解直角三角形的实际应用----仰角、俯角及方位角的重难点解析

《解直角三角形的应用-----仰角、俯角》教学设计授课人：班级：一、教学任务分析二、教学流程安排视频导入学习新知例题讲解知识应用课堂小结布置作业通过观察火箭击中空中目标，引入本节课主题，增强学生学习数学的兴趣，增加学生的爱国热情，对学生进行德育教育.结合生活实际,让学生了解仰角和俯角概念.并会在简单的几何图形中，认识仰角和俯角，结合三角函数解决简单的应用问题.通过具体例题教学帮助学生如何分析问题、解决问题，归纳解题方法.通过习题考察学生对本节课的掌握情况，体会分析问题的方法，如何用解直角三角形的方法解决实际问题.由学生总结本节课收获.分层次布置作业，有必做题和选做题.三、教学过程设计视频导入师生行为设计意图火箭筒要想准确打中空中目标，对视线和水平线的夹角有精确地要求，这就是本节课将要学习的《解直角三角形的应用---仰角、俯角》师生观看视频，通过实际问题引入课题.数学来源于生活，学会数学知识能解决生活问题，同时对学生进行德育教育.学习新知师生行为设计意图仰角和俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 与学生一起学习仰角和俯角的概念，让学生从复杂图中寻找仰角和俯角学习概念、认识概念学以致用（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=2，从B 点看A点的仰角为60°, 则AC=____(2)如图，A点看B点的俯角为α，BC=m,则AC=____(3)如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a 米，∠BAC=90°，∠ACB=40°，则AB=____ 学生口答解题思路，总结解题方法结合生活实际认识数学条件，会将题目文字条件转化为数学条件例题讲解师生行为设计意图例1: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高?（结果取整数）3≈1.732学生归纳解题方法1、找出与问题有关的直角三角形，或通过作辅助线构造有关的直角三角形。

解直角三角形的应用-仰角俯角问题能量储备仰角、俯角：如图24­4­6(1)所示，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

通关宝典★ 基础方法点方法点：解直角三角形在实际问题中的应用中正确选取直角三角形的边角关系是求解的关键。

例1：如图24­4­10所示，某电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°。

(1)求大楼与电视塔之间的距离AC ；(2)求大楼的高度CD (精确到1米)。

解：(1)在△ABC 中，∵ ∠ACB ＝45°，∠A ＝90°，∴ AC ＝AB ＝610米。

答：大楼与电视塔之间的距离AC 为610米。

(2)由矩形的性质可知DE ＝AC ＝610米。

在Rt △BDE 中，由tan ∠BDE ＝BE DE，得BE ＝DE·tan 39°。

又∵CD ＝AE ，∴CD ＝AB －DE·tan 39°＝610－610×tan 39°≈116(米)。

答：大楼的高度CD 约为116米。

例2：如图24­4­28所示，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1.2米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔顶端A 的仰角为61°.求这个电视塔的高度AB .(精确到1米)解：如图24­4­29所示，设AE 为x 米，则塔的高度为(x ＋1.2)米．∵ tan 61°＝AE EF ＝x EF ，∴ EF ＝x tan 61°. 又∵ tan 42°＝AE CE ，∴ CE ＝x tan 42°. ∵ CE ＝120＋x tan 61°， ∴ x tan 42°＝120＋x tan 61°， 解得x ≈215.7，∴ x ＋1.2≈217(米)．∴ 这个电视塔的高度AB 约为217米。

第23章解直角三角形23．2解直角三角形及其应用第2课时仰角与俯角问题一、教学目标1．使学生掌握仰角、俯角的概念,并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题；2．让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途；3．使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.二、教学重点及难点重点：将实际问题转化为解直角三角形问题；难点：将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.三、教学用具多媒体课件．四、相关资料《解直角三角形应用举例》微课．五、教学过程【情景引入】南浦大桥建桥时为世界第三大斜拉桥,桥全长8346米,6车道,主塔高154米,塔柱中间,由两根高8米、宽7米的上下拱梁牢牢地连接着,呈“H”型.南浦大桥于1991年12月1日建成通车.南浦大桥横卧在黄浦江上,它使上海人圆了“一桥飞架黄浦江”的梦想.问题:南浦大桥主塔高154米,最高的一根钢索与桥面的夹角为30°,问最高的钢索有多长?追问:第二根钢索与桥面的夹角为35°,如何求第二根钢索的长呢?教师带领学生看题目.设计意图：从问题来引出今天的知识点，激发兴趣，增强学生的学习热情．【合作探究】操场上有一根旗杆,老师让小明去测量旗杆的高度,小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了.请同学们思考这个问题,想想他是如何计算的.学生思考,讨论.教师找一生板演,并让他解释自己的思路.【探究新知】1.讲解.师:在实际生活中,解直角三角形有着广泛的应用,例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形.教师在黑板上作图.师:当我们测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角;在水平线以下的角叫做俯角.注意:(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是与铅垂线所夹的角;(2)仰角和俯角都是锐角.师:我们自己测量角时用什么工具啊?生:量角器.量:测量仰角、俯角也有专门的工具,是测角仪.【典型例题】如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=52°.已知测角器的架高CE=1.6m,问树高AB为多少米?(精确到0.1m)答案:在Rt △ACD 中,∠ACD =52°,CD =EB =8 m .AD =CD ·tan ∠ACD =8×tan 52°=8×1.2799≈10.2(m ).由DB =CE =16 m 得AB =AD +DB =10.2+1.6=11.8(m ).答:树高AB 为11.8 m .本图片是微课的首页截图，本微课资源通过讲解实例，进一步巩固解直角三角形的应用，有利于启发教师教学或学生预习或复习使用.若需使用，请插入微课【知识点解析】解直角三角形应用举例.【新知应用】如图所示，为了测量山的高度AC ，在水平面B 处测得山顶A 的仰角为30°，AC ⊥BC ，自B 沿着BC 方向向前走1000m ，到达D 处，又测得山顶A 的仰角为45°，求山高．(结果保留根号)解析：要求AC ，无论是在Rt △ACD 中，还是在Rt △ABC 中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC 看成已知，用含AC 的代数式表示BC 和DC ，由BD ＝1000m 建立关于AC 的方程，从而求得AC .答案：在Rt △ABC 中，AC BC ＝tanB ＝tan 30°＝33， ∴BC ＝3AC .在Rt △ACD 中，AC DC＝tan ∠ADC ＝tan 45°＝1，∴DC ＝AC .∴BD ＝BC －DC ＝3AC －AC ＝(3－1)AC ＝1000，∴AC ＝10003－1＝500(3＋1)(m )．答：山高为500(3＋1)m .方法总结：在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解．【随堂检测】1.如图，飞机A 在目标B 正上方1000m 处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，则地面目标B ，C 之间的距离是________．解析：由题意可知，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝∠CAD ＝30°，AB ＝1000m ，∴BC ＝ABtan C ＝1000tan30°＝10003(m )，故填10003m . 方法总结：解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形．2.如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB ，已知观察点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆顶的仰角∠ECA 为30°，旗杆底边的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )A ．(82＋83)mB ．(8＋83)mC ．(82＋833)mD ．(8＋833)m 解析：由题意可知：在Rt △BCE 中，∵CE ＝8m ，∠ECB ＝45°，∠ACE ＝30°，∴BE ＝CE ＝8(m )，AE ＝EC ·tan ∠ACE ＝8×tan 30°＝833(m )， ∴AB ＝AE ＋BE ＝(8＋833)m .故选D . 方法总结：解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形．设计意图：通过学生练习，使教师及时了解学生对知识点的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结解直角三角形的应用1.仰角问题2.俯角问题设计意图：将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识．七、板书设计23．2解直角三角形及其应用第2课时仰角与俯角问题。

仰角、俯角1.理解解直角三角形在实际问题中的应用(1)解决实际问题时,关键是根据题意抽象出其几何模型,然后再通过解决几何模型的问题得到实际问题的答案.(2)与斜三角形有关的问题,往往通过作一边上的高,把其转化为的问题.2.掌握与测量有关的几个概念如图,在测量时,视线与水平线所成的角中,视线在水平线的角叫仰角,在水平线的角叫俯角.重点一:解直角三角形解决简单实际问题利用解直角三角形解决实际问题的步骤:(1)将实际问题抽象为数学问题;(2)画出平面图形,转化为三角形的问题;1. 如图所示,A、B两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在与A同侧的河岸边选定一点C,测出AC=a米,∠A=90°,∠C=40°,则AB等于( )(A)asin 40°米(B)acos 40°米(C)atan 40°米(D)米2. 如图是某水库大坝横断面示意图.其中CD、AB分别表示水库上下底面的水平线,∠ABC=120°,BC的长是50 m,则水库大坝的高度h是( )(A)25 m (B)25 m (C)25 m (D) m3.某学校的校门是伸缩门,伸缩门中的每一行菱形有20个,每个菱形边长为30厘米.校门关闭时,每个菱形的锐角度数为60°(如图1),校门打开时,每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图2).问校门打开了多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin 5°≈0.0872,cos 5°≈0.9962,sin 10°≈0.1736,cos 10°≈0.9848)重点二:有关仰角、俯角的测量问题4. (2013绵阳改编)如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底点G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( )(A)20米(B)10米 (C)15米(D)5米5. 如图所示,从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°,如果此时热气球C处的高度CD为100米,点A、D、B在同一直线上,则AB两点的距离是( )(A)200米(B)200米 (C)220米(D)100(+1)米6.(2014昆明)如图,在数学实践课中,小明为了测量学校旗杆CD的高度,在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB,测得旗杆顶端D的仰角为32°,AC=22米,求旗杆CD的高度(结果精确到0.1米,参考数据:sin 32°≈0.53,cos 32°≈0.85,tan 32°≈0.62).7. (2013遵义改编)某中学在创建“特色校园”的活动中,将该校的办学理念做成宣传牌(AB),放置在教学楼的顶部(如图所示).小明在操场上的点D处,用1米高的测角仪CD,从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°,然后向教学楼方向走了4米到达点F处,又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°.已知教学楼高BM=17米,且点A,B,M在同一直线上,求宣传牌AB的高度(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.73,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75).A层(基础)1. 在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中,某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°,此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米,则旗杆的高度约为( )(A)24米(B)20米(C)16米 (D)12米2. 在一次数学活动中,李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度CD.如图所示,已知李明距假山的水平距离BD为12 m,他的眼睛距地面的高度为1.6 m,李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C,此时,铅垂线OE经过量角器的60°刻度线,则假山的高度为( )(A)(4+1.6) m (B)(12+1.6) m (C)(4+1.6) m (D)4 m3. (2013山西)如图,某地修建高速公路,要从B地向C地修一座隧道(B,C在同一水平面上),为了测量B,C两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C地出发,垂直上升100 m到达A处,在A处观察B地的俯角为30°,则B,C两地之间的距离为( )(A)100 m (B)50 m (C)50 m (D) m4. 如图所示,某风景区为了方便游人参观,计划在主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C处,若在A处测得C处的俯角为30°,两山峰的底部B、D相距900 m,则缆车线路AC的长为( )(A)300 m (B)600 m (C)900 m (D)1800 m5.如图甲、乙两楼的楼间距AC为10米,某人在甲楼楼底A处测得乙楼的楼顶B的仰角为60°,在乙楼的楼底C处测得甲楼的楼顶D的仰角为45°,则甲楼比乙楼矮米.6. 如图所示,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上:顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为cm.(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)7. 如图所示,从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°.如果这时气球的高度CD 为90米,且点A、D、B在同一直线上,建筑物A、B间的距离为米.8. (2013十堰)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25分钟后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A、B两点间的距离为米.9. 某煤矿发生瓦斯爆炸,该地救援队立即赶赴现场进行救援,救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象.已知A、B两点相距4米,探测线与地面的夹角分别是30°和45°,试确定生命所在点C的深度(精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73).10. (2013包头)如图,一根长 6米的木棒(AB),斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,与地面的倾斜角(∠ABO)为60°.当木棒A端沿墙下滑至点A'时,B端沿地面向右滑行至点B'.(1)求OB的长;(2)当AA'=1米时,求BB'的长.教后反思：。

专题1.11解直角三角形（2）——仰角与俯角、方位角、坡角（比）问题（知识讲解）【学习目标】1.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；2.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。

【要点梳理】解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.特别说明：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形的应用——仰角和俯角问题1．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B 的仰角为60°，沿山坡向上走20m 到达D 处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB ．（结果精确到0.1m 1.732≈）在Rt CDE △中，90E ∠=︒∴222DE CE CD +=∴222(3)(4)20x x +=∴4x =（负值舍去）∴12DE =，16CE =举一反三：【变式1】如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB ，在居民楼前方有一斜坡，坡长15m CD =，斜坡的倾斜角为α，4cos 5α=．小文在C 点处测得楼顶端A 的仰角为60︒，在D 点处测得楼顶端A 的仰角为30°（点A ，B ，C ，D 在同一平面内）．(1)求C ，D 两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB ．（结果精确到1m 1.7≈）AFDF 4三角函数的定义是解答本题的关键．【变式2】如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）【答案】能，综合楼的高度约是37.00米．【分析】在Rt△AEG中，利用正切函数求得AG的长，在Rt△ACH中，利用正切函数求得CH的长，据此求解即可得到综合楼的高度．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：·类型二、解直角三角形的应用——方位角问题2．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60︒方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）举一反三：【变式1】如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile （nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile 处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）由题意得：EF=BC=33.2海里，【变式2】如图，AB 为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A 处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68︒的点C 处，观光船到滨海大道的距离CB 为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E 时，观光船沿北偏西40︒的方向航行至点D 处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D 处的距离．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos 400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 680.93︒≈，cos680.37︒≈，tan 68 2.48︒≈）类型三、解直角三角形的应用——坡度坡比问题来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：︒︒︒）≈≈≈≈sin370.60,cos370.80,tan37 1.73【答案】约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．举一反三：【变式1】如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离． 1.41≈ 1.73≈．结果精确到0.1m）【变式2】宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1≈）1.7≈ 1.4【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．类型四、解直角三角形的应用——其他问题4．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离；(2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈ 2.24≈）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC ，过点A 作AH BC ⊥，交CB 的延长线于H ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．（2）过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．．∴==m．OD AG4.5答：OD的长为4.5m．【点拨】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解【变式1】某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留≈）.1.7∠=︒FDB45,∴=，DF FB【变式2】小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN ，MN 与墙面AB 所成的角∠MNB =118°，厂房高AB =8m ，房顶AM 与水平地面平行，小强在点M 的正下方C 处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D 到他的距离CD 是多少?（结果精确到0.1m ，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8m【分析】过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，证明四边形ABCM 为矩形得到CM=AB =8，∠NMC =180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD =∠EMC ，且∠CME =90°-∠CMN =28°，进而求出∠CMD =56°，最后在Rt △CMD 中由tan ∠CMD 即可求解．解：过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，如下图所示：∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，∴四边形AMCB为矩形，【点拨】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．。

七十九团中学公开课教学设计教学设计基本信息姓名田贺云科目数学所用教书书名人民教育出版社数学九年级下时间2017.4.7所教年级九年级所教册次、单元九年级下第三单元设计主题解直角三角形的应用----仰角、俯角1.整体设计思路、指导依据说明采用“复习引入—出示问题—学生探究—练习及总结”的方法, 总体思路是旧知让学生复习, 问题让学生解决, 规律让学生探究, 练习及总结让学生做。

2.教材分析锐角三角函数是在直角三角形的基础上加以定义的, 在学习概念之后又用于解直角三角形, 不仅是知识的循环, 还突显出三角函数在实际测量中的重要作用, 在把实际问题转化为数学问题之后, 就是运用解直角三角形的知识来解决的. 本节课内容就是介绍解直角三角形的知识, 是三角函数知识运用的最基础的部分.3.学情分析本节课学生是在学习了锐角三角函数之后来学习的，本节课利用复习、问题，激活学生原有的知识，为本课的学习作知识预备。

4、教学目标分析知识目标：了解仰角、俯角概念，能应用解直角三角形解决观测中的实际问题．帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而把实际问题转化为数学问题来解决．能力目标：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．渗透数学建模及方程思想和方法，能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系．情感与价值观：渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识，同时激发学生对自己家乡的热爱之情及自豪感，更好的激励学习．5、教学重点难点1．重点：应用解直角三角形的有关知识解决观测问题． 2．难点：能够准确分析问题并将实际问题转化为数学模型．6、教学方法引导探索现学生的主体地位。

7、教学准备PPT ，照片8.教学过程设计一、复习旧知, 导入新课1. 在三角形中共有几个元素?2. Rt △ABC (∠C=90°)中, 除了直角外, 还有几个元素?3. a, b, c, ∠A,∠B 这5个元素中有哪些等量关系呢?分类: 三边之间关系: a ²+b ²=________(勾股定理)锐角之间关系: ∠A+∠B=________(互余)边角之间关系: sinA=________, cosA=________, tanA=________, 有了这些关系, 在直角三角形中, 除直角外的五个元素中, 已知其中两个, 是否可以求出另外三个元素呢? 4、（1）若AC=2 ，BC=2AC B则∠A=_____∠B=_____ AB=_____（2）若AB=， ∠A=45° 则 ∠B=_____AC=_____ BC=_____ 二、讲授新课1、仰角与俯角的定义：如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

解直角三角形的实际应用一、知识要点1．仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图（1）．2．坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l =，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan h i l α==．坡度越大，坡面就越陡．如图（2）．3．方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图（3）．二、例题讲解例1.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB ）是1.7米，看旗杆顶部E 的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD ）是0.7米，看旗杆顶部E 的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B 、D、F 在同一直线上）．（1）求小敏到旗杆的距离DF ．（结果保留根号） （2）求旗杆EF 的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）图(3)北图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线迁移练习1.数学活动课上老师让学生以小组为单位测量学校旗杆AB的高度，如图所示，“希望小组”在教学楼一楼地面D处测得旗杆顶部仰角为60°，在教学楼三楼地面C处测得旗杆顶部仰角为30°，已知旗杆底部于教学楼一楼地面在同一水平线上，每层楼高为3米，求旗杆AB高度．例2.某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.6米，看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为16米（C，A，D在同一条直线上）．（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离；（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）迁移练习2.如图，某数学兴趣小组为了测量学校旗杆AB的高度，他们在旗杆对面的实验楼的顶部C处测得旗杆顶端A的仰角为46°，测得旗杆底端B的俯角为32°，同时测量了旗杆底端与实验楼的地面距离BD长为9.5米．求旗杆AB的高．（结果精确到0.1米）．【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62，sin46°=0.72，cos46°=0.69，tan46°=1.04】例3.金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）迁移练习3.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）例4.如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）迁移练习4.如图，某河大堤上有一颗大树ED，小明在A处测得树顶E的仰角为45°，然后沿坡度为1：2的斜坡AC攀行20米，在坡顶C处又测得树顶E的仰角为76°，已知ED⊥CD，并且CD与水平地面AB平行，求大树ED的高度．（精确到1米）（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°=0.24，tan76°≈4.01，=2.236）例5.中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i＝1∶2.4的斜坡上．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前的一座雕像C的俯角为76°(雕像的高度忽略不计)，远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°.已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，问此时轮船E距离海岸线D的距离ED的长为(参考数据：tan76°≈4.0，tan27°≈0.5，sin76°≈0.97，sin27°≈0.45)()A. 262B. 212C. 244D. 276迁移练习5.气魄雄伟的大礼堂座落在渝中区学田湾，它是一座仿古民族建筑．“五一”期间，小明和妈妈到重庆大礼堂参观游玩．参观结束后，穿过人民广场到达A处，回望礼堂，更显气势雄伟，金碧辉煌．此时，在A点观察到礼堂顶端的仰角为31，沿着坡度为1:3的斜坡AB 走一段距离到达B点，观察到礼堂顶端的仰角是22，测得点B与地面的高度9BC=米，则大礼堂的高度DE为（）米．（精确到1米．参考数据：2tan225≈，3tan315≈）A．56 B．59 C．62 D．65跟踪训练1.一艘货轮以20海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行1小时后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向，那么此时货轮与灯塔B的距离为（）海里（结果不取近似值）2.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．A．25B．25C．50 D．253.今年北京市大规模加固中小学校舍，房山某中学教学楼的后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡度i=：1，为防止山体滑坡，保障学生安全，学校决定不仅加固教学楼，还对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米？（结果保留根号）4.如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1:2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）A. 29.1米B. 31.9米C. 45.9米D. 95.9米5.某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N 的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．(1)求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)；(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH 的坡度i＝1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)6.如图，斜坡AB长130米，坡度i=1：2.4，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（1）若修建的斜坡BE的坡角为30°，求平台DE的长．（结果保留根号）．（2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M 的仰角为26.5°，他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向维续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为53°，此时小明距大楼底端Q处30米．已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度．（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33°）7.如图，一幢居民楼OC临近山坡AP，山坡AP的坡度为i=1：，小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60°，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45°，点O，A，B在同一直线上，求该居民楼的高度．（结果保留整数，≈1.73）。

解答题重难点题型(七)解直角三角形的实际应用题类型1仰角、俯角问题1．在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．(结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7)2．某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°.已知点C到大厦的距离BC＝7米，∠ABD＝90°，请根据以上数据求条幅的长度．(结果保留整数，参考数据：tan31°≈0.6，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86)3．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3 800米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)类型2方向角问题(河南中考4．钓鱼岛自古就是中国的！2017年5月18日，中国海警2305，2308在中国的钓鱼岛领海内巡航，如图，我军以30 km/h的速度在钓鱼岛当巡逻舰行驶到B处时，战士发现A在他的东北方向，巡逻舰继续向北航行点C，发现A在他的东偏北15°方向，求此时巡逻舰与钓鱼岛的距离．精确到0.01)5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长．(结果取整数，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，2取1.414)已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，7．我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将学校的办学理念做成宣传牌(CD)，放置在教学楼的顶部(如图所示)，该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB的坡度为i＝1∶3，AB＝10米，AE＝15米．(i＝1∶3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH 的比)(1)求点B距水平面AE的高度BH；(2)求宣传牌CD的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解答题重难点题型(七) 解直角三角形的实际应用题答案类型1 仰角、俯角问题1．在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军军舰A 测得潜艇C 的俯角为30°.位于军舰A 正上方1 000米的反潜直升机B 测得潜艇C 的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．(结果保留整数，参考数据：sin 68°≈0.9，cos 68°≈0.4，tan 68°≈2.5，3≈1.7)解：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D.则AD 即为潜艇C 的下潜深度．根据题意得∠ACD ＝30°，∠BCD ＝68°.设AD ＝x.则BD ＝BA ＋AD ＝1 000＋x.在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝x tan 30°＝3x.米．在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶A 处放下，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D 处测得楼顶A 点的仰，测得点A 的仰角为45°.已知点C 到大厦的请根据以上数据求条幅的长度．(结果保留整数，参考数据：tan 31°≈0.6，sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86)解：设AB ＝x 米，∵∠AEB ＝45°，∠ABE ＝90°.∴BE ＝AB ＝x.在Rt △ABD 中，tan ∠D ＝AB BD ，即tan 31°＝x x ＋16. ∴x ＝16tan 31°1－tan 31°≈16×0.61－0.6＝24.即AB ≈24米． 在Rt △ABC 中，AC ＝BC 2＋AB 2＝72＋242＝25.即条幅的长度约为25米．3．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A 处飞机的飞行高度是AF ＝3 800米，从飞机上观测山顶目标C 的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B 处，此时观测目标C 的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.20)解：设EC ＝x ，在Rt △BCE 中，tan ∠EBC ＝EC BE， 则BE ＝EC tan ∠EBC ＝56x. 在Rt △ACE 中，tan ∠EAC ＝EC AE， ，＝1 800. DE －EC ＝3 800－1 800＝2 000(米)．2 000米．河南中考2015T20)4．钓鱼岛自古就是中国的！2017年5月18日，中国海警2305，2308，2166，33115舰队在中国的钓鱼岛领海内巡航，如图，我军以30 km /h 的速度在钓鱼岛A 附近进行合法巡逻，当巡逻舰行驶到B 处时，战士发现A 在他的东北方向，巡逻舰继续向北航行40分钟后到达点C ，发现A 在他的东偏北15°方向，求此时巡逻舰与钓鱼岛的距离．(2≈1.414，结果精确到0.01)解：作CD ⊥AB 于点D ，由题意得∠B ＝45°，∠ACB ＝105°，∴∠A ＝30°，40分钟＝23小时， BC ＝30×23＝20(km )．在Rt △BCD 中，sin B ＝CD BC ＝22， ∴CD ＝BC·sin B ＝10 2 km .在Rt △ACD 中，sin A ＝CD AC ＝12， ∴AC ＝CD sin A ＝202≈28.28 km . 故此时巡逻舰与钓鱼岛的距离是28.28 km .5．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求BP 和BA 的长．(结果取整数，参考数据：sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05，2取1.414)解：作PC ⊥AB 于点C.由题意∠A ＝64°，∠在Rt △APC 中，sin A ∴PC ＝PA·sin A ＝120·AC ＝PA·cos A ＝120·cos 在Rt △PCB 中，∵∠∴PC ＝BC.∴PB ＝PC sin 45°＝120×0.9022≈∴AB ＝AC ＋BC ＝120·cos 64°＋120·sin 64°≈120×0.90＋120×0.44≈161.答：BP 的长为153海里，BA 的长为161海里．类型3 坡角、坡度(比)问题6．如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)解：假设点D 移到点D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点D′作D′E′⊥AC 于点E′，∵CD ＝12米，∠DCE ＝60°，∴DE ＝CD·sin 60°＝12×32＝63(米)， CE ＝CD·cos 60°＝12×12＝6(米)． ∵DE ⊥AC ，D ′E ′⊥AC ，DD ′∥CE ′，∴四边形DEE′D′是矩形．∴DE ＝D′E′＝63米．∵∠D ′CE ′＝39°，∴CE ′＝D′E′tan 39°≈630.81≈12.8(米)． ∴EE ′＝CE′－CE ＝12.8－6＝6.8(米)．答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动6.8米才能保证教学楼的安全．7．我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将学校的办学理念做成宣传牌(CD)，放置在A 处测得宣传牌底部D 的仰°.已知山坡AB 的坡度是指坡面的铅直高度BH 与水平宽度AH (结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：(1)在Rt △ABH 中，∵tan ∠BAH ＝BH AH ＝i ＝13＝33，∴∠BAH ＝30°. ∴BH ＝AB·sin ∠BAH ＝10·sin 30°＝10×12＝5. 答：点B 距水平面AE 的高度BH 是5米．(2)在Rt △ABH 中，AH ＝AB·cos ∠BAH ＝10·cos 30°＝53，在Rt △ADE 中，tan ∠DAE ＝DE AE， 即tan 60°＝DE 15，∴DE ＝15 3. 过点B 作BF ⊥CE ，垂足为点F ，∴BF ＝AH ＋AE ＝53＋15，DF ＝DE －EF ＝DE －BH ＝153－5.在Rt△BCF中，∠C＝90°－∠CBF＝45°，∴∠C＝∠CBF＝45°.∴CF＝BF＝53＋15.∴CD＝CF－DF＝53＋15－(153－5)＝20－103≈20－10×1.732≈2.7(米)．答：广告牌CD的高度约为2.7米．。

仰角 视线水平线视线俯角铅垂线解直角三角形的应用是九年级数学上学期第二章第四小节的内容．本小节的学习重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题．1、 仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．解直角三角形的应用内容分析知识结构模块一：仰角与俯角知识精讲ABCDE F12 3【例1】 如图，90C DEB ∠=∠=︒，FB // AC ，从A 看D 的仰角是______；从B 看D 的俯角是______；从A 看B 的______角是______；从D 看B 的______角是______．【难度】★【答案】2∠；3∠；仰；1∠；仰；3∠． 【解析】考查仰角、俯角的基本定义．【例2】 升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该 同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号的式子表示）【难度】★ 【答案】2338+． 【解析解：如图所示，AB 为旗杆，CD 为某同学． 则24==CA DE ，5.1==AE CD ，30BDE ∠=︒，在BDE Rt △中，DE BEBDE =∠tan ，∴2433BE =， ∴38=BE ，∴2338+=+=EB AE AB ． 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．例题解析ABC D 【例3】 如图，两建筑物水平距离为a 米，从点A 测得点C 的俯角为α，测得点D 的俯角 为β，则较低建筑物CD 的高为（ ）A ．a 米B ．（tan a α）米C ．tan a α米D ．(tan tan )a αβ-米【难度】★ 【答案】D【解析】过C 作CE ⊥AB ，垂足为E ． 由题意有：a BD CE ==，α=∠ACE ，β=∠ADB 在ACE Rt △中，CE AEACE =∠tan ， ∴αtan a AE =在ABD Rt △中，BDABADB =∠tan ， ∴βtan a AB =∴()βαβαtan tan tan tan -=-=-==a a a AE AB BE DC【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对俯角的理解．【例4】 如图，河对岸有一座铁塔AB ，若在河这边C 、D 处分别用测角仪器测得顶部A 的仰角为30°、45°，已知CD = 30米，求铁塔的高．（结果保留根号）【难度】★★ 【答案】15315+．【解析】解：由题意可得：︒=∠30ACB ，︒=∠45ADB ． 设x AB =，则x BD =，在ABC Rt △中，BC AB ACB =∠tan ，∴3330=+x x ，解得：15315-=x ． 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解．AB CDEABCDAB CDE【例5】 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼 底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m ，请问：这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m ）【难度】★★ 【答案】277.1米．【解析】解：由题意可得：︒=∠60BAD ，︒=∠30CAD ，120=AD在ABD Rt △中，AD BDBAD =∠tan ，∴1203BD=，∴3120=BD ． 在ACD Rt △中，AD CDCAD =∠tan ，∴12033CD =，∴340=CD ． ∴1.27731603403120≈=+=+=CD BD BC【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角、俯角的理解和运用．【例6】 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在相距8米的A 、B 两处 测得点D 和点C 的仰角为45°和60°，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若BE = 15米，3 1.73≈，计算结果保留整数）【难度】★★ 【答案】3【解析】解：由题意可得：︒=∠60CBE ，︒=∠45ADE ，在CBE Rt △中，BE CECBE =∠tan ，∴153CE=，∴315=CE 在AED Rt △中，AEDEDAE =∠tan ，∴1581+=DE，∴23=DE ． ∴323315≈-=-=ED EC CD ．【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解和运用．【例7】 某高层建筑物图中AB 所示，小明家住在高层建筑物附近的“祥和”大厦（图中 CD 所示），小明想利用所学的有关知识测量出高层建筑物AB 的高度．他先在自己家 的阳台（图中的Q 点）测得AB 的顶端（点A ）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附 近建筑物影响测量，小明向AB 方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P 处），测得点A 的仰角为45°．已知点C 、P 、B 在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你画出示意图，并根据上述信息求出AB 的高度．（参考数据：sin 370.6︒=，cos370.8︒=，tan 370.75︒=） 【难度】★★★ 【答案】492米．【解析】过Q 作AE ⊥AB ，垂足为E ． 解：由题意可得：︒=∠37AQE ，︒=∠45APB ， 60=CQ ，84=PC ．设x BA =，则x PB = 在AQE Rt △中，QEAEAQE =∠tan ， ∴xx+-=846075.0，∴492=x ．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．ABC D P QE【例8】 如图，为某小区的两幢10层住宅楼，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第 10层，每层的高度为3米，两楼间的距离AC = 30米．现需了解在某一时间段内，甲 楼对乙楼采光的影响情况．假设某一时刻甲楼楼顶B 落在乙楼的影子长EC = h ，太阳光线与水平线的夹角为α．（1）用含α的式子表示h ；（2）当α= 30°时，甲楼楼顶B 的影子落在乙楼的第几层？从此时算起，若α每小时增加10°，约几小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．（结果精确到0.01）【难度】★★★【答案】(1)αtan 3030-=h ；（2）第4层，6小时．【解析】解：(1)由题意可得：30103=⨯=AB ． 过E 作FE ⊥AB ，垂足为F ．在BEF Rt △中，EFFBBEF =∠tan ，∴tan 30FBα=，∴αtan 30=BF ．∴αtan 3030-=-==AF AB AF EC ． （2）如图2，30==AC AB ， ∴︒=∠45BCA∵若α每小时增加10°， ∴()5.1103045=÷-．∴需要1.5小时才能从30°到90°．【总结】本题综合性较强，需要认真分析题目中的条件，然后利用锐角三角比解决实际问题．BD甲 楼乙 楼太阳光EF北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°1、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．【例9】 如果由点A 测得点B 在北偏东15°的方向，则由B 测点A 的方向为（ ）A ．北偏东15°B ．北偏西75°C ．南偏西15°D ．南偏东75°【难度】★ 【答案】B【解析】考查方向角的定义．模块二：方向角知识精讲例题解析【例10】 如图，小明从A 地沿北偏东30°方向走1003米到B 地，再从B 地向正南方向走200米到C 地，此时小明离A 地_____米．【难度】★ 【答案】100．【解析】解：由题意可知：︒=∠30ABD在ADB Rt △中，AB ADABD =∠cos ，∴310033BD =，∴150=BD ，35022=-=DB AB AD ． ∴50150200=-=-=BD BC CD ．∴10022=+=CD AD AC ．【总结】本题主要考查对方位角的准确理解和运用．【例11】 如图，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ） A ．30海里 B ．40海里C ．50海里D ．60海里【难度】★ 【答案】B【解析】解：∵AB BC =，︒=∠60ABC ∴ABC △为等边三角形．∴40=AC ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．北 北 ABCA BC东南西D【例12】 在位于O 处某海防哨所的北偏东60°相距6海里的A 处，有一艘快艇正向正南方向航行，经过一段时间快艇到达哨所东南方向的B 处，则A 、B 间的距离是______海里．（精确到0.1海里，2 1.414≈，3 1.732≈）【难度】★★ 【答案】5.5．【解析】解：由题意可知：6=OA ，︒=∠30AOC ，︒=∠45BOC在AOC Rt △中，AO ACAOC =∠sin ，∴216=AC ，∴3CA =，3322=-=AC AO OC ． ∴33==CO BC ．∴5.5333≈+=+=BC AC AB ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．【例13】 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，请问，此时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？（精确到0.01海里，cos 250.91︒≈，sin 340.559︒≈）【难度】★★ 【答案】130.23．【解析】解：在APC Rt △中，APPCAPC =∠cos ， ∴8091.0PC=，∴8.72=PC 在BPC Rt △中，BPPCCBP =∠sin ，∴BP8.72559.0=，∴23.130=PB ． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．东南西北ABPC【例14】 如图，A 、B 为湖滨的两个景点，C 为湖心一个景点．景点B 在景点C 的正东方向，从景点A 看，景点B 在北偏东75°方向，景点C 在北偏东30°方向．一游客自景 点A 驾船以20米/分的速度行驶了10分到达景点C ，之后又以同样的速度驶向景点B ，该游客从景点C 到景点B 需用多长时间？（tan 75 3.732︒≈，精确到1分）【难度】★★ 【答案】27分．【解析】过A 作AD ⊥BC 的延长线于D ． 由题意可得：︒=∠75BAD ，︒=∠30DAC ， 2002010=⨯=AC ．在ADC Rt △中，ACDCCAD =∠cos ， ∴20023AD =，∴3100=AD ，100=DC 在ABD Rt △中，DABDBAD =∠tan ，∴3100732.3BD=，∴32.373=DB∴3824.64610032.373≈-=-=CD BD BC∴2731.27203824.646≈==t ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．ABC东北D【例15】 如图，某船以36海里/时的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明点B 是否在暗礁区域外？（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由． 【难度】★★【答案】（1）B 在暗礁区外；（2）有危险． 【解析】解：（1）由题意可得：︒=∠30CAB ，︒=∠60CBD ，182136=⨯=AB ． ∴︒=︒-︒=∠-∠=∠303060CAB CBD ACB ， ∴ACB CAB ∠=∠ ∴1618>==BC AB∴B 在暗礁区外．（2）在BDC Rt △中，BCDCBCD =∠cos ， ∴1823CD =，∴16188.1539<≈=CD∴若继续向东航行有触礁危险．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，注意在触礁问题中的最小距离指的是垂直距离．东ABCD【例16】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE 、BF 、CD 都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A 、B 、C ．经测量，花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上，AB = 2千米，15DAC ∠=︒．（1）求B 、D 之间的距离； （2）求C 、D 之间的距离． 【难度】★★【答案】（1）2；（2）332． 【解析】解：(1)由题意得：︒=∠45EAD ， ︒=∠30DBF ．∵FB AE ∥∴︒=∠=∠60EAB FBC ∴︒=∠30DBC ∵15DAC ∠=︒ ∴︒=∠15ADB ∴DAB ADB ∠=∠∴2==AB BD(2)∵CD AE ∥ ∴︒=∠=∠45ADC EAD ∴︒=∠30BDC过C 作CG ⊥BD ，垂足为G 在GDC Rt △中，DCDGBDC =∠cos ， ∴CD123=，∴332=CD ．【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．ABCDE F和平路文化路 中山路G【例17】 如图，甲、乙两只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°的方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2 小时到达C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B 处相遇．（1） 甲船从C 处追赶上乙船用了多少时间？（2） 求甲船加快速度后，追赶乙船时的速度？（结果保留根号） 【难度】★★★【答案】（1）4小时；（2）231515+． 【解析】解：由题意可得：︒=∠45BCA ， ︒=∠105BAC ，︒=∠30B ， 2302215=⨯=AC ．在ACD Rt △中，AC ADBCA =∠sin ，∴23022AD =， ∴30=AD ， ∴30==AD CD ，602==AD AB ，330=BD ． ∴（1）41560=÷=t ；（2）()231515433030+=÷+=v ． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题意．东东北 ABCD【例18】 如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2千米，点B 位于点A 北偏东60°方向且与点A 相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B 南偏 西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A 正北方向的点D 处．（1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度．（结果精确到0.1千米/时）（参考数据：3 1.73≈，sin 760.97︒≈，cos 760.24︒≈，tan 76 4.01︒≈）【难度】★★★【答案】（1）3；（2）40.4．【解析】解：（1）由题意有：2=AD ，︒=∠30BAH ．在BAH Rt △中，521==AB BH ，3522=-=BH AB AH ，∴325=-=-=-=AD BH FH BH BF ．(2)在BCF Rt △中，BF CFCBF =∠tan ，∴301.4CF=，∴03.12=CF ． ∴3503.12-=-=-=AH CF DF CF CD ．∴()()112.03535min 12.035340.4/12v km km h km h =-÷=-÷≈． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题，要注意认真分析题目中给出的条件．ABC D E l 东北F Hhl1、 坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即hi l=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi l α==．【例19】 某人沿着坡度为3 : 4的斜坡前进了10米，则他所在的位置比原来的位置升高______米．【难度】★ 【答案】6．【解析】考查坡度的定义．【例20】 某铁路路基的横断面是等腰梯形，其上底为10米，下底为13.6米，高1.2米，则腰面坡角的正切值为______．【难度】★【答案】32．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．模块三：坡度（坡比）知识精讲例题解析A BCDABC【例21】 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC 为2米，则两树间的坡面距离AB 为（ ）A ．4米B 3C 43米 D ．43米【难度】★ 【答案】C【解析】考查坡角的定义．【例22】 如图，燕尾槽的横断面中，槽口的形状是等腰梯形，其外口宽AD = 15毫米，槽的深度为12毫米，B 的正切值为43，则它的里口宽BC = ______．【难度】★★ 【答案】33毫米．【解析】考查等腰梯形双高的辅助线．【例23】 河堤横断面是梯形，上底为4米，堤高为6米，斜坡AD 的坡度为1 : 3，斜坡CB 的坡角为45°，则河堤横断面的面积为______平方米．【难度】★★ 【答案】96．【解析】考查坡角的基本定义．ABCD【例24】 如图，一个大坝的横断面是一个梯形ABCD ，其中坝顶AB = 3米，经测量背水坡AD = 20米，坝高10米，迎水坡BC 的坡度i = 1 : 0.6，求迎水坡BC 的坡角C ∠的余切值和坝底宽CD ．【难度】★★【答案】53；3109+．【解析】过A 、B 作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ．由题意可得：356.01tan ==C ，10==BF AE ，∴5316.0cot ==C ． 在BCF Rt △中，CFBFC =∠tan ， ∴CF1035=，∴6=CF ． 在ADE Rt △中，31022=-=AE AD DE ，∴931063310+=++=++=FC EF DE CD ．【总结】本题主要考查坡脚和坡比的概念．【例25】 如图，某村开挖一条长1600米的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡度为1 : 1．求一共挖土多少立方米？【难度】★★ 【答案】2560． 【解析】()6.18.02.18.221=⨯+⨯=ABCD S 梯形，256016006.1=⨯=V ．【总结】考查等腰梯形双高辅助线的做法和坡度的基本定义．ABCDE F【例26】 如图，小杰发现垂直地面的旗杆AB 的影子落在地面和斜坡上，影长分别为BC 和CD ，经测量得BC =10米，CD =10米，斜坡CD 的坡度为1:3i =，且此时测得垂直于地面的1米长标杆在地面上影长为2米，求旗杆AB 的长度．（答案保留整数，其中10 3.2≈） 【难度】★★ 【答案】13．【解析】解：延长AD 和BC 交于点E ，过D 作DF ⊥BE ．由题意可知：31tan =∠DCF ，21tan =E ．在DCF Rt △中，CF DF DCF =∠tan ，∴CF DF=31．设x DF =，x CF 3=，则()101032222==+=+=x x x FC FD DC ，∴10=x ． ∴10=DF ，103=CF ． 在DEF Rt △中，EFDF E =∠tan ， ∴EF1021=，∴102=EF 在ABC Rt △中，EBABE =∠tan ，∴1021031021++=AB ，∴1351025≈+=AB ． 【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．AB CDEF【例27】 如图，斜坡AP 的坡度为1:2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度．（结果精确到1米）（参考数据：sin 760.97︒≈，cos 760.24︒≈，tan 76 4.01︒≈）【难度】★★【答案】（1）10；（2）19．【解析】解：延长BC 交PQ 于点E ，过A 作AD ⊥PQ由题意可知：︒=∠76BAC ，︒=∠45BPE1254.2:1tan ==∠APD ．在APD Rt △中，PD DA APD =∠tan ，∴PD DA=125．设x DA 5=，x PD 12=， 则()()26131252222==+=+=x x x PD AD PA ，∴2=x ．∴10=DA ，24=PD ． 在BAC Rt △中，AC BC BAC =∠tan ，∴ACBC=01.4 设x CA =，x BC 01.4=， 在PBE Rt △中，EPEB BPE =∠tan ， ∴241001.41++=x x ，∴65.4=x ．∴1901.4≈=x BC ．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．ABCPQD EABCDE F G H 【例28】 如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD ，背水坡AD 的坡度i 为1 : 1.2，坝高为5米．现为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽1米，形成新的背水坡EF ，其坡度为1 : 1.4，已知堤坝总长度为4000米．（1）求完成该工程需要多少立方米的土？（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级 通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队 工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少立方米？【难度】★★★【答案】（1）30000；（2）甲：1000；乙：500．【解析】由题意可知：652.1:1tan ==∠DAG ，754.1:1tan ==∠EFG ．在AGD Rt △中，AGDG DAG =∠tan ，∴AG565=，∴6=AG ． ∴516=-=-=GH AG AH ． 在EFH Rt △中，FHEHEFG =∠tan ， ∴FH575=，∴7=FH ． ∴257=-=-=AH FH AF ． ∴()()2155212121=⋅+=⋅+=EH AF ED S EDAF 梯形．∴300004000215=⨯=V ． （2）设原计划甲工程队每天完成x 立方米，乙工程队每天完成y 立方米，则根据题意可得：()()()()⎩⎨⎧=+++-=+30000]401301[5203000020y x y x ％％，解得：⎩⎨⎧==5001000y x ．∴原计划甲工程队每天完成1000立方米，乙工程队每天完成500立方米．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题．【例29】 如图所示，在风景区观测塔高时，塔的底部不能直接到达．测绘员从观景台（横截面为梯形ABCD ）的底部A 沿坡面AB 方向走30米到达顶部B 处，用测角仪（测角 仪的高度忽略不计）在点B 处测得塔顶E 的仰角是45°，沿BC 方向走20米到达点C 处 测得塔顶E 的仰角是60°．已知坡面AB 的坡度是1:3，根据上述测量数据能否求出塔高？若能，请求出塔高（精确到1米）；若不能，说明还需测出哪些量才能求出塔高．【难度】★★★ 【答案】能，62米．【解析】由题意可知：︒=∠45EBC ，︒=∠60ECG ．333:1tan ==∠BAD ． 过B 作BH ⊥AD ． 在ECG Rt △中，CGEG ECG =∠tan ，∴31EG CG =．设x CG =，x EG 3=， 在EBG Rt △中，BGEGEBG =∠tan ， ∴BGEG=1． ∴2031+=x x，∴31010+=x ． ∵333:1tan ==∠BAD ， ∴︒=∠30BAC ．∴1521==AB BH ．∴6231045153≈+=+=+=x GF EG EF ．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件，分析清楚仰角分别指的是哪个角．AB C DEFGH【例30】 如图，小智所住的楼房在一个不高的斜坡EF 上，楼房旁边不远处有一棵笔直而垂直于水平地面BE 的大树HD ．小智想要测量这棵大树HD 的高度．在下午的某个 时刻，他观察到这棵大树树梢H 的影子落在楼房的外墙面上的点G 处．同时，他又观 察到在大树旁边有一根笔直而垂直于水平地面BE 的木柱AB ，它在水平地面BE 上的影 子BC 也清晰可见．小智通过测量得到以下一些数据：AB = 1.6米，BC = 3.2米，DE =7.2米，EF = 2.6米，斜坡EF 的坡度i =1 : 2.4，FG = 1.6米．试求大树HD 的高．【难度】★★★ 【答案】7.4米．【解析】解：由题意可得：12:54.2:1tan ==∠FEN ，212.36.1tan tan ===∠=∠BC AB ACB HGM过F 作FM ⊥HD ，过F 作FN ⊥DN在EFN Rt △中，ENFN FEN =∠tan ，∴EN FN=125．设x FN 5=，x EN 12=， ∴则()()6.2131252222==+=+=x x x EN FN EF ，∴2.0=x ．∴1=FN ，4.2=EN ．∴6.94.22.7=+=+==EN DE DN MG ．在HGM Rt △中，MG HMHGM =∠tan ，∴6.921HM =，∴8.4=HM ．∴4.716.18.4=++=++=+=FN GF HM MD HM HD ．【总结】本题主要考查利用坡脚和坡比的概念以及锐角三角比的相关概念解决实际问题，注意认真分析题目中的条件．A B CDEF GHM N随堂检测【习题1】某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是______米．【难度】★【答案】3800．【解析】考查俯角的定义．【习题2】一船在海上点B处沿南偏东10°方向航行到点C处，这时在小岛A测得点C 在南偏西80°方向，则=______．ACB【难度】★【答案】90°【解析】考查方向角的定义．【习题3】某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为25米，则这个坡面的坡度为______．【难度】★【答案】1:2【解析】考查坡度的定义．AB CDE【习题4】 如图，已知楼房AB 高50米，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD = 50米，塔高DC 150503+ ）A ．由楼顶望塔顶仰角为60°B ．由楼顶望塔基俯角为60°C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°【难度】★★ 【答案】C ．【解析】解：由图可知：50====AE DE DB AB ， ∴3350503350150=-+=-=ED CD EC ． 在ACE Rt △中，33503350tan ===∠AE CE CAE ，∴︒=∠30CAE ．∴由楼顶望塔顶仰角为30°．【总结】本题主要考查利用已知条件解直角三角形，再利用锐角三角比的值求出角的度数．【习题5】 A 港在B 地的正南103A 港开出向西航行，某人第一次 在B 处望见该船在南偏西30°，半小时后，有望见该船在南偏西60°，则该船速度为______．【难度】★★ 【答案】40h km /．【解析】解：在ACB Rt △中，ABAC CBA =∠tan ，∴33310=CA ，解得：10=CA ． 在ADB Rt △中，ABAD DBA =∠tan ，∴3310=DA ，解得：30=DA ．∴201030=-=-=AC AD CD ，∴402120=÷=v ． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．DABCNM 【习题6】 如图，一架飞机在高度为5千米的点A 时，测得前方的山顶D 的俯角为30°， 水平向前飞行2千米到达点B 时，又测得山顶D 的俯角为45°，求这座山的高度DN ．（结果可保留根号）【难度】★★ 【答案】43-米．【解析】解：由题意可得：5==CN AM ， 2=AB ，︒=∠30CAD ，︒=∠45CBD ．设x CD =，则x BC =．在ACD Rt △中，tan DC CAD AC ∠=，∴233+=x x ，解得：13+=x ， ∴()34135-=+-=-=CD CN DN ．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的有关概念解决实际问题．【习题7】 小岛B 正好在深水港口A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口A 出发，沿正 东方向以每小时30千米的速度行驶，40分钟后在C 处测得小岛B 在它的南偏东15°方向，求小岛B 离深水港口A 的距离．(精确到0.1千米)（参考数据：2 1.41≈，6 2.45≈，sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈） 【难度】★★ 【答案】38.6千米．【解析】解：由题意可得：203230=⨯=AC ，︒=∠45CAB ，︒=∠30B ．过C 点作CD ⊥AB ．在ACD Rt △中，ACDC CAD =∠sin ，∴2022CD =，解得：210=CD ，∴210==CD AD ．在BCD Rt △中，BDDCB =tan ，∴BD 21033=，解得：610=BD ． ∴6.38610210≈+=+=BD AD AB ． 【总结】本题主要考查利用方位角解决实际问题．ABC北 北 D【习题8】 如图，以水库大坝横断面是梯形ABCD ，坝顶宽6米，坝高23米，斜坡AB的坡度1:3AB i =，斜坡CD 的坡度1:2.5CD i =．（1）求斜坡AB 和坝底AD 的长度；（2）若要把坝宽增加3米，同时背水坡AB 的坡度AB i 由原来的1 : 3变为1 : 5，请求出大坝横断面的面积增加了多少平方米．【难度】★★【答案】（1）1023，132.5；（2）598． 【解析】解：由题意可得： 6=BC ，23==CF BE ，31tan =A ，525.21tan ==D ．在ABE Rt △中，AEBE A =tan ，∴AE2331=，解得：69=AE ． ∴102369232222=+=+=AE BE AB ． 在CDF Rt △中，DFCF D =tan ，∴DF 2352=，解得：2115=DF ．∴5.1322115669=++=++=FD EF AE AD ． （2）由（1）可得：66369=-=-=ME AE AM ．在HGM Rt △中，HM GM H =tan ， ∴HM2351=，∴115=HM ． ∴4966115=-=-=AM HM AH ．∴()()598234932121=⋅+=⋅+=GM AH GB S GHAB 梯形．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．ABCDEFCD EF G H【习题9】 某城市规划期间，欲拆除河岸边的一根电线杆AB （如图），已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD = 14米，该河岸的坡面CD 的坡比为1 : 2，岸高CF 为2米，在坡顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽2米的人行道，请你通 过计算说明在拆除电线杆AB 时，为确保安全，是否需要将此人行道封上？（在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域）【难度】★★★【答案】不需要将此人行道封上． 【解析】解：由题意可知：︒=∠30ACG ，21tan =D ．在Rt CDF △中，DF CF D =tan ，∴DF221=，解得：4=DF ， ∴52422222=+=+=DF CF CD ． ∴18414=+=+=DF BD BF ．在AGC Rt △中，GC AG ACG =∠tan ，∴1833AG =，解得：36=AG ， ∴392.12236≈+=+=GB AG AB ． ∴BD AB <．∴不需要将此人行道封上．【总结】本题主要考查利用坡度来解决实际问题，注意对题目中条件的认真分析．【习题10】 如图，小唐同学在操场上放风筝，风筝从A 处起飞，一会儿便飞抵C 处，此 时，在AQ 延长线B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上．（1）已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°，A 处测得点P 的仰角为45°，试求A 、B 之间的距离；（2）此时，在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°．若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 约为多长？（结果保留根号）【难度】★★★ 【答案】65215+．【解析】解：（1）由题意可知：︒=∠30B ， ︒=∠45PAQ ，10=PQ ．在PBQ Rt △中，BQPQB =tan ，∴BQ1033=，解得：310=BQ ， ∵10==PQ AQ ，∴10310+=+=QA BQ AB ． （2）由题意有：︒=∠75CAD ∴︒=︒-︒=∠453075C ． 过A 作AE ⊥BC ，在ABE Rt △中，ABAE B =sin ，∴3101023+=AE ，解得：1535+=AE ，在ACE Rt △中，ACEA C =sin ，∴AC351522+=，解得：65215+=AC ． 【总结】本题综合性较强，主要是利用已知条件，结合仰角和俯角的运用解直角三角形．BCDPE【作业1】 身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300米，250 米，200米，线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则 三人所放的风筝（ ）A ．甲的最高B ．乙的最低C ．丙的最低D ．乙的最高【难度】★ 【答案】D ．【解析】由仰角的定义和解直角三角形可得：甲的风筝离地面150米，乙的风筝离地面 2125米，丙的风筝离地面3100米．∵150********>>∴乙的风筝最高．【总结】本题主要考查方位角的概念以及特殊角的锐角三角比的值．【作业2】 小明在东西方向是沿江大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B 处，测得江中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到沿江大道的距离为______米．【难度】★ 【答案】3200．【解析】解：由题意可知：︒=∠30PAB ，︒=∠120PBA ． ∴︒=∠30APB ∴APB PAB ∠=∠ ∴400==PB AB过P 作PC ⊥AB ，垂足为C 在PBC Rt △中，PBPCPBC =∠sin ， ∴40023PC=∴3200=PC ．【总结】本题主要考查方位角的概念及运用．课后作业【作业3】 某人从地面沿着坡度1:3i =的山坡走了100米，这时他离地面的高度是______米．【难度】★ 【答案】50【解析】考查坡度的定义和解直角三角形．【作业4】 如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°的方向，这艘渔船以 28海里/时的速度向正东航行，半小时到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°的方 向，此时灯塔M 与渔船的距离是（ ）A ．14海里B ．142海里C ．7海里D ．72海里【难度】★★ 【答案】D【解析】解：由题意有：︒=∠30MAB ，︒=∠105ABM ，142128=⨯=AB ． ∴︒=∠45M ．过B 作BC ⊥AM ，垂足为C在ABC Rt △中，721==AB BC ；在MBC Rt △中，MBBCM =sin ， ∴722MB =．∴27=MB ．【总结】本题主要考查利用方位角结合锐角三角比解决实际问题．A BM北东C【作业5】 如图，在同一地面上有甲、乙两幢楼AB 、CD ，甲楼AB 高10米，从甲楼AB 的楼顶测得乙楼CD 的楼顶C 的仰角为30°，从乙楼CD 的楼顶C 拉下的节日庆典条幅 CE 与地面所成的角为60°，这时条幅与地面的固定点E 到甲楼B 的距离为24米，求条幅CE 的长度．【难度】★★【答案】24310+米．【解析】解：由题意可知：︒=∠30CAF ，︒=∠60CED 设x CE 2=，则x ED =，x CD 3=在ACF Rt △中，AF CF CAF =∠tan ，∴xx +-=2410333， ∴1235+=x ．∴243102+==x CE ．【总结】本题主要考查利用仰角和俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．AB CDEF【作业6】 如图，水坝的横截面是梯形ABCD ，上底AD = 4米，坝高3AM DN ==米，斜坡AB 的坡比11:3i =，斜坡DC 的坡比21:1i =．（1）求坝底BC 的长；（结果保留根号）（2）为了增加水坝的抗洪能力，在原来的水坝上增加高度，使得水坝的上底2EF =米，求水坝增加的高度．（精确到0.1米，参考数据3 1.73≈）【难度】★★【答案】（1）733+；（2）0.7米．【解析】解：（1）在MBA Rt △中，MBAMB =tan ， ∴BM331=，∴33=MB ． 在DNC Rt △中，NCDNC =tan ， ∴NC31=，∴3=NC ．∴7333433+=++=++=NC MN BM BC ．(2)在EGB Rt △中，BG EGB =tan ，∴BG EG =31， 在FCH Rt △中，HC FH C =tan ，∴HCFH=1， 设x FH EG ==，则x BG 3=，x CH =，∴73323+=++=++=++=x x HC EF BG HC GH BG BC ． ∴32+=x ．∴7.013332≈-=-+=∆h ．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．ABCDNMABCDNMEF GH【作业7】 如图，某人在建筑物AB 的顶部测得一烟囱CD 的顶端C 的仰角为45°，测得点C 在湖中的倒影C 1的俯角为60°，已知AB = 20米，求烟囱CD 的高．【难度】★★【答案】40320+米．【解析】解：由题意可得：︒=∠45CAE ，︒=∠601EBC ．过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ． 设x CE =，则x AE =． ∵C 和C 1关于BD 对称， ∴201+==x D C CD ． 在1AEC Rt △中，AEEC EAC 11tan =∠， ∴xx 403+=，∴20320+=x ．∴4032020+=+=x CD ．【总结】本题主要考查利用俯角的相关概念结合锐角三角比解决实际问题，注意认真分析．【作业8】 如图，一水渠的横断面是等腰梯形，已知其迎水斜坡AD 和BC 的坡度为1： 0.6，现在测得放水前的水面宽EF 为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为2.1米，求放水后水面上升的高度．【难度】★★【答案】放水后水面上升的高度为0.75米．【解析】解：由题意可知：四边形GEFH 为等腰梯形． 356.0:1tan ==∠MGE ．过E 作EM ⊥GH ，过F 作FN ⊥GH 由等腰梯形的性质可得：45.0==NH GM ．在GME Rt △中，GM EMMGE =∠tan ，∴45.035EM=，∴75.0=EM ．∴放水后水面上升的高度为0.75米．【总结】本题主要考查利用坡度和坡比的相关概念结合锐角三角比解决实际问题．ABC DC 1E AC D EF GHMN【作业9】 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋 风暴，有极强的破坏力．据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米的B 处有 一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱一级，该 台风中心现在以每小时15千米的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响．（1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由．（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ （3）该城市受台风影响的最大风力是几级？ 【难度】★★★ 【答案】（1）受影响； （2）h 154； （3）6.5级．【解析】解：（1）会受到台风影响． 过A 作AD ⊥BC ．台风在移动时，距离A 最近D 处时，在ABD Rt △中，1102202121=⨯==AB AD110÷20=5.5；12-5.5=6.5；6.5超过4级，受台风影响．（2）当台风在移动，其与A 距离是()km 16041220=-⨯时开始受影响或结束影响．持续时间为h h t 15415110160222=-⨯=． （3）由（1）可得：该城市受台风影响的最大风力是6.5级．【总结】本题主要考查对方位角的理解以及是否受影响的理解，解题时要认真分析题意．ABC D。