全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师14(文)

全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十四)

第十四单元 空间点、线、面的位置关系

(120分钟 150分)

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

解析:若两直线为异面直线,则两直线无公共点,反之不一定成立.

答案:A

2.已知直线a∥平面α,则下列命题是假命题的是

A.a与α内的无数条直线平行 B.a与α内的所有直线都平行

C.a与α内的无数条直线垂直 D.a与α无公共点

解析:a还可能与α内的直线垂直,异面,故B错误.

答案:B

3.给定下列四个命题:

①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线;

②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;

③垂直于同一直线的两条直线相互平行;

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中为真命题的是

A.①② B.②③ C.②④ D.③④

解析:①错,这两条直线可能相交;②正确;③错,这两条直线也可能相交或异面;④正确.

答案:C

4.α、β是两个不重合的平面,a、b是两条不同直线,在下列条件下,可判定α⊥β的是

A.a⊥α,a⊥β B.a⊂α,a⊥β

C.a⊂α,b⊂β,a⊥b D.a⊂α,b⊥α,b∥β

解析:根据面面垂直的判定可知,B项可以推出α⊥β.

答案:B

5.已知m,n,l为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,给出下列4个命题:

①由α∥β,m⊂α,n⊂β,得m与n平行;

②由m∥n,m⊥α,n⊥l,得l∥α;

③由m⊥n,m∥α,得n⊥α;

④由m⊥α,n⊥β,α⊥β,l⊥m,得l∥n.

则正确命题的个数是

A.0 B.1 C.2 D.3 解析:①中m与n还可能异面,故①错误;对于②,还有可能l⊂α,故②错误;③中还可能n∥α,或n与α相交但不垂直,故③错误;对于④,l与n还可能异面或相交,故④错误.

答案:A

6.已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论不正确的是

A.CD∥平面PAF B.DF⊥平面PAF

C.CF∥平面PAB D.CF⊥平面PAD

解析:∵CD∥AF,∴CD∥平面PAF,选项A对;∵DF⊥AF,DF⊥PA,∴DF⊥平面PAF,选项B对;易得CF∥AB,则CF∥平面PAB,选项C正确;选项D错误.

答案:D

7.已知α,β,γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题.如果把α,β,γ中的任意一个换成直线,另两个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

解析:由题可得(1)已知平面α,β,直线l,如果α∥β,l⊥α,则l⊥β,为真命题;(2)已知平面α,γ,直线l,若l∥α,α⊥γ,则l⊥γ,是假命题,因为此时直线l与平面γ可以相交,平行,也可以在平面γ内;(3)已知平面β,γ,直线l,若有l∥β,l⊥γ,则有β⊥γ,为真命题,因为一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面相互垂直.从而有两个真命题,故选C.

答案:C

8.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,A1B1⊥A1C1,B1C⊥AC1,AB=2,AC=1,则该三棱柱的体积为

A.

B.1

C.2 D.4

解析:连结A1C,∵A1B1⊥A1C1,∴A1B1⊥平面A1C,∵B1C⊥AC1,∴A1C⊥AC1,即四边形AA1C1C是正方形,∴AA1=AC=1,则该三棱柱的体积V=

×1×2×1=1.

答案:B

9.在直二面角α—l—β中,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l斜交,则

A.a不和b垂直,但可能a∥b B.a可能和b垂直,也可能a∥b C.a不和b平行,但可能a⊥b D.a不和b垂直,也不和b平行

解析:若a∥b,则a∥β,于是a∥l与已知矛盾;若a⊥b,在β内做直线m⊥l,则m⊥α,于是a⊥m,b,m不平行,所以a⊥β,则a⊥l与已知矛盾,故a不平行b也不垂直b.

答案:D

10.在正方体ABCD—A'B'C'D'中, 棱AB、BB'、B'C'、C'D'的中点分别是E,F,G,H, 如图所示,则下列说法中正确的有:

①点A,D',H,F共面;

②直线EG与直线HF是异面直线;

③A'C⊥平面EFG;

④D'G∥平面A'DF.

A.①② B.②③

C.②④ D.③④

解析:若A,D',H,F四点共面,利用线面平行的性质得AF∥D'H,矛盾,故①错;连结EH,则EH∥FG,即E、F、G、H四点共面,故②错;易知A'C⊥AB'、A'C⊥AD',又EF∥AB',FG∥AD',∴A'C⊥EF、A'C⊥FG,即A'C⊥平面EFG,故③正确;取A'D的中点为O,连结FO,易证FO∥D'G,则D'G∥平面A'DF,故④正确.

答案:D

11.在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1.若BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ.则a的取值范围是

A.(1,+∞) B.[1,2) C.(2,+∞) D.[2,4]

解析:

如图所示,若PQ⊥DQ,则有DQ⊥平面PAQ,所以AQ⊥DQ,则“BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ”就转化为“BC边上存在两个点Q使得AQ⊥DQ”,即以AD为直径的圆与边BC有两个交点,所以

>1,即a>2.

答案:C 12.如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A、D分别是BF、CE上的点,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起,连结BE、BF、CE(如图2).在折起的过程中,下列说法中错误的是

A.AC∥平面BEF

B.B、C、E、F四点不可能共面

C.若EF⊥CF,则平面ADEF⊥平面ABCD

D.平面BCE与平面BEF可能垂直

解析:在图2中取AC的中点为O,取BE的中点为M,连结MO,易证得四边形AOMF为平行四边形,即AC∥FM,∴AC∥平面BEF,故A正确;∵直线BF与CE为异面直线,∴B、C、E、F四点不可能共面,故B正确;在梯形ADEF中,易得EF⊥FD,又EF⊥CF,∴EF⊥平面CDF,即有CD⊥EF,∴CD⊥平面ADEF,则平面ADEF⊥平面ABCD,故C正确;延长AF至G使得AF=FG,连结BG、EG,易得平面BCE⊥平面ABF,过F作FN⊥BG于N,则FN⊥平面BCE.若平面BCE⊥平面BEF,则过F作直线与平面BCE垂直,其垂足在BE上,矛盾,故D错误.

答案:D

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.

13.在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,E是PA的中点,在平面PAD内过点E且与平面PBC平行的直线的条数是 .

解析:∵平面PAD与平面PBC相交,∴在平面PAD内过点E有且只有1条直线与平面PBC平行.

答案:1

14.已知α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及平面β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m∥n,②α∥β,③m⊥α,④n⊥β.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .

解析:同垂直于一个平面的两条直线互相平行,同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行.

答案:②③④⇒① (答案不唯一)

15.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,若①m∥n,n∥α;②m⊥n,n⊥α;③m⊄α,m∥β,α∥β;④m⊥β,α⊥β,则其中能使m∥α成立的充分条件有 .

解析:①m∥n,n∥α,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内;②m⊥n,n⊥α,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内;③m⊄α,m∥β,α∥β,能推得m∥α;④m⊥β,α⊥β,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内.

答案:③

16.已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P、Q、R分别是表面A1B1C1D1、BCC1B1、ABB1A1的中心,给出下列四个结论: ①PR与BQ是异面直线;

②RQ⊥平面BCC1B1;

③平面PQR∥平面D1AC;

④过P、Q、R的平面截该正方体所得的截面是边长为 的等边三角形.

以上结论中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)

解析:据图可知③④正确.

答案:③④

三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.(本小题满分10分)

如图所示,三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1,M,N分别是AB,A1C的中点.

(1)求证:MN∥平面BCC1B1;

(2)求证:MN⊥平面A1B1C.

解析:(1)连结BC1,AC1,显然AC1过点N.

∵M,N分别是AB,A1C的中点,

∴MN∥BC1.

又∵MN⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,

∴MN∥平面BCC1B1.4分

(2)∵三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱与底面垂直,BC=BB1,

∴四边形BCC1B1是正方形,

∴BC1⊥B1C,由(1)知MN∥BC1,

∴MN⊥B1C.

连结A1M,CM,∵AM=MB,BC=BB1=AA1.∠MBC=∠MAA1=90°,

∴△AMA1≌△BMC.

∴A1M=CM,又N是A1C的中点,

∴MN⊥A1C.

又B1C与A1C相交于点C,

∴MN⊥平面A1B1C.10分