浅谈导数在经济分析中的应用
导数在经济分析中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：
1. 边际效应分析：导数可以衡量一个经济变量对另一个经济变量的边际影响。对于一个生产函数来说，生产量对于投入变量的边际影响可以通过对生产函数求导得到。这种边际效应分析可以帮助经济学家和决策者理解不同变量之间的相互关系，并制定相应的政策。
2. 最优化问题：很多经济问题可以通过最优化理论求解，而求解最优化问题往往需要使用导数。生产者在确定生产量时通常会面临成本最小化问题，这个问题可以通过对成本函数求导得到最小化成本对应的生产量。消费者在确定消费组合时也会面临效用最大化问题，同样可以通过对效用函数求导得到最大化效用对应的消费组合。
3. 弹性分析：弹性是衡量变量之间相互影响的一种度量，而导数可以用来计算弹性。常见的有价格弹性、收入弹性等。价格弹性可以告诉我们当价格发生变化时，需求量或供应量的相应变化幅度。收入弹性可以告诉我们消费者的购买力提高或降低时，对于不同商品需求的变化情况。通过弹性分析，我们可以更好地理解市场的运行规律，为政策调控提供有力的依据。
4. 经济模型的建立和分析：经济模型是经济学中用来描述经济系统的一种工具，而模型的建立和分析往往需要使用导数。在宏观经济学中，凯恩斯经济学模型通过对消费函数的导数进行分析，揭示了收入对消费的影响；在微观经济学中，供求模型通过对供给曲线和需求曲线的导数进行分析，揭示了价格和数量之间的关系。
导数在经济分析中具有重要的应用价值。通过对经济变量之间的边际效应、最优化问题、弹性分析以及经济模型的建立和分析等进行导数的运用，我们可以更好地理解经济现象，分析经济问题，制定经济政策。导数也为经济学提供了强大的工具和方法，使得经济学成为一门严谨而科学的学科。
○高○考中常用函数模型．．．．归纳及应用
山东莘县观城中学 郭银生 岳红霞
高中数学中，函数是重点内容，函数思想贯穿于数学的每一个领域，函数图象是数形结合的常用工具。复杂的函数问题也是有简单的基本初等函数组合而成，熟练掌握常见的函数模型对解决函数综合问题大有裨益。高考试题中，函数问题是“大块头”，各套试题所占比重在30%以上。现归纳常用的函数模型及其常见应用如下：
一． 常数函数y=a
判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a≠0时只是偶函数。关于方程解的个数问题时常用。
例1．已知x∈(0, ],关于方程2sin(x+3)=a有两个不同的实数解，则实数a的取植范围是（ ）
A．[-2，2] B.[3,2] C.( 3,2] D.( 3,2)
解析；令y=2sin(x+3), y=a
画出函数y=2sin(x+3)，y=a图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点，由图象知( 3,2)，选D
二． 一次函数y=kx+b (k≠0)
函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归为一次函数问题。有定义域限制时，要考虑区间的端点值。
例2．不等式2x2+1≤m(x-1)对一切│m│≤2恒成立，则x的范围是（ ）
A．-2≤x≤2 B.431 ≤x≤0 C.0≤x≤471 D. 471≤x≤413
解析：不等式可化为m(x-1)- 2x2+1≥0 设f(m)= m(x-1)- 2x2+1
若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x≠1
则f(m)是关于m的一次函数，要使不等式在│m│≤2条件下恒成立，只需0)2(0)2(ff，解之可得答案D
三． 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)
二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。
２４０ 例谈导数在经济活动中的应用 口邢建平 （湖南广播电视大学，湖南长沙４１０００４） 函数的导数就是函数的瞬时变化率， 即函数相对于自变量变化而变化的快慢 程度。导数在经济活动中有着重要的应 用，它可以为我们的经营决策提供依据， 使我们做出恰当的定量分析。 １．导数与边际分析 边际概念是导数的经济解释，在经济 分析中，通常用“边际”这个概念来描述一 个变量Ｙ相对于另一个变量Ｘ的变化情 况，“边际”表示在ｘ的某一个值的“边缘 上’，ｙ的变化情况，也就是Ｙ的瞬时变化 率，即变量Ｙ对变量Ｘ的导数。在经济活 动中，我们经常要知道成本、利润等经济 变量随产量或销量的变化而变化的快慢 程度，涉及到的有边际成本、边际利润、边 际收入、边际需求等，它们在数学上可以 表达为各自总函数ｆｉｘ）的导数ｆ’（ｘ１，在ｘ０ 点的值ｆ’（ｘ０）称为在点ｘ０处的边际值。 例１设某产品的需求函数为Ｐ＝ ．２ （１００．Ｑ），求边际收入函数，以及Ｑ＿２０， ５Ｏ，７Ｏ时的边际收入。 解收入函数为 ＰＱ＝０．２（１００－Ｃ９Ｑ． 边际收入函数为Ｒ’（Ｑ）＝ｏ．２（１０Ｏ－２Ｑ）， 则 Ｒ’（２０）＝１２，Ｒ’（５０）＝Ｏ，Ｒ’（７Ｏ）＝－８． 上述计算结果表明：销售第２Ｏ个单 位产品时，总收入约增加ｌ２个单位：销售 第５Ｏ个单位产品时，总收入没有变化；而 销售第７０个单位产品时，反而使总收入 大约减少８个单位。通过这个例子，我们 可以看出：当企业决策时，如果利用导数 进行边际分析，可以减少一些盲目性，从 而减少损失，有效提高经济效益，不仅有 利于企业本身，也有利于市场经济。 ２．导数与弹性分析 在经济分析中，弹性用来描述一个经 济变量Ｙ相对于另一个经济变量ｘ变化 时所作出反映的敏感程度，弹性概念在经 济分析中应用非常广泛。弹性作为一种数 量分析方法，它与导数紧密相关。对于一 ④管理观察・２０１０年８月上旬刊 元函数ｙ＝ｆ（ｘ），其导数意义：ｆ（ｘ）＝ ｌｉｍ ；弹性意义：ｅ＝ １ｉｍ 从中我们 Ｘ 厶 Ｘ 不难发现，导数反映的是Ｘ，Ｙ的值各变化 了多少，即绝对量（ ｘ，／１Ｙ）的变化，弹性 反映的是Ｘ，Ｙ各自变化的增减率，即相对 量（／１ｙ／ｙ．／１ｘ／ｘ）的变化。可见，弹性是就 两个变量而言的，它是研究两个变量之间 相互联系和相互影响的，比较客观地反映 了一个经济量Ｘ改变所引起的另一个经 济量Ｙ反映的敏感程度。它是一个与被衡 量对象计量单位无关的数。如需求价格弹 性Ｅ的经济意义是：在商品的价格为Ｐ 时，如果价格提高或降低１％，需求量将由 Ｑ起减少或增加（近似地）ｆＥｉ％，所以需求 价格弹性反映了当价格变动时需求量变 动对价格变动的灵敏程度。经济领域中的 任何函数都可以类似地定义弹性。 例２某商品的价格Ｐ是１０元时，需 求量Ｏ是１００件；当价格Ｐ为ｌ２元时，需 求量Ｑ是９５件。这里，价格变化（提高）的 百分数是 卫－： 里：２０％，而需求量变 Ｐ ｌＵ 化（减少）的百分数是 ＝旦 ＿．５％， 从而需求价格弹性Ｅ： 一０．２５ Ｌ＿ｘｐ／ｐ 上述结果表明：商品由原来价格ｌＯ 元提高了２Ｏ％，需求由原需求量１００件降 低了５％．若用需求价格弹性表示，则是价 格在ｌＯ元时提高了１％，需求则由原１００ 件降低了０．２５％． 通常，当ｌ Ｅｌ＜ｌ时，称需求对价格是低 弹性的，生活必需品多属于这种情况。因 为此时需求下降的幅度小于价格提高的 幅度，因而提高价格可使总收益增加。上 例中需求就是低弹性的；当ＩＥＩ＞Ｉ时，称需 求对价格是富有弹性的，奢侈品多属于这 种情况，因为此时需求下降的幅度大于价格 提高的幅度，那么提高价格，总收益反而会 少；当ＩＥｌ＝ｌ时，称需求对价格是单位弹性 的，这表明总收益不因价格的变动而变动。 在市场经济的今天，弹性分析对于我 们进行市场分析，确定或调整商品的价格 起着重要的参考作用。 ３．导数与最优化问题 经济活动中，我们经常需要寻求合适 的策略以使资源得到合理利用、成本开支 有效节省，从而获取最大经济效益。这些 问题都可以归结为得用导数求函数的最大 （小）值问题。而实际经济函数模型中，满足ｆ ’（ ＝０的点往往只有一个，而且这个点也恰 好是经济活动中需要寻找的最大（小）值 点。所以，在经济活动中，我们解决最优化 问题，只要求出相应函数的导数，再令其 导数为零即可得出最优化方案。 存贮的问题也是名个系统都少不了 要处理的一个重要问题，怎样决策存贮的 批量，以使存货总费用最小化呢？ 现以最简单的库存模型为例：成批到 货，一致需求，不许缺货。 所谓成批到货，是指工厂生产的每批 产品先整批存入仓库；一致需求，是指市 场对这种产品的需求在单位时间内数量 相同，因而产品由仓库均匀提取投放市 场：不许缺货，是指当前一批产品由仓库 提取完后，下一批产品立即进入仓库，并 规定仓库的平均存量为每批产量的一半。 现假设在一个计划期内：①工厂生产总量 为Ｄ，分批投产的批量为Ｏ，每批生产准 备费用为Ｃ。，则生产准备费为Ｃ。・Ｄ／Ｑ：② 每件产品的库存费为Ｃ 且按批量的一半 （Ｑ／２）收取，则库存费为ｃ２＂Ｑ／２；③存货总 费用是生产准备费与库存费之和，记作Ｅ． 于是有Ｅ＝Ｅ（Ｑ）＝Ｃ。・Ｄ／Ｑ＋Ｃ２・Ｑ／２，此时令 Ｅ’（Ｑ）＝ｏ，有Ｃ２Ｑ ２ＤＣ ．将该式变形可得 Ｃ Ｄ／Ｑ＝Ｃ Ｑ／２，即：使库存费与生产准备费 相等的批量Ｏ是经济批量。 若把这个问题中生产总量改为需求 总量，把分批投产改为分批订购，该问题就 是：在一个计划期内，如何决策每次订购数 量，使订购费用与库存费用之和最小。 由此可见，对企业经营者来说，对其 经济活动进行定量分析是非常必要的。将 导数作为经济分析工具，不但可以给企业 经营者提供精确的数据，而且在分析的过 程中，还可以给企业经营者提供新的思 路，从而为科学的经营决策提供可靠依 据。这正是导数应用价值的具体体现。◆ 参考文献： １．刘月芬．微积分在经济分析中的应用浅析 【Ｊ】．商场现代化．２００８．０２．
1.3导数的应用
教材分析：
本章内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用.
本章先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题.
本章共分三节，第三节是“导数的应用”，内容包括利用导数判断函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数的实际应用.
在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.
教学目标：
1、能熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值.
2、掌握利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.
教学重点：
理解并掌握利用导数判断函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.
教学难点：
解决实际生活中的最优化问题的关键是建立函数模型.
学 法：
本节课是在学习了导数的概念、运算的基础上来学习的导数的应用，学生已经了解了数学建摸的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。
教法
数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。
