第19讲 解直角三角形
重难点1 解直角三角形
(2018·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则tan ∠AOD＝2．
【思路点拨】 设以BC 为顶点的小正方形为EKBC ，连接BE ，BE 与CD 相交于点 F.由题意易得BF ＝CF ，△ACO∽△BKO .由相似三角形的对应边成比例，易得KO∶CO＝1∶3，即可得OF∶CF＝OF∶BF＝1∶2.在Rt △OBF 中，即可求得tan ∠BOF 的值，继而求得答案．
方法指导在网格中求某个角的锐角三角函数值，如果这个角是以格点为顶点的直角三角形的一个内角，可利用锐角三角函数的定义直接求解；若不是，则可利用相等的角转化或通过添加辅助线的方法，使这个角成为直角三角形的内角，再利用勾股定理和相似算出直角三角形的边长或对应边的比值，最后根据锐角三角函数的定义求解．
(2018·上海)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，tan ∠ABC＝3
4.
(1)求边AC 的长；
(2)设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求AD
BD
的值．
【思路点拨】 (1)过点A 作AE⊥BC，解Rt △ABE 求出AE ，BE ，再根据勾股定理，即可在Rt △AEC 中求出AC 的长；(2)作DF 垂直平分BC ，则BF ＝12BC ，解Rt △BDF 求出DF ，再利用勾股定理求出BD ，进而求出AD ，则AD
BD 的值
即可求出．
【自主解答】 解：(1)过点A 作AE⊥BC 于点E. 在Rt △ABE 中，tan ∠ABC＝AE BE ＝3
4，AB ＝5.
∴AE＝3，BE ＝4，
∴CE＝BC －BE ＝5－4＝1.
在Rt △AEC 中，根据勾股定理，得AC ＝32
＋12
＝10.
(2)作DF 垂直平分BC ，垂足为F ，则BD ＝CD ，BF ＝CF ＝5
2.
∵tan ∠DBF＝DF BF ＝3
4
，
∴DF＝158
.
在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得BD ＝（52）2＋（158）2＝258
. ∴AD＝5－258＝15
8.
则AD BD ＝35
. 方法指导解直角三角形的问题时，通常都是根据图形将已知条件在图形中表示出来，再根据要求的边或角并结合已知条件，寻找与之对应的边角关系来解题．
重难点2 解直角三角形的实际应用
(2018·广安)据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速．如图，观测点C 到公路的距离CD ＝200 m ，检测路段的起点A 位于点C 的南偏东60°方向，终点B 位于点C 的南偏东45°方向上，一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A 处行驶到B 处的时间为10 s ，问此车是否超过了该路段16 m /s 的限制速度？(观测点C 离地面的距离忽略不计．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)
【思路点拨】 根据速度＝路程
时间，而时间已知，故要求速度，则需要求出A 到B 的距离．解Rt △CDA 和Rt △CDB
分别求出DA 和BD ，则AB 即可求出，进而可以求出AB 的速度，与16 m /s 比较大小即可得出结论．
【自主解答】 解：由题意，得∠DCA＝60°，∠DCB＝45°. 在Rt △CDB 中，tan ∠DCB＝DB DC ＝DB
200＝1.
解得DB ＝200.
在Rt △CDA 中，tan ∠DCA＝DA DC ＝DA
200＝3，
解得DA ＝200 3.
∴AB＝DA －DB ＝2003－200≈146(m )．
骑车速度v ＝AB t ＝146
10＝14.6(m /s )＜16(m /s )．
答：此车没有超过该路段16 m /s 的限制速度．
(2018·遂宁)如图，某测量小组为了测量山BC 的高度，在地面A 处测得山顶B 的仰角45°，然后沿着坡度i ＝1∶3的坡面AD 走了200米到达D 处，此时在D 处测得山顶B 的仰角为60°，求山高BC.(结果保留根号)
【思路点拨】 过点D 作DF⊥AC，则DF ＝EC ，∴BC＝BE ＋DF.解Rt △BDE 和Rt △DAF 分别求出BE ，DF 即可求解．
【自主解答】 解：过点D 作DF⊥AC，垂足为F. ∵坡面AD 的坡i ＝1∶3且AD ＝200， ∴tan ∠DAF＝DF AF ＝13＝3
3.
∴∠DAF＝30°.
∴DF＝12AD ＝1
2
×200＝100.
∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC ＝90°，∴四边形DECF 是矩形．
∴EC＝DF ＝100.
又∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°. ∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝90°－∠BDE＝90°－60°＝30°. ∴∠ABD＝∠ABC－∠DBE＝45°－30°＝15°， ∠BAD＝∠BAC－∠DAF＝45°－30°＝15°. ∴∠ABD＝∠BAD. ∴AD＝BD ＝200.
在Rt △BDE 中，sin ∠BDE＝BE
BD
.
∴BE＝BD·sin ∠BDE＝200×sin 60°＝200×3
2
＝100 3. ∴BC＝BE ＋EC ＝100＋100 3. ∴山高BC 为(100＋1003)米． 方法指导
1．对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：
(1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；
(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算．若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．
总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形．
2．解直角三角形的实际应用题常见图形类型及辅助线作法如图所示：
易错提示在利用锐角三角函数求解变形时，易把分子和分母的位置颠倒，从而产生错误．
