图1中厶BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1) 中的结论是否仍然成立？ 图1图2图3
学习参考
2、数学课上，张老师出示了问题：如图1 ,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点. AEF 90°，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE= EF. 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M ,连接ME，则 AM = EC,易证△ AME =△ ECF ,所以AE EF . 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1)小颖提出：如图2,如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上(除B, C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论AE=EF'仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； (2)小华提出：如图3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条 件不变，结论AE= EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 图1图2图3
3、已知Rt A ABC 中，AC BC,Z C 90, D 为AB 边的中点，EDF 90° EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB （或它们的延长线）于E、F. 1 当EDF绕D点旋转到DE AC于E时（如图1），易证S A DEF S A CEF S A ABC- 2 当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是 否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S A DEF、S A C EF、S A ABC又有怎样的数量关 系？请写出你的猜想，不需证明 F 图 1图2
M N O D C B A 矩形，菱形的性质及判定专项练习 1.在下列命题中，真命题是（） Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2.已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm, 那么这个菱形的周长为_______, 面积为___________. 3.将两张长10cm宽3cm的长方形纸条叠放在一起, 使之成60度角, 那么重叠部分 的面积的最大值为________________. 4.一个菱形面积为80, 周长为40, 那么两条对角线长度之和为__________. 5.顺次连接一个特殊四边形的中点, 得到一个菱形. 那么这个特殊四边形是___________. 6.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE：BE=1： 3，OF=4，求∠ADB的度数和BD的长。 7.如图所示，矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为36cm，求此矩形的面积。 8.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB=2， BC=1，求AG。 O F E D C B A G E D C B A
9. 已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。 10. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上一点，EF CE =，且,2EF CE DE cm ⊥=，矩 形ABCD 的周长为16cm ，求AE 与CF 的长． 11. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，（1），画出△AOB 平移后的三角形，其平移的方 向为射线AD 的方向，平移的距离为线段AD 的长。（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD 外还有哪一种特殊的平行四边形？并给出证明。 12. 如图所示，已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=15°，求∠CEF 的度数。
三角形提高培优经典题题 (1)/1与/2有何关系，为什么？ (2)BE与DF有何关系？请说明理由. 2. 已知：/ A=/ C=9C° . ⑴如图，若DE平分/ ADC,BF平分/ ABC的外 角，问DE与BF的位置关系，并证明； ⑵如图，若BF、DE分别平分/ ABC / ADC的外角，问BF与DE的位置关系并证明. 3. 如图，AC BD相交于点O,BE、CE分别平分/ ABD / ACD且交于点E,求证： / E=1/2( / A+/ D) 5. 在△ ABC中,/ ABC的平分线与/ ACB的平分线相交于点P,求证： 1 / P= 90° +丄/ A 2 6. 如图，/ ACD是△ ABC的外角，BP平分/ ABC CP平分/ ACD且BP CP交于1. 如图，四边形ABCD中，/ A=A C= 90BE DF分别是/ ABC / ADC的平分4. 如图，/ AEB / AFD的平分线相交于O点，求证：/ EOF=1/2(/ DAB/ BCD).
点 P. 求证：Z P=丄Z A 2 (1)如图，PB P0分别平分/ ABO / AOB, / A=70 ,则/ BPO= ⑵如图，将△ ABO皆x轴向右平移后可得△ COD,PBPD分别平分/ ABO / CDO. Z A=a ,求Z BPD, ⑶如图，直线0A与直线ED交于C, MA MB分别平分/ OAB / OBA,NC ND分别平分/ OCD Z ODE试探究/ AMB^Z CND有何确定的数量关系，并说明理由. 8.在平面直角坐标系中，B为x轴负半轴上点，A为第二象限内的点.
9如图，三角形ABC内任一点P,连接PA PB PC, 求证：1/2 (AB+BC+ACvAP+BP+CPvAB+AC+BC / A=52?,三条高所在直线的交点为H,求/ BCH的度数。 11如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点I , IH 丄BC于H,求证 12。1｝一个等腰三角形的一个外角等于110?,则这个三角形的三个角应该 2} 在/ ABC中, AB = AC 周长为20cm D 是AC上一点, / ABD与/ BCD面积相等且周长差为3cm , / ABC各边的长为 ____________________ 。 13、如图，已知△ ABC中, / C=90 , AC=1.5BC 在AC上取点D,使得 AD=0.5BC 量得BD=1cm求厶ABD的面积。 14. 如图，在七星形ABCDEF中，求/ A+Z B+Z C+Z D+Z E+Z F+ZG 的度数。/ CIH>Z CAD D 为