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第四课时 函数的单调性和奇偶性

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第四课时 函数单调性和奇偶性
第一部分：知识点归纳总结
1、 函数的单调性定义：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两自变量的值21,x x ， 当
21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。

反之是减函
数。

2、 如果函数)(x f 在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有严
格的单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。

注：【1】函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论；【2】若证明)(x f 在[a,b]上不是单调递增或递减的，只要举出反例就可以。

3、 函数的最大值：设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足。

【1】对于任意的I x ∈，
都有M x f ≤)(；【2】存在I x ∈0，都有M x f =)(0。

那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值。

（最小值与最大值定义类似）
4、 求函数最大（小）值的常用方法：【1】配方法；【2】判别式法；【3】不等式；【4】换元法；
【5】树形结合法；【6】利用函数的单调性。

5、 奇偶函数的定义：如果对于函数)(x f y =的定义域内任一个x ，都有)
()(x f x f =-（)()(x f x f -=-），那么函数)(x f 就叫做偶（奇）函数；
6、 函数奇偶性的性质：【1】奇偶函数的定义域关于原点对称；【2】奇偶性是函数的整体性质，
对定义域内任一个x 都必须成立；【3】)()(x f x f =-)(x f ⇔是偶函数；)()(x f x f -=-)(x f ⇔是奇函数；
【4】奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；【5】根据函数的奇偶性可将函数分为四类：奇函数；偶函数；既是奇函数又是偶函数；非奇非偶函数。

第二部分：题型归纳强化
1、若2()2(1)2(,4)f x x a x =+-+-∞在上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A 、3-≤a B 、3-≥a C 、5≤a D 、3≥a
2、函数()()()
26
[1,2]7[1,1)x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨
+∈-⎪⎩
，则()f x 的最大值、最小值为（ ）
A 、10，6
B 、10，8
C 、8，6
D 、以上都不对
3、已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为[1,2],a a -则（ ） A 、1,03
a b =
= B 、1,0a b =-= C 、1,0a b == D 、3,0a b ==
4、已知()f x 是偶函数，且其图象与x 轴有且只有四个交点，则方程()0f x =的所有实根之和
为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、4
5、已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，x x x f 2)(2-=，则=-)3(f 。

6、已知()f x 是实数集上的偶函数，并且在区间[)∞+，0上是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关是 。

7、函数()|2|f x x =-的单调减区间为 。

8、已知2
(21)32f x x x -=-+，则=)(x f 。

9、已知函数x
x x f -+=
11)(的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则A 与B 的关系
是 ．
10、现代社会对破译密码的难度要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分
解，其中英文的a ，b ，c ，...，z 的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3， (26)
26个自然数．现给出一个变换公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤∈+≤∈+=',2,26*,,132
,2,26*,,2
1
整除能被整除不能被x x N x x x x N x x x 将明文转换
成密文，如17132
88=+→
，即h 变成q ；32
155=+→
，即e 变成c ．按上述规定，若将
明文译成的密文是shxc ，那么原来的明文是 ．
11、已知定义在R 上的偶函数f (x )的单调减区间为),0[+∞，则不等式f (x )< f (2－x )的解集是 12、给出以下四个结论：
（1）偶函数的图象一定与y 轴相交； （2）奇函数的图象一定过原点； （3）若定义域任意的x 均有
()1()
f x f x =--，则函数()f x 是奇函数；
（4）既是奇函数又是偶函数的函数一定是()0f x =且x R ∈。

其中正确结论的序号是 。

（把所有正确结论的序号都填上） 13、定义域和值域均为],[a a -（常数a >0） 的函数y =f (x )和y =g (x )的图像如图所示，则在给出的四个命题：
（1）方程0)]([=x g f 有且仅有3个解； （2）方程0)]([=x f g 有且仅有3个解；
（3）方程0)]([=x f f 有且仅有9个解；（4）方程0)]([=x g g 有且仅有1个解． 其中正确的命题是 ．
14、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()2
2g x x x -=+-。

求()f x 、()g x 。

15、判断下列函数的奇偶性：
（1）()()0f x x a x a a =+--≠； （2）()()()
22
00x x x h x x x x ⎧-+>⎪
=⎨+≤⎪⎩。

16、1）()f x 是R 上的偶函数，且0x ≤时2(),f x x x =+求0>x 时()f x 的表达式。

2）()f x 是R 上的奇函数，且0<x 时1)(2++=x x x f ，求()f x 的表达式。

17、利用单调性的定义证明函数2()1
x f x x +=+在(1,)-+∞上是减函数。

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函数的奇偶性与单调性

函数的奇偶性与单调性

函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性是数学中的重要概念，它们能够帮助我们更好地理解和分析函数的特征和行为。

本文将介绍函数的奇偶性和单调性的基本概念，并探讨二者之间的关系。

一、函数的奇偶性在数学中，函数的奇偶性是指函数在对称轴上的性质。

一个函数可以是奇函数或偶函数，或者既不是奇函数也不是偶函数。

1. 奇函数如果对于函数f(x)，对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

简单来说，奇函数的特点是关于原点对称，即函数图像关于原点对称。

奇函数的典型例子是正弦函数sin(x)和正切函数tan(x)等：- sin(-x) = -sin(x)- tan(-x) = -tan(x)2. 偶函数如果对于函数f(x)，对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。

简单来说，偶函数的特点是关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。

偶函数的典型例子是余弦函数cos(x)和双曲余弦函数cosh(x)等：- cos(-x) = cos(x)- cosh(-x) = cosh(x)3. 既不是奇函数也不是偶函数对于一些函数，既不满足奇函数的特性，也不满足偶函数的特性，此时我们称该函数为既不是奇函数也不是偶函数。

二、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值变化趋势。

一个函数可以是单调递增的、单调递减的，或者既不是单调递增也不是单调递减。

1. 单调递增如果对于函数f(x)，对于任意x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≤ f(x2)，则称该函数在定义域上是单调递增的。

单调递增函数的典型例子是线性函数y = kx (k > 0)和指数函数y = a^x (a > 1)等。

2. 单调递减如果对于函数f(x)，对于任意x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) ≥ f(x2)，则称该函数在定义域上是单调递减的。

单调递减函数的典型例子是线性函数y = kx (k < 0)和指数函数y = a^x (0 < a < 1)等。

函数的奇偶性与单调性

函数的奇偶性与单调性

函数的奇偶性与单调性一、基本概念(1)函数的奇偶性：前提：函数的定义域原点对称．．．．．．．．．．。

()()()(),x D f x f x f x f x ∈-=-=-任意则为偶函数；若，则为奇函数。

变式：()()()()()()0;10f x f x f x f x f x --±==±=的情况单独验证(整体性质)(2)函数的单调性：(局部性质)()()()()()12121212,,,x x D x x f x fx f x D f x fx D ∈<<>任意若能得到，则在上为增函数；得到，则在上为减函数。

()()()()1212121200f x f x fx f x D D x x x x --><--变式：，函数在上为增函数，，则函数在上为减函数。

y f x ±±⨯⨯⨯±=注：1.关于奇偶性，两函数的公共定义域存在且关于原点对称的前提下奇奇＝奇函数，偶偶＝偶函数，奇奇＝偶函数，偶偶＝偶函数,奇偶＝奇函数奇偶＝非奇非偶函数2.关于单调性：增+增＝增函数，减+减＝减函数，增-减＝增函数，减-增＝减函数；在的函数值全为正数(全为负数)的前提下，＝减函数，＝增函数增减()113.复合函数奇偶性与单调性的结论：()()()()()()(),,y fx y g x y g x y f x yf g x y fx y g x =====⎡⎤⎣⎦==的值域与的定义域有公共部分，则函数存在,其中是外层函数，是内层函数。

内偶外偶、内偶外奇、内奇外偶均为偶函数，只有内奇外奇才为奇函数。

内增外增、内减外减均为增函数，内增外减、内减外增均为减函数。

(3)函数的凹凸性(局部性质)：()[]()()()[]()[]()121212,,,,,,22,f x f x x x y f x x a b x x f y f x a b a b ++⎛⎫=∈≠<= ⎪⎝⎭若任意都有则称在上为凹函数如图1,2；反之则称它在上为凸函数如图3,4。

第4课时三角函数的单调性奇偶性周期性

第4课时三角函数的单调性奇偶性周期性

(3)y＝sinx,y=cosx的最小正周期T=2π；
y=tanx,y=cotx的最小正周期T=π
(4) y=Asin(ωx+φ)+k的周期为T=2π/ω(ω＞0) y=Atan(ωx+φ)+k的周期为T=π/ω(ω＞0)
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课前热身
1.下列函数中，在区间(0,π/2)上为增函数且以π为周期的是 ( )D
3.已知函数 f x 5sin x cos x 5 3 cos2 x 5
2
(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调区间； (3)求f(x)图象的对称轴，对称中心
3x R
【解题回顾】将函数y=f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式(即单 一形式)，才能研究其图象及性质.
2.奇偶性 y=sinx,y=cosx,y=tanx在各自定义域上分别是奇函数、偶函 数、奇函数.
3.周期性 (1)定义 对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取 定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，则y=f(x)叫周 期函数，T叫这个函数的周期
(2)所有周期中的最小正数叫最小正周期
2.判断下列函数是否为周期函数；若是，判断其是否存 在最小正周期，若存在，求出它的最小正周期：
①y 1 sin 4x 1 ②y sin x
3 3
③y tan x
4 6
④y 2
【 解 题 回 顾 】 若 三 角 函 数 y=f(x) 的 最 小 正 周 期 为 T， 则 f(ωx+φ)的最小正周期就是T|ω|；另外，周期函数的图像必 然呈现一种“周而复始”的规律特征，反之亦然，所以判 断函数的周期性的一个有效方法是作图
函数的奇偶性和单调性-课件

函数的奇偶性和单调性-课件

函数的奇偶性和单调性
本课件将介绍函数的性质、特点以及例子。包括奇函数和偶函数，单调递增 和单调递减函数。帮助你更好的理解函数的特性和应用。
函数的性质
定义
函数是一种映射方式，将自变 量映射到因变量。函数图像为 曲线或线段。
奇偶性
奇函数满足f(-x)=-f(x)，图像关 于坐标原点对称，如y=x^3。 偶函数满足f(-x)=f(x)，图像关 于y轴对称，如y=x^2。
单调性
单调递增函数满足f(x1)<f(x2)， 若x1 < x2，图像从左往右逐渐 升高；单调递减函数满足 f(x1)>f(x2)，若x1 < x2，图像 从左往右逐渐降低。
奇函数和偶函数
奇函数特点
1. 奇函数关于原点对称；2. 若f(x)存在，则 f(0)=0。
奇函数例子
y=x^3, sin(x), tan(x)
1.导数小于0；2.f'(x)单调递减；3.图
单调递减函数例子
4
像从左往右逐渐降低。
y=-x, 1/x, e^(-x)
总结
通过理解函数的奇偶性和单调性，可以更好地推导和证明一些数学公式的性质。同时，这也是理解和应 用微积分、线性代数等高级数学知识的基础。
举例说明
例一：cos函数
cos函数是一种偶函数，其图 像在[0,π]区间上单调递减，在 [π,2π]区间上单调递增。
函数的最大值和最小值计算可以应用在寻 找最优解的问题中，如代价函数的最小值。
3 质点运动规律4 信源自处理函数可以描述质点的运动规律，如位移、 速度、加速度等。
函数可用于处理信号，如声音、图像、视 频等的编码、解码和压缩等。
例二：指数函数
例三：sin函数