4-5定轴转动的角动量定理

刚体的定轴转动

一、刚体极其运动

刚体——受力时不改变形状和体积的物体。 注：（1）刚体是固体物件的理想模型。（2）刚体是一个特殊的质点系

（各质点间的相对位置在运动中保持不变）。

刚体的运动分为平动和转动。 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意

两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 。（用质点力学处理） 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动

和非定轴转动 。

二、 刚体转动的角速度和角加速度 刚体定轴转动时，由于各质元间的相对位置保持不变，因此描述各质

元的角量是一样的。 角坐标：θ=θ(t)

角位移：

?θ=θ(t+?t)-θ(t) 角速度： ?θdθ=?t→0?tdt 角速度的方向：右手螺旋法则。

dω角加速度： α= dt 定轴转动的特点：

（1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； （2）任一质

点运动?θ,ω,α均相同，但 v,a不同； （3）运动描述仅需一个坐标 。

三、匀变速转动公式 匀变速转动------刚体绕定轴转动的角加速度为恒量。

刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 匀变速转动 匀变速直线运动 v=v+at x=x0+v0t+at2212222

v=v0+2a(x-x0)2ω=lim 匀

四 、角量与线量的关系 v=rω

aτ=rα an=rω2

4-2力矩 转动定律 转动惯量

一、力矩 设一质点系由n个质点组成，其中i质点受力为

n-1j=1Fi外+∑fji n-1 Mi=ri?(Fi外+∑fji)现对i质点所受力的力矩： j=1

对i求和，刚体所受力的力矩为

n M=∑Mi=∑ri?Fi外 ii=1

（内力矩为零） 二、刚体的转动定律

组成刚体的各质点间无相对位移，所以刚体对给定轴的力矩为

dω2 M=rma=(rm)α=J=Jα∑iz∑∑iiτiidtii 即刚体定轴转动的转动定律：绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于

第四章 刚体的转动 问题与习题解答

0问题：4-2、4-5、4-9

0

4-2

0

如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外

力矩为零，其合外力是否也一定为零？

0

答：

0

一个刚体所受合外力为零，其合力矩不一定为零，如图a所示。刚体所受合外

力矩为零，其合外力不一定为零，例如图b所示情形。

0

4-5

0

为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能的改变只与外力矩有关，

而与内力矩无关？

0

答：

0

因为合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量；而质点系中内力一般也做功，故内力对质点系的动能的增

量有贡献。而在刚体作定轴转动时，任何一对内力对转轴的力矩皆为一对大小相等、方向相反的力矩，且因定

轴转动时刚体转过的角度d都一样，故其一对内力矩所作的功()0in

ijijjiijjiWMdMdMMd，

其内力功总和也为零，因而根据刚体定轴转动的动能定理可知：内力矩对其转动动能的增量无贡献。

0

4-9

0

一人坐在角速度为0的转台上，手持一个旋转的飞轮，其转轴垂直地面，角速度为。如果突然使飞轮的转

轴倒转，将会发生什么情况？设转台和人的转动惯量为J，飞轮的转动惯量为J。

0

答：

0

（假设人坐在转台中央，且飞轮的转轴与转台的转轴重合）视转台、人和飞轮为同一系统。

0

（1）如开始时飞轮的转向与转台相同，则系统相对于中心轴的角动量为：

0

10LJJ

飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为1，则系统的

角动量为：

0

21LJJ

在以上过程中，外力矩为零，系统的角动量守恒，所以有：

0

10JJJJ

即 102J

J，转台的转速变大了。

0

（2）如开始时飞轮的转向与转台相反，则系统相对于中心轴的角动量为：

0

10LJJ

飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为1，

刚体绕定轴转动定律和角动量定理的表达式

刚体绕定轴转动定律：

Mz=Jβ，其中Mz表示对于某定轴的合外力矩，J表示刚体绕给定轴的转动惯量，β表示角加速度。

刚体定轴转动定律是指刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。

角动量定理的表达式：

角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。

角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。

角动量L=转动惯量J*角速度ω

所以角动量守恒表达为J1ω1=J2ω2

- 1 - 角动量定理公式推导过程

角动量定理是物理学中的一个重要定理，它描述了物体角动量的变化量与作用力矩的关系。下面将介绍角动量定理公式的推导过程。

首先，我们需要了解一些相关的基本概念。角动量是一个矢量量，它的大小为L，方向垂直于旋转轴并满足右手法则。角动量的大小可以表示为L=Iω，其中I是物体的转动惯量，ω是物体的角速度。

其次，我们需要了解作用力矩的概念。作用力矩是一个矢量量，它的大小为M，方向垂直于力的作用线并满足右手法则。作用力矩的大小可以表示为M=r×F，其中r是力的作用点到旋转轴的距离，F是力的大小。

根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。对于旋转运动，我们可以把它看作是由一个作用在物体上的力矩引起的转动加速度。因此，我们可以得到以下公式：

M=Iα

其中α是物体的角加速度。将角动量的定义代入上式，可得到：

M=dL/dt

将上述两个公式代入，我们可以得到角动量定理的公式：

dL/dt=Iα

通过这个公式，我们可以看出，角动量的变化量等于作用力矩的大小乘以时间的变化率。这意味着，当物体受到一个作用力矩时，它的角动量会发生变化，这个变化量与作用力矩的大小和作用时间有关。