四边形教材分析(电子稿)

第十九章四边形教材分析（5 稿）北京市十一学校周志英想从以下几个方面进行教材分析：•一、个人对本章的总体认识•二、课程标准对本章的定位•三、不同教材对本章的处理•四、对本章各节的分析•五、关于本章复习课的一些建议•六、北京中考中的四边形一、个人对本章的总体认识核心词: 推理、联系、变换这一章的教学可以分为两个部分:一是新课的教学，平行四边形(梯形)的性质及判定；一是以四边形为背景对直角三角形、等腰三角形、三角形全等、平移、旋转、轴对称变换的复习.在研究四边形的性质时，注意加强类比，突出研究图形方法的引导，即研究图形把它转化为研究构成图形的线段和角.与三角形的联系：直角三角形的性质，三角形的中位线，部分与整体，静止与运动与变换的联系：平行四边形——平移与中心对称性质，菱形、矩形、正方形——轴对称性，梯形——平移与轴对称性.本章承载着培养和发展演绎推理能力的巨大任务，这也是与小学学习四边形的最大的不同，如对对角线的研究、逻辑关系等.二、课程标准对本章的定位：空间与图形：1．图形的认识2．图形与变换3．图形与坐标4．图形与证明1．图形的认识(4)探索并掌握三角形的中位线的性质．（5）四边形.①探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.②掌握平行四边形、短形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.③探索并掌握平行四边形的有关性质[1]和四边形是平行四边形的条件[2].（[1] 平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.[2] 一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形.）④探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质[3]和四边形是矩形、菱形、正方形的条件[4].（[3] 矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分. [4] 三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形.）⑤探索并了解等腰梯形的有关性质[5]和四边形是等腰梯形的条件[6].（[5] 等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等.[6] 同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形.）⑥探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义（如一根均匀木棒、一块均匀的短形木板的重心）.⑦通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.2．图形与变换(3)图形的旋转②了解平行四边形是中心对称图形；⑤探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)．⑥灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．3．图形与坐标（书P114/12题，P122/观察与猜想）4．图形与证明(1)了解证明的含义：①理解证明的必要性；④通过具体的例子理解反例的作用，知道并利用反例可以证明一个命题是错误的．⑥掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据．(2)掌握以下事实，作为证明的依据：①一条直线截两条平行直线所得的同位角相等．②两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行．③若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边）分别相等,则这两个三角形全等．④全等三角形的对应边相等、对应角分别相等．(3)利用(2)中的基本事实证明下列命题：⑥三角形的中位线；⑦直角三角形的性质和判定定理；本节主要涉及“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．⑧平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理．综上，在这一章的教学中我们要注意：1.注重对数学知识的形成和应用过程的探索2.注重并落实学生对证明命题的基本方法的领会，关注反例3.注重知识与知识之间的相互联系三、教材中对本章的处理分析华师版教材是先讲轴对称再讲等腰三角形，先讲平移与旋转及再讲平行四边形的特征与识别及梯形的特征；对等腰三角形和平行四边形都是直观认知.但对证明放在了九年级讲，平行四边形的特征与识别、三角形及梯形的中位线定理．人教课标教材则在“七下”讨论三角形内角和及内外角关系等性质后，作为三角形知识的延伸讨论了四边形与多边形的一般知识；将中心对称及中心对称图形的相关内容后置到了“九上”旋转（第23章），辟专节讨论.个人觉得还是把两者结合起来，先讲平移、旋转、轴对称和简单推理，现从直观和推理两个方面同时来研究等腰三角形和平行四边形.无论是对图形的认识和理解还是对几何问题的解决上都不要把旋转放在最后讲.用运动的观点来研究图形和综合分析数学问题的能力不是靠初三复习就能形成的.四、对本章各节的分析本章教学的要求：(一)基本要求：1.能借助定义识别平行四边形，矩形，菱形，正方形及梯形、等腰梯形与直角梯形；2.了解三角形的中位线的定义及其与第三边的位置与数量关系；3.了解直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系；4.了解等腰梯形的性质与判定；5.了解线段、平行四边形(包括矩形、菱形、正方形)及三角形的重心及物理意义.（二）略高要求：1.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定，会用平行四边形及特殊平行四边形的性质和判定解决简单问题；2.会证明三角形的中位线定理，并会应用其性质解决有关的问题；3.掌握梯形的定义，会计算梯形的周长及面积；会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题；4．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系.（三）较高要求：1.会用平行四边形、矩形、菱形、正方形解决有关问题；2.能根据相关信息构造三角形的中位线，并使用其性质解决相关问题；3.能运用平行四边形的知识或平移，体会梯形是三角形与四边形的组合，并解决相关的计算与证明问题；4.能借助平行四边形的知识，并结合对称、平移、旋转变换解决相关问题.课时安排§19.1 平行四边形------------5课时(1)平行四边形的特征------------2课时(2)平行四边形的识别---------- 2课时(3)平行四边形的特征与识别------- 1课时§19.2 几种特殊的平行四边形------5课时(1)矩形---------- 2课时(2)菱形---------- 2课时(3)正方形---------- 1课时§19.3 梯形---------- 2课时§19.4重心---------- 1课时专题复习---------- 3（7）课时1．四边形的来龙去脉---------- 1课时2．三角形中位线的探究---------- 2课时3．变换下的四边形---------- 1课时4．四边形的面积问题---------- 1课时5．四边形中的特殊角---------- 1课时6．坐标系中的四边形---------- 1课时具体建议§19.1 平行四边形平行四边形:(慢\到位\落实，至少5课时) 1.研究四边形的角度:边\角\对角线2．平行四边形性质的应用3．平行四边形判定方法的探究4.平行四边形判定方法的选择5.分析推理过程:看,想,做6.三角形中位线学生问：（1）为什么平行四边形的定义是：两组对边分别平行的四边形？用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来定义可以吗？（2）平行四边形的性质为什么要研究对角线？——研究平面几何的对象以及方法的认识可以在这一章结束的复习中形成与完善：研究的对象是图形的位置、大小与形状；首先是位置，位置决定数量，数量刻画位置；——由于对角线的存在产生了与三角形的差异，而三角形本身是确定的（角、边都具有自身的性质），四边形是不确定的（角具有性质，而边本身没有性质），形成了自己的独立的研究价值.对角线的存在为四边形的研究提供了一种新的研究方法，但是研究四边形并不一定都要联结对角线，还可以使用其他的方法，而对角线由于是四边形本身所具有的，因此很多情况下解决问题就比较简单.边与角的对应关系是研究的起点与研究的基本方法．等边对等角，大边对大角.从三角形旋转形成平行四边形来看，对应点的连线段恰好形成对角线.过对角线交点的直线与一组对边或延长线相交形成全等三角形2．平行四边形判定的教学：的四边形是平行四边形一条对角线；两顶点的对角线平分另一组对角相等该对角的条对角线平分；两顶点的对角线被另一一组对角相等该对角的相平分；角线被另一条对角线互一组对边相等且一条对角相等；一组对边相等且一组对相平分；角线被另一条对角线互一组对边平行且一条对角相等；一组对边平行且一组对另一组对边相等；一组对边平行一组对边平行且相等；异类两个独立条件；的四边形是平行四边形对角线互相平分；两组对角分别相等；两组对边分别相等；同类两个独立条件⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧,.B .A用图形的变换或已有判别方法验证猜想成立或举例说明某猜想不成立.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+)(.11;.10.9,.8.7.6.5.4.3.2(.1不正确条对角线平分；两顶点的对角线被另一一组对角相等该对角的角相等一组对边相等且一组对相平分；角线被另一条对角线互一组对边相等且一条对另一组对边相等；一组对边平行正确一条对角线；两顶点的对角线平分另一组对角相等该对角的相平分；角线被另一条对角线互一组对边平行且一条对角相等；一组对边平行且一组对旋转变换）移变换两组对边分别相等（平）转换为平行四边形定义两组对角分别相等；（转变换）对角线互相平分；（旋平移变换）一组对边平行且相等；可以引导学生用尺规作图的方法构造反例3.平行四边形判定方法的选择例 1.如图，四边形ABCD 中，EF 过对角线交点，且OB+BE =OD+DF ，若OE =OF ，证明四边形ABCD 为平行四边形.（选择问题）4.分析推理过程:看,想,做(性质很简单,但很多问题并不能由此直接得出,需要与其它已知条件结合起来思考,使得问题的解决有更多的切入口,如何选择,如何分析是一个难点)例2如图，四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、AB 的中点，CE 、CF 交BD 于G 、H ，若G 、H 为BD 的三等分点，证明四边形ABCD 为平行四边形.（从已知出发和从结论出发的两种分析方法）5.三角形中位线（在例题中出现的），一个非常好的知识载体，体现构造基本图形——平行四边形的方法，或者说旋转图形的意识.§19.2 特殊的平行四边形1. 平行四边形与矩形、菱形、正方形这些图形之间的关系2.矩形、菱形、正方形的性质与判定3.从“边、角、对角线”和“对称性”两个角度比较平行四边形及特殊平行四边形的定义、性质、判定4.关于正方形的认识5.直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半.6.关于菱形面积公式的推导(例题)例1 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边DC、AD上的点，且EF=EB，EF⊥EB.求证: AE平分∠BAD.F例2 如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3.（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F.①求证：点B平分线段AF；②△P AE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由.PC§19.3 梯形1.梯形与平行四边形的异同2.等腰梯形的性质与判定3.体会梯形是一个组合图形，关注平行四边形、三角形及平移等知识或方法在揭示梯形的图形结构中的运用4．梯形的平移与等腰梯形的轴对称例. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝8，腰AB ＝7， 则另一腰CD 的取值范围是 .§19.4 课题学习 重心1.什么叫重心：重力的作用点2.几何中心与重心的异同：凸图形的重心就是它的几何中心3.用悬挂法确定不规则几何图形的重心4.重心与面积等分的关系5.注重动手操作及归纳能力的培养,体会数学与物理两个不同学科之间的联系五、关于本章复习课的一些建议本章复习需要解决的问题1．图形之间的关系2．把四边形的问题转化为三角形的问题，培养学生把握图形的能力3．利用平行四边形的知识构造新的图形关系4．图形直观及整体、宏观把握图形的能力与意识，强化对特殊四边形的性质与判定的运用5．利用轴对称、平移等变换移动图形或图形中的元素专题复习---------- 3（7）课时1．四边形的来龙去脉---------- 1课时2．三角形中位线的探究---------- 2课时3．变换下的四边形---------- 1课时4．四边形的面积问题---------- 1课时5．四边形中的特殊角---------- 1课时6．坐标系中的四边形---------- 1课时复习1：四边形的来龙去脉4．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系.（海淀区的要求）等腰梯形直角梯形梯形正方形菱形矩形四边形平行四边形教材对于四边形的编排是按照逻辑顺序展开的：在原有属概念基础上附加一些条件（种差），通过扩大概念的内涵、减少概念的外延的方式引出新的种概念；同时，在原有属概念的性质和判定方法的基础上，来研究种概念的性质和判定方法.在逻辑学中将外延较大的概念称为属概念，外延较小的概念称为种概念.属种关系是指外延较大的属概念对于外延较小的种概念的关系，例如“平行四边形”与“矩形”.种差：把隶属一个更一般的概念的某个类区别出来的标志或属性定义概念的一种方式：种差+属概念1．首先要确定被定义概念从属于哪一个邻近的属概念, 2．然后找出被定义概念与共同的属概念下的其他种概念在反映对象上的差别,即种差概念所具有的内涵就是该概念所包含的本质特征；外延是该概念所确指的一切事物.概念的内涵和外延具有反变关系，即内涵越多，外延越少；内涵越少，外延越多.明确概念就是要明确它所反映的事物的本质特征（内涵）和它指的是事物（外延），以及它与其他概念间的关系.例：如图，梯形ABCD，A D∥BC，连接BD，过B、C分别作CD、BD的平行线交于E.连接AE交BC于F，求证：F是AE的中点.复习2：三角形中位线的探究---------- 2课时（见几何画板）三角形的中位线（例题）、梯形的中位线（习题）、中点四边形（P128/教学活动）提出问题的方法，研究问题的方法，复习3：变换下的四边形---------- 1课时1．平行四边形的对称性例1 如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC 于E，CF⊥BD于F.求证:BE=CF.如果将题目的“矩形ABCD”改为另一种平行四边形、菱形、正方形，其他条件不变，结论“BE=CF”是否仍然成立？例2 如图，以正方形ABCD的边AB为边作正△ABE，EC交BC于F. 求∠AFD的度数.例3 已知: E为正方形ABCD对角线AC上的一动点,点F在BC上,试确定点E的位置使得BE+FE 的值最小.AB2．梯形的对称性2．梯形的对称性B六、北京中考中的四边形 一、中档题（17、18的位置）1．如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F . 求证 BE = CF .A CB D O FE2．如图，梯形ABCD 中，AB // DC ，∠B = 90°，E 为BC上一点，且AE ⊥ED ．若BC = 12，DC = 7，BE ∶EC =1∶2，求AB 的长.E DCB A3. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB = DC =AD ， ∠C =60°，AE ⊥BD 于点E ，AE =1，求梯形ABCD 的高．4．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=，2AD =，42BC =，求DC 的长．二、中档题（21、22的位置）1．请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.小东同学的做法是：设新正方形的边长为x (x ＞0).依题意，割补前后图形的面积相等，有x 2=5，解得x =5.由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长.于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③所示的新正方形.(第22题图) 图① 图② 图③图⑤图④请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.说明：直接画出图形，不要求写分析过程.2.在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）.将一个最短边长大于2的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上.（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O、F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形.三、难题（25题）1.我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.2.我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，设CD、BE相交于点O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12A∠，请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D、E分别在AB、AC上，且∠DCB=∠EBC=12A∠.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.3.请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A B E，，在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG PC，．若60ABC BEF∠=∠=，探究PG与PC的位置关系及PG PC的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值；（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件PG PC 的值（用含 的式子表示）．不变，请你直接写出。