第一型曲线积分

第一型曲线积分 第一型曲线积分的定义

§1 第一型曲线积分1.计算下列第一型曲线积分:(1)(),L x y ds +⎰其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形; (2) 1222(),L x y ds +⎰其中L 是以原点为中心, R 为半径的右半圆周; (3) ,L xyds ⎰其中L 为椭圆22221x y a b+=在第一象限中的部分; (4),L y d

第一型曲线积分的计算

第一类曲线积分

第一型曲线积分

第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分一、第一型曲线积分的定义引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量.当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ω

(3) L : r r( ), L f ( x, y)dsf [r ) cos, r( )sin ]r2 ( ) r2 ( )d推广 : x (t), y (t), z (t) (

Γ线 x = a cos t , y = a sin t , z = k t (0 ≤ t ≤ 2 π ) 的一段弧.( x 2 + y 2 + z 2 ) ds

§21.1 第一类曲线积分的计算1.定义定积分研究的是定义在直线段上函数的积分．本节将研究定义在平面曲线或空间曲线段上函数的积分．定义 1 设L 为平面上可求长度的曲线段，),(y x f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段),,2,1(n i L i ，i L 的弧长记为i s ，分割T 的细度为i ni s

L P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz .L L LP(x,y，z),Q(x,y,z),R(x,y,z)都叫做被积函数，L叫 做

第一型曲线积分标准式：dtt r t r f ds f ⎰⎰'=Γβα)()(算法：参数法1.求出Γ的一个向量参数方程)(t r r=2.计算弧元dt t r ds )('=3.计算定积分dt t r t r f ⎰'βα)()(特别地： 显示方程 )(x y ϕ=xoy 平面的圆的参数方程⎩⎨⎧==θθcos sin a y a x 为参数θ第二型曲线积分

12( 由组成)( l 为曲线弧 的长度)6二、第一型曲线积分的计算法基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分定理:是定义在光滑曲线弧上的连续函数, 则曲线积分且f (x, y)

201第一型曲线积分幻灯片 1 «Skip Record If...»曲线积分是定积分的推广，当积分域为空间曲线或平面上的一条曲线时，定积分推广为曲线积分。它们是一些物理问题的直接抽象。幻灯片 2 «Skip Record If...»引导学生先用定积分写出直线段的质量.幻灯片 3 «Skip Record If...»定义积分四步骤:与定积分一样，曲线积分

∫∫ f ( x, y, z ) ds =∫∫∑′ ( x, y ) ⎤ ⎤ f⎡ y ( x, y ) ⎦ d σ ⎣ x, y , ϕ ( x, y ) ⎤ ⎦ 1+

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1. 计算第一型曲线积分:(1)⎰+Lds y x )(,其中L 是以)1,0(),0,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形 分析：先将L 分段表示，在利用第一型曲线积分的性质。L=OA+AB+BO ，又OA ：010x x x y =⎧≤≤⎨=⎩ AB ：011x xx y x =⎧≤≤⎨=-⎩BO ：001x y y y =⎧≤≤⎨=⎩ 解：⎰+L

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一．第一型曲线积分的定义 二．第一型曲线积分的计算一．第一型曲线积分的定义1.引例: 曲线形构件的质量B假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为 为计算此构件的质量,