几何体的展开与折叠知识点总结

几何形体的展开与折叠几何形体是研究空间中图形、结构和性质的分支学科，它的应用广泛而深远。

在几何学中，形体的展开与折叠是一种重要的操作方式，有助于我们更好地理解几何形体的特性和结构。

本文将介绍几何形体的展开与折叠，并探讨其在实际应用中的意义。

一、展开与折叠的概念与方法在几何学中，展开与折叠是指将一个几何形体通过切割、折叠等操作，使其在平面上展开或折叠成一组组平面图形。

展开后的平面图形能够清晰地显示出形体的各个面以及它们之间的关系，提供了形体结构的更直观认识。

而折叠则是将展开后的平面图形重新还原为原来的几何形体，从而改变了形体的形态。

展开与折叠几何形体的方法有很多，最常见的是通过切割或折叠一些特定的结构线或折痕来完成。

例如，对于一个正方体，我们可以通过切割连接着相邻顶点的边，然后将其展开为一个由6个正方形构成的平面图形。

而折叠则是在平面图形上按照预定的折叠线将其重新还原为正方体。

二、展开与折叠的应用1. 制作纸模型展开与折叠在制作纸模型中起到了至关重要的作用。

通过将三维模型展开为平面图形，可以有效地设计模型的结构和零件，并将其转化为纸张上的图纸。

通过对展开图纸的折叠操作，我们可以将纸张折叠成一个完整的三维模型，如飞机、建筑物等，这为制作精美的手工艺品提供了便利。

2. 计算表面积和体积展开与折叠还可以帮助我们计算几何形体的表面积和体积。

通过将形体展开为平面图形，可以准确地测量图形的边长、面积等尺寸参数，进而计算出整个形体的表面积。

而通过将形体折叠为一组平面图形，可以将形体的体积划分为若干简单的几何体积，然后分别计算它们的体积，最后累加得到整个形体的体积。

3. 裁剪和折叠设计展开与折叠对于裁剪和折叠设计也起到了重要的作用。

在纺织、皮革、纸张等行业中，通过将产品的展开图纸与实际材料匹配，可以精确地进行裁剪，减少材料的浪费；而通过合理的折叠方式，可以将产品折叠成最小的体积，方便收纳和运输。

4. 动画设计展开与折叠还常被应用于动画设计中。

几何体的展开与折叠（讲义）一、知识点睛1.研究几何体特征的思考顺序：______________________________________________________________________________________________________2.正方体展开与折叠：_________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________3.利用三视图求几何体的表面积：___________________________________________________二、精讲精练1.下图是某些几何体的表面展开图，请说出这些几何体的名称：①②③④⑤⑥①____________；②____________；③____________；④____________；⑤____________；⑥____________．2.下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是（）A．B．C．D．3.如图是一个三棱柱，下列图形中，能通过折叠围成这个三棱柱的是（）A．B．C．D．4.下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（）A．B．C．D．5.如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，这个平面图形是（）MMMMA．B．C．D．6.如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有图形“○”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，这个平面图形是（）A．B．C．D．7.下面各图都是正方体的表面展开图，若将它们折成正方体，则其中两个正方体各面图案完全一样，它们是（）++※×※×××※※++++++①②③④A．①与③B．②与③C．①与④D．③与④8.如图是一个正方体纸盒的表面展开图，下图能由它折叠而成的是（）A．B．C．D．9.如图是正方体的一个表面展开图，若将它折叠成原来的正方体，则与边b重合的是边______，与边a重合的是边______，与边e重合的是边________．nmlkjihgfed cbaNMGFEDCBA第9题图第10题图10.一个正方体盒子的表面展开图如图所示，如果把它折叠成一个正方体，那么与点A重合的点是_______________．11.图1是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面．请在图2中的表面展开图中画出四边形APQC的四条边．图2图1PEHBAD CQFG A B F EHGCD12.如图是一个截去了一个角的正方体纸盒，截面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（）ABCA．B．C．D．13.如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体是（）A．B．C．D．14.如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体是（）A．B．C．D．15.如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体是（）A．B．C．D．16.将图1围成图2的正方体，则图1中的“★”标志所在的正方形是正方体中的（）A．面CDHEB．面BCEFC．面ABFGD．面ADHG图2图1A BCDEFGH★17.如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体是（）A．B．C．D．18.如图1，将圆柱沿AB剪开，展开后如图2所示，请在图2中找出对应的点B和点C．AB图1图219.已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆周上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，则所得侧面展开图是（）OPPOPOPOM'MM'MM'MM'MA．B．C．D．20.将如图所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是（）A(B)A(B)A(B)A(B)A．B．C．D．M21.将棱长为a的10个正方体摆放成如图所示的几何体，则该几何体的表面积是________平方单位．22.5个棱长为1的正方体组成如图所示的几何体．（1）画出该几何体的三视图；（2）该几何体的体积是______立方单位，表面积是________平方单位．三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ________________________【参考答案】一、知识点睛1.面（底面、侧面）→线（棱）→点2.①一个面与四个面相邻，与一个面相对；②一条棱与两个面相连，一条棱被剪开成为两条边；③一个顶点连着三条棱，一个点属于三个面．3.①从三个方向看；②注意凹陷部分．二、精讲精练1.①圆柱；②圆锥；③四棱柱；④三棱柱；⑤四棱锥；⑥三棱锥2. B3. B4. B5. A6. B7. D 8. B 9. c，d，l10. 点E，点C11.略12. B 13. D 14. B 15. D16.A 17. C 18. 略19 . D 20. B21.362a22.（1）略；（2）5，22几何体的展开与折叠（随堂测试）1. 如图是正方体的一个表面展开图，若将它折叠成原来的正方体，则与边c 重合的是边______，与边l 重合的是边______，与边a 重合的是边________．edc b a n ml kj i hg f2. 一个正方体的表面展开图如图所示，用它围成的正方体是（ ）A ．B ．C ．D ．3. 小明用如图所示的硬纸片折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（ ）A ．B ．C ．D ． 4. 7个棱长为1的正方体组成如图所示的几何体． （1）画出该几何体的三视图．（2）该几何体的体积是________立方单位，表面积是 _______平方单位．【参考答案】1. b ，g ，f2. A3. B4. （1）略 （2）7，28几何体的展开与折叠（作业）23.如图是一个正方体纸盒的表面展开图，下图能由它折叠而成的是（）A．B．C．D．24. 如图是一个正方体纸盒，那么这个正方体的表面展开图可能是（）A．B．C．D．25. 如图是一个表面带有图案的正方体，下面哪一个图形是它的表面展开图（）A．B．C．D．26.下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示正方体的是（）A．B．C．D．27. 如图是一个正方体纸盒的表面展开图，当折叠成纸盒时，标号为1的点与标号为_________的点重合，标号为10的点与标号为_______的点重合．123456789101128. 若在正方体表面上画如图所示的线段，请你在表面展开图上标出对应的其他两条线段．A BCDDCB A D'C'B'A'29. 将棱长为1cm 的小正方体组成如图所示的几何体，该几何体共由10个小正方体组成．（1）画出这个几何体的三视图； （2）求该几何体的表面积．30. 在平整的地面上，由10个完全相同的棱长为1cm 的小正方体堆成一个几何体，如图所示．（1）请画出这个几何体的三视图； （2）求该几何体的表面积．【参考答案】5.B6. B7. C8.B9.2，6；810.略11.（1）略，（2）36cm212.（1）略，（2）38 cm2。

教学知识点立体形的展开和折叠在数学教学中，立体形的展开和折叠是一个重要的概念。

通过展开和折叠，我们可以更好地理解和操作各种立体形。

本文将介绍立体形的展开和折叠的基本概念、方法和应用。

一、立体形的展开立体形的展开是指将一个立体形体上的各个面展开成一个平面上的图形。

展开后的图形称为展开图。

通过展开，我们可以更好地观察和理解立体形的各个面和边。

以长方体为例，我们可以将长方体展开成由6个矩形面组成的平面图形。

展开后的图形中，每个顶点对应一个角，每个边对应一条线段。

展开后的图形能够清晰地展示出相邻面、共边顶点等信息，便于进行计算和分析。

二、立体形的折叠立体形的折叠是指将展开图重新折叠成原立体形的过程。

通过折叠，我们可以将展开图还原成原本的立体形状，并可以进行实际的操作和制作。

折叠的基本原则是通过将展开图上的各个面按照对应的边进行折叠，使得各个面相互重合，还原成立体形状。

在折叠的过程中，要注意保持角的大小和边的对齐，以保证折叠后的立体形与原始立体形相同。

折叠有助于锻炼学生的空间想象力和手工操作能力。

通过折叠，学生可以更深入地理解立体形的形状和结构，并从中发现一些规律和性质。

三、立体形展开和折叠的应用立体形的展开和折叠在实际生活中有广泛的应用。

以下是一些例子：1. 制作模型：通过将展开图打印出来、剪下并折叠，我们可以制作各种立体模型，如建筑物、动物等。

这有助于培养学生的动手能力和创造力。

2. 产品包装设计：在设计产品的包装盒时，我们常常需要将一个立体形折叠为一个面积较小的展开图，以方便储存、运输和销售。

同时，展开和折叠的技巧也会影响到包装盒的结构和美观度。

3. 制作立体图案：在纸艺、贺卡制作等手工活动中，我们经常需要进行立体图案的制作。

通过展开和折叠，我们可以将平面图案转化为立体结构，给作品增添立体感。

4. 空间几何推理：在数学的几何推理中，我们常常需要通过观察和分析立体形的展开图来解决问题。

通过合理地利用展开图的信息，我们可以推断出立体形的各个面和边的性质，从而得到解题的线索。

初二数学上册立体几何体的展开与折叠立体几何体是我们在初二数学课程中经常会遇到的内容。

它们是由面、边和顶点组成的，如正方体、长方体、圆柱体等等。

本文将重点讨论立体几何体的展开与折叠，以帮助读者更好地理解这一概念。

1. 展开与折叠的概念在初步接触立体几何体之前，我们通常只关注二维图形，如正方形、长方形等。

这些二维图形可以简单地用纸张剪下来，保持平整。

而立体几何体则是由若干个二维图形组成的，它们是立体的，无法保持平整。

因此，为了更好地研究立体几何体，我们需要将其展开与折叠。

展开指的是将一个立体几何体的各个面分别剪开，并将它们平放在同一个平面上。

这样做的目的是为了更好地观察和研究这个立体几何体，以便更好地理解它的特性。

通过展开，我们可以看清各个面的形状和位置，便于进一步的计算和分析。

折叠则是与展开相反的过程，即将展开的各个面按一定的顺序和方向折叠，重新组合成原来的立体几何体。

这种方法可以帮助我们从平面上的图像恢复出原来的立体几何体，更加形象地理解它的结构和特性。

2. 展开与折叠的实际应用展开与折叠不仅是数学理论的一部分，还具有实际应用价值。

比如，展开与折叠在包装设计、模型制作、建筑设计等领域中有着广泛的应用。

在包装设计中，产品在运输和售卖过程中需要进行包装，而包装形式往往需要根据产品的形状进行设计。

展开与折叠的方法可以帮助包装设计师更好地计算出合适的包装形状和尺寸，以实现最佳的包装效果。

在模型制作领域，展开与折叠可以帮助制作模型时更好地掌握每个零件的形状和位置。

通过合理的展开与折叠，制作人员可以更加准确地制作出所需的模型，并且减少误差。

在建筑设计中，立体几何体的展开与折叠有助于建筑师更好地理解和计算建筑结构。

通过将复杂的建筑结构展开，并在平面上进行计算和研究，可以帮助建筑师更好地规划建筑的布局和结构，提高建筑的质量和安全性。

3. 具体案例分析让我们以正方体为例，来具体分析展开与折叠的过程。

正方体有六个面，每个面都是一个正方形。

三维几何的展开与折叠三维几何是几何学中的重要分支，它研究的是空间中的图形和物体。

在三维几何中，展开与折叠是一种常见的操作，它能够将三维图形在二维平面上呈现出来，方便我们进行计算和分析。

本文将介绍三维几何的展开与折叠的原理和应用。

一、展开的原理展开是将三维图形在二维平面上展开的过程，通常采用无缝展开的方式，即展开后的图形各个部分之间没有重叠和间隙。

展开的原理基于如下几个步骤：1. 选择展开的视角：根据需要展开的图形，选择一个合适的视角，使得展开后的图形能够在二维平面上呈现出完整的形状。

2. 切割和拆解：将三维图形按照一定的规则进行切割和拆解，使得各个部分能够通过平移和旋转的方式展开到同一平面上。

3. 展开：将切割和拆解后的各个部分按照顺序展开到二维平面上，并通过标记或线段连接各个部分之间的对应关系，保持图形的完整性。

二、展开的应用展开在三维几何中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 制作纸模型：展开可以用于制作纸模型，使得原本复杂的三维图形可以通过一系列的展开和折叠操作变成平面上的几何图形，更易于制作和拼装。

2. 计算表面积和体积：通过展开，可以将三维图形转化为二维平面上的几何图形，从而方便计算其表面积和体积。

例如，展开一个立方体后，可以得到一个由六个正方形构成的平面图形，通过计算这些正方形的面积，就可以得到立方体的表面积。

3. 制作结构图和图样：展开图形后，可以作为制作结构图和图样的基础，有助于我们理解和分析复杂的结构和装配关系。

4. 工程设计：展开可以在工程设计中起到重要的作用，比如在制作底板、切割模板等方面都需要用到展开的技巧。

三、折叠的原理折叠是展开的逆过程，它将展开后的二维图形通过折叠还原成原始的三维图形。

折叠的原理也基于以下几个步骤：1. 选择折叠的方式：根据展开后的图形和需求，选择合适的折叠方式，包括平行折叠和垂直折叠等。

2. 确定折叠的边界和关系：通过观察展开后的图形，确定折叠的边界和各个部分之间的关系，如重合、相邻或相交等。

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如何把几何体的展开图折叠成几何体?
难易度:★★★★
关键词：立体图形的表面展开图
答案:
展开图折叠成几何体：通过结合立体图形与平面图形的相互转化,去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发,然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形.
【举一反三】。

空间几何体的“折”与“展”在研究空间几何体问题时，经常要进行一些图形变换，折叠（旋转）和展开就是两种常见的图形变换形式．一、折叠（旋转）把平面图形按照一定的规则要求进行折叠或旋转，得到空间几何体，进而研究其性质，是一种常见的题型．解这类问题的关键是要分清折叠（旋转）前后的位置关系与数量关系的变与不变．例1将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD a=，则三棱锥D ABC-的体积为．解析：先作图如下：对照平面图形和立体图形反复观察，不难发现，折叠前的线段DO和BO，它们在折叠后的长度未变，仍为22a．由勾股定理不难算出90DOB∠=o．折叠前与AC垂直的线段BD虽被折成两段，但与AC的垂直关系并没有改变，即DO AC⊥．因此易知DO即为三棱锥的高，从而易求出三棱锥的体积2312232212aV a a==··．图2例2 面积为3的等边三角形绕其一边中线旋转所得圆锥的侧面积是 ． 解析：设等边三角形的边长为1，则旋转所得的圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为2l ，如图3，图4．3S =Q 正三角形，2334l ∴=，即2l =． ∴圆锥侧面积为21π2π2S l ==侧． 二、展开将空间图形转化为平面图形，是解决立体几何问题最基本和最常用的方法．而将空间图形展开后，弄清几何体中的有关点、线在展形图中的相应位置关系是解题的关键．例3 长方体1111ABCD A B C D -中，1435AB BC BB ===，，，从点A 出发沿表面运动到1C 点的最短路线长是 ．Ａ．90 Ｂ．80 Ｃ．74 Ｄ．50解析：从A 沿长方体的表面到1C 是一条折线，如果将折线变为直线，最短路线就容易求出．思路就是沿长方体的棱剪开，使得1AC 展开后在同一个平面上，求出1AC 即可．至于如何剪，从1C 点出发，有如图（图5，图6，图7均为简图）所示三种情况，在图5中，2214(53)80AC =++=；在图6中，2215(43)74AC =++=；在图7中，2213(54)90AC =++=．对这三种情况比较大小，故应选（Ｃ）．例4 圆台上底面半径为5cm ，下底面半径为10cm ，母线AB 长为20cm ，从AB 中点拉一根绳子绕圆台侧面转到B ，求绳子最短的长度，并求绳子上各点与上底圆周距离的最小值．解析：如图8，沿母线AB 将侧面展开，“化曲为直”，连结MB '，则MB '即为绳子的最短长度， 圆心角36090R r lθ-=⨯=o o ． :1:2r R =Q ，20cm OA AB ∴==，30cm OM =．在Rt OB M '△中，2222304050B M OM OB '=+=+=cm ， ∴绳子的最短长度为50cm ．作OC B M '⊥交¼AA '于D ，OC 是顶点O 到MB '的最短距离， 204OM OB DC OC OD MB '=-=-='·cm ， 即绳子上各点与上底圆周的最短距离为4cm ．。