1.4.4三角函数奇偶性、单调性

ruize

1.4.2

正弦函数、余弦函数的性质

选题明细表

知识点、方法 题号

求三角函数的周期

1,6,9

三角函数的奇偶性的判断 8

正、余弦函数的单调性

2,3,7,13

正、余弦函数的值域与最值问题

5,11,12

正、余弦函数的综合问题 4,10

基础巩固

1.(2019·拉萨市高一月考)函数y=sin(x+)(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值为( A )

(A)7 (B)8 (C)9 (D)10

解析:函数y=sin(x+)(k>0)的最小正周期不大于2,可得T==≤2,k≥2π,则正整数k的最小值为7.故选A.

2.满足sin(x-)=的x的集合是( D )

(A)

(B) ruize

(C)

(D)

解析:sin(x-)=,

x-=2kπ+或x-=2kπ+π,k∈Z,

x=2kπ+π或x=2kπ+π,k∈Z.故选D.

3.(2018·贵阳市高一期末)在下列给出的函数中,以π为周期且在区间(0,)内是减函数的是( B

)

(A)y=sin

(B)y=cos 2x

(C)y=sin(x-) (D)y=sin(2x+)

解析:对于A,y=sin 的周期为T==4π,不合题意;

对于B,x∈(0,)时,2x∈(0,π),

所以y=cos 2x在(0,)上是减函数,

又函数的周期为T=π,满足题意;

对于C,x∈(0,)时,x-∈(-,),

所以y=sin(x-)在(0,)内是增函数,不合题意; ruize

对于D,x∈(0,)时,2x+∈(,),

所以y=sin(2x+)在(0,)内不是单调递减函数,不合题意.故选B.

4.(2019·南昌市高一月考)已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),下列结论错误的是( A )

(A)函数f(x)是奇函数

(B)函数f(x)的最小正周期为2π

(C)函数f(x)在区间[0,]上是增函数

(D)函数f(x)的图象关于直线x=0对称

三角函数的单调性

1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

y=tanx322-32--2oyxy=cotx3222--2oyx

2．三角函数的单调区间：

xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，

递减区间是23222kk，)(Zk；

xycos的递增区间是kk22，)(Zk，

递减区间是kk22，)(Zk，

xytan的递增区间是22kk，)(Zk，

题型5：三角函数的单调性

1．求下列函数的单调区间.

(1) 324sin21xy (2) 4cosxy 解:(1).原函数变形为432sin21xy令432xu,则只需求uysin的单调区间即可.2243222sinkxukuy在,(Zk)上

即893833kxk,(Zk)上单调递增,

uysin在)(,23243222Zkkxuk,上

即)(,8213893Zkkxk,上单调递减

故324sin21xy的递减区间为:,893,833kk()kZ

递增区间为:)(,8213,893Zkkk.

(2)原函数的增减区间即是函数4cosxy的减增区间,令4xu

由函数uycos的图象可知:周期T且 uycos在,42kxuk上,即Zkkxk,443上递增,

1．4 三角函数的图象与性质

1． 正弦函数、余弦函数的图象

【课标要求】

1．了解正弦函数、余弦函数的图象．

2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．

【核心扫描】

1．利用“五点法”画正、余弦函数的图象．(重点)

2．正、余弦函数图象的简单运用．(难点)

3．正、余弦函数图象的区别与联系(易混点)

新知导学

正弦函数、余弦函数的图象

函数 y＝sin x y＝cos x

图象

图象画法 五点法 五点法

关键五点

温馨提示：五点法作图的关键是抓好三角函数中的最值点和与x轴的交点(即平稳位置点)．

互动探讨

探讨点1 能够用哪几种方式作正弦函数的图象？

探讨点2 如何由y＝sin x，x∈R的图象取得y＝cos x，x∈R的图象？方式唯一吗？

类型一 用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象

【例1】 用“五点法”作出以下函数的简图．

(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；

(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．

【活学活用1】 (1)作出函数y＝－sin x，x∈[0,2π]的简图；

(2)作出函数y＝1－cos2x的图象．

类型二 正、余弦函数图象的应用

【例2】 (1)方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________． (2)方程sin x＝lg x的解的个数是________．

【活学活用2】 函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．

类型三

利用三角函数图象求概念域

【例3】 求函数y=log21sinxæèçöø÷-1的概念域．

【活学活用3】 求函数y＝lg22＋cos x的概念域．

【例如】 画出y＝sin x的简图，并依照图象写出y³12时x的集合．

课堂达标

1． 画出函数y＝－sin x，x∈－π2，3π2的简图。

2．关于余弦函数y＝cos x的图象，有以下三项描述：

三角函数定义及性质

三角函数是中学数学中重要的概念，对于初学者来说，了解三角函数的定义及其性质是必要的。本文将从定义、周期和奇偶性、单调性、界和差、图像和反函数等方面阐述三角函数的基本性质。

一、定义

三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。数学中假设有任意角α，其余弦函数、正弦函数、余切函数和正切函数分别定义为：

cosα=Adjacent/Hypotenuse

sinα=Opposite/Hypotenuse

tanα=Opposite/Adjacent

cotα=Adjacent/Opposite

其中，Adjacent和Opposite是直角三角形中与α有关的两条边，而Hypotenuse是斜边。同时，正割函数和余割函数是用角度的余数定义的，分别为：

secα=1/cosα

cscα=1/sinα

二、周期和奇偶性

正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数和余切函数的周期为π，而正割函数和余割函数的周期也为2π。此外，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数都是奇函数。

三、单调性

正弦函数在第一象限和第四象限单调递增，在第二象限和第三象限单调递减。余弦函数则相反，在第一象限和第四象限单调递减，在第二象限和第三象限单调递增。正切函数的单调性是以π/2为中心对称的，余切函数也会如此。正割函数和余割函数的单调性与其它三角函数不同，它们的数值在第一象限和第四象限为正，在第二象限和第三象限为负。

四、界和差

正弦函数和余弦函数的值都在[-1,1]之间。正切函数的值域是所有实数，而余切函数的值域是除了nπ(n为任意整数)的所有实数。正割函数和余割函数的取值范围与正弦函数和余弦函数相反，它们的值在[1,∞)∪(-∞,-1]之间。另外，三角函数有许多有用的关系，比如sin(x±y)=sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)和cos(2x)=2cos^2(x)-1等。