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第19讲 解直角三角形重难点1 解直角三角形(2018·眉山)如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则tan ∠AOD＝2．【思路点拨】 设以BC 为顶点的小正方形为EKBC ，连接BE ，BE 与CD 相交于点 F.由题意易得BF ＝CF ，△ACO∽△BKO .由相似三角形的对应边成比例，易得KO∶CO＝1∶3，即可得OF∶CF＝OF∶BF＝1∶2.在Rt △OBF 中，即可求得tan ∠BOF 的值，继而求得答案．方法指导在网格中求某个角的锐角三角函数值，如果这个角是以格点为顶点的直角三角形的一个内角，可利用锐角三角函数的定义直接求解；若不是，则可利用相等的角转化或通过添加辅助线的方法，使这个角成为直角三角形的内角，再利用勾股定理和相似算出直角三角形的边长或对应边的比值，最后根据锐角三角函数的定义求解．(2018·上海)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，tan ∠ABC＝34.(1)求边AC 的长；(2)设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求ADBD的值．【思路点拨】 (1)过点A 作AE⊥BC，解Rt △ABE 求出AE ，BE ，再根据勾股定理，即可在Rt △AEC 中求出AC 的长；(2)作DF 垂直平分BC ，则BF ＝12BC ，解Rt △BDF 求出DF ，再利用勾股定理求出BD ，进而求出AD ，则ADBD 的值即可求出．【自主解答】 解：(1)过点A 作AE⊥BC 于点E. 在Rt △ABE 中，tan ∠ABC＝AE BE ＝34，AB ＝5.∴AE＝3，BE ＝4，∴CE＝BC －BE ＝5－4＝1.在Rt △AEC 中，根据勾股定理，得AC ＝32＋12＝10.(2)作DF 垂直平分BC ，垂足为F ，则BD ＝CD ，BF ＝CF ＝52.∵tan ∠DBF＝DF BF ＝34，∴DF＝158.在Rt △BFD 中，根据勾股定理，得BD ＝（52）2＋（158）2＝258. ∴AD＝5－258＝158.则AD BD ＝35. 方法指导解直角三角形的问题时，通常都是根据图形将已知条件在图形中表示出来，再根据要求的边或角并结合已知条件，寻找与之对应的边角关系来解题．重难点2 解直角三角形的实际应用(2018·广安)据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速．如图，观测点C 到公路的距离CD ＝200 m ，检测路段的起点A 位于点C 的南偏东60°方向，终点B 位于点C 的南偏东45°方向上，一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A 处行驶到B 处的时间为10 s ，问此车是否超过了该路段16 m /s 的限制速度？(观测点C 离地面的距离忽略不计．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【思路点拨】 根据速度＝路程时间，而时间已知，故要求速度，则需要求出A 到B 的距离．解Rt △CDA 和Rt △CDB分别求出DA 和BD ，则AB 即可求出，进而可以求出AB 的速度，与16 m /s 比较大小即可得出结论．【自主解答】 解：由题意，得∠DCA＝60°，∠DCB＝45°. 在Rt △CDB 中，tan ∠DCB＝DB DC ＝DB200＝1.解得DB ＝200.在Rt △CDA 中，tan ∠DCA＝DA DC ＝DA200＝3，解得DA ＝200 3.∴AB＝DA －DB ＝2003－200≈146(m )．骑车速度v ＝AB t ＝14610＝14.6(m /s )＜16(m /s )．答：此车没有超过该路段16 m /s 的限制速度．(2018·遂宁)如图，某测量小组为了测量山BC 的高度，在地面A 处测得山顶B 的仰角45°，然后沿着坡度i ＝1∶3的坡面AD 走了200米到达D 处，此时在D 处测得山顶B 的仰角为60°，求山高BC.(结果保留根号)【思路点拨】 过点D 作DF⊥AC，则DF ＝EC ，∴BC＝BE ＋DF.解Rt △BDE 和Rt △DAF 分别求出BE ，DF 即可求解．【自主解答】 解：过点D 作DF⊥AC，垂足为F. ∵坡面AD 的坡i ＝1∶3且AD ＝200， ∴tan ∠DAF＝DF AF ＝13＝33.∴∠DAF＝30°.∴DF＝12AD ＝12×200＝100.∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC ＝90°，∴四边形DECF 是矩形．∴EC＝DF ＝100.又∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°. ∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°－∠BDE＝90°－60°＝30°. ∴∠ABD＝∠ABC－∠DBE＝45°－30°＝15°， ∠BAD＝∠BAC－∠DAF＝45°－30°＝15°. ∴∠ABD＝∠BAD. ∴AD＝BD ＝200.在Rt △BDE 中，sin ∠BDE＝BEBD.∴BE＝BD·sin ∠BDE＝200×sin 60°＝200×32＝100 3. ∴BC＝BE ＋EC ＝100＋100 3. ∴山高BC 为(100＋1003)米． 方法指导1．对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算．若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形．2．解直角三角形的实际应用题常见图形类型及辅助线作法如图所示：易错提示在利用锐角三角函数求解变形时，易把分子和分母的位置颠倒，从而产生错误．考点1 锐角三角函数的定义1．(2018·云南)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则∠A 的正切值为(A ) A ．3 B .13C .1010 D .310102．(2018·孝感)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sin A 等于(A )A .35B .45C .34D .433．(2018·滨州)在△ABC 中，∠C＝90°，若tan A ＝12，则sin B 5考点2 特殊角的三角函数值4．(2018·大庆)2cos 60°＝(A )A ．1B . 3C . 2D .125．(2018·烟台)计算：(π－3.14)0＋tan6．(2018·白银)计算：2sin 30°＋(－1)2 018－(12)－1＝0．考点3 解直角三角形7．(2018·贵阳)如图，A ，B ，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为(B )A .12B ．1C .33D . 38．(2018·湖州)如图，已知菱形ABCD 对角线AC ，BD 相交于点O.若tan ∠BAC＝13，AC ＝6，则BD 的长是2．9．(2018·自贡)如图，在△ABC 中，BC ＝12，tan A ＝34，∠B＝30°，求AC 和AB 的长．解：过点C 作CH⊥AB 于点H. 在Rt △BCH 中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH ＝12BC ＝6，BH ＝BC 2－CH 2＝6 3.在Rt △ACH 中，tan A ＝34＝CHAH .∴AH＝8.∴AB＝AH ＋BH ＝8＋63，AC ＝AH 2＋CH 2＝10.考点4 解直角三角形的实际应用10．(2018·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC ＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA 等于(C )A ．100sin 35°米B ．100sin 55°米C ．100tan 35°米D ．100tan 55°米11．(2018·咸宁)如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为45°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为110 m ，那么该建筑物的高度BC 约为300m .(结果保留整数，3≈1.73)12．(2018·襄阳)为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB 由西向东行驶．在A 处测得岸边一建筑物P 在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B 处时，测得建筑物P 在北偏西60°方向上，如图所示．求建筑物P 到赛道AB 的距离．(结果保留根号)解：过点P 作PC⊥AB 于点C ，由题意知∠PAC＝60°，∠PBC＝30°. 在Rt △PAC 中，PCAC ＝tan ∠PAC，∴AC＝33PC. 在Rt △PBC 中，PCBC ＝tan ∠PBC，∴BC＝3PC.∵AB＝AC ＋BC ＝33PC ＋3PC ＝10×40＝400.∴PC＝100 3. 答：建筑物P 到赛道AB 的距离为1003米．13．(2018·荆州)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D 是⊙P 上的一动点．当点D 到弦OB 的距离最大时，tan ∠BOD 的值是(B )A ．2B ．3C ．4D ．514．(2018·娄底)如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，则sin α－cos β＝(D )A .513B ．－513C .713D ．－71315．(2018·广西六市)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP ＝OF ，则cos ∠ADF 的值为(C )A .1113B .1315C .1517D .171916．(2018·齐齐哈尔)在四边形ABCD 中，BD 是对角线，∠ABC＝90°，tan ∠ABD＝34，AB ＝20，BC ＝10，AD ＝13，则线段CD17．(2018·荆门)数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭之间的距离．如图，无人机所在位置P 与岚光阁阁顶A 、湖心亭B 在同一铅垂面内，P 与B 的垂直距离为300米，A 与B 的垂直距离为150米，在P 处测得A ，B 两点的俯角分别为α，β，且tan α＝12，tan β＝2－1，试求岚光阁与湖心亭之间的距离AB.(计算结果若含有根号，请保留根号)解：过点P 作PD⊥QB 于点D ，过点A 作AE⊥PD 于点E.由题意得，∠PBD＝β，∠PAE＝α，AC ＝150，PD ＝300.在Rt △PBD 中，BD ＝PD tan ∠PBD ＝300tan β＝3002－1＝300(2＋1)．∵∠AED＝∠BDC＝∠ACD＝90°，∴四边形EDCA 为矩形． ∴DC＝EA ，ED ＝AC ＝150.∴PE＝PD －ED ＝300－150＝150. 在Rt △PEA 中，EA ＝PE tan ∠PAE ＝150tan α＝15012＝300.∴BC＝BD －CD ＝BD －EA ＝300(2＋1)－300＝300 2. 在Rt △ACB 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝1502＋（3002）2＝450. 答：岚光阁与湖心亭之间的距离AB 为450米．18．(2018·赤峰)阅读下列材料：如图1，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，可以得到：图1S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A.证明：过点A 作AD⊥BC，垂足为D. 在Rt △ABD 中，sin B ＝AD c ，∴AD＝c·sin B.∴S △ABC ＝12a·AD＝12ac sin B.同理：S △ABC ＝12ab sin C ，S △ABC ＝12bc sin A.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A.(1)通过上述证明： asin A ＝b sin B ＝c sin C； (2)运用(1)中的结论解决问题：如图2，在△ABC 中，∠B＝15°，∠C＝60°，AB ＝203，求AC 的长度；(3)如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A ，B ，C 三个测量点，在B 点测得A 在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18 km 到达C 点，测得A 在北偏西45°方向上．根据以上信息，求A ，B ，C 三点围成的三角形的面积．(本题参考数值：sin 15°≈0.3，sin 120°≈0.9，2≈1.4，结果保留整数)图2 图3解：(1)证明：由题意可知：12ab sin C ＝12ac sin B ，12ac sin B ＝12bc sin A. ∴bsin B ＝c sin C ，a sin A ＝bsin B . ∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C . (2)由(1)可知：ACsin B ＝AB sin C ，∴AC＝AB·sin B sin C ＝203·sin 15°sin 60°≈203×0.332＝12. (3)由(1)可知：AC sin ∠ABC ＝BC sin A ，∴AC＝BC·sin ∠ABC sin A ＝18·sin 15°sin 120°≈18×0.30.9＝6.∴S △ABC ＝12A C·BC·sin ∠ACB＝12×6×18×sin 45°＝54×22＝272≈38.故A ，B ，C 三点围成的三角积的面积约为38.。
