解直角三角形和应用题解直角三角形既是初中几何的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。
因此，通过复习应注意领会以下几个方面的问题：一、重点难点解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。
前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。
二、中考导向掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。
因此，解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。
题量一般在 4%~10% 。
分值约在 8%~12% 题型多以中、低档的填空题和选择题为主。
个别省市也有小型综合题和创新题。
几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。
【典型例题】例 1. 如图，点两个村庄，现要在A 是一个半径为300 米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有 B、 C B、C 两村庄之间修一条长为 1000 米的笔直公路将两村连通，经测得∠o oABC=45，∠ ACB=30，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。
AH解：在Rt ABH 中， BHtan45 AAH在Rt ACH 中， CHAH AHtan30 1000tan45 tan30B H CAH 500 3 500 300不会穿过例 2. 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度 DC都可直接测得，从A、D、 C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器。
（ 1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案。
具体要求如下：测量数据尽可能少，在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测 A、D间距离，用 m表示；如果测 D、C间距离，用 n 表示；如果测角，用α、β、γ表示）。
第25章 解直角三角形知识点复习及练习题考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项如图：已知 ∠ACB=90° CD ⊥AB 则有 BD AD CD •=2 AB AD AC •=2 AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC考点二、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即cbcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b atan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60° 90° sinα21 22 23 1cos α 123 22 21 0tan α 033 13不存在cot α 不存在 3133 04、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A) ， cosA=sin(90°—A) ， tanA=cot(90°—A) ，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1 （4）弦切关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）考点四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
专题14 解直角三角形中的背靠背模型【模型展示】通过在三角形内作高AC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCA中，AC为公共边，DC+CB=DB.一、单选题1．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A．B．(30 海里C．120海里D．60海里【答案】B【分析】过点C作CD⊥AB于点D，先解Rt⊥ACD，求出AD，CD，再根据BD=CD，即可解出AB．【详解】如图，过点C作CD⊥AB于点D，则⊥ACD=30°，⊥BCD=45°，在Rt⊥ACD中，AD=12CA=12×60=30（海里），，⊥⊥BCD=45°，⊥BDC=90°，⊥在Rt⊥BCD中，BD=CD，⊥AB=AD+BD=AD+CD=（30+故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线．2．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（）A．60m B．C．D．【答案】B【分析】作AD⊥BC于D，由俯仰角得出⊥ADB、⊥CAD的值，则由AD的长及俯仰角的正切值得出BD、CD的长，BC的长即可求出．【详解】过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt⊥ABD中，⊥⊥BAD＝30°，AD＝30m，⊥BD＝AD•tan30°＝30=m），在Rt⊥ACD中，⊥⊥CAD＝60°，AD＝30m，⊥CD＝AD•tan60°＝30=m），⊥BC＝BD+CD＝=m），即这栋高楼高度是．故选择：B．【点睛】本题考查俯角与仰角的定义，要求学生能借助俯角与仰角构造直角三角形并会解直角三角形．二、填空题3．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为________海里．【答案】【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．【详解】如图，过点A作，依题意可得⊥ABC=45°⊥⊥ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)海里)在Rt⊥ACD中，⊥ADC=90°-60°=30°(海里)故答案为：．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．4．4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30︒，B处的俯角为45︒．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是____________米．）【答案】200【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．【详解】⊥⊥CDA=⊥CDB=90°，⊥A=30°，⊥B=45°，BD=CD=200，⊥AB=AD+BD=200）（米）考点：解直角三角形的应用.5．如图所示，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70︒方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50︒方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25︒方向上，则灯塔C与码头B的距离是______海里(结果精确到个位， 1.4≈，≈ 2.41.7≈)【答案】24【分析】作BD⊥AC于点D，在直角⊥ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角⊥BCD 中，利用三角函数即可求得BC的长．【详解】⊥CBA=25°+50°=75°，作BD⊥AC于点D，则⊥CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，⊥ABD=30°，⊥⊥CBD=75°﹣30°=45°，在直角⊥ABD中，在直角⊥BCD中，⊥CBD=45°，≈10×2.4=24（海里），则故答案是：24．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确求得⊥CBD以及⊥CAB的度数是解决本题的关键．6．如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在）．航行中离小岛最近的距离约为__海里（精确到1【答案】38．【分析】作CD⊥AB于点D，再求得AB、⊥ACD、⊥BCD的值，然后根据锐角三角函数求出CD的长即可解答．【详解】解：如图，作CD⊥AB于点D，根据题意可知：AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），⊥ACD＝45°，⊥BCD＝30°，在Rt⊥ACD 中，CD ＝AD ，在Rt⊥CBD 中，BD ＝AB ﹣AD ＝60﹣CD ，⊥tan30°＝BD CD ，60CD CD -， 解得CD ≈38（海里）．答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里．故答案为38．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键．7．某拦水坝的横截面为梯形ABCD ， 迎水坡BC 的坡角为α，且34α=tan ， 背水坡AD 的坡度为2:5i =是指坡面的铅直高度AE 与水平宽度DE 的比，坝面宽3m AB =，坝高12m,AE =则坝底宽CD =__________．【答案】49m【分析】添一条辅助线，作BF ⊥CD ，AE =12m ，根据3tan =4α，可得CF 的长，根据背水坡AD 的坡度2:5i =，可得DE 的长，且AB =EF ，坝底CD =DE +EF +FC ，可得出答案．【详解】解：如图所示，添一条辅助线，作BF ⊥CD ，⊥12m AE =，且3tan =4α，而tan =BF CF α，⊥==16tan tan BF AE CF αα=m ， 又⊥背水坡AD 的坡度2:5i =，⊥2=5AE DE ，故DE =30m ， 且3m EF AB ==，坝底3031649m CD DE EF FC =++=++=，故答案为：49m ．【点睛】本题主要考查了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为对边⊥斜边，掌握定义就不会算错．三、解答题8．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知⊥A＝30°，⊥B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km），）【答案】14.0千米【分析】首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x，即可表示出AC，BC的长，进而求出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x．在Rt⊥ACD中，sin⊥A＝CDAC，AC＝sin30CD︒＝2x，在Rt⊥BCD中，sin⊥B＝CDBC，BC＝sin45CD︒，⊥AC+BC＝2x＝68，⊥x68202 1.4≈=+，在Rt⊥ACD中，tan⊥A＝CDAC，AD＝tan30CD=︒在Rt⊥BCD中，tan⊥B＝CDBD，BD＝tan45CD︒＝20，AB＝，AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确分析计算是解题的关键．9．已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：sin sin sin a b c A B C==．（1）如图1，若6,45,75a B C =∠=∠=︒︒，求b 的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD （如图2所示），若,14CD AB AC ⊥=米，10AB =米，sin ACB ∠=CD 的长度． 【答案】（1）（2）【分析】（1）过C 作CD AB ⊥于点D ，解直角三角形即可；（2）由已知条件可知sin sin AB AC ACB B=∠，求得sin B ，勾股定理求得BD ， 解Rt BDC 即可求得CD 的长【详解】（1）如图，过C 作CD AB ⊥于点D45B ∠=︒ DC BD ∴=,45DCB ∠=︒sin sin 456DC DB BC B a ==⨯=⨯︒==75C ∠=︒ 30ACD ∴∠=︒cos CD ACD AC∠=cos CD AC ACD ∴===∠即b =（2）sin sin AB AC ACB B =∠，14AC =，sinACB ∠=10AB =14sin 14sin 10AC ACB B AB ⨯∠∴===60B ∴∠=︒在Rt BDC 中，设BD x =，则CD =10AD x ∴=-在Rt ADC 中，222AD CD AC +=即: 222(10))14x -+=解得：128,3x x ==-（不符题意，舍）CD ∴==【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．10．为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A 处到E 处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角⊥ADF=45°，条幅底端E 点的俯角为⊥FDE=30°，DF⊥AB ，若甲、乙两楼的水平距离BC 为21米，求条幅的长AE 约是多少米？1.73=，结果精确到0.1米）【答案】33.1米【分析】根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可．【详解】解：过点D 作DF⊥AB ，如图所示：在Rt⊥ADF 中，DF=BC=21米，⊥ADF=45°⊥AF=DF=21米在Rt⊥EDF 中，DF=21米，⊥EDF=30°⊥EF=DF×tan30°=⊥AE=AF+BF=米．答：条幅的长AE约是33.1米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长．11．如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房AB的楼顶，测量对面的乙栋楼房CD的高度，已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC=小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30︒，底部C点的俯角是45︒，求乙栋楼房CD 的高度（结果保留根号）．【答案】【分析】根据仰角与俯角的定义得到AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解．【详解】如图，依题意可得⊥BCA=45°，⊥⊥ABC是等腰直角三角形，⊥AB=CE=AC=⊥⊥DBE=30°⊥DE=BE×tan30°=18⊥CD的高度为．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．12．如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东30︒方向与包装公司北偏西60︒方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参1.414 1.732）【答案】不会【分析】过点P 作PD MN ⊥于D ，根据角的正切值表示出MD 和ND 的长，然后列方程求解PD 的长度，从而做出判断．【详解】解：如图，过点P 作PD MN ⊥于D ．由题意得60,30,4PMD PND MN ∠=︒∠=︒=．⊥在Rt ⊥PMD 中，tan 60PD MD ︒=，即3tan 603PD MD ==在Rt ⊥PND 中，tan 30PD ND ︒=，即tan30PD ND =︒ ⊥4MD ND MN +==，4+=，⊥0.8PD =．答：这条公路不会穿越这个住宅小区．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B 、C 两点，对岸岸边有一块石头A ，在ABC 中，测得64B ∠=︒，45C ∠=︒，50BC =米，求河宽（即点A 到边BC 的距离）（结果精确到0.1米）．1.41≈，sin640.90︒=，cos640.44︒=，tan642.05︒=）【答案】河宽约为33.6米【分析】过A 作AD ⊥BC 于D ，并设AD =x 米，则由已知条件可以得到关于x 的方程，解方程即可得到河的宽度．【详解】解：如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，并设AD =x 米，⊥ ⊥C =45°，⊥⊥DAC =90°-45°=45°，⊥CD =AD =x ，⊥⊥B =64°，⊥BD =tan 64tan 64AD x =︒︒， ⊥BC =50 米，⊥50tan 64x x +=︒， 解之得：x≈33.6，答：河宽约33.6米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义并结合方程思想求解是解题关键．14．在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A ，B 两处用高度为1.5m 的测角仪测得塑像顶部C 的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB 为20m ，求塑像的高度CF ．（结果保留根号）【答案】(8.5)米．【分析】在Rt CDG △和Rt CEG △中，求出公共边CG 的长度，然后可求得CF CG GF =+．【详解】解：20m AB =，20m DE DG EG ∴=+=，在Rt CEG △中，45CEG ∠=︒，EG CG ∴=，在Rt CDG △中，30CDG ∠=︒，60DCG ∠=︒，tan60DG CG ∴=︒，则tan6020m DE CG CG =︒+=． 即20DE CG +=．10CG ∴=．由题意知： 1.5GF m =10 1.58.5CF CG GF ∴=+=+=答：塑像CF 的高为()8.5m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．15．如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需要绕行B 地，已知B 位于A 地北偏东67°方向，距离A 520 km ，C 地位于B 地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长．（结果保留整数）参考数据：（sin67°≈1213；cos67°≈513；tan67°≈125）【答案】A 地到C 地之间高铁线路的长约为()596km ．【分析】过点B 作BD⊥AC 于点D ，利用锐角三角函数的定义求出AD 及CD 的长，进而可得出结论．【详解】解：如解图，过点B 作BD AC ⊥于点D ，⊥B 地位于A 地北偏东67︒方向，距离A 地520km ，⊥67ABD ︒∠=， ⊥12sin 67520480()13AD AB km ︒=⋅≈⨯=， 5cos67520200()13BD AB km ︒=⋅≈⨯=． ⊥C 地位于B 地南偏东30︒方向，⊥30CBD ︒∠=，⊥tan 30200)CD BD km ︒=⋅==，⊥480596()AC AD CD km =+=≈． 答：A 地到C 地之间高铁线路的长约为()596km ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形．16．某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB 被刮倾斜后在C 处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处，测得⊥ACD ＝60°，⊥ADC ＝37°，AD ＝5米，求这棵大树AB 的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【答案】这棵大树AB 原来的高度约是9.2米．【分析】过点A 作AE⊥CD 于点E ，解Rt⊥AED ，求出DE 及AE 的长度，再解Rt⊥AEC ，得出CE 及AC 的长，进而可得出结论．【详解】过点A 作AE⊥CD 于点E ，则⊥AEC ＝⊥AED ＝90°．⊥在Rt⊥AED 中，⊥ADC ＝37°，AD=5，⊥cos37°＝DEAD＝5DE≈0.8，⊥DE≈4，⊥sin37°＝AEAD＝5AE≈0.6，⊥AE≈3，在Rt⊥AEC中，⊥⊥CAE＝90°﹣⊥ACE＝90°﹣60°＝30°，⊥CE＝⊥AC＝2CE＝⊥AB＝AC+CE+ED＝＝（米）．答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17．一滑板运动场斜坡上的点A处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点B处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点C处，AC=75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度．1.4≈, 1.7≈，精确到1米）．【答案】旗杆的高度约为9米．【分析】根据题意过点C 作CD AB ⊥于点D ，利用解直角三角形的方法进行分析即可求得答案．【详解】解：过点C 作CD AB ⊥于点D ，30DCA =︒∠，AC =12AD =，AC =cos30°3CD AC =⋅==， 又BCA 7°5∠=， °BCD 74°55°30∴∠=-=，3CD BD ∴==，BC =BD =33 1.43 1.78.99()AB BC ∴+=+⨯++=≈米 答：旗杆的高度约为9米．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握并根据题意构造直角三角形进行分析是解题的关键．18．一艘轮船向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在A 的北偏东60°方向，航行40海里到达B 处，此时测得灯塔P 在B 的北偏东15°方向上．（1）求灯塔P 到轮船航线的距离PD 是多少海里？（结果保留根号）（2）当轮船从B 处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P 处同时前往D 处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D 处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留根号）【答案】（1）灯塔P 到轮船航线的距离PD 是（）海里；（2）轮船每小时航行（60﹣【分析】（1）作BC ⊥AP 于C ，根据余弦的定义求出AC ，根据等腰直角三角形的性质求出CP ，得到AP 的长，根据直角三角形的性质计算，得到答案；（2）根据余弦的定义求出AD，得到BD的长，根据题意列出分式方程，解方程得到答案．【详解】解：（1）作BC⊥AP于C，在Rt⊥ABC中，⊥P AB＝30°，⊥BC＝1AB＝20，AC＝AB•cos⊥P AB＝⊥⊥NBP＝15°，⊥⊥PBD＝75°，⊥⊥CBP＝180°﹣60°﹣75°＝45°，⊥PC＝BC＝20，⊥AP＝AC+PC＝，在Rt⊥ADP中，⊥A＝30°，⊥PD＝1AP＝，答：灯塔P到轮船航线的距离PD是（）海里；（2）设轮船每小时航行x海里，在Rt⊥ADP中，AD＝AP•cosA＝，⊥BD＝AD﹣AB＝10，1560解得，x＝60﹣经检验，x＝60﹣）海里．答：轮船每小时航行（60﹣【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题和分式方程的应用，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义、正确列出分式方程是解题的关键．19．如图，在东西方向的海面线MN上，有A，B两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船A，B的北偏西30°和北偏东45°方向，巡逻≈1.41）船A和渔船C相距120海里．（1）求巡逻船B 与渔船C 间的距离；（2）已知在A ，B 两艘巡逻船间有一观测点D （A ，B ，D 在直线MN 上），测得渔船C 在观测点D 的北偏东15°方向，观测点D 的45海里范围内有暗礁．若巡逻船B 沿BC 方向去营救渔船C ，问有没有触礁的危险？并说明理由．【答案】（1）巡逻船B 与渔船C 间的距离为海里；（2）没有触礁的危险，理由详见解析．【分析】（1）作CE MN ⊥于E ，由直角三角形的性质得1602AE AC ==，3603CE BE AE ，=45ABC ∠︒，证BCE ∆是等腰直角三角形，得出2606BC CE 即可；（2）作DF BC ⊥于F ，由=45ABC ∠︒，得出BDF ∆是等腰直角三角形，则2542DFBD 海里，由5445>，即可得出没有触礁的危险．【详解】解：（1）作CE MN ⊥于E ，如图1所示：则30ACE ∠=︒，45BCE ∠=︒，15DCE ∠=︒，=45ABC ∠︒， 1602AE AC ，3603CE AE ，BCE ∆是等腰直角三角形，603BE CE ，2606BC CE ，答：巡逻船B 与渔船C 间的距离为（2）没有触礁的危险；理由如下：由题意得：60360ABBE AE ， 301545ACD ACE DCE，ACD ABC ∴∠=∠，CAD BAC ∠=∠，CAD BAC∽，∴AD ACAC AB=，即12012060360AD，解得：120(31)AD，60360120(31)180603BD AB AD（海里）；作DF BC⊥于F，如图2所示：45ABC∠=︒，BDF∴∆是等腰直角三角形，2902306542DF BD（海里），5445，∴没有触礁的危险．【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30︒角直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．20．如图，某野外生态考察小组早晨7点整从A营地出发，准备前往正东方向的B营地，由于一条南北向河流的阻挡（图中阴影部分），他们需要从C处过桥．经过测量得知，A、B 之间的距离为13 km，⊥A和⊥B的度数分别是37°和53°，桥CD的长度是0.5 km，图中的区域CDFE近似看做一个矩形区域．（1）求CE的长；（2）该考察小组希望到达B营地的时间不迟于中午12点，则他们的行进速度至少是多少？（结果保留1位小数）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）CE 的长为6km ；（2）他们的行进速度至少是3.6/km h ．【分析】（1）设CE xkm =，先根据矩形的性质可得0.5EF CD km ==，CE DF xkm ==，CE EF ⊥，DF EF ，再解直角三角形分别求出43AE x =，34BF x =，然后根据线段的和差列出等式，求解即可得；（2）先根据题（1）的结论求出AE 、BF 、DF 的长，再利用勾股定理分别求出AC 、BD 的长，然后根据速度的计算公式列出不等式，求解即可得．【详解】（1）设CE xkm =四边形CDFE 是矩形0.5EF CD km ∴==，CE DF xkm ==，CE EF ⊥，DF EF 在Rt ACE 中，tan CE A AE =，即tan 37x AE =︒ 解得4()tan 370.753x x AE x km =≈=︒ 在Rt BDF 中，9037BDF B ∠=︒-∠=︒，tan BF BDF DF ∠=，即tan 37BF x =︒ 解得3tan 370.75()4BF x x x km =︒≈=又AE EF BF AB ++=430.51334x x ∴++= 解得6()x km =故CE 的长为6km ；（2）由（1）可知，483AE x km ==，3942BF x km ==，6DF x km ==则10()AC km157.5()2BD km === 设他们的行进速度为/ykm h 由题意得：127AC CD BD y ++≤-，即100.57.55y ++≤解得 3.6(/)y km h ≥答：他们的行进速度至少是3.6/km h ．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用、勾股定理等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．21．一艘渔船从位于A 海岛北偏东60°方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：2.65≈）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．【答案】（1）没有危险，理由见解析；（2）79.50海里【分析】（1）过A 点作AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD 中求出AD 与50海里比较即可得到答案；（2）在Rt ABD 中求出BD 得到CD ，再根据勾股定理求出AC.【详解】解：（1）过A 点作AD BC ⊥于点D ，⊥90ADB ADC ∠=∠=︒，由题意可得=60B ∠︒，⊥在Rt ABD 中，sin 606051.950AD AB =⋅︒==≈>， ⊥渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）在Rt ABD 中，cos6030BD AB ︒=⋅=，⊥33090BC =⨯=，⊥903060DC =-=，在Rt ADC 中，79.50AC =，即A ，C 之间的距离为79.50海里.【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在直角三角形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.22．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得30CAB ∠=︒，=45ABC ∠︒，8AC =千米，求A 、B 两点间的距离． 1.4≈ 1.7，结果精确到1千米）．【答案】A 、B 两点间的距离约为11千米．【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD 、AD 的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D在Rt ACD 中，30CAD ∠=︒，8AC =千米118422CD AC ∴==⨯=（千米），AD ==在Rt BCD △中，45DBC ∠=︒Rt BCD ∴是等腰直角三角形4BD CD ∴==千米44 1.7410.811AB AD BD ∴=+=≈⨯+=≈（千米）答：A 、B 两点间的距离约为11千米．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．23．共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A ，B 两地向C 地新建AC ，BC 两条笔直的污水收集管道，现测得C 地在A 地北偏东45︒方向上，在B 地北偏西68︒方向上，AB 的距离为7km ，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km ，sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈ 1.41≈）【答案】新建管道的总长度约为8.2km ．【分析】如图（见解析），先根据方位角的定义求出45,22CAD CBD ∠=︒∠=︒，设AD xkm =，则(7)BD x km =-，再在Rt ACD 中，根据等腰直角三角形的判定与性质可得AC 、CD 的长，然后在Rt BCD △中，解直角三角形可得x 的值，从而可得AC 、BC 的长，由此即可得出答案．【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D由题意得：904545,906822CAD CBD ∠=︒-︒=︒∠=︒-︒=︒，7AB km =设AD xkm =，则(7)BD x km =-,45CD AB CAD ⊥∠=︒Rt ACD ∴△是等腰直角三角形,CD AD xkm AC ∴====在Rt BCD △中，tan CD CBD BD ∠=，即tan 227x x =︒- 解得7tan 2270.402()1tan 2210.40x km ︒⨯=≈=+︒+ 经检验，7tan 221tan 22x ︒=+︒是所列分式方程的解2.82()AC km ∴=，2CD km =在Rt BCD △中，sin CD CBD BC ∠=，即2sin 22BC =︒ 解得22 5.41()sin 220.37BC km =≈≈︒ 则 2.82+5.418.238.2()AC BC km +≈=≈答：新建管道的总长度约为8.2km ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、方位角的定义、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．24．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B 垂直起飞到达点A 处，测得1号楼顶部E 的俯角为67°，测得2号楼顶部F 的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC 和FD 分别垂直地面于点C 和D ，点B 为CD 的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）【答案】45.8米【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出EM ，AN ，进而计算出2号楼的高度DF 即可．【详解】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，由题意得，EC＝20，⊥AEM＝67°，⊥AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，⊥AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，在Rt⊥AEM中，⊥tan⊥AEM＝AM EM，⊥EM＝AMtan AEM∠＝40tan67︒≈16.9，在Rt⊥AFN中，⊥tan⊥AFN＝AN FN，⊥AN＝tan40°×16.9≈14.2，⊥FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，答：2号楼的高度约为45.8米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题关键．25．今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30°，地面点E的俯角为45°．点E在线段BD上．测得B，E间距离为8.7米．楼AB高CD的长（结果精确到1 1.41≈1.73）【答案】10米【分析】作CH⊥AB于H，得到BD=CH，设CD=x米，根据正切的定义和等腰直角三角形的性质分别用x表示出HC、ED，然后列出方程，解方程即可．【详解】解：作CH⊥AB 于H ，则四边形HBDC 为矩形，⊥BD=CH ，由题意得，⊥ACH=30°，⊥CED=45°，设CD=x 米，则AH=)x 米，在Rt⊥AHC 中，HC=36tan AH ACH ==∠ 则BD=CH=36⊥ED=368.7=27.3-在Rt⊥CDE 中，CD=DE即=27.3x解得：10x ≈答：立柱CD 的高为10米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、仰角俯角的定义是解题的关键．26．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD ．她在A 点测得标语牌顶端D 处的仰角为42°，测得隧道底端B 处的俯角为30°（B ，C ，D 在同一条直线上），AB=10m ，隧道高6.5m （即BC=6.5m ），求标语牌CD 的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【答案】标语牌CD 的长为6.3m ．【详解】分析：如图作AE⊥BD 于E ．分别求出BE 、DE ，可得BD 的长，再根据CD=BD -BC计算即可；详解：如图作AE⊥BD于E．在Rt⊥AEB中，⊥⊥EAB=30°，AB=10m，AB=5（m），m），⊥BE=1在Rt⊥ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），⊥BD=DE+BE=12.79（m），⊥CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3（m），答：标语牌CD的长为6.3m．点睛：本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．27．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东66.1°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．参考数据：sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，tan64°≈2.26 1.414．【答案】BP的长为154海里，BA的长为158海里．【分析】如图作PC⊥AB于C．在Rt⊥APC中，求出PC、AC的长，在Rt⊥PCB中求出PB 的长，从而可解决问题．【详解】解：如图作PC⊥AB于C．由题意⊥A=66.1°，⊥B=45°，PA=120，在Rt⊥APC 中，sinA=PC PA ，cosA=AC PC， ⊥PC=PA•sinA=120•sin66.1°，AC=PA•cosA=120•cos66.1°，在Rt⊥PCB 中，⊥⊥B=45°，⊥PC=BC ，⊥PB=sin 45PC ︒≈154． ⊥AB=AC+BC=120•cos66.1°+120•sin66.1°≈120×0.41+120×0.91≈158．答：BP 的长为154海里和BA 的长为158海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．。
