最新用不动点法求数列通项公式

【关键字】精品 用不动点法求递推数列dt c b t a t n n n +⋅+⋅=+1(a 2+c 2≠0)的通项 储炳南（安徽省岳西中学 246600）1．通项的求法 为了求出递推数列dt c b t a t n n n +⋅+⋅=+1的通项，我们先给出如下两个定义： 定义1：若数列{n t }满足)(1n n t f t =+，则称)(x f 为数列{n t }的特征函数.定义2:方程)(x f =x 称为函数)(x f 的不动点方程，其根称为函数)(x f 的不动点. 下面分两种情况给出递推数列dt c b t a t n n n +⋅+⋅=+1通项的求解通法. (1)当c=0,时, 由d t c b t a t n n n +⋅+⋅=+1d b t d a t n n +⋅=⇒+1, 记k d a =,c db =，则有c t k t n n +⋅=+1 （k ≠0）, ∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c,由kx+c=x ⇒x=k c -1,则c t k t n n +⋅=+1⇒)1(11k c t k k c t n n --=--+ ∴数列}1{kc t n --是公比为k 的等比数列, ∴11)1(1-⋅--=--n n k k c t k c t ⇒11)1(1-⋅--+-=n n k kc t k c t . (2)当c ≠0时,数列{n t }的特征函数为：)(x f =dx c b x a +⋅+⋅由x dx c b x a =+⋅+⋅0)(2=--+⇒b x a d cx 设方程0)(2=--+b x a d cx 的两根为x 1,x 2,则有:0)(121=--+b x a d cx ,0)(222=--+b x a d cx∴12)(1x a d cx b -+= (1)222)(x a d cx b -+=……(2) 又设212111x t x t k x t x t n n n n --⋅=--++(其中,n ∈N *,k 为待定常数). 由212111x t x t k x t x t n n n n --⋅=--++ ⇒2121x t x t k x dt c b t a x d t c b t a n n n n n n --⋅=-+⋅+⋅-+⋅+⋅ ⇒212211x t x t k dx t cx b at dx t cx b at n n n n n n --⋅=--+--+……(3) 将(1)、（2）式代入(3)式得:∴数列{21x t x t n n --}是公比为21cx a cx a --(易证021≠--cx a cx a )的等比数列. ∴21x t x t n n --=1212111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅--n cx a cx a x t x t ⇒12121111212111211--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅--⋅-=n n n cx a cx a x t x t cx a cx a x t x t x x t .2．应用举例例1：已知数列{a n }中，a 1=2，3121+=+n n a a ，求{a n }的通项。

kan l 对于形如an 1 , 需要借助不动点来解决。 pan m kx l 已知函数f ( x) , 满足f ( x) x成立的x称为 px m 该函数的不动点。此法因此叫不动点法。
一般的分析步骤为： kx l (1)视an1， n为x，得到 x a ，解此方程； px m


2+1

4 n2
bn 2
2 2 2 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

4 n2
1
7bn 2 例2：数列bn 中，b1 2, bn 1 n N * , 求bn . 2bn 3
解：令x 5 bn 1 7bn 2 在已知等式两边同时减去1，得bn 1 1 1 2bn 3 2bn 3 7x 2 , 得x 1. 2x 3
例3 : (1)数列an 中，a1 0, an 1
an 3 3an 1
n N * 则a20 ?
1 (2)a1 2, an 1 1 , 记数列an 的前n项之积为 n ，则 2011 =？ an
解：令x 3x 4 , 得x 2 2, 则x1 = 2，x2 = 2 2x 3
在已知的等式两边同时减去x1， 2， x ，得
3 2 2 bn 4 3 2 3bn 4 bn 1 2 2 2bn 3 2bn 3


3 2 2 b 2
(2)若方程有两个不同的实数根x1， 2， x 在已知的等式两边同时 减去x1， 2， x 得到等式组，整理后二式相比，变为等比数列；
(3)若方程有两个相等的实数根，在已知的等式两边同时 减去这个根，整理后取倒数，变为等差数列；

用不动点法求数列的通项定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.证明：因为 p 是)(x f 的不动点p b ap =+∴ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---所以}{p a n -是公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠（1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qca pca k --=）（2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则k p a p a n n +-=--111 （这里da c k +=2）证明：由x x f =)(得x dcx bax x f =++=)(，所以0)(2=--+b x a d cx（1）因为q p ,是不动点，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(22b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以 q a pa qc a pc a qc ab qd a pc a bpd a qca pc a qdb a qc a pd b a pc a qdca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅--=------⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qc a pca k --=，则q a p a k q a p a n n n n --=----11（2）因为p 是方程0)(2=--+b x a d cx 的唯一解，所以0)(2=--+b p a d cp 所以ap cp pd b -=-2，cda p 2-=所以 dca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111))(()()(所以da c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令da ck +=2，则k p a p a n n +-=--111 例1：设}{n a 满足*11,2,1N n a a a a nn n ∈+==+，求数列}{n a 的通项公式 解：作函数xx x f 2)(+=，解方程x x f =)(求出不动点1,2-==q p ，于是 12212221211+-⋅-=++-+=+-++n n n n n n n n a a a a a a a a ，逐次迭代得n n n na a a a )21(12)21(12111-=+-⋅-=+-- 由此解得nn n n n a )1(2)1(21---+=+ 例2：数列}{n a 满足下列关系：0,2,2211≠-==+a a a a a a a nn ，求数列}{n a 的通项公式解：作函数xa a x f 22)(-=，解方程x x f =)(求出不动点a p =，于是a a a a a a a a aa a a a a aa n n n nn n 11)(1211221+-=-=-=--=-+ 所以}1{a a n -是以a a a 111=-为首项，公差为a1的等差数列 所以a n a n a a n a a a a n =⋅-+=⋅-+-=-1)1(11)1(111，所以naa a n +=定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e a fex cbx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++证明: Θk x 是)(x f 的两个不动点∴fex c bx ax x k k k k +++=2即k k k bx x a e f x c --=-2)()2,1(=k∴222221211222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++⇔22222112222221211222)()()()(x u x u x u x u bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+ ⇔22222112222221211222)()(x u x u x u x u abx x a e u a ex b u a bx x a e u a ex b u n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+ ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-221122x aex b x aex b ⇔⎩⎨⎧=-+=-+0)2(0)2(21x e a b x e a b Θ11 21x x0≠ ∴方程组有唯一解a e b 2,0== 例3：已知数列}{n a 中,*211,22,2N n a a a a nn n ∈+==+,求数列}{n a 的通项.解:作函数为xx x f 22)(2+=,解方程x x f =)(得)(x f 的两个不动点为2±2222211)22(22222222222222+-=++-+=++-+=+-++n n nn n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a再经过反复迭代,得1122211222211)2222()22()22()22(22--+-=+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-=+-=+-----n n a a a a a a a a n n n n n n由此解得11112222)22()22()22()22(2------+-++⋅=n n n n n a其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 例4：已知1,011≠>a a 且)1(4162241+++=+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.解: 作函数为)1(416)(224+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为 i x i x x x 33,33,1,14321=-==-=.取1,1-==q p ,作如下代换: 423423422422411)11(146414641)1(4161)1(41611-+=+-+-++++=-+++++++=-+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 逐次迭代后,得:111141414141)1()1()1()1(------+-++=n n n n a a a a a n。

ｃａ ＋ ｄ
（ｎ——ｃ口）Ⅱ ＋ ６一
．
一 ２
ａ ｎ － ＋ ｌ
２
一
ａ ｎ
一
ｆｎ ＋ ｄ
＋Ｔ
Ｔ
ｃ一 ·
一
一 ｄ ·
１
ｎ— ｄ
ｎｎ一 — －
１ 口 一 ２
…
２
’
２ ａ＋ ｄ
Ｃａ ＋ ｄ
ａ－ ｄ
一
１
一
ｎ— ｄ
一
．．．数列｛ ｝是以 着一一专为首项，一专 ｃ ． （ａ，， －￣－ｃ－ ｄ）
￣盯ａｘ＋
ｂ —
则 ， ｃＸ２＋ （ —
１＿ ＆
ｎ）－丁一 一Ｏ．显 然 ，它 的根 有 两种 情 况 ．
（１）若 啊 ＋ （ｄ－ａ）ｘ－ ｂ＝０有 两 个 不 等 实 根 口，
则 ， ｂ＝ ｃａ ＋ （ｄ－ａ）ａ
ａａ ＋ ｂ
一
ｄ 十 １一
．
一
一
‰＋１邓
Ⅱ一
一
．
一 一 印
个。等 寸
比数 列 ，从 而 可 以 求 出 的 表 达 式 ，进 而 解 出 ｎｎ，
ｎ 一（一 ）一 Ｐｎ 一 ＋ ｑ＋ ，即 ｎ ＋
得 到 数 列 ｛ｎ ）的通 项 公 式 ； （２）若 有 ＣＸ ＋ （ｄ－ａ）ｚ一６— ０两 个 相 等 实 根 ａ，
一ｐ（ａ 一 ＋ ），故 ｛１ ２．＋ ）是 以 ｎ ＋ 为 首 则 。一 ；
的 解 为 函 数 Ｙ一＿厂（ ）的 不 动 点 ．本 文 通 过 两 例 归 纳 出两类 递 推 公 式 通 过不 动点 求 通 项 的 方 法
【例 １】 已 知数 列 ｛口 ）满 足 ａ 一 １，ｎ ＋ 一 ２ａ ＋ １，求 通 项 公 式 ．