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现代控制理论第一章答案1

习题解答

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2-1 如题图2-1所示为RLC 电路网络,其中()i U t 为输入电压,安培表的指示电流)(t i o 为输出

量。试列写状态空间模型。

题图2-1

解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.

()()()

()()()()()

i L C L C R C C d

U t L i t U t dt

d i t i t i t C U t U t dt R =+=+=+

(2) 在这个电路中,只要给定了储能R 元件电感L 和电容C 上的i L 和U C 的初始值,以及t ≥t 0

时刻后的输入量U i (t ),则电路中各部分的电压、电流在t ≥t 0时刻以后的值就完全确定了。也就是说,i L 和U C 可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选i L 和为U C 状态变量,即

x 1(t )=i L , x 2(t )=u C

(3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有

1221211

i dx x U dt L L dx x x dt C RC =-+=-

经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程

11i 22110110x x L U L x x C RC ??-??????????=+????

????

-????????????

(4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,

1221110C x y U x x R R R ????===??

??????

(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达

式

11i 221211011010

x x L U L x x C RC x y x R ??-??????????

=+????????-?

???????????

???

?=?????

???

2-2 如题图2-2所示为RLC 电路网络,其中1()v t 为输入电压,2()v t 为输出电压。试列写状态

空间模型。

题图2-2

解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.

21d d d d d d d d C L L C C C L u i L R i C u t t u u u R C R i C t t ???+-=? ???

???+=- ?????

(2) 选择状态变量.状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数.对本题

x 1(t )=i L , x 2(t )=u C

(3) 将状态变量代入电压电流的关系式,经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分

方程组--状态方程

121121211122112121()()10()()R R R R R L R R L x x u L x x R R R C R R C --??

??++????????=+???????

?-????????

++??

(4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,

()11212111221212d d ()()C L x u R R R y u R i C R x Cx x t R R R R ?????

?==-=-=????

?++??????

(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达

式

121121211122112121121212121()()10()()()()R R R R R L R R L x x u L x x R R R C R R C x R R R y x R R R R --??

??++????????=+???????

?-????????

++??????=????

++????

2-3 设有一个弹簧-质量-阻尼器系统,安装在一个不计质量的小车上,如题图2-3所示。u 和y

为分别为小车和质量体的位移,k 、b 和m 分别为弹簧弹性系数、阻尼器阻尼系数和质量体质量阻尼器。试建立u 为输入,y 为输出的状态空间模型。

题图2-3

解：下面推导安装在小车上的弹簧－质量－阻尼器系统的数学模型。假设0

不动,并且安装在小车上面的弹簧－质量－阻尼器系统这时也处于静止状态(平衡状态)。在这个系统中,()u t 是小车的位移,并且是系统的输入量。当0t =时,小车以定常速度运动,即u = 常量。质量的位移()y t 为输出量（该位移是相对于地面的位移）。在此系统中,m

表示质量,b 表示黏性摩擦系数,k 表示弹簧刚度。假设阻尼器的摩擦力与y

u - 成正比,并且假设弹簧为线性弹簧,即弹簧力与y u -成正比。对于平移系统,牛顿第二定律可以表示为：

ma F =∑

式中,m 为质量,a 为质量加速度,F ∑为沿着加速度a 的方向并作用在该质量上的外力之和。对该系统应用牛顿第二定律,并且不计小车的质量,我们得到：

22()d y dy du m b k y u dt dt dt ??=---- ??? 即： 22d y dy du m b ky b ku dt dt dt ++=+

这个方程就是该系统的数学模型。对这个方程进行拉普拉斯变换,并且令初始条件等于零,得到：

)()()()(2s U k bs s Y k bs ms +=++

取)()(s U s Y 与之比,求得系统的传递函数为：

2()()()Y s bs k

G s U s ms bs k +==

下面我们来求这个系统的状态空间模型。首先将该系统的微分方程

b k b k y

y y u u m m m m ++=+

与下列标准形式比较：

1212o y

a y a y

b u b u b u ++=++ 得到：

1b a m =, 2k a m =, 0o b =, 1b b m =,

2k b m =

即而得到：

0011102

2211200

b b b a m

k b b a a m m ββββββ===-=

=--=- ?

并定义：

102111x y u y b x x

u x u m ββ=-==-=-

可得到：

1212222112212b x

x u x u m

k b

k b x

a x a x u x x u m m m m ββ=+=+????=--+=--+-?? ???????

输出方程为： 1y x =

即：

[]11222120

110b x

x m u k b x x k b m

m m m x y x ??

????????????=+??

??????--????????-????

?????

=??

2-4 题图2-4为登月舱在月球软着陆的示意图。其中,m 为登月舱质量,g 为月球表面重力常

数,m k -项为反向推力,k 为常数,y 为登月舱相对于地球表面着陆点的距离。现指定状态

变量组m x y

x y x ===321 , 和 ,输入变量 m u = ,试列出系统的状态方程。

题图2-4

解：本题属于由物理系统建立状态空间描述的基本题。

对给定力学系统,储能元件质量的相应变量即位置、速度和质量（本题中他也是随时间改变的）,可被取为状态变量组

m x y

x y x ===321 , 和。基此,利用力学定律并考虑到输入变量m

u =,先来导出 122333

y x k gm g k

x y

m x u m m x x x

m u ====-=-+==

在将此方程组表为向量方程,就得到系统的状态方程：

????????????+???????????????

???????-=??????????1 0 0 0 0 0 00 1 033321321x k x g x x x x x

且由状态方程形式可以看出,给定力学系统为非线性系统。

2-5某磁场控制的直流电动机的简化原理图如题图2-5所示,其中电动机轴上的负载为阻尼摩

擦,其摩擦系数为f ;电动机轴上的转动惯量为J 。设输入为电枢电压u a 和激磁电压u f ,输出为电机转角θ,试列出系统的状态空间模型。

题图2-5

解设电动机的铁芯工作在非饱和区。分析题图2-5所描述的电动机转速控制系统,可以写出电动机的主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动方程为

22d d d d d d a a a a

f f f f

u R i E i u R i L t

M J f

t t θθ=+=+=+

式中,E a 和M 分别为如下电动机电枢电势和电动机转矩,且

d d d d a

e e

f E C k i t t θθ=Φ

=, m a m f a M C i k i i =Φ=

式中,C e 和C m 分别为电动机的电枢电势常数和转矩常数；Φ为磁场的磁通量，其正比于励磁

回路电流i f ；k e 和k m 分别为比例常数。因此,主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动可记为

22d d d d d d d d a

a a e f f f f f f

m f a u R i k i t

i u R i L t k i i J f

t t θθθ?

=+??

?=+??

(2-13)

对于上述微分方程组,若已知电枢电流i f (t )、角位移θ(t )及其导数t t /d )(d θ在初始时刻t 0

的值,以及电枢电压u a 和励磁回路电压u f ,则方程组有惟一解。因此,可以选择状态变量为

123d ()()(),

()(),

()d f t x t i t x t t x t t θθ===

因此,由微分方程组(2-13)可得系统的状态方程为

231331313

1---f f f f m m a e a a R x x u L L x x k k u k x x f f x x i x x x J J J R J ?=+???

=??

??-?== ?????

输出方程为

y =θ=x 2

由上述状态方程和输出方程可得系统的非线性状态空间模型为

23231133

1--f f f f m m e a a a R x x u L L x x k k k f x u x x x x JR JR J y x ?=+???

=???=-??=

2-6 题图2-6为一化学反应器,它是一个均匀、连续流动单元,其中发生如下反应速率常数为k 的一级吸热反应

A k→B

该化工反应生产过程为:温度为常量θf,含A物质浓度为常量C Af的料液以Q(t)的流量进入反应器;假定流出的液体的流量也为Q(t),保持单元内液体体积为V;为了使化学反应向右进行,用蒸汽对反应器内的溶液进行加热,蒸汽加热量为q(t)。试以料液的流量Q(t)和蒸汽加热量q(t)为输入,容器内的液体的温度θ(t)和物质B的浓度C B(t)为输出,建立状态空间模型。

题图2-6

参见2.2小节例题

2-7. 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型。

(1) 2635y y y y u +++= (2) 23y

y u u -=- (3) 45222y

y y y u u u u +++=+++ 解 (1) 由所求的系统输入输出方程,有

a 1=2, a 2=6, a 3=3,

b =5

当选择输出y 及其1阶、2阶导数为状态变量时,可得状态空间模型为

10000103625[10

0]????

????=+????????---????

=x x u y x

(2) 先将方程变换成y 的首项的系数为1,对方程两边除以2，得

311

222y

y u

u -=-

由所求的系统输入输出方程,有

a 1=0, a 2=0, a 3=-3/2,

b 0=1/2, b 1=0, b 2=0, b 3=-1/2,

故由式(2-17)可得

001110221120331221301/2

1/4b b a b a a b a a a ββββββββββ===-==--==---=

因此,当选择状态变量

021*******

1212x y u y u x y

u u y u x y u u u y u ββββββ?

=-=-??

=--=-??

=---=-?? 时,可写出状态空间模型为

010000103/2001/41

[100]2u

????

????=+????????????

=+x x u y x

(3) 由所求的系统输入输出方程,有

a 1=4, a 2=5, a 3=2,

b 0=2, b 1=1, b 2=1, b 3=2,

故由式(2-17)可得

001110221120331221302

43b b a b a a b a a a ββββββββββ===-=-=--==---=-

因此,当选择状态变量

1021032102721972x y u y u x y u u y u u x y u u

u y u u u ββββββ=-=-??

=--=+-??=---=-+-? 时,可写出状态空间模型为

01070011925443[10

0]2u -????

????=+????????----????

=+x x u y x

2-8将下列传递函数转换为状态空间模型

(1) 23221840()6116s s G s s s s ++=+++ (2) 22

()56s s G s s s ++=++ (3)

23(5)

()(3)(1)s G s s s +=

解 (1) 由系统特征多项式61162

3+++s s s ,可求得系统的极点为

s 1=-1, s 2=-2, s 3=-3

于是有

3322

11)(s s k s s k s s k s G -+

-+-=

其中,

112233

[()(1)]12[()(2)]12[()(3)]

s s s k G s s k G s s k G s s =-=-=-=+==+=-=+=

故当选择状态变量为G (s )分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,则可得状态空间模型为

100102010031[12122]-????????=-+????????-????=-x x u y x

(2) 对本题，先用长除法求出严格真有理函数如下

2222135()11()5656s s s G s G s s s s s ++--==+=+++++

由系统特征多项式2

56s s ++,可求得系统的极点为

s 1=-2, s 2=-3

于是有

12()1k k

G s s s s s =+

+--

其中,

1223[()(2)]1[()(3)]4

s s k G s s k G s s =-=-=+==+=-

故当选择状态变量为G (s )分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,则可得状态空间模型为

201031[14]-????

=+????-????=-+x x u y x u

(3) 由系统特征多项式2

(3)(1)s s ++,可求得系统的极点为

s 1=s 2=-3, s 3=-1

于是有

112

111)()(s s k s s k s s k s G -+-+

其中

2112

2122311[()(3)]3,

[()(3)]3,d [()(1)]3s s s k G s s k G s s s

k G s s =-=-=-=+=-=

+=-=+=。

故当选择状态变量为G (s )分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得状态空间模型为

310003010011[333]????-????=-+????????-????=--x

x u y x

2-9 试求题图2-9所示系统的模拟结构图,并建立其状态空间模型。

题图2-9

解：系统方框图变换成：

则状态空间表达式x Ax Bu y Cx Du =+??

=+? 中：

???

????

?????

???

???-----=00

001000000/00

/00//1/00000

/000/2

11111111J k J k J k J J k k k k k k k A b n p p p p

????

???

??????????=00000/1p k k B ,

[]010000=C , 0=D

2-10 给定题图2-10所示的一个系统方框图,输入变量和输出变量分别为y u 和,试列出系统的

一个状态空间模型。

题图2-10

解：首先,定出状态方程。对此,需将给定方块图化为图示规范方块图,并按图中所示把每个一

阶环节的输出取为状态变量1234,,,x x x x 。进而,利用每个环节的因果关系,可以导出变换

域变量关系式：

()()()(){}

12310

????52x

s u s x s x s s =--????+ ()()()()(){}212342

?????x

s x s x s x s x s s =-++ ()()()()(){}312342

?????1x s x

s x s x s x s s =-+++ ()()(){}4231

???3x s x

s x s s =-+ 基此,可以导出变换域状态变量方程：

()()()()()1123?????2505010sx

s x s x s x s u s =--++ ()()()()()21234?????2222sx

s x s x s x s x s =-++ ()()()()()31234?????222sx

s x s x s x s x s =-++ ()()()()4234????23sx

s x s x s x s =-- 将上述关系式组取拉普拉斯反变换,并运用(){}1

i i L sx s x -= ,就定义此方块图的状态变量方

程：

112321234312344234250501022222223x

x x x u x

x x x x x

x x x x x x x x =--++=-++=-++=--

再将上述方程组表为向量方程,得到此方块图的状态方程：

112233442 50 50 010 2 -2 2 2 0 2 -2 1 2 0 0 1 -1 -3 0x

x x x u x x x x --????????????????????????=+????????????????????????

????

进而,定出输出方程。对此,由方块图中相应环节显示的因果关系,可直接导出此方块图的输出方程：

[]12

340 1 1 0x x y x x ??????

=-???????

2-11已知系统的状态空间模型为

3001015220021053016

20????

????=+????????????

??? x x u y x

现用 x

=P x 进行状态变换,其变换矩阵为 100020003P ??

??=??

????

试写出状态变换后的状态方程和输出方程。

解本题的线性变换为 x

=P x ，因此相应的各个矩阵的变换公式为 11,,,A PAP B PB C CP D D --====

P 的逆矩阵为

110

001/20001/3P -????=??

????

因此有

1130010254/340031015301/3610A PAP B PB C CP --????

????====????

????????

??==??

故系统在新的状态变量x ~

下的状态空间模型为

30010254/340031015301/36

10????

????=+????????????

???x x u y x

2-12 求下列各方阵A 的特征值、特征向量和广义特征向量。

(1) 1302A ??????＝ (2)

122212221A ??

??=?????? (3) 010001254A ????=????-?? (4)

100018126A ????=??

??---??

解 (1) 由特征方程|λI -A |=0可求得系统的特征值为

λ1=1, λ2=2

计算对应于λ1=1的特征向量。按定义有

(λ1I -A )v 1=0

将A 、λ1和v 1代入上式,有

111203001v v -????=????-????

该方程组有无穷组解。由于 n -rank(λ1I -A )=1,即特征向量解空间为1维,其通解式为

[][]T T

1111100v v v ==

令v 11=1, 可得如下独立的特征向量

[]T

110v =

再计算对应于重特征值λ2= 2的特征向量。按定义有

(λ2I -A )v 2=0

将A 、λ2和v 2代入上式,有

212213000v v -????=????????

由于 n -rank(λ2I -A )=1,该方程组有特征向量解空间为1维,其通解式为

[][]T

2212222

223v v v v v ==

因此,令v 22=1,解之得

[]T

231v =

(2) 由特征方程|λI -A |=0可求得系统的特征值为

λ1=λ2=-1, λ3=5

即-1为系统的二重特征值,其代数重数为2。

计算对应于二重特征值-1的特征向量。按定义有

(λ1I -A )v 1=0

将A 、λ1和v 1代入上式,有

1112132222220222v v v ---????????---=????????---????

由于 n -rank(λ1I -A )=2,该方程组有特征向量解空间为2维,故特征向量解空间为2维,独立的特征向量数为2。解该方程,可得特征向量的通解式为

[][]T

11112231112

1112()v v v v v v v v ==-+

因此,令v 11=1,v 12=0或1,解之得

[]T

1101v =- 和 []T

2112v =-

即重特征值2有两个线性独立的特征向量,故该重特征值的几何重数亦为2。

再计算对应于重特征值λ3=5的特征向量。按定义有

(λ3I -A )v 2=0

将A 、λ3和v 3代入上式,有

3132334222420224v v v --????????--=????????--????

该方程组有无穷组解。由于 n -rank(λ1I -A )=1,即特征向量解空间为1维,其通解式为

[][]T T

3313233313131v v v v v v v ==

令v 31=1, 可得如下独立的特征向量

[]

1111v =

(4) 由特征方程|λI -A |=0可求得系统的特征值为

λ1=λ2=1, λ3=2

由于矩阵为友矩阵，因此对应于λ1=λ2=1的特征向量和广义特征向量分别为

[]

[][]

21,1111T T

1,211111012012v v v λλλ??===??==

对应于λ3=2的特征向量和广义特征向量分别为

[]

233

31124v λλ??==??

(4) 由特征方程|λI -A |=0可求得系统的特征值为

λ1=λ2=λ3=-2

由于矩阵为友矩阵，因此对应于λ1=λ2=λ3=-2的特征向量和广义特征向量分别为

[]

[][][][]

21,1111T T

1,21T

1,31124012014001001v v v v λλλ??===-??==-==

现代控制理论第一章答案1

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2-1 如题图2-1所示为RLC 电路网络,其中()i U t 为输入电压,安培表的指示电流)(t i o 为输出量。试列写状态空间模型。题图2-1 解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式. ()()() 1 ()()()()() i L C L C R C C d U t L i t U t dt d i t i t i t C U t U t dt R =+=+=+ (2) 在这个电路中,只要给定了储能R 元件电感L 和电容C 上的i L 和U C 的初始值,以及t ≥t 0 时刻后的输入量U i (t ),则电路中各部分的电压、电流在t ≥t 0时刻以后的值就完全确定了。也就是说,i L 和U C 可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选i L 和为U C 状态变量,即 x 1(t )=i L , x 2(t )=u C (3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有 1221211 11 i dx x U dt L L dx x x dt C RC =-+=- 经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程 11i 22110110x x L U L x x C RC ??-??????????=+???? ???? -???????????? (4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程, 1221110C x y U x x R R R ????===?? ?????? (5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式 11i 221211011010 x x L U L x x C RC x y x R ??-?????????? =+????????-? ??????????? ??? ?=????? ???

现代控制理论1-8三习题库

信息工程学院现代控制理论课程习题清单

正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的求解方法。重点容：状态空间表达式的建立，状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当标准型。难点：状态变量选取的非唯一性，多输入多输出状态空间表达式的建立。预习题 1.现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有何区别？ 2.状态、状态空间的概念？ 3.状态方程规形式有何特点？ 4.状态变量和状态矢量的定义？ 5.怎样建立状态空间模型？ 6.怎样从状态空间表达式求传递函数？复习题 1.怎样写出SISO系统状态空间表达式对应的传递函数阵表达式 2.若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式？ 3.求下列矩阵的特征矢量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 2 5 10 2 2 1- 1 A 4.（判断）状态变量的选取具有非惟一性。 5.（判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。 6.（判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输出关系的系统，表达为状态空间描述。 7.（判断）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定常系统中应用，也可以在时变系统中应用. 8.如果矩阵A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,则只能化为模态阵。 9.动态系统的状态是一个可以确定该系统______（结构，行为）的信息集合。这些信息对于确定系统______（过去，未来）的行为是充分且必要的。 10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时，则称这样的系统为______（线性定常，线性时变）系统。如果这些元素中有些是时间t 的函数，则称系统为______（线性定常，线性时变）系统。 11.线性变换不改变系统的______特征值，状态变量）。 12.线性变换不改变系统的______（状态空间，传递函数矩阵）。 13.若矩阵A 的n 个特征值互异，则可通过线性变换将其化为______（对角阵，雅可比阵）。 14.状态变量是确定系统状态的______（最小，最大）一组变量。 15.以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交______（线性，非线性）空间，称之为______（传递函数，状态空间）。

王金城现代控制理论第一章知识题目解析

王金城化工出版社第1章习题参考答案： 1-1（a ）选123123,,,,,y y y v v v 为状态变量，根据牛顿定律，对1M ，有()1 1112121 dv M g K y K y y M dt ---= 对2M ，有()()2 22123232dv M g K y y K y y M dt +---= 对3M ，有()3 3323433dv M g K y y K y M dt +--= 令312112233415263,,,,,dy dy dy x y x y x y x v x v x v dt dt dt ===== ====，整理得 ()()()122214253641 11 23342332 51262322233 ,,,, ,K K K x x x x x x x x x g M M K K K K K x K K x x x g x x x g M M M M M +====-++++= -++=-+ () ()() 122 11 23222 22 3433 3 000100000010000000100000 01100010000K K K M M x x g K K K K M M M K K K M M ? ????? ??????? ? ??+??-????=+??????+?? ??- ? ? ???? ??? ? +- ?? ??? ? 100000010000001000y x ?? ??=?? ???? （b ）选12,12,,y y v v 为状态变量，根据牛顿定律，对1M ，有()1 1121111 dv M g B v v K y M dt +--= 对2M ，有()2 2221212dv f M g B v B v v M dt +---= 令1211223142,,,dy dy x y x y x v x v dt dt === ===，整理得 11113243134111 ,,K B B x x x x x x x x g M M M ===--++， 112434222 B B B f x x x g M M M +=-++

现代控制理论复习题[1]

《现代控制理论》复习题1 一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。（ × ）2. 若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控的。（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。（ √ ）4. 对系统Ax x =&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。（ √ ）5. 根据线性二次型最优控制问题设计的最优控制系统一定是渐近稳定的。二、（15分）考虑由下式确定的系统： 2 33 )(2 +++= s s s s G 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。解：能控标准形为 []? ? ? ???=??????+??????? ?????--=??????21212113103210x x y u x x x x & & 能观测标准形为 []? ? ? ???=??????+??????? ?????--=??????21212110133120x x y u x x x x & & 对角标准形为 []? ? ? ???-=??????+????????????--=??????21212112112001x x y u x x x x && 三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统 x x ?? ????--=3210 & 求其状态转移矩阵。解：解法1。

《现代控制理论》第3版课后习题答案

《现代控制理论参考答案》第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下： u K x K x K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =??? ?? ?

令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????? ? ??? ? ??????????=??????? ???????????????+?????? ??????????????? ????????????? ??????????? ?-----=????????????????????????????? ?654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 U 图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为：

现代控制理论讲义

第一章系统描述 1.1 引言一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合。为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系或传递函数的基础之上的，而现代控制理论以n 个一阶微方程来描述系统，这些微分方程又组合成一个一阶向量-矩阵微分方程。应用向量-矩阵表示方法，可极大地简化系统的数学表达式。状态变量、输入或输出数目的增多并不增加方程的复杂性。事实上，分析复杂的多输入-多输出系统，仅比分析用一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。本文将主要涉及控制系统的基于状态空间的描述、分析与设计。本章将首先给出状态空间方法的描述部分。将以单输入单输出系统为例，给出包括适用于多输入多输出或多变量系统在内的状态空间表达式的一般形式、线性多变量系统状态空间表达式的标准形式(相变量、对角线、Jordan 、能控与能观测)、传递函数矩阵，以及利用MA TLAB 进行各种模型之间的相互转换。第二章将讨论状态反馈控制系统的分析方法。第三章将给出几种主要的设计方法。本章1.1节为控制系统状态空间分析的引言。1.2节介绍传递函数的状态空间表达式，并给出状态空间表达式的各种标准形。1.3节讨论用MA TLAB 进行系统模型的转换（如从传递函数变换为状态空间模型等）。 1.2 状态空间表达式为获得传递函数的状态空间表达式，有多种方法。在《系统分析与控制》中曾介绍过几种。本节将介绍状态空间的能控标准形、能观测标准形、对角线形与Jordan 标准形，在例1.17~1.21中将讨论由传递函数获得这些状态空间表达式的方法。 1.2.1 状态空间表达式的标准形式考虑由下式定义的系统： )1.1(1)1(1)(1)1(1)(u b u b u b u b y a y a y a y n n n n o n n n n ++++=++++---- 式中u 为输入，y 为输出。该式也可写为 )2.1()()(1111110n n n n n n n n a s a s a s b s b s b s b s U s Y +++++++= --- －下面给出由式（1.1）或式（1.2）定义的系统状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线形（或Jordan 形）标准形。

现代控制理论基础第一章

Elements of Modern Control Theory 主讲：董霞现代控制理论基础西安交通大学机械工程学院 Email：xdong@https://www.doczj.com/doc/0016675132.html, 办公地点：西二楼东207

参考教材《现代控制工程》王军平董霞主编西安交通大学出版社教材《现代控制理论基础》（机械类）何钺编机械工业出版社《现代控制工程》（第三版）Katsuhiko Ogata著卢伯英、于海勋译电子工业出版社

第一章绪论现代控制理论是在20世纪50年代末、60年代初形成的控制理论。之所以称其为现代控制理论是与经典控制理论相比较而言的。

1.1 控制理论发展简史目前国内外学术界普遍认为控制理论经历了三个发展阶段：经典控制理论现代控制理论智能控制理论这种阶段性发展是由简单到复杂、由量变到质变的辩证发展过程。并且，这三个阶段不是相互排斥，而是相互补充、相辅相成的，它们各有其应用领域，并还在不同程度地继续发展着。

控制理论中反馈的概念代表性人物：瓦特（J.Watt)，于1788年发明了蒸汽机飞球调速器。这是一个典型的自动调节系统，由此拉开了经典控制理论发展的序幕。控制理论诞生前，人们对于反馈就有了认识。

经典控制理论的诞生 1868 年，英国物理学家J.C.Maxwell 发表《论调速器》论文，解决了蒸汽机调速系统中出现的剧烈振荡问题； 1877年，英国科学家E.J. Routh 建立了劳斯稳定性判据； 1895年，德国数学家A. Hurwitz 提出了胡尔维茨稳定性判据；1892年，俄国数学家A. M.Lyapunov 发表了专著《论运动稳定性的一般问题》； 1922年，美国的N. Minorsky 研究出用于船舶驾驶的伺服机构并提出PID 控制方法； 1932年，美籍瑞典人H. Nyquist 提出了频域内研究系统稳定性的频率判据；

《现代控制理论》第版课后习题答案

《现代控制理论参考答案》第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为： 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令.. 3. 21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- ++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式

现代控制理论第1章习题解答

《现代控制理论》第1章习题解答 1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？答：线性系统的状态空间模型为： x Ax Bu y Cx Du =+=+ 线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和 D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下: 1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于n 阶传递函数 121210 1 110 ()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++ ，分别有 ⑴ 能控标准型： []01 2101210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du ---????? ?????????? ?????=+?? ???????? ? ?????----???? ?=+?? ⑵ 能观标准型： []001122110001000100010 00 1n n n b a b a x a x u b a b y x du ---?-?? ????? ??-????? ?????=-+???? ? ??? ????????-???? ?=+??

《现代控制理论(第三版)》答案刘豹_唐万生编

第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1 K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - ++ - + - ) (s θ) (s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ? ? ?1 1J ? 2 J K b ? ? - 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：

u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 1611166 13153 46 1 51 41 31 33 222 11+ - - =+-==+ + - - == =? ? ? ? ? ? 阿令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????????? ???????????=?? ? ???? ? ?? ???????? ????+?????????? ?????????????????????? ? ??? ? ???????? ?---- -=??????????????????????????????65432116543 21111111126543 2100 0001 000000 00 0000 0001 00100000 000 000 10 x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

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