（1）如图1，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 是AB 的中点．直接写出∠BMD 与∠ADM 的倍数关系；
（2）如图2，若四边形ABCD 是平行四边形， AB=2BC ，M 是AB 的中点，过C 作CE
⊥AD 与AD 所在直线交于点E ．
若∠A 为锐角，则∠BME 与∠AEM 有怎样的倍数关系，并证明你的结论；
（1）∠BMD= 3 ∠ADM …… 2分 （2）联结CM ，取CE 的中点F ，联结MF ，交DC 于N
∵M 是AB 的中点，∴MF ∥AE ∥BC ， ∴∠AEM=∠1，∠2=∠4， ……… 3分
∵AB=2BC ，∴BM=BC ，∴∠3=∠4. ∵CE ⊥AE ，∴MF ⊥EC ，又∵F 是EC 的中点，
∴ME=MC ，∴∠1=∠2. ……….4分 ∴∠1=∠2=∠3.
∴∠BME =3∠AEM. ………. 5分
【斜边中线+倍长中线例题】已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．
（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系
是 ；
（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
.解：（1）BM =DM 且BM ⊥DM ． ………2分
（2）成立． ……………3分
理由如下：延长DM 至点F ，使MF =MD ，联结CF 、BF 、BD ． 易证△EMD ≌△CMF ．………4分
∴ED =CF ，∠DEM =∠1．
∵AB =BC ，AD =DE ，且∠ADE =∠ABC =90°，
∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°． ∴
∠
BAD =
∠
2+
∠
4+∠6=90°+∠6．
M
D B
A
C
E
A
D
M
B C
图1 图2
F
A
M
B
C
E
D
4
3
2
1D
C
B A
E
M
M
E
A
B
C
D
9
∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，
∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9）
=360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9 =90°+∠6 ． ∴∠8=∠BAD ．………5分
又AD =CF ． ∴△ABD ≌△CBF ． ∴BD =BF ，∠ABD =∠CBF ．………6分 ∴∠DBF =∠ABC =90°． ∵MF =MD ，
∴BM =DM 且BM ⊥DM ．.…………7分
如图，梯形ABCD ，AD ∥BC ，CE ⊥AB ，△BDC 为等腰直角三角形，CE 与BD 交于F ，连接AF ，G 为BC 中点，连接DG 交CF 于M ． 证明：（1）CM=AB ； （2）CF=AB+AF ．
(1) 解∵BD ⊥CD ，∠DCB ＝45°，∴∠DBC ＝∠DCB ＝45°， ∴CD ＝DB ＝2，∴CB ＝DB2+CD2＝22，
∵CE ⊥AB 于E ，点G 为BC 中点，∴EG ＝1
2
CB ＝2．
(2)证明：证法一：延长BA 、CD 交于点H ，∵BD ⊥CD ，∴∠CDF ＝∠BDH ＝90°， ∴∠DBH ＋∠H ＝90°，∵CE ⊥AB 于E ，∴∠DCF ＋∠H ＝90°，
∴∠DBH ＝∠DCF ，又CD ＝BD ，∠CDF ＝∠BDH ，∴△CDF ≌△BDH(ASA)， DF ＝DH ， CF ＝ BH ＝BA ＋AH ，∵AD ∥BC ，∴∠DBC ＝∠ADF ＝45°， ∠HDA ＝∠DCB ＝45°，∴∠ADF ＝∠HAD ，又DF ＝DH ，DA ＝DA ， ∴△ADF ≌△ADH(SAS)，∴AF ＝AH ， 又CF ＝BH ＝BA ＋AH ，∴CF ＝AB ＋AF ． 证法二：在线段 DH 上截取CH=CA ，连结DH ．
∵BD ⊥CD ，BE ⊥CE ，∴∠EBF ＋∠EFB ＝90°，∠DCF ＋∠DFC ＝90°． 又∠EFB=∠DFC ，∴∠EBF=∠DCF ． 又BD=CD ，BA=CH ，∴△ABD ≌△HCD ． ∴AD=HD ，∠ADB=∠HDC ．
又AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ＝45°．
∴∠HDC ＝45°．∴∠HDB ＝∠BDC －∠HDC ＝45°． ∴∠ADB ＝∠HDB ．
又AD=HD ， DF=DF ，∴△ADF ≌△HDF ，∴AF ＝HF ． ∴CF ＝CH ＋HF=AB ＋AF ．
【例1】 （第10讲例5）如图，AB 为O 直径，点C 在O 上，且2AC BC ==，将一块
等腰三角形的直角顶点放在圆心O 处之后，将此三角形绕点O 旋转，三角形的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点．图①，②，③是旋转三角形得到的图形中的3种情况．
请你回答下列问题：
⑴ 三角形绕点O 旋转，观察线段OD 和OE 之间有什么数量关系？并结合图②加以证明；
⑵ 三角形绕点O 旋转，是否能使OBE △为等腰三角形？若能，写出OBE △为等腰三角形的所有情况中CE 的长，若不能，请说明理由；
⑶ 如图④，若将三角形的直角顶点移到AB 上的点M 处，且13AM MB =∶∶，试问线段MD 和ME 之间有什么数量关系？并结合图④加以证明．
（朝阳期末）
④
③
②
①
M A
C B
O
D
E A
C B
O
D
E
A
C
B
O D E
E
D O
C
B
A
【解析】 ⑴ OD OE =．
证明：连结OC （如图）．
∵ AB 为O 直径，∴90ACB ∠=°．
∵ AC BC =，∴ACB △是等腰直角三角形．
∵ AO BO =，∴ CO AB ⊥，1
452
ACO ACB ∠=∠=°．
∴ 45ACO B ∠=∠=°．
又 90DOC COE BOE EOC ∠+∠=∠+∠=°， ∴ DOC BOE ∠=∠．
∵ OC OB =，∴ OCD OBE △≌△．∴OD OE =． ⑵ 共有四种情况，
① 当点C 与点E 重合，即0CE =时，OE OB =； ② 当点E 为CB 中点，即1CE =时，OE BE =；
③ 当点E 在线段CB
上，且2CE =OB EB =； ④ 当E 在CB
的延长线上，且2CE =时，OB EB =．
⑶ 13MD ME =∶∶．
证明：分别过点M 作MF AC ⊥、MH BC ⊥，垂足分别是F 、H ．（如图） ∵45A B ∠=∠=°，∴ Rt Rt AFM BHM △∽△．
∴ 1
3
FM AM HM BM ==． ∵ 90C ∠=°，∴ 90FMH ∠=°．
∴ 90FMD DMH EMH HMD ∠+∠=∠+∠=°． ∴ FMD EMH ∠=∠．
∴ Rt Rt FMD HME △∽△． ∴
1
3
MD MF ME HM ==．
在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角板
的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．
（1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，
在这个过程中，请你观察、探究并解答： ① ∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由；
② 直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．
备用图
E
D
O B
C
A
解：（1）在矩形ABCD 中，90A D ∠=∠=?，AP =1，CD =AB =2，
∴PB=
，90ABP APB ∠+∠=?．
∵90BPC ∠=?，
∴90APB DPC ∠+∠=?． ∴ABP DPC ∠=∠． ∴ △ABP ∽△DPC ． ∴
AP PB
CD PC
=
，即12= ∴PC=
．……………………………………………………………………2分 （2）① ∠PEF 的大小不变．
理由：过点F 作FG ⊥AD 于点G ．
∴四边形ABFG 是矩形．
∴90A AGF ∠=∠=?．
∴GF=AB=2，90AEP APE ∠+∠=?． ∵90EPF ∠=?，
∴90APE GPF ∠+∠=?．
∴AEP GPF ∠=∠．
∴ △APE ∽△GFP . …………………………………………………………4分
∴
2
21
PF GF PE AP ===． ∴在Rt △EPF 中，tan ∠PEF=
2PF
PE
=．……………………………………5分 即tan ∠PEF 的值不变．
∴∠PEF 的大小不变．…………………………………………………………6分 ②
. …………………………………………………………………………7分
在□ABCD 中，∠A =∠DBC , 过点D 作DE =DF , 且∠EDF=∠ABD , 连接EF 、 EC ,
N 、P 分别为EC 、BC 的中点，连接NP ．
（1）如图1，若点E 在DP 上, EF 与DC 交于点M , 试探究线段NP 与线段NM 的数量
关系及∠ABD 与∠MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论；
（2）如图2，若点M 在线段EF 上, 当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然
成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.
M B
D
C
E A
N
P
P
N
A E
F
C
D
B
图1 图2
解:（1） NP =MN , ∠ABD +∠MNP =180? (或其它变式及文字叙述,各1分). ………2分
（2）点M 是线段EF 的中点(或其它等价写法). 证明：如图, 分别连接BE 、CF .
∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ，AB ∥DC ，∠A =∠DCB ， ∴∠ABD =∠BDC . ∵ ∠A =∠DBC ，
∴ ∠DBC =∠DCB .
∴ DB =DC . ① ………………………3分
∵∠EDF =∠ABD ,
∴∠EDF =∠BDC .
∴∠BDC -∠EDC =∠EDF -∠EDC .
即∠BDE =∠CDF . ②
又 DE =DF ， ③
由①②③得△BDE ≌△CDF . ………………………………4分 ∴ EB =FC , ∠1=∠2.
∵ N 、P 分别为EC 、BC 的中点，
∴NP ∥EB , NP =EB
2
1
.
同理可得 MN ∥FC ，MN =FC 2
1
.
∴ NP = NM . …………………………………5分
∵ NP ∥EB , ∴∠NPC =∠4.
∴∠ENP =∠NCP +∠NPC =∠NCP +∠4. ∵MN ∥FC ，
∴∠MNE =∠FCE =∠3+∠2=∠3+∠1.
∴ ∠MNP =∠MNE +∠ENP =∠3+∠1+∠NCP +∠4
=∠DBC +∠DCB =180?-∠BDC =180?-∠ABD .
∴ ∠ABD +∠MNP =180?. …………………………7分
M
1 3
2 4 P
N
A E F
C
D
B
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注）