北京各区县2013年1月初三数学期末试题精选汇编：代数几何综合题

三. 代数几何综合题

1(门头沟25). 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线22yaxbx

经过（2，1）和（6，－5）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设此抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C 点，点P是在直线4x右侧的此抛物线上一点，过点P作PMx轴，垂足为M. 若以A、P、M为顶点的三角形与△OCB相似，求点P的坐标；

（3）点E是直线BC上的一点，点F是平面内的一点，若要使以点O、B、E、F为顶点的四边形是菱形，请直接写出点F的坐标.

25．解：（1）由题意，得4221,36625.abab

解这个方程组，得 1,25.2ab ……………………………………………1分

∴ 抛物线的解析式为215222yxx. ………………………………2分

（2）令0y，得2152022xx.

解这个方程，得1214xx，.

(10)(40)AB，，，．

令0x，得2y．

(02)C，．

设P（215,222mmm）.

因为∠COB=∠AMP=90°，

①当OCOBMAMP时，△OCB∽△MAP．

∴224151222mmm．

解这个方程，得1281mm，（舍）．

∴点P的坐标为(814)，．………………………………………………3分

②当OCOBMPMA时，△OCB∽△MPA． O x y

A B

C

P M y

x O 1 1 ∴224151222mmm．

解这个方程，得1251mm，（舍）．

∴点P的坐标为(52)，. ………………………………………………4分

∴点P的坐标为(814)，-或(52)，．

（3）点F的坐标为84(5,5)55或84(5,5)55或816(,)55或(21)，.…8分

2(燕山24)．如图，在平面直角坐标系中，直线l：231xy交y轴于点A．抛物线cbxxy221的图象过点E（－1，0），并与直线l相交于A、B两点．

⑴ 求抛物线的解析式；

⑵ 设点P是抛物线的对称轴上的一个动点，当△PAE的周长最小时，求点P的坐标；

⑶ 在x轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

24．⑴ 直线l：231xy交y轴于点A(0，2)，

∵A（0，2）、E（－1，0）是抛物线cbxxy221上的点，

∴021,2cbc，解得2,23cb．

∴抛物线的解析式是：223212xxy．

⑵ ∵223212xxy=825)23(212xy，∴对称轴为x=23，

点E（－1，0）关于x=23的对称点为F(4，0)．

如图⑴所示，联结AF，与对称轴x=23的交点即为所求P点，由于E、F两点关于对称轴对称，则此时△PAE的周长=PA+PE+AE

= PA+PF+AE= AF+AE最小．

设直线AF的解析式为y=kx+2，

把F（4，0）代入，可得4k+2=0，解得k＝－21，

∴直线AF解析式为y=－21x＋2．

当x=23时，y=45，∴P点坐标为（23，45）． 第24题图 xOABEyxOPABFEy图⑴ ⑶ 设在x轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形，

① 若∠BAM=900，此时点M应在x轴的负半轴上，如图⑵，

设直线l：231xy交x轴于点C，令y=0，得x=6，∴C（6，0）．

由AM1⊥AB，OA⊥OC，可证△AOC∽△M1OA，

∴OCOAOAOM1．

∵AO=2，OC=6，∴6221OM，

∴OM1=32，∴M1(－32，0)．

② 若∠ABM=90°，此时点M应在x轴的正半轴上，如图⑵，

∵点B是直线231xy和抛物线223212xxy的交点，

∴22321,2312xxyxy，解得97,311yx，或2,0yx(舍)

∴B(311，97)．

解法一：设M(m，0)，过点B作BD⊥x轴于点D，则有△BDM∽△CDB，

∴BDCDDMBD2 ．

∵BD=97，M2D=311－m，CD=6－311=37，

∴973731197m，解得m=2792，∴M2(2792，0)．

解法二：过点B作BD⊥x轴于点D，

∵BM2∥AM1， ∴∠BM2D=∠AM1O，

∵tan∠AM1O＝1OMAO＝3，

∴tan∠BM2D＝DMBD2＝DM297＝3，

∴M2D=277．∴OM2=OD－M2D=311－277=2792， 图⑵ M2M1xOCABDEy∴M2(2792，0)．

③ 若∠AMB=90°，则点M是以AB为直径的圆与x轴的交点，此时点M应在x轴的正半轴上，如图⑶，

设M(t，0)，过点B作BD⊥x轴于点D，则有△AOM∽△MDB，

∴BDOMMDAO．

∵AO=2，MD=311－t，OM=t，BD=97，

∴973112tt，解得66511t，

∴M3(66511，0)，M4(66511，0)．

综上所述，在x轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形，满足条件的点M的坐标是：M1(－32，0)，M2(2792，0)，M3(66511，0)，M4(66511，0)．

3(通州24).在平面直角坐标系xOy中，点B(0，3)，点C是x轴正半轴上一点，连结BC，过点C作直线CP∥y轴.

（1）若含45°角的直角三角形如图所示放置．其中，一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上．求点C的坐标；

（2）若含30°角的直角三角形一个顶点与点O重合，直角顶点D在线段BC上，另一个顶点E在CP上，求点C的坐标．

24. 解：（1）过点D分别作DG⊥x轴于G，

DH⊥PC于H. ……………… 1分；

∴90OGDEHDo，

∵△ODE是等腰直角三角形，

∴OD=DE，90ODEo，

∵CP∥y轴，

∴ 四边形DGCH是矩形， ……………… 2分； 备用图备用图第24题图xyBOOByxyxEPDCBOHG第24题图yxEPDCBO图⑶ MxOCABDEy ∴90GDHo，DH=GC.

∴90ODGGDEEDHGDEo，

∴ODGEDH，

∴△ODG≌△EDH. ……………… 3分；

∴DG=DH.

∴DG=GC，

∴△DGC是等腰直角三角形，

∴45DCGo， ……………… 4分；

∴tan1OBDCGOC，

∴OC=OB=3.

∴点C的坐标为（3,0） ……………… 5分；

（2） 分两种情况：

当60DOEo时，

过点D分别作DG⊥x轴于G，

DH⊥PC于H.

∴90OGDEHDo，

∵△ODE是直角三角形，

∴tan33ODDEODE，

90ODEo，

∵CP∥y轴，

∴ 四边形DGCH是矩形，

∴90GDHo，DH=GC.

∴90ODGGDEEDHGDEo，

∴ODGEDH，

∴△ODG∽△EDH. ……………… 6分； HGPECDOByx ∴33DGODDHDE.

∴33DGGC，

∴tan33DGDCGGC，

∴30DCGo，

∴tan33OBDCGOC，

∴OC=33. ……………… 7分；

当30DOEo时，

过点D分别作DG⊥x轴于G，

DH⊥PC于H.

∴90OGDEHDo，

∵△ODE是直角三角形，

∴tan3ODDEODE，

90ODEo，

∵CP∥y轴，

∴ 四边形DGCH是矩形，

∴90GDHo，DH=GC.

∴90ODGGDEEDHGDEo，

∴ODGEDH，

∴△ODG∽△EDH. ……………… 8分；

∴3DGODDHDE.

∴3DGGC，

∴tan3DGDCGGC， HGPECDxyBO ∴30DCGo，

∴tan3OBDCGOC，

∴OC=3. ……………… 9分.

∴点C的坐标为（3,0）、（33,0）.

备注：点E在x轴下方，证法一样，不须分类讨论.

4(平谷25)． 已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是(01)A，，(03)B，，第三个顶点C在x轴的正半轴上，关于y轴对称的抛物线2yaxbxc经过点(32)AD，，．

（1）求直线BC的解析式；

（2）求抛物线2yaxbxc的解析式并判断点C是否在抛物线上；

（3）设点P在（2）中的抛物线上，且点P关于直线AC的对称点在x轴上，求点P的坐标．

25． 解：（1）(01)A，，(03)B，，2AB．…………………………………1分

ABC△是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上，2ACAB，

223OCACOA．(30)C，．……………………………….2分

设直线BC的解析式为3ykx，330k，3k．

直线BC的解析式为33yx．……………………………………………3分

（2）抛物线2yaxbxc关于y轴对称，0b．………………………4分

又抛物线2yaxbxc经过(01)A，，(32)D，两点．

192cac，．解得131.ac，

抛物线的解析式是2113yx．…………5分

在RtAOC△中，12OAAC，，易得30ACO． yxOy

x A B

D O

C

P C

M Q