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函数模型的应用实例

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第30、31、32课时：
备课人：鞠清永
P例3、例4）
教学内容：§3.2.2函数模型的实际应用（
102
教学目的：①通过实例“汽车的行驶规律”理解一次函数、分段函数的应用，提高学生的阅读能力；
②在实际问题中，发展学生数学地提出、解决问题的能力，体
会数学与物理、人类社会的关系。

教学重点：分段函数、指数型函数的应用；
教学难点：函数模型的建立；
P例3
教学流程：①组织学生学习
102
②归纳解应用题的一般方法
③小结、课外作业
教学过程：
一、组织学生学习例3
例3. 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图3.2-7所示。

（1）求图3.2-7中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图像。

①阅读题目（注重阅读能力训练）
②分析解答本例
③反思
二、课堂小结与课外作业
小结：① 解答应用题的难点在建模，而建模的关键是审题；
② 解答应用题的答语是解题目的之一。

课外作业：教科书104P 课后练习 第 1、2 题
第31课
教学内容：§3.2.2函数模型的实际应用（102P 例4）
教学目的：① 通过马尔萨斯的人口增长模型使学生学会指数型函数的应
用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；
② 在实际问题中，发展学生数学地提出、解决问题的能力，体
会数学与物理、人类社会的关系。

教学重点：指数型函数的应用；
教学难点：函数模型的建立；
教学流程：① 组织学生学习102P 例4
② 归纳解应用题的一般方法
③ 小结、课外作业
教学过程：
一、组织学生学习例4
例4. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。

早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：0rt y y e =
其中t 表示经过时间，0y 表示0t =时的人口，r 表示人口的年平均增长率
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率
（精确到0.0001）用马尔萨斯人口增长模型建立我国这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表3-8的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？
三、课堂小结与课外作业
小结：①解答应用题的难点在建模，而建模的关键是审题；
②解答应用题的答语是解题目的之一。

P习题3.2 第2、3、4 题
课外作业：教科书
107
第32课
P例5、例6）
教学内容：§3.2.2函数模型的实际应用（
104
教学目的：①使学生学会建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测；
②通过例、习题等具体实例，让学生了解函数模型的广泛应用；
③利用函数模型解决问题前，进行拟合检验，培养学生的理性
精神和负责态度。

教学重点：由实际问题建立函数模型，并用所得函数模型解决问题；
教学难点：函数模型的建立；
P例5
教学流程：①组织学生学习
104
②组织学生学习
P例6
105
③总结建模思路与方法
④小结、课外作业
教学过程：
一、复习解应用题的步骤
二、组织学生学习例5
例5. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，桶装水的进价为5元.销售单价与日均销售量的关系如表3-9所示.
表3-9
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
①阅读题目（注重阅读能力训练）
②分析解答本例
③反思
例6. 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表3-10：
表3-10
（1）根据表3-10提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么，这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？
三、课堂小结与课外作业
小结：①解答应用题的难点在建模，而建模的关键是审题；
②解答应用题的答语是解题目的之一。

P课后练习第1题
课外作业：教科书
106
教科书
P习题3.2 A组第5、6题
107。

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函数模型的应用实例 课件

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所以 y＝－0.15(x－4)2＋2. B 种商品所获纯利润 y 与投资额 x 之间的变化规律是线 性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示． 设 y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入， 得01.＝254＝k＋k＋b，b， 解得kb＝＝00..25， 所以 y＝0.25x.
即前六个月所获纯利润 y 关于月投资 A 种商品的金额 x 的函数关系式是 y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润 y 关于月投资 B 种商品的金额 x 的函数关系式是 y＝0.25x.
根据函数自身的种类，常见函数模型可分为：
(1)直线模型：即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动的时 间和位移的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等，直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k>1)， 通过画图可以很直观地认识它．
(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型叫做指数函数模型．指数函数增长的特点是随着 自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a>1)，常形象地称之为“指数爆炸”．通过细胞 分裂增长实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“爆炸”的威力．
2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤 ( 1 ) _收_ _集_ _数_ _据_ ； ( 2 ) _ _描_ _点_ _ ； ( 3 ) _ _ _选_ _择_ _函_ 数_ _模_ _型_ ； ( 4 ) _求_ _函_ _数_ _模_ 型_ _ ； ( 5 ) _ _检_ 验_ _ ； ( 6 ) _用_ _函_ _数_ _模_ _型_ _解_ _决_实_ _际_ _问_ _题_ ．
1．利用我们所得到的函数模型有什么用途？
【答案】利用所得函数模型可解释有关现象，对某些发展趋 势进行预测．
函数模型的应用实例 课件

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【答案】 B
【分析】 可用待定系数法求出a，b，c的值，确定函数 后，再研究x＝4时，哪个函数值更接近1.37.
【解】 当f(x(a≠0)，
则 ff12＝ ＝11， .2， f3＝1.3，
即 a4＋ a＋b＋ 2bc＋＝c1＝，1.2， 9a＋3b＋c＝1.3，
规律技巧 (1)认真阅读，理解应用问题的实际背景，将 实际问题转化为纯数学问题．
(2)在解决数学问题时，要注意自变量取值应有实际意 义．
二 自建函数模型的应用题
【例2】 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规 律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检 测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表，已知该种病 毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但 注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%.
【正解】 不妨设去年1月份的产值为b， 则2月份的产值为b(1＋a)， 3月份的产值为b(1＋a)(1＋a)＝b(1＋a)2，以此类推，到今 年1月份是去年1月份的第12个月． 故今年1月份的产值是b(1＋a)12.
由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一 年相应月的增长率为b1＋ab12－b＝(1＋a)12－1.
函数模型的应用实例
常用的函数模型 1．直线型：y＝kx＋b(k≠0)； 2．抛物线型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 3．指数函数型：y＝a·bx＋c(a≠0)； 4．对数函数型：y＝mlogax＋n(m≠0，a>0，且 a≠1)； 5．幂函数型：y＝a·xn(a≠0)；
6．分段函数型：y＝fx gx
天数t 1 2 3 4 5 6 7 … 病毒细胞
1 2 4 8 16 32 64 … 总数y (1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在 何时注射该种药物？(精确到天) (2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠 的生命？(精确到天)(已知：lg2＝0.3010)
函数模型的应用实例 课件

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解：由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽 象为 A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这 4 个 数据．
(1)设模拟函数为 y＝ax＋b 时，将 B，C 两点的坐标 代入函数式，得32aa＋ ＋bb＝ ＝11..32， ，解得ab＝＝01..1，
所以有关系式 y＝0.1x＋1. 由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下， 产量会每月上升 1 000 双，这是不太可能的．
过筛选，以指数函数模型为最佳，一是误差小，二是由于 厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间 内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设 备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模拟恰好反映了这 种趋势．因此选用指数函数 y＝－0.8×0.5x＋1.4 比较接近 客观实际．
类型 3 建立拟合函数解决实际问题(规范解答) [典例 3] (本小题满分 12 分)某个体经营者把开始六 个月试销 A、B 两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列 成下表：
(3)设模拟函数为 y＝abx＋c 时，
将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，
得aabb2＋＋cc＝＝11，.2，
① ②
ab3＋c＝1.3. ③
由①，得 ab＝1－c，代入②③，
得bb2（（11－－cc））＋＋cc＝＝11.2.3，.
则cc＝＝1111..32－ －－－bbbb22，，解得bc＝＝10..45.， 则 a＝1－b c＝－0.8. 所以有关系式 y＝－0.8×0.5x＋1.4. 结论为：当把 x＝4 代入得 y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最 小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经
设 y＝kx＋b，取点(1，0.30)和(4，1.20)代入， 得01..32＝ ＝k4＋ k＋b， b，解得kb＝＝00..3，所以 y＝0.3x.(8 分) 设第 7 个月投入 A，B 两种商品的资金分别为 x 万元、 (12－x)万元，总利润为 W 万元， 那么 W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)． 所以 W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.(10 分) 当 x＝3 时，W 取最大值，约为 4.55 万元，此时 B 商品的投资为 9 万元．(11 分)
函数模型的应用实例 课件

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24x－9.6 x>34.
(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 所以当 x∈0，45时，y≤f45<26.40； 当 x∈45，43时，y≤f43<26.40； 当 x∈43，＋∞时，令 24x－9.6＝26.40， 得 x＝1.5.∴甲用户用水量为 5x＝7.5(吨)， 付费 y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)． 乙用户用水量为 3x＝4.5(吨)， 付费 y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
(3)设该班每年购买纯净水的费用为 P 元，则 P＝xy＝x(－40x＋720)＝－40(x－9)2＋3 240， ∴当 x＝9 时，Pmax＝3 240. 要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买 饮料的年总费用少， 则 51a≥Pmax＋228，解得 a≥68，故 a 至少为 68 元时全班 饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年 总费用少．
图 3－2－7
(1)求 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 a＝120 时，若该班每年需要纯净水 380 桶，请你根据 提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与 该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理 由； (3)当 a 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年 总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？ 【思路探究】 用待定系数法求(1)→分别计算全体学生饮 用纯净水的年总费用与购买饮料的总费用并比较大小→建立函 数模型→利用函数最值求解．
1．建立分段函数模型的关键是确定分段的各个边界点，即 明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出 函数的解析式．
2．本题在求解过程中，个别同学常因不理解“超过部分” 而导致运算出错．