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第六章多元函数微积分6.1 空间解析几何基础知识一、空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系。
即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
空间直角坐标系共有八个卦限空间的点有序数组（x,y,z）特殊点的表示：坐标轴上的点P,Q,R；坐标面上的点A，B，C；0（0，0，0）空间两点间距离公式：特殊地：若两点分别为M（x,y,z），0（0，0，0）。
二、空间中常见图形的方程1、球面已知球心M0（x0,y0,z0），半径为R，则对于球面上任意点M（x，y，z），有，称为球面方程。
特别地，以原点为球心，半径为R的球面方程是。
2、平面到两点等距离的点的轨迹就是这两点组成线段的垂直平分面。
例1、已知A（1，2，3），B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程。
解：设M（x,y,z）是所求平面上任一点，根据题意有|MA|=|MB|，化简得所求方程2x-6y+2z-7=0。
x，y，z的一次方程表示的图形是一个平面。
3、柱面定义平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
柱面举例4、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面。
（1）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：（2）x2+y2=2pz的图形是一个旋转抛物面。
6.2 多元函数的基本概念一、准备知识1、邻域设P0（x0,y0）是xoy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0（x0,y0）距离小于δ的点P（x,y）的全体，称为点p0的δ邻域，记为U（P0, δ）,。
2、区域平面上的点集称为开集，如果对任意一点，都有的一个邻域。
设D是开集。
如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的。
连通的开集称为区域或开区域。
开区域连同它的边界一起称为闭区域。
3、n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组的全体为n维空间，而每个n元数组称为n维空间中的一个点，数x i称为该点的第i个坐标说明：n维空间的记号为R n；n维空间中两点间距离公式：设两点为特殊地当n=1，2，3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。
第六章 定积分定积分的有关理论是从17世纪开始出现和发展起来的，人们对几何与力学中某些问题的研究是导致定积分理论出现的主要背景．尽管其中某些问题早在公元前就被古希腊人研究过，但直到17世纪有了牛顿(Newton)和莱布尼兹(Leibnitz)的微分思想后，才使这些问题统一到一起，并且与求不定积分的问题联系起来．下面我们先从几何与力学问题出发引进定积分的定义，然后讨论它的性质、计算方法及其应用．第一节 定积分概念一、 定积分问题举例 １． 曲边梯形的面积设f (x )是定义在区间［a ,b ］上的非负连续函数，由曲线y =f (x )及直线x =a ,x =b 和y =0所围成的图形称为曲边梯形，下面我们讨论如何求这个曲边梯形的面积．图6-1为了利用已知图形(比如说矩形)的面积公式，可以先在［a ,b ］内任意插入n 个分点a =x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＝b ．这样整个曲边梯形就相应地被直线x =x i (i =1,2,…,n -1)分成n 个小曲边梯形，区间［a ,b ］分成n 个小区间［x 0,x 1］,［x 1,x 2］,…，［x n -1,x n ］,第i 个小区间的长度为Δx i =x i -x i －１（i =1,2,…，n )．对于第i 个小曲边梯形来说，当其底边长Δx i 足够小时，其高度的变化也是非常小的，这时它的面积可以用某个小矩形的面积来近似．若任取ξi ∈［x i -1,x i ］,用f (ξi )作为第i 个小矩形的高(图6-1)，则第i 个小曲边梯形面积的近似值为ΔA i ≈f (ξi )Δx i ．这样，整个曲边梯形面积的近似值就是11()n ni i i i i A A f x ξ===∆=∆∑∑．从几何直观上看，当分点越密时，小矩形的面积与小曲边梯形的面积就会越接近，因而和式1()niii f xξ=∆∑与整个曲边梯形的面积也会越接近，记{}1max i i nx λ≤≤=∆，当λ→0时，和式1()niii f xξ=∆∑ 的极限如果存在，则这个极限值即为曲边梯形的面积A ，即1lim ()ni i i A f x λξ→==∆∑．2． 变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度v =v (t )是时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］上t 的连续函数，且v (t )≥0，计算在这段时间内物体所经过的路程s ． 我们知道，对于匀速直线运动，有公式：路程＝速度×时间．但是在我们的问题中，速度不是常量而是随时间变化着的变量，因此所求路程s 不能直接按匀速直线运动的路程公式来计算．然而，物体运动的速度函数v =v (t )是连续变化的，在很短的时间内，速度的变化很小．因此如果把时间间隔分小，在小段时间内，以等速运动近似代替变速运动，那么就可算出各部分路程的近似值，再求和得到整个路程的近似值．最后，通过对时间间隔无限细分的极限过程，求得物体在时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］内的路程．对于这一问题的数学描述可以类似于上述求曲边梯形面积的做法进行，具体描述为：在区间［Ｔ１，Ｔ２］内任意插入n -1个分点Ｔ１＝t 0＜t 1＜t 2＜…＜t n -1＜t n =T 2,把区间［Ｔ１，Ｔ２］分成n 个小区间［t 0,t 1］,［t 1,t 2］,…，［t n －１，t n ］，各小区间的长度依次为Δt 1,Δt 2,…，Δt n ,在时间段［t i －１，t i ］上的路程的近似值为v (τi )Δt i (i =1,2,…，n )，整个时间段［Ｔ１，Ｔ２］上路程的近似值为s ≈v (τ1)Δt 1+v (τ2)Δt 2+…+v (τn )Δt n1()ni i i v t τ==∆∑ ．当分点越密时，1()niii v tτ=∆∑就会与s 越接近，因此记{}1max i i nt λ≤≤=∆,当λ→0时，和式1()niii v tτ=∆∑的极限如果存在，则这个极限值即为物体在时间间隔［Ｔ１，Ｔ２］内所走过的路程．即1lim ()ni i i s v t λτ→==∆∑．二、 定积分定义从上面的两个例子可以看到，尽管所要计算的量，即曲边梯形的面积A 及变速直线运动的路程s 的实际意义不同，前者是几何量，后者是物理量，但计算这些量的方法与步骤都是相同的，它们都可归结为具有相同结构的一种特定和的极限，如面积01lim()niii A f x λξ→==∆∑,路程01lim()niii s v t λτ→==∆∑.抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量上共同的本质与特性加以概括，我们可以抽象出下述定积分的概念．定义 设函数f (x )在［a ,b ］上有界，在［a ,b ］中任意插入n -1个分点a =x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n =b ,把区间［a ,b ］分成n 个小区间［x 0,x 1］,［x 1,x 2］,…，［x n －１，x n ］,各小区间的长度依次为Δx 1=x 1-x 0,Δx 2=x 2-x 1,…，Δx n =x n -x n -1,在每个小区间［x i －１，x i ］上任取一点ξi ,作乘积f (ξi )Δx i (i =1,2,…,n )，再作和式lim ()i i S f x λξ→=∆． （6-1-1）记λ=max ｛Δx 1,Δx 2,…，Δx n ｝,如果不论［a ,b ］怎样分法，也不论［x i －１，x i ］上点ξi 怎样取法，当λ→0时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间［a ,b ］上的定积分(简称积分)，记作()d baf x x ⎰,即()d lim ()bi i af x x f x I λξ→=∆=⎰， (6-1-2)其中f (x )叫做被积函数，f (x )d x 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，［a ,b ］叫做积分区间．注 当和式1()niii f x ξ=∆∑的极限存在时，其极限值仅与被积函数f (x )及积分区间［a ,b ］有关，而与积分变量所用字母无关，即()d ()d ()d bb baaaf x x f t t f u u ==⎰⎰⎰．读者容易由定积分的定义或下面介绍的定积分的几何意义得到这一结论．如果f (x )在［a ,b ］上的定积分存在，我们就说f (x )在［a ,b ］上可积．由于这个定义是由黎曼(Riemann)首先给出的，所以这里的可积也称为黎曼可积，相应的积分和式1()niii f x ξ=∆∑也称为黎曼和．对于定积分，有这样一个重要问题：函数f (x )在［a ,b ］上满足怎样的条件，f (x )在［a ,b ］ 上一定可积?这个问题我们不作深入讨论，而只给出以下两个充分条件．定理1 设f (x )在区间［a ,b ］上连续，则f (x )在［a ,b ］上可积．定理2 设f (x )在区间［a ,b ］上有界，且只有有限个间断点，则f (x )在［a ,b ］上可积． 利用定积分的定义，前面所讨论的实际问题可以分别表述如下： 曲线y =f (x ) (f (x )≥0)、x 轴及两条直线x =a 、x =b 所围成的曲边梯形的面积A 等于函数f (x )在区间［a ,b ］上的定积分．即()d baA f x x =⎰．物体以变速v =v (t )［v (t )≥0］作直线运动，从时刻t =T 1到时刻t =T 2,这物体经过的路程s 等于函数v (t )在区间［Ｔ１，Ｔ２］上的定积分，即12()d T T s v t t =⎰．三、 定积分的几何意义在［a ,b ］上f (x )≥0时，我们已经知道，定积分()d baf x x ⎰在几何上表示曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积；在［a ,b ］上f (x )≤0时，由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分图6-2()d baf x x ⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在［a ,b ］上f (x )既取得正值又取得负值时，函数f (x )的图形某些部分在x 轴上方，而其他部分在x 轴的下方(图6-2)．如果我们对面积赋以正负号，在x 轴上方的图形面积赋以正号，在x 轴下方的图形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分()d baf x x ⎰的几何意义为：它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和．图6-3例1 利用定积分的几何意义，计算x ⎰．解 显然，根据定积分的定义来求解是比较困难的，根据定积分的几何意义知，x ⎰就是图6-3所示半径为1的圆在第一象限部分的面积，所以2144x ππ=⋅=⎰． 四、 定积分的性质为了以后计算及应用方便起见，我们先对定积分作以下两点补充规定：(1) 当a =b 时，()d baf x x ⎰=0;(2) 当a ＞b 时，()d baf x x ⎰= -()d abf x x ⎰．由上式可知，交换定积分的上下限时，绝对值不变而符号相反．下面我们讨论定积分的性质．下列各性质中积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的．性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，即[()()]d ()d ()d bb baaaf xg x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰．证1[()()]d lim [()()]nbi i i ai f x g x x f g x λξξ→=±=±∆∑⎰0011lim ()lim ()nni i i i i i f x g x λλξξ→→===∆±∆∑∑()d ()d bbaaf x xg x x =±⎰⎰．性质1对于任意有限个函数都是成立的．类似地，可以证明： 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即()d ()d bbaakf x x k f x x =⎰⎰ (k 是常数)．性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设a ＜C ＜b ，则()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰．证 因为函数f (x )在区间［a ,b ］上可积，所以不论把［a ,b ］怎样分，积分和的极限总是不变的．因此，我们在分区间时，可以使c 永远是个分点．那末，［a ,b ］上的积分和等于［a ,c ］上的积分和加［c ,b ］上的积分和，记为[,][,][,]()()()iiiiiia b a c c b f x f x f x ξξξ∆=∆+∆∑∑∑．令λ→0，上式两端同时取极限，即得()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰．这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性．按定积分的补充规定，不论a ,b ,c 的相对位置如何，总有等式()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰成立．例如，当a ＜b ＜c 时，由于()d ()d ()d c b caabf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰,于是得()d ()d ()d bc caabf x x f x x f x x =-⎰⎰⎰()d ()d cbacf x x f x x =+⎰⎰．性质4 如果在区间［a ,b ］上f (x )≡1，则1d d bbaax x b a ==-⎰⎰．这个性质的证明请读者自己完成．性质5 如果在区间［a ,b ］上，f (x )≥0，则()d 0baf x x ≥⎰(a ＜b )．证 因为f (x )≥0，所以f (ξi )≥0(i =1,2,…，n )．又由于Δx i ≥0(i =1,2,…，n ),因此1()niii f x ξ=∆∑≥0,令λ=max ｛Δx 1,…，Δx n ｝→0，便得到要证的不等式．推论1 如果在区间［a ,b ］上，f (x )≤g (x ),则()d ()d bbaaf x xg x x ≤⎰⎰ (a ＜b )．证 因为g (x )-f (x )≥0，由性质5得[()()]d baf xg x x -⎰≥0．再利用性质1，便得到要证的不等式．推论2()d ()dbbaaf x x f x x ≤⎰⎰ (a ＜b )． 证 因为-︱f (x )︱≤f (x )≤︱f (x )︱,所以由推论1及性质2可得()d ()d ()d b b baaaf x x f x x f x x -≤≤⎰⎰⎰，即()d ()d bbaaf x x f x x ≤⎰⎰．注 ︱f (x )︱在［a ,b ］上的可积性可由f (x )在［a ,b ］上的可积性推出，这里我们不作证明．性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间［a ,b ］上的最大值及最小值，则m (b -a )≤()d baf x x ⎰≤M (b -a ) (a ＜b )．证 因为m ≤f (x )≤M ,所以由性质5推论1得d ()d d bbbaaam x f x x M x ≤≤⎰⎰⎰．再由性质2及性质4，即得到所要证的不等式．这个性质说明，由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围．例2 估计定积分221d +1xx x ⎰的值． 解 因f (x )=2+1xx 在［１，２］上连续，所以在［１，２］上可积，又因为 2221()0(+1)x f x x -'=≤ (1≤x ≤2)，所以f (x )在［１，２］上单调减少，从而有21()52f x ≤≤， 于是由性质6有2121()d 52f x x ≤≤⎰． 性质7 (定积分中值定理)如果函数f (x )在闭区间［a ,b ］上连续，则在积分区间［a ,b ］上至少存在一点ξ，使下式成立：()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰（a ≤ξ≤b ）．这个公式叫做积分中值公式．证 把性质6中的不等式各除以b -a 得1()d bam f x x M b a ≤≤-⎰．这表明，确定的数值1()d baf x x b a -⎰介于函数f (x )的最小值m 及最大值M 之间．根据闭区间上连续函数的介值定理，在［a ,b ］上至少存在一点ξ，使得函数f (x )在点ξ处的值与这个确定的数值相等，即应有1()d ()baf x x f b a ξ=-⎰ (a ≤ξ≤b )．两端各乘以b -a ，即得所要证的等式．图6-4积分中值公式有如下的几何解释：在区间［a ,b ］上至少存在一点ξ，使得以区间［a ,b ］为底边、以曲线y =f (x )为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为f (ξ)的一个矩形的面积(图6-4)．显然，积分中值公式()d ()()baf x x f b a ξ=-⎰（ξ在a 与b 之间）不论a ＜b 或a ＞b 都是成立的．例3求120limn n x →+∞⎰．解 由于当0≤x ≤1/2时，有n ≤x n ,所以≤120n x ⎰≤120d n x x ⎰．又由积分中值定理，有1201limd lim02n nn n x x ξ→+∞→+∞==⎰（０≤ξ≤1/2)， 故10lim0n n x →+∞=⎰．习题6-11． 利用定积分定义计算由抛物线y =x 2+1,直线x =a ，x =b 及x 轴所围成的图形的面积．2． 利用定积分的几何意义求定积分： (1)12d x x ⎰;(2)ax ⎰（a ＞0）．3． 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1)120d x x ⎰与130d x x ⎰； (2)1e d xx ⎰与1(1)d x x +⎰．4． 估计下列各积分值的范围： (1)421(1)d x x +⎰；(2) arctan d x x ;(3)2ed ax ax --⎰（a ＞0)； (4)202e d x xx -⎰．第二节 微积分基本公式在第一节中，我们介绍了定积分的定义和性质，但并未给出一个有效的计算方法，当被积函数较复杂时，难以利用定积分直接计算．为了解决这个问题，自本节开始将介绍一些求定积分的方法． 一、 积分上限函数设函数f (t )在［a ,b ］上可积，对于x ∈［a ,b ］，则函数f (t )在［a ,x ］上可积．定积分()d xaf t t⎰对每一个取定的x 值都有一个对应值，记为F (x )=()d xaf t t ⎰, a ≤x ≤b ,F (x )是积分上限x 的函数，称为积分上限函数，或称变上限函数或变上限积分．积分上限函数具有下述重要性质．定理1(原函数存在定理) 设函数f (x )在［a ,b ］上连续，则积分上限函数()()d xaF x f t t=⎰就是f (x )在［a ,b ］上的一个原函数，即d ()()d ()d xa F x f t t f x x'==⎰,a ≤x ≤b ． 证 我们只对x ∈(a ,b )来证明(x =a 处的右导数与x =b 处的左导数也可类似证明)．取｜Δx ｜充分小，使x +Δx ∈(a ,b )，则ΔF =F (x +Δx )-F (x )=()d ()d x xxaa f t t f t t +∆-⎰⎰()d ()d ()d x x xx axaf t t f t t f t t -∆=+-⎰⎰⎰()d x xxf t t -∆=⎰．因f (x )在［a ,b ］上连续，由积分中值定理，有ΔF =f (ξ)Δx ,ξ在x 与x +Δx 之间，即ΔF/Δx =f (ξ)．由于Δx →0时，ξ→x ，而f (x )是连续函数，上式两边取极限有00limlim ()lim ()()x x x Ff f f x x ξξξ∆→∆→→∆===∆,即F ′(x )=f (x )．另外，若f (x )在［a ,b ］上可积,则称函数ψ(x ) ()d bxf t t =⎰, x ∈［a ,b ］为f (x )在［a ,b ］上的积分下限函数，它的有关性质及运算可直接通过关系式()d ()d bxxbf t t f t t =-⎰⎰转化为积分上限函数而获得．例1 设f (x )∈C （（-∞,+∞））,且满足方程1618120()d ()d 89xx x f t t t f t t =++⎰⎰，求f (x )．解 在方程两端对变量x 求导得21517()()22f x x f x x x =-++，即 (1+x 2)f (x )=2x １５(1+x 2), 故f (x )=2x １５．例2 计算下列导数：(1) sin 0d ()d d x f t t x ⎰; (2) 32d e d d x tx t x-⎰． 解 (1) ()sin sin 00d d dsin ()d ()d d dsin d x x xf t t f t tx x x=⎰⎰ (sin )cos f x x =．(2) 332200d de d e d e d d d x x t t tx x t t t x x ---⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 2300d de d e d d d x x t tt t x x --=-+⎰⎰232e 2e 3x x x x --=-+ 2322e 3e x x x x --=-+．对于一般情形，我们有下述结论：设f (x )∈C (［a ,b ］),u (x )和v (x )为可导函数，且u (x )∈［a ,b ］,v (x )∈［a ,b ］，则有()()d ()d (())()(())()d u x v x f t t f u x u x f v x v x x''=-⎰． 读者可利用复合函数求导法则证明此结论． 例3 求21cos 2e d limt xx tx -→⎰．解 易知这是一个0型的未定式，我们用洛必达法则来计算()22cos 11cos 22e d e d limlim()xt t xxx x ttxx --→→'-='⎰⎰2cos 0e sin 1lim 22ex x x x -→==． 例4 求02()()d limxx f t x t t x →-⎰,其中f (x )是(－∞，＋∞)内的连续函数．解 由于0()()d ()d ()d xxxf t x t t x f t t tf t t -=-⎰⎰⎰,且 0lim ()d 0xx f t t →=⎰故 ()220()d ()d ()()d limlim()x xxxx x x f t t tf t tf t x t t xx →→'--='⎰⎰⎰()d ()()lim2x x f t t xf x xf x x→+-=⎰()d ()1limlim(0)222xx x f t t f x f x→→===⎰． 二、 微积分基本公式现在我们用定理1来证明一个重要定理，它给出了用原函数计算定积分的公式． 定理2设函数f (x )在［a ,b ］上连续，F (x )是f (x )在［a ,b ］上的一个原函数，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰． (6-2-1)证 因为F (x )与()d xaf t t ⎰都是f (x )在［a ,b ］上的原函数，所以它们只能相差一个常数C ，即()d ()xaf t t F x C =-⎰．令x =a ,由于()d 0aaf t t =⎰，得C = -F (a ),因此()d ()()xaf t t F x F a =-⎰．在上式中令x =b ，得()d ()()baf t t F b F a =-⎰．为方便起见，以后把F (b )-F (a )记成()b F x a，于是(6-2-1)式又可写成()d ()babf x x F x a=⎰．通常称公式(6-2-1)为微积分基本公式或牛顿-莱布尼茨公式，它表明：一个连续函数在［a ,b ］上的定积分等于它的任意一个原函数在［a ,b ］上的改变量．这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系，给定积分提供了一个有效而简便的计算方法．下面我们举几个应用公式(6-2-1)来计算定积分的简单例子．例5 计算120d x x ⎰．解 由于313x 是x 2的一个原函数，故由公式(6-2-1)有 112311d 33x x x ==⎰．例6 计算． 解x x =20sin cos d x x x π=-⎰2204(sin cos )d (sin cos )d x x x x x x πππ=-+-⎰⎰2404(sin cos )(sin cos )x x x x πππ=++--2=．习题6-21． 求下列导数：(1)20d d x t x ⎰; (2) 53ln 2d e d d x t t t x -⎰；(3) cos 2sin cos()d xx t t '⎡⎤π⎢⎥⎣⎦⎰; (4) 22dsin d d x t t x tπ⎰ (x ＞0)．2． 求下列极限：(1) 02arctan d limxx t t x →⎰; (2) 20020sin 3d lime d x xx tt t t t→-⎰⎰; (3)()22220e d lime d x t xx t t t t→⎰⎰．3． 求由方程e d cos d 0yx t t t t +=⎰⎰所确定的隐函数y =y (x )的导数．4． 当x 为何值时，I (x )= 2e d xt t t -⎰有极值?5． 计算下列定积分：(1)3x ⎰; (2)221d x x x --⎰;(3)()d f x x π⎰,其中,0,2()sin ,2x x f x x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨π⎪≤≤π;⎪⎩(4){}222max 1,d x x -⎰．6． 已知f (x )连续，且f (2)=3,求2222()d d lim(2)xt x f u u t x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎰⎰．第三节 定积分的换元法由上节知道，计算定积分()d baf x x ⎰的简便方法是把它转化为求f (x )的原函数的增量，在第五章中，我们知道用换元法可以求出一些函数的原函数．因此，在一定条件下，可以用换元法来计算定积分．我们有下面的定理．定理 假设f (x )在［a ,b ］上连续，函数x =φ(t )满足条件： (1) 当t ∈［α，β］时，a ≤φ(t )≤b ，且φ(α)=a ,φ(β)=b ， (2) φ(t )在［α，β］上具有连续导数，则有()d (())()d baf x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰． （6-3-1）公式(6-3-1)叫做定积分的换元公式．证 由假设知，上式两边的被积函数都是连续的，因此不仅上式两端的定积分都存在，而且由上节定理1知，被积函数的原函数也都存在．所以(6-3-1)式两边的定积分都可用牛顿莱布尼茨公式计算．现假设F (x )是f (x )的一个原函数，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰,又由复合函数的求导法则知Φ(t )=F (φ(t ））(t ∈（α，β））是f (φ(t ））φ′(t )的一个原函数，所以(())()d (())(())()()f t t t F F F b F a βαϕϕϕβϕα'=-=-⎰,故()d (())()d baf x x f t t t βαϕϕ'=⎰⎰．这就证明了换元公式．应用换元公式时有两点值得注意：(1) 用x =φ(t )把原来变量x 代换成新变量t 时，原积分限也要换成相应于新变量t 的积分限；(2) 求出f (φ(t ））φ′(t )的一个原函数Φ(t )后，不必像计算不定积分那样把Φ(t )变换成原来变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限分别 代入Φ(t )中，然后相减就行了．例1计算x ⎰（a ＞0）．解 设x =a sin t ,则d x =a cos t d t ,且 当x =0时，t =0;当x =a 时，t =2π． 于是222220cos d (1cos 2)d 2a x at t t t ππ==+⎰⎰⎰22201sin 2224aa t t ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦． 换元公式也可反过来使用．为使用方便起见，把换元公式中左右两边对调位置，同时把t 改记为x ，而x 改记为t ，得(())()d ()d f x x x f t t ββααϕϕ'=⎰⎰．于是，我们可用t =φ(x )来引入新变量t ,而α=φ(a ),β=φ(b )．例2计算4x ⎰． 解 设t则x =212t x -=,d x =t d t ,且当x =0时，t =1;当x =4时，t =3,于是343210111(3)d (3)223tx t t t =+=+⎰⎰127122(9)(3)2333⎡⎤=+-+=⎢⎥⎣⎦． 例3 计算520cos sin d x x x π⎰．解 设t =cos x ,则d t = -sin x d x ,且当x =0时，t =1;当x =2π时，t =0，于是1601555201001cos sin d d d 66t x x x t t t t π⎡⎤=-===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．在例3中，如果我们不明显地写出新变量t ,那末定积分的上、下限就不要变更．55220cos sin d cos d(cos )x x x x x ππ=-⎰⎰260cos 11(0)666x π⎡⎤=-=--=⎢⎥⎣⎦． 例4设f (x )∈C (［－a ,a ］)，试证： (1)[]0()d ()()d aaaf x x f x f x x -=--⎰⎰；(２) 当f (x )为奇函数时，()d 0aaf x x -=⎰；(3) 当f (x )为偶函数时，0()d 2()d aa af x x f x x -=⎰⎰．证 (1) 由于()d ()d ()d aaaaf x x f x x f x x --=+⎰⎰⎰，在()d af x x -⎰中，设x = -t ，则()d ()d ()d a aaf x x f t t f x x -=--=⎰⎰⎰．故[]00()d ()d ()d ()()d aa aaaf x x f x x f x x f x f x x -=-+=-+-⎰⎰⎰⎰．(2) 当f (x )是奇函数时，f (-x )+f (x )=0,因此()d 0aaf x x -=⎰．(3)当f (x )是偶函数时，f (-x )+f (x )=2f (x ),因此()d 2()d a aaf x x f x x -=⎰⎰．利用例4的结论，常可简化在对称区间上的定积分的计算．例5 求下列定积分44d 1sin xxππ-+⎰．解 由于被积函数为非奇非偶函数，由例4(1)知402444004d 11()d 2sec d 2tan 21sin 1sin 1sin x x x x xx x xπππππ-=+===+-+⎰⎰⎰．例6 设函数f (x )在［０，１］上连续，试证(1)2200(sin )d (cos )d f x x f x x ππ=⎰⎰;特别地，220sin d cos d nn x x x x ππ=⎰⎰ (n 为非负整数)；(2) 00(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰,并由此计算20sin d 1cos x x x x π+⎰．证 (1) 设x =2t π-,则d x = -d t ,且当x =0时，t =2π; x =2π时，t = 0,于是202(sin )d (sin())d 2f x x f t t πππ=--⎰⎰220(cos )d (cos )d f t t f x x ππ==⎰⎰．特别地，取f (x )=x n 在［０，１］上连续，由上述证明有220sin d cos d nn x x x x ππ=⎰⎰.(2) 设x =π-t ，则d x = -d t ,且当x =0时，t =π；x =π时，t =0;于是(sin )d ()(sin())d ()(sin )d xf x x t f t t t f t t πππ=-π-π-=π-⎰⎰⎰(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x ππππ=π-=π-⎰⎰⎰⎰．因此(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰．利用结论(2)得222000sin sin d cos d d 1cos 21cos 21cos x x x xx x x x xπππππ==-+++⎰⎰⎰20arctan(cos )24x πππ=-=． 例7 设f (x )是(-∞，+∞)内的连续函数，且满足()d 1cos xtf x t t x -=-⎰,求f (x )．解 由u =x -t ,故t =x -u ,d t = -d u ,且当t = 0时，u = x ;t = x 时，u =0．于是00()d ()()d ()()d xxxtf x t t x u f u u x u f u u -=--=-⎰⎰⎰()d ()d x xx f u u uf u u =-⎰⎰,因此f (x )满足()d ()d 1cos x xx f u u uf u u x -=-⎰⎰．上式两边对x 求导，得()d sin xf u u x =⎰．两边对x 求导，得f (x )=cos x ．例8 设函数f (x )= 21,101cos e ,0x x x x x -⎧-≤≤⎪+⎨⎪≥⎩,求41(2)d f x x -⎰．解 设u =x -2,则当x =1时，u =-1;当x =4时，u =2．于是4211(2)d ()d f x x f u u --=⎰⎰2210d e d 1cos u u u u u --=++⎰⎰ 2024101111tan e tan e 22222u u ---=-=-+． 习题 6-31． 计算下列积分：(1) 3sin()d x x πππ+3⎰; (2) 32d (115)xx 1-+⎰;(3)1x -⎰; (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰;(5)22cos d u u ππ6⎰;(6)2e 1⎰(7)1(8)x ;(9)ln3ln 2d e ex x x--⎰; (10) 322d 2x x x +-⎰;(11)21x ⎰; (12) 22x ππ-⎰．2． 利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：(1)ln(aax x -+⎰(a 为正常数)；(2) 325425sin d 21x xx x x -++⎰; (3) 4224cos d θθππ-⎰．3． 证明下列等式： (1)232011()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正整数)；(2)证明：11221d d 11xx x x x x =++⎰⎰ (x ＞0)； (3) 设f (x )是定义在(-∞，+∞)上的周期为T 的连续函数，则对任意a ∈［－∞，＋∞），有()d ()d a TTaf x x f x x +=⎰⎰．4． 若f (t )是连续函数且为奇函数，证明0()d xf t t ⎰是偶函数；若f (t )是连续函数且为偶函数，证明()d xf t t ⎰是奇函数．5． 设f (x )在(-∞，+∞)内连续，且F (x )= 0(2)()d xx -t f t t ⎰,试证：若f (x )单调不减，则F (x )单调不增．第四节 定积分的分部积分法利用不定积分的分部积分法及牛顿莱布尼茨公式，即可得出定积分的分部积分公式．设函数u =u (x )，v =v (x )在区间［a ,b ］上具有连续导数u ′(x )，v ′(x )，则有(uv )′＝u ′v +uv ′．分别求等式两端在［a ,b ］上的定积分，并注意到()d bb a auv x uv '=⎰,便得d d bbb aaauvu v x uv x ''=+⎰⎰,移项，就有d d bbb aaauv x uv vu x ''=-⎰⎰,或简写为 d d b bb a aau v uv v u =-⎰⎰．这就是定积分的分部积分公式．例1 计算120arcsin d x x ⎰．解12011220arcsin d arcsin x x x xx =-⎰⎰112222011(1)d(1)262xx -π=+--⎰ 120112122ππ==+-． 例2 计算2e 2eln d (1)xx x -⎰．解2222e e e e e 2ee e l n 1l n dd l n d ()(1)11(1)x x x x x x x x x x =-=-+----⎰⎰⎰ 2e e 111d e +11x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭⎰ []2e e1ln(1)ln e +1x x =+--1ln(e +1)1e +1=+-． 例3 计算x 1⎰．解 先用换元法．令t 则x =t 2,d x =2t d t ,且当x =0时，t =0;当x =1时，t =1,于是02e d t x t t 11=⎰⎰．再用分部积分法计算上式右端的积分：1100e d de e e d e e 1t t tt tt t t t t 111==-=-=⎰⎰⎰．因此2e d 212t x t t 11==⨯=⎰⎰．例4 设f (x )在［a ,b ］上可导，且f (a )=f (b )=0, 2()d 1baf x x =⎰,试求()()d baxf x f x x '⎰．解[]21()()d ()d ()d ()2bbb aaa xf x f x x xf x f x x f x '⎡⎤==⎣⎦⎰⎰⎰2211()()d 22b ba axf x f x x =-⎰ 110122=-⨯=-．例5 证明220sin d cos d nnx x x x ππ=⎰⎰;并求20sin d n n I x x π=⎰．证 令x =2t π-，则当x =0时，t =2π;当x =2π时，t =0．故 022002sin d sin ()d cos d 2nnn x x t t x x ππππ=--=⎰⎰⎰．1220sin d sin d cos nn n I x x x x ππ-==-⎰⎰201220sincos cos (1)sin cos d n n x xx n x x x ππ--=-+-⎰2220(1)sin (1sin )d n n x x x π-=--⎰2(1)(1)n n n I n I -=---,由此得到递推公式：21n n n I I n--=． 又易求得200d 2I x ππ==⎰,210sin d 1I x x π==⎰,故当n 为偶数时13312422n n n I n n --π=-,当n 为奇数时1342253n n n I n n --=-． 习题6-41． 利用分部积分公式证明：()()()d ()d d xxuf u x u u f x x u -=⎰⎰⎰．2． 计算下列定积分： (1)1e d xx x -⎰; (2)e1ln d x x x ⎰;(3)41x ⎰; (4) 324d sin xx xππ⎰; (5) 220e cos d x x x π⎰; (6) 221log d x x x ⎰;(7)π20(sin )d x x x ⎰; (8) e1sin(ln )d x x ⎰；(9)230e d x x ; (10)1201lnd 1xx x x+-⎰． 3． 已知f (2)=12,f ′(2)=0, 20()d 1f x x =⎰,求120()d x f x x ''⎰．第五节 定积分的应用本节中，我们将运用前面学过的定积分理论来分析和解决一些实际问题．一、 建立定积分数学模型的微元法由定积分定义可知，若f (x )在［a ,b ］上可积，则对于［a ,b ］的任一划分a =x 0＜x 1＜…＜x n =b 及［x i -1,x i ］中任一点ξi ，有1()d lim ()nbi i ai f x x f x λξ→==∆∑⎰， （6-5-1）这里Δx i =x i -x i -1(i =1,2,…，n ),λ={}1max i i nx ≤≤∆，此式表明定积分的本质就是某一特定和式的极限．基于此，我们可以将一些实际问题中有关量的计算问题归结为定积分的计算．例如，前面我们所介绍过的曲边梯形面积的计算问题就是归结为定积分来计算的，其归结过程概括地说就是“划分作近似，求和取极限”，也就是将整体化成局部之和，利用整体上变化的量局部上近似于不变这一辩证关系，局部上以“不变”代表“变”，这就是我们建立定积分数学模型的基本方法，也是我们利用定积分解决实际问题的基本思想．根据定积分的定义，如果某一实际问题中的所求量Q 符合下列条件：(1) 建立适当的坐标系和选择与Q 有关的变量x 后，Q 是一个与定义在某一区间［a ,b ］上的可积函数q (x )有关的量；(2) Q 对于区间［a ,b ］具有可加性，即如果把区间［a ,b ］任意分成n 个部分区间［x i -1,x i ］(i =1,2,…，n ),则Q 相应地分成n 个部分量ΔQ i ,而Q =1nii Q ∆=∑．(3) 部分量ΔQ i 可近似表示为q (ξi )Δx i (ξi ∈［x i -1,x i ］)，且ΔQ i -q (ξi )Δx i =o (Δx i )． 那么，我们即可获得所求量Q 的定积分数学模型：1lim ()()d nbi i ai Q q x q x x λξ∆→===∑⎰,其中λ={}1max i i nx ≤≤∆,Δx i =x i -x i -1．而在实际建模过程中，为简便起见，通常将具有代表性的第i 个小区间［x i -1,x i ］略去下标，记作［x ,x +Δx ］，称其为典型小区间，然后求出相应于这个小区间的部分量ΔQ 的近似值．如果ΔQ 能近似地表示成［a ,b ］上一个可积函数在x 处的值q (x )与Δx 的积，且ΔQ =q (x )Δx +o (Δx ), （6-5-2）就把q (x )Δx 称为Q 的微元(或称元素)，记作d Q =q (x )Δx ． (6-5-3)事实上，对任意x ∈［a ,b ］,若用Q (x )记为区间［a ,x ］所对应的部分量，则Q (a )=0,Q (b )=Q ,且［x ,x +Δx ］所对应的部分量为ΔQ =Q (x +Δx )-Q (x )． (6-5-4)由(6-5-2)式与(6-5-4)式表明(6-5-3)式右端q (x )Δx 即为Q (x )的微分，从而Ｑ＝Ｑ（b )-Q (a ) ()()d =()d Q b bQ a aQ q x x =⎰⎰． (6-5-5)对自变量x 来说，注意到我们有d x =Δx 的规定，因此，习惯上我们将［x ，x +d x ］作为典型小区间．上述建立定积分数学模型的方法称为微元法．值得注意的是，在利用上述微元法建模的过程中，证明ΔＱ-q (x )Δx =o (Δx )是十分关键的．但对于一些初等问题，这一事实往往比较明显，因此也就常常省去了这一步．下面，我们利用微元法来解决一些实际问题． 二、 定积分的几何应用1． 平面图形的面积 由定积分的几何意义我们知道：若f (x )∈C (［a ,b ］)且对任意x ∈［a ,b ］有f (x )≥0,则()d baf x x⎰表示由曲线y =f (x )，直线x =a 和x =b 及x 轴所围曲边梯形的面积．一般地，由平面曲线所围平面图形的面积，在边界曲线为已知时，均可用定积分来求得．图6-5设一平面图形由连续曲线y =f (x ),y =g (x )及直线x =a 和x =b (a ＜b )所围(图6-5)．为了求该平面图形的面积A ，我们在［a ,b ］上取典型小区间［x ,x +d x ］，相应于典型小区间的面积部分量ΔA 近似地等于高为︱f (x )-g (x )︱,宽为d x 的窄矩形的面积(图6-5)，从而得到面积微元d A =︱f (x )-g (x )︱d x , 所以 =()()d baA f x g x x -⎰． (6-5-6)类似地，若平面图形由连续曲线x =ψ(y ),x =φ(y )及直线y =c 和y =d (c ＜d )所围成(图6-6)，则其面积A 为=()()d dcA y y x ψϕ-⎰． (6-5-7)图6-6我们看到(6-5-6)式的积分是以x 为积分变量，(6-5-7)式的积分是以y 为积分变量． 例1 计算由抛物线y =-x 2+1与y =x 2-x 所围图形的面积A ．图6-7解 两抛物线交点由221,y x y x x⎧=-+⎨=-⎩ 解得13(,)24-及(1，0)，于是图形位于直线x = 12-与x =1之间(图6-7)．取x 为积分变量，由(6-5-6)式得12212(1)()d A x x x x =-+--⎰1212(21)d x x x =-++⎰3211221()32x x x -=-++=98． 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围图形的面积A ． 解 两线交点由22,4y x y x ⎧=⎨=-⎩图6-8解得为(2，-2)及(8，4)．这时宜取y 为积分变量，因图形(图6-8)位于直线y = -2和y =4之间，于是由(6-5-7)式得22344224d (4)18226y y y A y y y --=+-=+-=⎰.例3 求由曲线y =sin x ,y =cos x 及直线x =0, 2x π=所围图形的面积A ．图6-9解 两线交点由sin ,cos y x y x =⎧⎨=⎩解得(,42π,如图6-9所示． 取x 为积分变量，由(6-5-6)式有4204(cos sin )d (cos sin )d A x x x x x x πππ=-+-⎰⎰ 4204(sin cos )(cos sin )x x x x πππ=++--＝ -1)．例4 求椭圆22221x y a b+=所围图形的面积A ．图6-10解 因为椭圆关于两坐标轴对称(图6-10)，所以椭圆所围图形的面积是第一象限内那部分面积的4倍，再由(6-5-6)式，即有4A x =⎰． 应用定积分换元法，令x =a cos t (0≤t ≤π2), 则 y =b sin t , d x =-a sin t d t ． 当x =0时，t =2π;当x =2π时，t =0．于是 024sin (sin )d A b t a t t π=-⎰2204sin d 44abt t abab ππ===π⎰． 2． 旋转体的体积Ｖ图6-11考虑介于过x 轴上点x =a 及x =b 且垂直于x 轴的两平行平面之间的立体(图6-11)，设在x (a ≤x ≤b )处垂直于x 轴的截面面积可以用x 的连续函数A (x )来表示．为了求其体积，我们在［a ,b ］内取典型小区间［x ,x +d x ］，用以底面积为A (x )，高为d x 的柱体体积近似于典型小区间［x ,x +d x ］对应的体积部分量，则得体积元素d Ｖ=A (x )d x ， 从而 ()d baV A x x =⎰(6-5-8)类似地，对于介于过y 轴上点y =c 及y =d 且垂直于y 轴的两平行平面之间的立体，若在y (c ≤y ≤d )处垂直于y 轴的截面面积可以用y 的连续函数B (y )来表示，则其体积为()d dcV B y y =⎰． (6-5-9)图6-12现在考虑旋转体，所谓旋转体就是由一平面图形绕这平面内一条定直线旋转一周而成的 立体．如图6-12所示，设旋转体是由曲线y =f (x ),直线x =a ,x =b (a ＜b )和x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的，则对任意x ∈［a ,b ］，相应于x 处垂直于x 轴的截面是一个圆盘，其面积为πf 2(x )，从而由(6-5-8)式知其体积2()d bx aV f x x =π⎰． (6-5-10)类似地，若旋转体是由曲线x =φ(y ),直线y =c ,y =d (c ＜d )和y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的，则其体积为2()d dy cV y y ϕ=π⎰． (6-5-11)例5计算由椭圆22221x y a b+=所围图形绕x 轴旋转而成的旋转体(称为旋转椭球体，见图6-13)的体积．解 这个旋转体实际上就是半个椭圆y =x 轴所围曲边梯形绕x 轴旋转而成的立体，于是由公式(6-5-10)得2223222222022204()d 2()d 2()33aa ax a b b b x V a x x a x x a x ab a a a -=π-=π-=π-=π⎰⎰ 特别地，当a =b 时就得到半径为a 的球的体积343a π.图6-13 图6-14例6 求由曲线y =2x -x 2和x 轴所围图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积．解 如图6-14所示，y =2x -x 2的反函数分为两支，1x = (0≤y ≤1)和1x =(0≤y ≤1)．由(6-5-11)式，所得旋转体的体积为((22111d 1d y V y y =π-π⎰⎰((221011d y ⎡⎤=π+--⎢⎥⎣⎦⎰312844(1)3y y 2=π=-π-=π3⎰． 三、 定积分的经济学应用1． 由边际函数求总函数设某产品的固定成本为C ０，边际成本函数为C ′(Ｑ)，边际收益函数为R ′(Q ),其中Q 为产量，并假定该产品处于产销平衡状态，则根据经济学的有关理论及定积分的微元分析法易知：总成本函数C (Q )＝00()d QC Q Q C '+⎰; 总收益函数R (Q )= 0()d QR Q Q '⎰;总利润函数L (Q )=[]00()()d QR Q C Q Q C''--⎰．例7设某产品的边际成本为C ′(Q )=4+4Q(万元/百台)，固定成本C 0=1(万元)，边际收益R ′(Q )=8-Q (万元/百台)，求：(1) 产量从100台增加到500台的成本增量； (2) 总成本函数C (Q )和总收益函数R (Q )；(3) 产量为多少时，总利润最大?并求最大利润．解 (1) 产量从100台增加到500台的成本变化量为2555111()d (4)d 41948Q Q C Q Q Q Q ⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰ (万元)． (2) 总成本函数200()()d (4)d 14148Q QQ Q C Q C Q Q C Q Q '=+=++=++⎰⎰,总收益函数200()()d (8)d 82Q QQ R Q R Q Q C Q Q Q '=+=-=-⎰⎰．(3)总利润函数2225()()()(8)(41)41288Q Q L Q R Q C Q Q Q Q Q =-=--++=-+-,5()44L Q Q '=-+．令L ′(Q )=0，得惟一驻点Q =3．2(百台)，又因L ″(3．2)= - 54＜0，所以当Q =3．2(百台)时，总利润最大，最大利润为L (3．2)＝5．4(万元)．2． 消费者剩余和生产者剩余图6-15市场经济中，生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给曲线与需求曲线来描述．供给曲线描述的是生产者根据不同的价格水平所提供的商品数量，一般假定价格上涨时，供应量将会增加．因此，把供应量看成价格的函数，这是一个增函数，即供给曲线是单调递增的．需求曲线则反映了顾客的购买行为．通常假定价格上涨，购买量下降，即需求曲线随价格的上升而单调递减(图6-15)．需求量与供给量都是价格的函数，但经济学家习惯用纵坐标表示价格，横坐标表示需求量或供给量．在市场经济下，价格和数量在不断调整，最后趋向于平衡价格和平衡数量，分别用P *和Ｑ*表示，也即供给曲线与需求曲线的交点E ．在图6-15中，P ０是供给曲线在价格坐标轴上的截距，也就是当价格为P ０时，供给量是零，只有价格高于P ０时，才有供给量；P １是需求曲线的截距，当价格为P １时，需求量是零，只有价格低于P １时，才有需求；Q １则表示当商品免费赠送时的最大需求量．在市场经济中，有时一些消费者愿意对某种商品付出比他们实际所付出的市场价格P *更高的价格，由此他们所得到的好处称为消费者剩余(C S )．由图6-15可以看出：C S =()d Q D Q Q P Q ***-⎰，式中，()d Q D Q Q *⎰表示消费者愿意支出的货币量．P Q **表示消费者的实际支出，两者之差为消费者省下来的钱，即消费者剩余．同理，对生产者来说，有时也有一些生产者愿意以比市场价格P *低的价格出售他们的商品，由此他们所得到的好处称为生产者剩余(PS )，如图6-15所示，有PS 0()d Q P Q S Q Q ***=-⎰．例8 设需求函数D (Q )=24-3Q ，供给函数为S (Q )=2Q +9,求消费者剩余和生产者剩余． 解 首先求出均衡价格与供需量． 由24-3Q =2Q +9,得Q *=3， P *=15．C S 32300327(243)d 153(24)4522Q Q Q Q =--⨯=--=⎰;。
