21.1第一类曲线积分的计算

§21.1 第一类曲线积分的计算

1.定义

定积分研究的是定义在直线段上函数的积分．本节将研究定义在平面曲线或空间曲线段上函数的积分．

定义 1 设L 为平面上可求长度的曲线段，),(y x f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段),,2,1(n i L i ，i L 的弧长记为i s ，分割T 的细度为i n

i s T 1max ，在i L 上任取一点(i ,).,,2,1)(n i i 若存在极限

J s

f i

i

n

i i

T ),(lim

1

且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关，则称此极限为),(y x f 在L 上的第一型曲线积分，记作

.),(ds y x f L

（1）

定义 2 若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似地定义

),,(z y x f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为J s f i i

i

n

i i

T ),,(lim 1

，(此处i s 为

i L 的弧长,i n

i s T 1max , J 为一常数),并且记作

L

ds z y x f .),,( （2）

2.物理意义

1) 设某物体的密度函数f （P ）是定义在 上的连续函数．当 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量，

现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i （i=1，2，…，n)，并在每一个i 上任取一点P i 由于f （P ）为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时，每一小段i 的质量可近似地等于f （P i ） i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和式

i

n

i i

P f

)(1

当对 的分割越来越细密(即0max 1 i n

i d )时,上述和式的极限就应是该物体的

质量．

2)空间曲线L 的重心坐标为

(,,)(,,)yz L

L

x x y z dl

M x M

x y z dl

, ．(,,)(,,)zx

L

L

y x y z dl

M

y M x y z dl

, ．(,,)(,,)xy

L

L

z x y z dl

M z M x y z dl

3) 曲线L 的绕z 轴(x, y 轴)的转动惯量是

22()(,,)z L

J x y x y z dl

3.．．几何意义．．．．

1) ．．当被积函数为1时, 积分的值恰为曲线的长度. 2) 当(,)0,(,)L

f x y f x y dl

表示以L 为准线，以平行于z 轴的线为母线的曲柱面的

面积。

4 性质

第一型曲线积分具有下述一些重要性质: 1)．若

k i ds y x f L

i

,,2,1, 存在， k i c i

,,2,1 为常数，则 ds

y x f c i

L

k

i i ,1

也存在，且

.,,1

1

ds y x f c ds y x f c L

i

k

i i i

L k i i

2)．若曲线段L 由曲线k L L L ,,,21 首尾相接而成，且

i ds y x f i

L (,),,2,1k 都

存在，则

ds y x f L

,也存在，且 .,,1

ds y x f ds y x f k

i L L

I

3)．若

ds

y x f L

,与

ds

y x g L

,都存在，且在L 上 ,,,y x g y x f 则

.,,ds y x g ds y x f L

L

4)．若 ds y x f L

,存在，则 .,ds y x f L

也存在，且 .,,ds y x f ds y x f L

L

5)．若

ds y x f L

,存在，L 的弧长为s ，则存在常数c,使得 ,,cs ds y x f L

这里 .,sup ,inf y x f c y x f L

L

5 第一型曲线积分的计算 定理1 设有光滑曲线 L ： ,,,

,

t t y t x 函数 y x f ,为定义在L 上的连续函

数，则

.,,2'2'dt t t t t f ds y x f L

（3）

证明：①由弧长公式知道，L 上由1 i t t 到i t t 的弧长 .1

2'2'dt t t s i

i t t i

②由

t t 2'2' 的连续性与积分中值定理，有 i i i i t s '2''2'

.'1

i i i t t

③所以

,,,'2''2'1

""1

i i i n

i i

i

i

n i i

i

t f s f 这里

.,"'1i i i i t t

④设

,,"2'"2''2''2'1

""i i i i i n i i

i

t f

则有

.,,"2'"2'1

""1

i i i n

i i

i

i

n

i i

i

t f s f （4）

⑤令 ,,,,m ax 21n t t t t 则当0 T 时，必有.0 t ⑥现在证明.0lim 0

t

因为复合函数 t t f ,关于t 连续，所以在闭区间 ,上有界，即存在常数M,使对一切 , t 都有 .,M t t f

再由在 ,上连续，所以它在 ,上一致连续，即对任给的,0 必存在,0 使

当 t 时（此时 i t ，而.,"

'1i i i i t t 所以

i i i t '"）有

,'2''2'"2'"2' i i i i

从而 ,1

n

i i

a b M t

M

所以.0lim 0

t

⑦再由定积分定义(一般定积分的定义），可得

n

i i i

i

i

i

t t f 1

"2

'"2

'""

,lim

=

.,2'2'dt t t t t f

⑧因此当在(4)式两边取极限后，即得所要证的(3)式

.,,2'2'dt t t t t f ds y x f L

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