二次的图像与一元二次方程

5.6二次函数的图像与一元二次方程
一、学习目标：
1.探索抛物线与x轴的交点横坐标和一元二次方程的根的关系，体会方程与函数的密切关系。
1、 学会用图像法求一元二次方程近似根。

2、 学会运用二次函数2yaxbxc的图像与x轴交点的个数和一元二次方程20axbxc的根的判别式
之间的关系。
二、学习过程：
（一）情景再现：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30º角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。

如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h与飞行时间之间的关系式为22050htt。
回答下列问题：
① 球的飞行高度能否到达15m？如果能，需飞行多长时间？
② 球的飞行高度能否到达20m？如果能，需飞行多长时间？
③ 球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
④ 球从飞出到落地需要多长时间？

（二）探求新知：
观察抛物线223yxx，回答问题：
① 抛物线与x轴有几个公共点？交点的坐标分别是什么？
② 当x取何止时，函数223yxx的值为0？

③ 一元二次方程2230xx有没有根？如果有，求出根。
（三）议一议：
在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程? x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?

(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

（四）对应练习：
1、用图像法讨论一元二次方程2230xx的根。

2、用图像法讨论一元二次方程2104xx的根。
（五）当堂训练：
1、二次函数2yaxbxc的图像与x轴的公共点的个数有三种情况： ， ， 。

当2yaxbxc的图像与x轴有公共点时，公共点的横坐标是一元二次方程20axbxc的 。
2．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 ．
3．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，则它的表达式为
．
4．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．
5．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．
6．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 ．
7．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
8．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．无

9．如图1所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则bacacbcba的值是（ ）
A．－3 B．3 C．21 D．－21
10．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正
确的是（ ）

A．0＜－ab2＜1 B．0＜－ab2＜2 C．1＜－ab2＜2 D．－

ab2
=1
【挑战自我】
已知抛物线y=x2－（k＋1）x＋k．（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△
COB相似？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由．

5.8二次函数的应用（1）
一、学习目标：
1、经历数学建模的基本过程。2、会运用二次函数求实际问题中与面积有关的几何问题。
3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
二学习过程：
（一）知识回顾：

1、一般式：2yaxbxc 2、顶点式：224()24bacbyaxaa
3、顶点坐标： ；对称轴方程： 。
（二）探索新知：
例1：修建有一条边靠墙的矩形菜园，不靠墙的三边的长度之和为60米，应该
怎样设计才使菜园的面积最大？最大面积是多少？
（同学们可以用多种方法来完成，比较下哪种方法比较简单）

（三）对应练习：
如图：ABCD是一块边长为2m的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为
边截取两块相邻的正方形材料，当AM的长为何值时，截取的材料面积最小？

四)当堂训练：
1、在右边的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形
设问：用长为8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，
问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
引导学生分析，板书解题过程。

3、现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4个全等
扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面
积最大？（结果精确到0.01米）

1、 拓展：如图，ΔABC是一块锐角三角形的余料，边BC=120mm,高AD=80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩
形的一边在BC上，共余两个顶点在AB，AC上，该矩形的长QM=y（mm），宽MN=x(mm).
(1) 如何用x的代数式表示y?
(2) 当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多
少？

5.7二次函数的应用
教学目标：
1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。
2、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
教学过程：
一、相关知识链接：
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时
间内，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降价1元，就可以多售出200件。
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
（1）设销售量可以表示为 。
（2）设销售量可以表示为 。
（3）所获利润可以表示为 。
（4）当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 元。
二、探求新知：

例：一名运动员掷铅球，铅球刚出手时，离地面的高度为53m，铅球运行距离地面的最大高度是3m，此时铅球
沿水平方向行进了4m，已知铅球运行的路线是抛物线，求铅球落地时运行的水平距离。
分析：把实际问题转化为平面直角坐标系里的二次函数问题，并且把实际问题上的数字标记在平面直角坐标系里。
三、对应练习：
某男排队员站在发球区发球，排球向正前方行进，行进高度 y(m)与水平距离x(m)之间的函数解析式是

2
1110
1533
yxx
。

求：①已知排球场地长18米，排球能否出界？
②当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？
③已知排球网距离发球点9米，网高2.43米，排球是否能打过网？

四、拓展延伸：
例：某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为30元/kg，物价部门规定其销售单价
不得高于70元/kg，也不得低于30元/kg．市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，
日均多售出2kg．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价
为x元，日均获利为y元．

（1）求y关于x的二次函数表达式，并注明x的取值范围．（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a（x＋ab2）

2
＋abac442的形式，写出顶点坐标，在图所示的坐标系中画出草图．观察图象，指出单价定为多少元时日均获

利最多？是多少？
（3）若将这种化工原料全部售出比较日均获利最多和销售单价最高这两种方式，哪一种获总利较多？多多
少？

五、课堂达标：
1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库
存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？

2．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70
元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格
每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式
（注明范围）；
（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x
（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）
（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，
在直角坐标系中画出函数图象的草图；
（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？