集合与容斥原理

容斥两集合公式
我们要探讨的是容斥原理，这是一个在集合论中非常重要的原理，用于解决重叠集合的数量问题。

容斥原理的基本思想是：两个集合各自的元素个数和，减去两个集合的交集元素个数，等于两个集合的并集元素个数。

假设我们有两个集合 A 和 B。

集合 A 的元素个数为 A，集合 B 的元素个数为 B。

集合 A 和 B 的交集的元素个数为A ∩ B。

根据容斥原理，我们可以得到以下公式：
A ∪
B = A + B - A ∩ B
这个公式告诉我们如何计算两个集合的并集的元素个数，当我们知道两个集合各自的元素个数和它们的交集的元素个数时。

根据容斥原理，集合 A 和 B 的并集的元素个数为：9个。

第一讲集合与容斥原理李宁本讲主要内容有：集合的有关概念、运算和容斥原理。

学习这一讲，要注意深刻理解集合的概念，掌握集合的思想方法和容斥原理，善于运用集合的语言和方法表示数量关系，并会用集合分拆、容斥原理等方面的知识和方法解决有关的数学问题1集合1.1集合与集合的关系若A中元素都是B中元素，则称A为B的子集，记作A⊆B，若A⊆B，且B 中至少有一元素b/∈A，则称A为B的真子集，记作A B若A⊆B，且B⊆A，则A=B集合与集合的关系，有如下性质：1.ϕ⊆A，特别地，若A=ϕ，则ϕ A2.A⊆B,B⊆C，则A⊆C3.A∪B=B⇔A⊆B;A∩B=A⇔A⊆B4.若A中元素有n个，则A的子集共有2n个，真子集有2n−1个1.2集合的运算A∩B={x|x∈A且x∈B}A∪B={x|x∈A或x∈B}C S A={x|x∈S且x/∈A}关于集合运算有以下常用结论：1.等幂律：A∩A=A,A∪A=A2.同一律：A∩U=A,A∪U=U,A∩ϕ=ϕ,A∪ϕ=A3.交换律：A∩B=B∩A,A∪B=B∪A4.结合律：A∩(B∩C)=(A∩B)∩C，A∪(B∪C)=(A∪B)∪C5.分配率：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A BA BC图1-1:文氏图2容斥原理若记有限集合A中的元素个数为|A|，则由图(1-1)可知：|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|,|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|A∩C|+|A∩B∩C|(1)一般地，对于n个有限集合S1,S2,···,S n，则有|S1∪S2∪···∪S n|=∑1 i n |S i|−∑1 i j n|S i∩S j|+∑1 i j k n|S i∩S j∩S k|−···+(−1)k−1∑1 i1<i2<···<i k n |S i1∩S i2∩···∩S ik|+···+(−1)n−1|S1∩S2∩···∩S n|(2)其中符号∑1 i1<i2<···<i k n |S i1∩S i2∩···∩S ik|表示S1,···,S n中任取k个集合的交的元素个数的总和。

一、容斥问题的3个公式容斥原理是指一种计数方法。

先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

1.两个集合的容斥原理：n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B)2.三个集合的容斥原理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|3.n个集合的容斥原理：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。

二、容斥问题的应用：对于容斥问题，解题关键做到不重不漏，各个集合相加，理清各集合间的关系，扣掉重复补上遗漏的。

用于理解的主要方法是画文氏图，但考试中应尽量避免画图，这样速度偏慢些。

【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y，Y=5人。

结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B ∩C。

三集合容斥原理公式
三集合容斥原理公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。

因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而ABC两两交集中应减两次，然而却将ABC 两两交集中的A交B交C减了三次，所以应该加上多减的一次ABC的交集。

三集合容斥问题的核心公式：
标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。

非标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|，只满足两个条件的-2×三个都满足的。

列方程组：|A∪B∪C|=只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。

|A|+|B|+|C|=只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，对于以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。

两集合容斥原理三大公式好的，以下是为您生成的文章：在数学的奇妙世界里，两集合容斥原理就像是一个神秘的宝藏，等待着我们去挖掘和探索。

而打开这个宝藏的钥匙，就是那三大公式。

咱们先来说说这第一个公式：A∪B = A + B - A∩B 。

这就好比是一场班级的活动，比如组织大家去郊游。

假设班级里喜欢爬山的同学有A 个，喜欢游泳的同学有B 个，但是呢，有一部分同学既喜欢爬山又喜欢游泳，这部分同学的数量就是A∩B 。

那么，整个班级喜欢爬山或者喜欢游泳的同学总数，就是 A∪B ，也就是用喜欢爬山的同学数量加上喜欢游泳的同学数量，再减去既喜欢爬山又喜欢游泳的同学数量。

再看第二个公式：Card(A∪B) = Card(A) + Card(B) - Card(A∩B) 。

这个公式看起来有点复杂，但其实理解起来也不难。

就拿学校的社团来说吧，参加书法社团的同学数量是 Card(A) ，参加绘画社团的同学数量是 Card(B) 。

有些同学特别厉害，既参加了书法社团又参加了绘画社团，这部分同学的数量就是Card(A∩B) 。

那么，参加了书法社团或者绘画社团的同学总数 Card(A∪B) ，就是用参加书法社团的同学数量加上参加绘画社团的同学数量，再减去既参加书法社团又参加绘画社团的同学数量。

还有第三个公式：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣。

咱们来想象一下学校的运动会，报名跑步项目的同学数量是∣A∣，报名跳远项目的同学数量是∣B∣。

有几个同学特别有运动天赋，既报名了跑步又报名了跳远，这部分同学数量就是∣A∩B∣。

那么，报名跑步项目或者跳远项目的同学总数∣A∪B∣，就是报名跑步的同学数量加上报名跳远的同学数量，再减去既报名跑步又报名跳远的同学数量。

记得有一次，我们班组织选兴趣小组，有音乐小组和美术小组。

统计的时候发现，喜欢音乐的同学有 20 个，喜欢美术的同学有 15 个。

可一细查，居然有 8 个同学两个小组都喜欢。

这时候就得用咱们的两集合容斥原理公式来算算，到底班级里喜欢音乐或者美术的同学一共有多少个。

三个集合容斥原理公式好的，以下是为您生成的文章：咱今天就来好好唠唠这三个集合容斥原理公式！话说我之前在给学生们讲这部分内容的时候，发生了一件特别有意思的事儿。

有个叫小明的同学，那小脑瓜转得可快了，但就是对这容斥原理有点迷糊。

咱先来说说这第一个公式：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - A∩C -B∩C + A∩B∩C 。

这个公式看着有点复杂，其实就像我们分糖果一样。

比如说 A 盒子里有一些巧克力，B 盒子里有一些水果糖，C 盒子里有一些奶糖。

A∩B 呢，就是既在 A 盒子又在 B 盒子里的那种混合糖，A∩C 、B∩C 也是同样的道理。

而A∩B∩C 就是三种糖都有的那种超级混合糖。

咱们拿一个班级的兴趣小组来举例吧。

比如参加数学兴趣小组的有A 个人，参加语文兴趣小组的有B 个人，参加英语兴趣小组的有C 个人。

有的同学既参加了数学又参加了语文，这就是A∩B ；有的既参加了数学又参加了英语，这是A∩C ；还有既参加语文又参加英语的，那就是B∩C 。

而三种都参加的就是A∩B∩C 。

再看第二个公式：A∪B = A + B - A∩B 。

这个就简单多啦，就像我们去超市买东西。

A 是买水果的人数，B 是买零食的人数，A∩B 就是既买了水果又买了零食的那些人。

比如说一个班级组织活动，要统计参加唱歌和跳舞的人数。

参加唱歌的有 20 人，参加跳舞的有 15 人，但是有 5 个人既参加了唱歌又参加了跳舞，那总的参加人数就是 20 +15 - 5 = 30 人。

第三个公式：Card(A∪B∪C) = Card(A) + Card(B) + Card(C) -Card(A∩B) - Card(A∩C) - Card(B∩C) + Card(A∩B∩C) 。

这个看起来好像很高级，其实本质和前面差不多。

比如说学校组织运动会，报名跑步的、跳远的、跳高的分别有一定人数，然后通过这个公式就能算出参加至少一项运动的总人数。

三集合容斥原理三大公式三集合容斥原理三大公式，是数学上重要的计算方法，经常被广泛应用于求解复杂的数学问题。

它被用于对无限个相互独立的可列集合之间的元素及其关系进行计算。

这三大公式可以帮助我们理清思路，算出结果，这也是它有价值的地方。

其中，第一个公式是“容斥原理”，也叫容斥式，它描述的是当一组不相交的集合的总长度比其他集合的总长度之和要短时，可以用它们的并集去表示其他集合的总长度之和。

实际上，容斥式反映的是当集合的总数越多时，它的表示的总长度会越短。

容斥式概括为：∑(-1)^n*U(n)=U(1)U(2)U(n)其中，U(n)表示第n个集合的总长度，n表示所有集合的总数。

第二个公式是“马尔可夫超限定理”，也叫马尔可夫不等式，它表明，对于一组无限长度的相互独立的集合，其总长度与第一个集合的总长度之和之差，是与其其他集合总长度有关的。

它表示，总长度的差值越大，说明集合之间的关系更加紧密，也说明其他集合的总长度比第一个集合的总长度要长。

马尔可夫超限定理如下：∑(-1)^n*U(1)U(n)≤U(1)-U(2)U(3)U(n)其中，U(1)表示第一个集合的总长度，U(n)表示所有集合的总长度之和。

最后一个公式是“希尔伯特定理”，也叫希尔伯特不等式，它表明，一组无限长度的相互独立的集合，其并集的总长度是与其他集合的总长度有关的。

它提出，总长度的差值越大，说明集合之间的关系更紧密，也就是其他集合的总长度比并集的总长度要长。

希尔伯特定理的表达式为：U(1)U(2)U(n)≤∑U(n)它表示，第一个集合的总长度乘以其他集合的总长度之和，不能大于所有集合的总长度之和。

三集合容斥原理三大公式是求解复杂问题的重要工具，能够帮助我们准确理清思路，算出结果。

对它深入了解，将有助于我们正确理解复杂的数学问题及其解法，扩大视野，拓宽认知。

用容斥原理解决n个集合问题容斥原理是概率论中一种重要的结论，经常被用来解决数学中的集合问题。

当我们面对n个集合并要求相应元素的数量时，使用容斥原理可以非常方便地得到答案。

下面我们就来详细探究一下用容斥原理解决n个集合问题的方法。

首先，我们来看一个简单的例子。

假设我们有三个集合A、B、C，它们的交集为X，X内元素的数量为m，那么如何计算A、B、C三个集合中元素的数量和呢？根据容斥原理，我们可以列出如下公式：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|S|表示集合S中元素的数量。

这个公式的含义是，首先将A、B、C三个集合中的元素数量相加，然后减去重复的元素数量，最后加上同时属于三个集合的元素数量，就得到了A、B、C三个集合中元素的数量总和。

那么对于n个集合怎么办呢？我们可以采用类似的思路。

假设这n 个集合的交集为X，X内元素的数量为m，那么这n个集合中元素的数量和可以表示为：|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = Σ|Ai| - Σ|Ai ∩ Aj| + Σ|Ai ∩ Aj ∩ Ak| - ... + (-1)^(n+1) × |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|其中，Σ表示求和符号。

这个公式的含义是，首先将所有集合中元素的数量相加，然后两个集合之间的重复元素数量相减（注意，要对所有的组合方式进行求和），再加上三个集合之间的重复元素数量，以此类推，最后再对交集内的元素数量进行加减，就得到了n个集合中元素的数量和。

综上所述，容斥原理是解决n个集合问题的有力工具，我们只需要按照上述公式进行计算，就能够轻松得出所需答案。

容斥原理集合公式card在我们日常生活和工作中，数学原理的应用无处不在。

本文将介绍一个有趣的数学原理——容斥原理，以及与之相关的集合公式card。

通过实例演示与应用，帮助你更好地理解和运用这一原理，提升解决实际问题的能力。

一、容斥原理简介容斥原理，又称容斥公式，是一种计算两个或多个集合交集、并集、补集的方法。

它是由德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）在19世纪提出的。

容斥原理的核心思想是：两个集合的并集减去交集，等于两个集合的并集的card（集合基数）。

用数学公式表示为：A ∪B = A + B - A ∩ B其中，A、B为两个集合。

二、容斥原理应用场景1.计算集合交集、并集、补集：通过容斥原理，我们可以方便地计算出多个集合的交集、并集、补集，无需一一求解。

2.计数问题：在计数问题时，容斥原理可以帮助我们快速求解。

例如，计算一个班级中男生和女生的总人数，已知男生人数为a，女生人数为b，班级总人数为c，我们可以用容斥原理求解：男生和女生的并集= 男生人数+ 女生人数- 男生与女生的交集3.组合问题：在组合问题中，容斥原理也有广泛应用。

例如，从n个人中选出m个人组成一个团队，不考虑顺序。

我们可以用容斥原理计算组合数：C(n, m) = ∑[C(n-1, k) * C(m, k)]（k从0到m）其中，C(n, k)表示从n个人中选出k个人的组合数。

三、集合公式card介绍card表示集合的基数，即集合中元素的个数。

在日常生活中，我们经常需要计算集合的card，以便了解集合的大小。

例如，有以下三个集合：A = {1, 2, 3}B = {2, 3, 4}C = {3, 4, 5}我们可以计算出这三个集合的card：card(A) = 3card(B) = 3card(C) = 3四、实例演示与应用1.计算两个集合的交集、并集、补集。

集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}根据容斥原理，我们可以计算出：A ∪B = A + B - A ∩ B = {1, 2, 3, 4}A ∩B = {2, 3}2.计算组合数。

两集合容斥公式原理
容斥原理是数理逻辑中的基本定理，它指出任何两个集合之间都存在着排斥关系，即任何两个集合之间都不能同时被“包括”。

因为任何一个集合都是由至少一个元素所构成的，即不能把某个元素包含在另一个集合中。

因此，在数理逻辑中，容斥原理的主要作用就是说明“不能包含”这一事实。

我们知道，在数理逻辑中，若A=B，则B也是A的子集；若B=A+C，则C也是A的子集；若C=B+D，则D也是B的子集。

因此，对于任意两个集合X和Y，它们都可以通过容斥原理推出另一个集合X和Y。

而X和Y都是非空集合。

数学中有一类特殊的命题：如果存在两个元素x,y，那么存在一个元素x使得y=x+y，则x与y都可以包含在y中。

这种命题称为两集合容斥定理。

证明：设X=(pi)i=0(p0为集合P的元素）且pi为任意两个元素的交集：
式中Pi为两个元素的交集：
又因为集合P可通过容斥原理推出X与Y，所以我们称这个定理为两集合容斥定理。

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