《四边形》纵轴研究(张雯)

四边形性质的概念与判定

四边形是一个有四条边和四个顶点的多边形，在数学中研究四边形这一特殊类型的多边形是十分重要的。四边形具有一些独特的性质和特点，其判定方法也有一定的规则和准则。下面将就四边形性质的概念和判定方法进行详细阐述。

首先，我们来介绍一些四边形的基本性质：

1. 四边形的边数是四，顶点数是四。

2. 四边形的对角线有两条。

3. 四边形的内角和是360度。也就是四边形的四个内角的度数之和等于360度。

4. 四边形的相邻角（即指两个共享一条边的角）的和是180度。这个也可以表示为相对角之和等于180度。

5. 四边形的两条对边平行。也就是说，四边形的相对边都是平行的。

接下来，我们将对四边形的判定方法进行详细的讨论。

1. 判定一个凸四边形：凸四边形是指四边形的所有内角都小于180度的四边形。判定方法如下：首先，根据四边形的定义，确定四个顶点的坐标。然后，利用向量或者叉积的方法计算出四边形的两个对角线的斜率。如果这两个斜率相等，那么就可以判定这个凸四边形。

2. 判定一个凹四边形：凹四边形是指四边形中至少有一个内角大于180度的四边形。判定方法如下：同样是根据四边形的定义，确定四个顶点的坐标。然后，利用向量或者叉积的方法计算出四边形的两个对角线的斜率。如果这两个斜率不相等，那么可以判定这个凹四边形。

3. 判定一个平行四边形：平行四边形是指具有两组相对边是平行的四边形。判定方法如下：根据四边形的定义，确定四个顶点的坐标。然后，利用向量或者叉积的方法计算出四边形的两个对角线的斜率。如果这两个斜率相等，并且两组相对边的长度也相等，那么可以判定这个四边形是一个平行四边形。另外，根据平行四边形的性质，对边的对角线长度相等，相邻角的和为180度。

4. 判定一个矩形：矩形是指具有四个直角的四边形。判定方法如下：根据四边形的定义，确定四个顶点的坐标。然后，利用向量或者叉积的方法计算出四边形的两个对角线的斜率。如果这两个斜率相等，并且两组相对边的长度也相等，那么可以判定这个四边形是一个矩形。另外，根据矩形的性质，对角线的长度相等，相邻角的和为180度。

word

1 / 15

初三数学用推理方法研究四边形华东师大版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

用推理方法研究四边形

［重要知识归纳］

一. 平行四边形

1. 平行四边形的判定定理：

（1）从边的关系去判定

①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

②两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（2）从角的关系去判定

④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（注：邻角都互补的四边形也可证其是平行四边形。）

（3）从对角线的关系去判定：

⑤对角线相互平分的四边形是平行四边形。

2. 平行四边形的性质定理：

（1）从边的关系分析①平行四边形对边平行且相等。

（2）从角的关系分析②平行四边形对角相等、邻角互补。

（3）从对角线分析③平行四边形对角线互相平分。

（4）从对称性分析④平行四边形是中心对称图形，对角线交点是对称中心。

（注：由中心对称性，可通过绕三角形一边中点旋转180°来构造平行四边形。）

二. 矩形

1. 矩形的判定定理：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）有三个角是直角的四边形是矩形。

（3）对角线相等的平行四边形是矩形。

（4）对角线相等且相互平分的四边形是矩形。

2. 矩形的性质定理：

（1）矩形的四个角都是直角。

（2）矩形的对角线相等且相互平分。

3. 矩形的对称性：

矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

三. 菱形

1. 菱形的判定定理：

①四条边都相等的四边形是菱形。

②有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 word

2 / 15 ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

2. 菱形的性质定理：

①菱形四条边都相等。

②菱形对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。

3. 菱形的对称性：

菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4. 菱形的面积等于它的两条对角线的乘积的一半。

龙源期刊网

“人教版”“四边形”教学方法探究

作者：陈乐乐

来源：《新课程研究·中旬》2019年第08期

摘 ; 要：长方形、正方形是最基本的平面几何图形，是学习三角形、平行四边形、梯形等平面图形的基础。文章通过对相关教材的分析，提出了在教学中多角度利用点子图素材，开展活动探究，不断建构完善长方形正方形的特征。 龙源期刊网

关键词：长方形;正方形;点子图;活动

作者简介：陈乐乐，浙江省温州市籀园小学教师，研究方向为小学数学教学。（浙江 ;温州 ;325000）

中图分类号：G623.5 ; ; 文献标识码：A ; ; ;文章编号：1671-0568（2019）23-0105-02

“人教版”三年级上册中的“四边形”教学内容起承上启下的作用，所以教材内容编排、新旧教材的变化、教师该如何根据教材变化进行有效的教学，都需要重视。

一、教材编写及变化情况

笔者翻阅了2003版本与2013版本的“四边形”的教学内容，发现教材在内容上有较大的改变。

1. 单元标题呈现不同。2003版单元标题为“四边形”，安排在第三单元“多位数乘一位数”之前，而2013版单元标题为“长方形和正方形”，安排在第七单元“多位数乘一位数”之后。由此可见，变化有：内容凸显长方形正方形;习题设置范围加大，素材更丰富。

2. 学习素材呈现不同。2003版教材例题中学习材料呈现多个四边形，并为分类做准备，让学生在分类中认识不同四边形的特征。2013版本只呈现长方形和正方形，重点让学生主动探究归纳长方形和正方形的特征，使学生对它们的认识由表象到实质。

2003版本中只出现一次用钉子板围四边形的练习，2013版本中出现一次用点子图画四边形，还有一次是用格子图画长方形和正方形。提供的素材不同，操作方法也不同。从实践操作看，钉子板上围四边形，只要一围自然而然就产生了直边和角，所以学生对于四边形的认识就是一种感知认识;而2013版本的在点子图上或者格子图上画，学生要边操作边思考怎么画产生角和直边，对于学生认识四边形，特别是认识长方形、正方形的特征有直接的体验。

word

1 / 5 初三数学用推理方法研究四边形教案示例五

知识技能目标

1.掌握等腰梯形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是等腰梯形；

2.能运用等腰梯形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．

过程性目标

经历探索等腰梯形有关性质与判定条件的过程，巩固梯形中常见添线方法，进一步发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．

教学过程

一、创设情景

在第12章中，我们已学过等腰梯形的一些性质．现在也可以用逻辑推理的方法来证明这些性质．

二、探究归纳

定理 等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等．

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．

求证：∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA．

图27.3.8

分析 可以过点D作DE∥AB，交BC于E．

（请学生写出完整的证明过程）

定理 等腰梯形的两条对角线相等．

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．

求证：AC＝BD． word

2 / 5 图27.3.9

分析 可以通过证明△ABC≌△DCB得出结论．

（请学生写出完整的证明过程）

我们同样可以探索一个梯形具备哪些条件才能成为等腰梯形．

定理 同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．

求证：四边形ABCD是等腰梯形．

图27.3.10

证明 过点D作DE∥AB，交BC于E，则

∠B＝∠DEC（两直线平行，同位角相等）．

因为∠B＝∠C，

所以∠DEC＝∠C，

所以DE＝DC（等角对等边）．

因为AD∥BC，DE∥AB，

所以四边形ABED是平行四边形（平行四边形的定义），

所以AB＝DE（平行四边形的对边相等）．

因此 AB＝DC，

即四边形ABCD是等腰梯形． word

3 / 5 我们还可以得到：

定理两条对角线相等的梯形是等腰梯形．

三、实践应用

例1 用图中所示的辅助线的方法，证明同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．