经济数学课件 9.2 参数估计

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9.2用样本估计总体

【要点梳理】

要点一、总体取值规律的估计（频率分布直方图）

频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.

1.步骤为：

(1)计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差

(2)决定组距与组数: 组距与组数的确定没有具体的标准，一般来说，数据分组的组数与样本容量有关，样本容量越大，所分组数越多．当样本容量不超过100时，按照数据的多少，常分为5～12组．

(3)将数据分组

(4)列频率分布表

(5)画频率分布直方图: 其中横轴表示数据，纵轴表示频率与组距的比．

2.意义：频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示相应组的频率，所有小矩形的面积的总和等于1.

3.频率分布的估计：

频率分布是指各个小组数据在容量中所占比例的大小，可以用样本的频率分布估计总体的频率分布，频率分布表是反映样本的频率分布的表格．通过频率分布直方图和频率分布表可以看到样本的频率分布．

要点诠释：

频率分布直方图的特征：

1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.

2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有具体数据信息就被抹掉了.

3.当频率分布直方图的组数少，组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原始数据信息，当频率分布直方图的组数多，组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于场小长方形的较多，有时图形会变的非常不规则，不容易从中看出数据分布的特点

4.补充：

除频率分布直方图外，我们在初中还学习过条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图等，不同的统计图在表示数据上有不同的特点，例如扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势。

不同的统计图适用的数据类型也不同，例如条形图适用于描述离散型数据，直方图适用描述连续型数据等。

一、参数估计

（一）参数估计内涵

参数估计（parameter estimation）是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。它是统计推断的一种基本形式，是数理统计学的一个重要分支，分为点估计和区间估计两部分。

（二）估计量的评价准则

对于同一参数，用不同方法来估计，结果是不一样的。

例1 设总体X服从参数为的泊松分布，即

,2,1,0,!}{kkekXPk

则易知)(,)(XDXE，分别用样本均值和样本方差取代)(XE和)(XD，于是得到的两个矩估计量21ˆ,ˆSX．

既然估计的结果往往不是唯一的，那么究竟孰优孰劣？这里首先就有一个标准的问题。

1、 无偏性(Unbiased)

定义1 设),,,(ˆˆ21nXXX是的一个估计量，若对任意的，都有)ˆ(E，则称ˆ是的无偏估计量(Unbiased estimator)，如果

0)(lim)),,,((lim21nnnnbXXXE

则称ˆ是的渐近无偏估计量(Approximation unbiased estimator)，其中)(nb称为是ˆ的偏差(affect)。

无偏性反映了估计量的取值在真值周围摆动，显然，我们希望一个量具有无偏性。

例2 X是总体期望值)(XE的无偏估计，因为

nnXEnXnEXEniinii1)(11)(11 2、 最小方差性和有效性(Minimum Variance and efficiency)

前面已经说过，无偏估计量只说明估计量的取值在真值周围摆动，但这个“周围”究竟有多大？我们自然希望摆动范围越小越好，即估计量的取值的集中程度要尽可能的高，这在统计上就引出最小方差无偏估计的概念。

定义2 对于固定的样本容量n，设),,,(21nXXXTT是参数函数)(g的无偏估计量，若对)(g的任一个无偏估计量),,,(21nXXXTT有

第九章参数估计

第一节点估计

点估计的概念•总体参数合理估计的标准（无偏性、一致性、有效性）

第二节 区间估计

抽样估计的精确性和可靠性•抽样平均误差与概率度・区间估计的步骤及大 样本总体均值的区间估计

第三节 其他类型的置信区间

C未知，小样本总体均值的区间估计・总体成数的区间估计•总体方差的区 间估计

第四节 抽样平均误差

简单随机抽样的抽样平均误差・分层抽样的抽样平均误差•整群抽样的平均 抽样误差•系统抽样的抽样平均误差

第五节样本容量的确定

影响样本容量的因素•抽样条件与样本容量的确定

一、填空

1 •参数估计，即由样本的指标数值推断总体的相应的指标数值， 它包括点估计和（ ）。

2•对总体均值求置信区间的方法是：从（ ）起向两侧展开一定倍数（ ）的抽

样平均误差（），并估计」很可能就包含在这个区间之内。

3. 假设在某省抽样调查的 1600名城镇待业人员中有 1024名青年，则待业人员中青年

占比重的0.95置信区间为（ ）。

4. 在其他条件不变得情况下， 如果允许误差缩小为原来的 1/2,则样本容量将增加为原

来的（ ）。

二、单项选择

1 •如果统计量的抽样分布的均值恰好等于被估计的参数之值，那么这一估计便可以认

为是（ ）估计

A有效 B —致 C无偏 D精确

2 •虽然随机样本和总体之间存在一定的误差，但当样本容量逐渐增加时，统计量越来

越接近总体参数，满足这种情况，我们就说该统计量对总体参数是一个（ ）的估计量。

A有效 B —致 C无偏 D精确

3•估计量的（ ）指统计量的抽样分布集中在真实参数周围的程度。

A有效性 B 一致性 C无偏性 D精确性 4•用简单随机重复抽样方法抽样，如果要使抽样误差降低 50%，则样本容量需要扩大

到原来的（ ）。

A 2倍 B 3倍 C 4倍 D 5倍 ）。

D随机因素。

A无偏性 B精确性 C 一致性 D有效性 E权变性

2•对于大样本，置信区间的大小主要由（ ）这两个量所决定。

第九章 参数估计

参数估计，通俗地说，就是根据抽样结果来合理地、科学地估计总体的参数很可能是什么？或者在什么范围。

点估计：根据样本数据算出一个单一的估计值，用来估计总体的参数值。

区间估计：计算抽样平均误差，指出估计的可信程度，进而在点估计的基础上，确定总体参数的所在范围或区间。

第一节 点估计

点估计：点值估计，是以一个最适当的样本统计值来代表总体参数值。

估计量如果具有无偏性、一致性和有效性，就可以认为这种统计量是总体参数的合理估计或最佳估计。

一、求点估计值的标准

无偏性：要求统计量抽样分布的均值恰好等于被估计的参数之值。比如，中心极限定理告诉我们，样本均值抽样分布的均值恰好等于总体均值，因此用样本均值估计总体均值就满足这个标准。

有效性：要求估计值的抽样分布有较小的分散性，即选择抽样分布的标准差较小的统计量作为估计量。

一致性：要求统计量随着样本容量n的增大以更大的概率接近被估计参数。

二、点估计值的计算

1. 总体均值的点估计

2. 总体方差的点估计值

nXX2221)(11SnnXXnSi

在统计学中，常常用符号“ ” 来表示无偏估计量。数学上可以证明，对于随机样本而言， 才是总体方差 的无偏估计量，它称为修正样本方差 。

[例]研究者要调查某社区居民家庭收入分布的差异情况，现随机抽查了10户，得到样本方差为＝200(元2)。试以此资料估计总体家庭收入分布的差异情况。

[解] 因为样本容量较小，宜用修正样本方差作为总体方差点估计量。即

＝ ＝ ＝222.2