中考数学阅读理解材料

学习必备欢迎下载重庆市2016中考数学阅读理解题（专题二）1、若x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx+c=0的两个实数根，且的两个实数根，且|x |x 1|+|x 2|=2|k||=2|k|（（k 是整数），则称方程x 2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x 2﹣6x 6x﹣﹣27=027=0，，x 2﹣2x 2x﹣﹣8=08=0，，，x 2+6x +6x﹣﹣27=027=0，，x 2+4x+4=0+4x+4=0，，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x 2+x +x﹣﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b ，是否存在实数c ，使得关于x 的方程x 2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．2、阅读材料：若a ，b 都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a=b 时，“=”成立．证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．∴a+b≥．当且仅当a=b 时，“=”成立．举例应用：已知x ＞0，求函数y=2x+的最小值．解：解：y=2x+y=2x+≥=4=4．当且仅当．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．当x=1时，函数取得最小值，时，函数取得最小值，y y 最小=4=4．．问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时7070～～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x 公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y 升．（1）求y 关于x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．3、在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”“梦之点”，例如点（1,11,1）），（-2-2，，-2-2）），22（，），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

中考数学复习专题第五讲阅读理解型问题【要点梳理】阅读理解能力是初中数学课程的主要目标，是改变学生学习方式，实现自主探索主动发展的基础．阅读理解型问题，一般篇幅较长，涉及内容丰富，构思新颖别致．这类问题，主要考查解题者的心理素质，自学能力和阅读理解能力，考查解题者的观察分析能力、判辩是非能力、类比操作能力、抽象概括能力、数学归纳能力以及数学语言表达能力．这就要求同学们在平时的学习活动中，逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑、会创新和独立获取新知识的良好习惯．阅读理解题型分类：题型一：考查掌握新知识能力的阅读理解题命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查我们自学能力和阅读理解能力，能考查我们接收、加工和利用信息的能力．题型二：考查解题思维过程的阅读理解题言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高我们数学水平的前提．数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础，这类试题就是为了检测我们理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的．题型三：考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题理解知识不是拘泥于形式的死记硬背，而是要把握知识的内涵或实质，理解知识间的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识．这类试题意在检测我们对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力．题型四：考查归纳、探索规律能力的阅读理解题对材料信息的加工提炼和运用，对规律的归纳和发现能反映出我们的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力．这类试题意在检测我们的“数学化”能力以及驾驭数学的创新意识和才能．【学法指导】解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”，具体做法：①认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词；②全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法，提取有价值的数学信息；③对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答．【考点解析】阅读新知识，解决新问题（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= 2 ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：2阅读解题过程，模仿解题策略（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为AD=AB+DC ；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D 在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，证明结论；（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；（3）延长AE交CF的延长线于点G，根据相似三角形的判定定理得到△AEB ∽△GEC，根据相似三角形的性质得到AB=CG，计算即可．【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴==，即AB=CG，∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．阅读探索规律，推出一般结论（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6= = ﹣；（2）用含n的代数式表示第n个等式：an= =﹣；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+an．【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．==﹣，【解答】解：（1）由题意知，a6故答案为：，﹣；（2）a==﹣，n故答案为：，﹣；（3）原式=﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=﹣=，故答案为：；（4）原式=﹣+﹣+…+﹣=﹣=．【真题训练】训练一：（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．训练二：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．训练三：（2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．训练四：（2017滨州）观察下列各式： =﹣；=﹣；=﹣；…请利用你所得结论，化简代数式： +++…+（n≥3且n为整数），其结果为．训练五：（2017山东滨州）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1 ；②方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2 ；③方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3 ；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为1、8 ；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0 的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．参考答案：训练一：（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．训练二：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S△ABP 的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．训练三：（2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．【分析】（1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）（2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）BC+CD=AC；理由：如图1，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，∵∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACB+∠ACD=45°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE=AC，∵CE=CE+DE=CD+BC，∴BC+CD=AC；（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=α，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，∵∠ACB=∠ACD=α，∴∠ACB+∠ACD=2α，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，∴∠AEC=α，过点A作AF⊥CE于F，∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα，∴CE=2CF=2AC•cosα，∵CE=CD+DE=CD+BC，∴BC+CD=2AC•cosα．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道基础题目．训练四：（2017滨州）观察下列各式： =﹣；=﹣；=﹣；…请利用你所得结论，化简代数式： +++…+（n≥3且n为整数），其结果为．【考点】6B：分式的加减法．【分析】根据所列的等式找到规律=（﹣），由此计算+ ++…+的值．【解答】解：∵ =﹣，=﹣，=﹣，…∴=（﹣），∴+++…+=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故答案是：．训练五：（2017山东滨州）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1 ；②方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2 ；③方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3 ；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为1、8 ；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0 的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．【解答】解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x 1=x2=1，；②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．（3）x2﹣9x=﹣8，x2﹣9x+=﹣8+，（x﹣）2=x﹣=±，所以x1=1，x2=8；所以猜想正确．故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；。

阅读理解问题1．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a42．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2= ．3．定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）= ．4．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D= ，O2F= ．（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= ．（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．5．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是．6．若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为．7．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值是．8．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+ ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？9．先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32=3×2=6．一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作A n m．A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n ﹣m+1）（m≤n）例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53=5×4×3=60．材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的排列数记作A n m，A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有种不同的选法；（2）从7个人中选取4人，排成一列，有种不同的排法．10．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N．小明在探究线段MM′与N′N 的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：（1）当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；（2）当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）．阅读理解问题参考答案与试题解析1．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（）A．a4＞a2＞a1B．a4＞a3＞a2C．a1＞a2＞a3D．a2＞a3＞a4【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】设等边三角形的边长是a，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率a1；设正方形的边长是x，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质求出直径，即可求出正六边形的周率a3；求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案．【解答】解：设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3设正方形的边长是x，由勾股定理得：对角线是x，则正方形的周率是a2==2≈2.828，设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，∴正六边形的周率是a3==3，圆的周率是a4==π，∴a4＞a3＞a2．故选：B．【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．2．阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）=m（a+b）+n（a+b）=（a+b）（m+n）（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2= （a+b）（a+b+c）．【考点】因式分解﹣分组分解法．【专题】压轴题；阅读型．【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．【解答】解：原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）=（a+b）2+c（a+b）=（a+b）（a+b+c）．故答案为（a+b）（a+b+c）．【点评】此题考查了因式分解法，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．3．定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）= 8 ．【考点】代数式求值．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据已知可将12⊗（﹣1）转换成a﹣4b的形式，然后将a、b的值代入计算即可．【解答】解：12⊗（﹣1）=×12﹣4×（﹣1）=8故答案为：8．【点评】本题主要考查代数式求值的方法：直接将已知代入代数式求值．4．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D= 2 ，O2F= 1 ．（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2= 3 ．（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据正方形对角线是正方形边长的倍可得正方形的对角线长，除以2即为所求的线段的长；（2）此时中心距为（1）中所求的两条线段的和，若只有一个公共点，则点D与点F重合，由此可得出答案．（3）动手操作可得两个正方形的边长可能没有公共点，有1个公共点，2个公共点，或有无数个公共点，据此找到相应取值范围即可．【解答】解：（1）O1D=2×÷2=2；O2F=×÷2=1．故答案为：2，1；（2）点D、F重合时有一个公共点，O1O2=2+1=3．故答案为：3；（3）两个正方形的边长有两个公共点时，1＜O1O2＜3；无数个公共点时，O1O2=1；1个公共点时，O1O2=3；无公共点时，O1O2＞3或0≤O1O2＜1．【点评】考查正方形的动点问题；需掌握正方形的对角线与边长的数量关系；动手操作得到两正方形边长可能的情况是解决本题的主要方法．5．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是15 ．【考点】分式方程的应用．【专题】阅读型．【分析】题中给出了调和数的规律，可将x所在的那组调和数代入题中给出的规律里，然后列出方程求解．【解答】解：根据题意，得：．解得：x=15经检验：x=15为原方程的解．故答案为：15．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于弄懂题意，准确地找出题目中所给的调和数的相等关系，这是列方程的依据．6．若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为24 ．【考点】一元一次不等式的应用．【专题】压轴题．【分析】首先理解“可连数”的概念，再分别考虑个位、十位、百位满足的数，用排列组合的思想求解．【解答】解：个位需要满足：x+（x+1）+（x+2）＜10，即x＜，x可取0，1，2三个数．十位需要满足：y+y+y＜10，即y＜，y可取0，1，2，3四个数（假设0n就是n）因为是小于200的“可连数”，故百位需要满足：小于2，则z可取1一个数．则小于200的三位“可连数”共有的个数=4×3×1=12；小于200的二位“可连数”共有的个数=3×3=9；小于200的一位“可连数”共有的个数=3．故小于200的“可连数”共有的个数=12+9+3=24．【点评】解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解，还要掌握排列组合的解法．7．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值是±3 ．【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】压轴题；新定义．【分析】先根据题意列出不等式，根据x的取值范围及x为整数求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可．【解答】解：由题意得，1＜1×4﹣xy＜3，即1＜4﹣xy＜3，∴，∵x、y均为整数，∴xy为整数，∴xy=2，∴x=±1时，y=±2；x=±2时，y=±1；∴x+y=2+1=3或x+y=﹣2﹣1=﹣3．【点评】此题比较简单，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据x，y均为整数求出x、y的值即可．8．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2，b= 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1 + 1 ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【考点】二次根式的混合运算．【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．【解答】解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．9．先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32=3×2=6．一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作A n m．A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n ﹣m+1）（m≤n）例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53=5×4×3=60．材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的排列数记作A n m，A n m=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有56 种不同的选法；（2）从7个人中选取4人，排成一列，有840 种不同的排法．【考点】有理数的混合运算．【专题】压轴题；阅读型．【分析】（1）利用组合公式来计算；（2）都要利用排列公式来计算．【解答】解：（1）C83==56（种）；（2）A74=7×6×5×4=840（种）．【点评】本题为信息题，根据题中所给的排列组合公式求解．10．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N．小明在探究线段MM′与N′N 的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：（1）当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；（2）当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）证线段相等，可证线段所在的三角形全等．结合本题，证△MM′E≌△NN′F即可；（2）由于M′E∥CD，则∠EM′M=∠FNN′=α，易证得△FNN′∽△EM′M，那么MM′：NN′=EM′：FN；而EM′=FN′，则比例式可化为： ==tanα，由此可知：当α=45°时，MM′=NN′；当α≠45°时，MM′≠NN′．【解答】解（1）在方形环中，∵M′E⊥AD，N′F⊥BC，AD∥BC，在△MM′E与△NN′F中，，∴△MM′E≌△NN′F（AAS）．∴MM′=N′N；（2）法一∵∠NFN′=∠MEM′=90°，∠FNN′=∠EM′M=α，∴△NFN′∽△M′EM，∴=．∵M′E=N′F，∴==tanα（或）．①当α=45°时，tan α=1，则MM′=NN′；②当α≠45°时，MM′≠NN′，则=tanα（或）．法二在方形环中，∠D=90°．∵M′E⊥AD，N′F⊥CD，∴M′E∥DC，N′F=M′E．∴∠MM′E=∠N′NF=α．在Rt△NN′F与Rt△MM′E中，sinα=，cosα=，即=tanα（或）．①当α=45°时，MM′=NN′；②当α≠45°时，MM′≠NN′，则=tanα（或）．【点评】此题主要考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用等知识．。

解：根据题意，得反比例函数 = 的图像向右平移(为整数，且


> )个单位长度后的图像对应的函数表达式为 =
.
−

∵ 平移后的函数图像经过点(, )，



∴
= ，解得 = .
−

经检验, = 是原分式方程的解，
∴ 平移后的图像对应的函数表达式为 =

.
−
( ≥ )的最大值是4.
+
+小值是__.

+
2.【阅读理解】
画图可知道，一次函数 = − 的图像可由正比例函数 = 的图像向
右平移1个单位长度得到；类似函数 =
=

的图像向左平移2个单位长度得到.


的图像可以由反比例函数
② + + ( − ) + (，，为正数， < < )的最小值为
_______________.
( + ) +
【解决问题】
（2）如图②，在矩形花园中， = ， = ，计划
要铺设，两条小路，点在上.要使 + 最小.
最短.过点作的平行线交的延长线于点，
易知四边形为矩形.∴ ∠ = ∘ ,
= = , = = .
∵ = + = ， = ，
∴ 在△中， =
∴
+ =
+ = .
+ + ( − ) +( < < )的最小值为13.
∴
+

=
−+ +
，