§3.4函数的奇偶性

那么函数f(x)就叫奇函数.
☆对奇函数、偶函数定义的说明:
(1). 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
[-b,-a]
o
[a ,b]
x
（2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。
若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
（3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。
-x f(-x)
(x,y)
f(x)
f(-x)= - f(x)
o
x
x
(-x,-y)
思考 : 你发现了什么规律?
1.函数奇偶性的概念:
偶函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),
那么函数f(x)就叫偶函数.
奇函数定义:
如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,
偶函数 ⑤f(x)=x -2 __________ ⑥f(x)=x -3 奇函数 _______________
说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，
若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。
☆ 说明: 用定义判断函数奇偶性的步骤: ⑴先求定义域，看是否关于原点对称; ⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否 恒成立。
丘北县第一中学
1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象。 解: f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
f(-2)=f(2) (-x,y)
f(-x) y
( x,y)
f(x) x

特点
奇函数的图像关于原点对称，即对于任意一个x ，都有$f(-x)=-f(x)$。
3
示例
常见的奇函数包括正弦函数、余弦函数等。
偶函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x，都有f(-x)=f(x)， 那么函数f(x)就称为偶函数。
特点ห้องสมุดไป่ตู้
偶函数的图像关于y轴对称，即对 于任意一个x，都有$f(-x)=f(x)$ 。
奇函数与偶函数的图像特点
奇函数图像特点
奇函数的图像关于原点对称，即以原点为中心，在左右两侧扩展。
偶函数图像特点
偶函数的图像关于y轴对称，即以y轴为中心，在上下两侧扩展。
如何由函数奇偶性判断函数图像
判断函数表达式
根据函数表达式可以初步判断其奇偶性，从而推断其图像的大致特点。
判断定义域
对于具有奇偶性的函数，其定义域通常是关于原点对称的，因此可以根据定义域 的对称性进一步判断。
对称中心
有些函数在其定义域内具有对称中心，可以根据对称中心，利用奇偶性进行 函数值的求法。
利用奇偶性和周期性求函数值
周期性
有些函数在其定义域内具有周期性，可以根据函数的周期，利用奇偶性进行函数 值的求法。
半周期
对于具有周期性的函数，其半周期内的函数值也可以利用奇偶性进行求法。
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利用奇偶性进行函数最值求解
利用奇偶性和周期性求解函数最值
奇偶性+周期性
对于具有奇偶性和周期性的函数，可以充分利用周期性和奇偶性来求解函数的最值。例如，对于一个以2π为 周期的周期函数，其在一个周期内的图像关于原点对称，可以利用这个性质和函数的周期性来找到函数的最小 值和最大值。
奇偶性+周期性+复合函数

[难点正本 疑点清源] 1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数)．其中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶 性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)) 是否成立．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
∴f(x)为偶函数．
题型二 函数的奇偶性与单调性
例 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x) ＝x2－x－1，求 f(x)的解析式； (2)设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数，求实数 a 的值；
(3)已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间 [－2,0]内递减，求满足 f(1－m)＋f(1－m2)<0 的实 数 m 的取值范围． 思维启迪 (1)f(x)是一个分段函数，当 x<0 时，转化为

(2)已知 f ( x ) 是偶函数，且在 (0, ) 上是减函数，试比较 f (1)与f (2) 的大小
f ( 1) f (1) (1) ∵ f ( x )是偶函数，
∵ f ( x ) 在 ( 0,) 上是增函数，
(2)
由1 2 f (1) f ( 2 ) 即 f (－1) f ( 2 ) f ( 1) f (1) ∵ f ( x ) 在 (0,) 上是减函数， ∵ f ( x )是偶函数， 由1 2 f (1) f ( 2 ) 即 f (－1) f ( 2 )
f (1) f ( 2 ) 1 2 (2) ∵ f ( x )在 ( 0, ) 上是减函数， f (1) f ( 2 ) 1 2
y f(2) f(1) 1 2
y f(1) f(2)
xx
1
2
xx
2.综合利用单调性、奇偶性比较两个函数值的大小
(1)已知 f ( x ) 是偶函数，且在 (0, ) 上是增函数，试比较 f (1)与f (2) 的大小
定义域关于原点对称 2 3 2 3 又∵ f ( x ) ( x ) ( x ) x x
f ( x ) f ( x ) 且f ( x ) f ( x )
∴函数 f ( x ) x 2 x 3 是非奇非偶函数
三、函数奇偶性的应用
（－）函数奇偶性的判断
复 一、 函数图象的作法 二、 函数的单调性
习
（注意定义域优先原则）
1.定义：当自变量由小到大 ( x1 x 2 ), 函数值也由小到大 ( f ( x1 ) f ( x 2 )), 或函数图象从左到右上升， 是增函数 当自变量由小到大 ( x1 x 2 ), 函数值反而由大到小 ( f ( x1 ) f ( x 2 )),