5.投影变换

y x2.2几种常见的平面变换投影变换三维目标1.知识与技能掌握投影变换的矩阵表示与几何意义 2.过程与方法通过具体的实例让学生认识到，图形的旋转可以用矩阵来表示. 3.情感、态度与价值观将三角函数与矩阵结合起来，体现知识的螺旋上升。

教学重点 投影变换 教学难点 投影变换矩阵 教学过程一、情境设置如果把正午的太阳光近似看做垂直向下的平行光，一排排树木的影子会投影到各自的树根，而它们的正视图可以用右图来表示，在右图中，树木投影前后可以看做一个平面几何变换，怎样用矩阵来刻画这一变换？二、学生活动 对平面上的任意一点P(x,y)，它垂直投影到x 轴上时，横坐标保持，纵坐标变化为0，特殊地，x 轴上的点原地不动.因此，垂直投影前后可以看做一个几何变换T ，并且有T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡0''x y x y x故变换T 对应的矩阵为M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001三、建构数学像⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称之为投影变换矩阵，相应的投影称做投影变换.说明：投影变换虽然是映射，但不是一一映射. 四、数学运用 例5研究矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101所确定的变换. 解：对于平面上的向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x y x 0101， 因此，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101使得平面上的点的横坐标不变，而纵坐标变为与横坐标相等，该变换将平面内的点沿垂直于x 轴方向投影到直线y ＝x 上，如图所示. 例6 研究线段AB 在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121作用下变换得到的图形，其中A(0,0),B(1,2). 解：因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000021212121，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121212121， 所以在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121对应的变换作用下，线段AB 变换成线段AB ，其中A ′(0,0),B ′(－1/2,1/2)，如图所示. 变：研究直线y=2x 在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121作用下变换得到的图形. 解：在直线y=2x 上取点A(0,0),B(1,2) 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000021212121，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121212121，所以在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121对应的变换作用下，点A 、B 分别变换成点A ′(0,0),B ′(－1/2,1/2)，因此直线y=2x 在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121作用下变换得到直线y ＝－x. ●思考 矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000的变换作用如何？ 对平面上的任意一点P(x,y)，它垂直投影到y 轴上时，纵坐标保持，横坐标变化为0.●思考我们学习过的变换中，哪些是一一映射？哪些不是？恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、切变变换都是一一映射，投影变换是映射，但不是一一映射.五、回顾反思1.知识点：投影变换2.思想方法：数形结合六、作业 见数学教学案 教学后记。

换面法的基本原理 二、换面法的基本原理
⑵ 求新投影的作图方法
a′
X
V H
ax
作图规律 a2a1′ ⊥ X2 轴 a2ax2 = aax1
a2
a ax1 H X1 V1 a1′ V1
.
ax2
.
H2 X2
9
§4—2 变换投影面法
三、换面法的六个基本作图问题
1. 把一般位置直线变换成平行线 作图方法： 作图方法： （1）作新轴O1X1∥ab； 作新轴O ∥ab； （2）作出两端点A和B 作出两端点A 的新投影，得a1′b1′。 的新投影，
X
V H
a′ b a
.
H ′ X1 V1a1●
b1′
●
a2 (b2 )
轴的位置？ X2轴的位置？ 与a1b1垂直
14
§4—2 变换投影面法
第四个问题-----把一般位置平面变换成垂直面 4. 第四个问题---把一般位置平面变换成垂直面
空间分析： 空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？ 两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线， 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那 垂直线 么该平面则变换成新投影面的垂直面 垂直面。 么该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法： 作图方法： V1 c′ 在平面内取一条 在平面内取一条 V C c1 投影面平行线， 投影面平行线，经一 d′ 次换面后变换成新投 a′ bΧ 影面的垂直线， 影面的垂直线，则该 a1(d1) A D 平面变成新投影面的 b1 B 垂直面。 垂直面。 c X d a 思考： 思考： 若变换H 若变换H面，需在面内 取什么位置直线？ 取什么位置直线？
20
§4—3 旋转法

当直线或平面和投影面处于一般位置时，则 它们的投影就不具备上述的特性。
投影变换就是将直线或平面从一般位置变换 为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它 们的定位和度量问题。
b a
a
b
两点之间距离
c b
a
a
c
b
三角形实形
c a
b
d dc
a
b
两平面夹角
c
d a
b
b
a
d
c
直线与平面的交点
15 b2
a2 e2
e1
d2 c2
e d
有两解
ed
本章结束
1. 新投影体系的建立
V1
a1
c1 b1
c
c1
a
b1
b
X
a1
bc
X1
X1
a
V/H 体系变为V1/H 体系 V1/H 体系称为新投影体系；V/H 体系为旧投影体系。 V1称为新投影面；V称为旧投影面；H称为不变投影面。 X1称为新投影轴；X称为旧投影轴。
2. 新投影面的选择原则
V1∥AB VC 1 H
3.点的两次变换
第一次变换时的旧、 不变、新投影
旧轴 新轴
a2 a2
旧投影 不变投影 新投影
V/H V1/H V1/H2
值得提醒的是:
在多次变换中，必须遵照交替换面的原则。 如:
V/H V1/H V1/H2 V3/H2 V/H V/H1 V2/H1 V2/H3
6.2.3 直线的换面
1.将一般位置直线变换为投影面的平行线
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： (1) 新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 (2) 新投影面必须垂直于于原投影体系中的一个不变投影面。

2种常用投影坐标系矢量数据变换方法
（仅限内部使用）
以西安80坐标系矢量数据转换为大地2000坐标系矢量数据为例。

方法1（数据量小时使用）
1.在Arcgis软件下定义对应的大地2000投影坐标系(如：CGCS2000_3_Degree_GK_CM_108E)；
2.添加需要转换的西安80坐标系矢量数据，在“地理坐标系警告”对话框中，单击“关闭”选项，不进行投影变换；
3.单击编辑工具条“启动编辑”；
4.选择需要移动的矢量数据（如：所有小班面）；
5.单击编辑器下面的“移动”，分别输入增量X、Y的值（参考下表）。

6.保存编辑。

7.在左侧内容列表右键单击矢量文件，选择“数据-导出数据-数据框”等命令选项，将该矢量数据另存到其他位置。

8.投影转换完成。

方法2（数据量大时使用）
1.在Arcgis软件下定义对应的大地2000投影坐标系；
2.添加需要转换的西安80坐标系矢量数据，在“地理坐标系警告”对话框中，单击“变换”选项。

3.在出现的“地理坐标系变换”对话框中，单击“新建”选项，在“X轴平移”、“Y轴平移”选项中，分别输入对应的值。

（参考下表）
4.在左侧内容列表右键单击矢量文件，选择“数据-导出数据-数据框”等命令选项，将该矢量数据另存到其他位置。

5.投影转换完成。