中考数学专题训练(附详细解析)：解直角三角形(三角函数应用)

解直角三角形及其应用(yìngyòng)*考虑：你认为怎样规定0°和90°角的三角函数值？在直角三角形中，由元素〔直角除外〕求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．1.在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下〔如下图〕：〔1〕三边之间的等量关系：〔2〕两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．〔3〕边与角之间的关系：〔4〕直角三角形中成比例(bǐlì)的线段：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D．CD=AD•BD；AC2=AD•AB；BC2=BD•BA；AC•BC=AB•CD．〔5〕直角三角形中的主要线段：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，斜边的中点是外心．假设r是Rt △ABC〔∠C=90°〕的内切圆半径，那么〔6〕直角三角形的面积公式：在Rt△ABC中，∠C=90°，2．关于(guānyú)直角三角形可解的条件：在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道两个〔其中至少有一个为边〕，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的根本类型可分为：〔1〕两条边〔两条直角边或者斜边和直角边〕；〔2〕一边和一个锐角〔直角边和一个锐角或者斜边和一个锐角〕．例1．在Rt△ABC中，∠C=90°，（1） a=35，c=35，求∠A、∠B和b；（2） a=2，b=2 ，求∠A、∠B和c；（3） sinA=, c=6 ，求a和b；（4） tanB=，b=9，求a和c；（5）∠A=60°，△ABC的面积(miàn jī)S=123，求a、b、c及∠B．例2．如图，在△ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=．〔1〕求AB边上的高CD；〔2〕求△ABC的面积S；〔3〕求tanB．例3．如图，有一段斜坡(xiépō)BC长为10m，坡角∠CBD=12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．〔1〕求坡高CD；〔2〕求斜坡新起点A与原起点B之间的间隔〔准确到〕．内容总结（1）解直角三角形及其应用*考虑：你认为怎样规定0°和90°角的三角函数值（2）解直角三角形及其应用*考虑：你认为怎样规定0°和90°角的三角函数值（3）〔2〕求△ABC的面积S。

解直角三角形一、选择题（共13小题，每小题4分，满分52分）1．在△ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，则下列结论中正确的是（）A．sinA=B．cosB=C．tanA=D．tanB=2．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10 D．20﹣103．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．24．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．a=c•sinA D．a=b•cotB5．如图，已知▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③C．①②④D．②③④6．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0） B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）7．如图，AB为⊙O的直径，CA切⊙O于A，CB交⊙O于D，若CD=2，BD=6，则sinB=（）A．B．C．D．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则tanA=（）A．B．C．D．9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．10．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（）A．6（+1）m B．6（﹣1）m C．12（+1）m D．12（﹣1）m11．已知α为等边三角形的一个内角，则cosα等于（）A．B．C．D．12．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A． m B．100m C．150m D． m13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）14．化简= ．15．如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1：1.5，上底宽为6m，路基高为4m，则路基的下底宽为m．16．如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡度设计为i=1：4.5，则AC的长为cm．17．身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为m．（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面的高度近似为身高）18．如图，在正方形网格中，∠ABO的正切值是．19．若△ABC中，∠C=90°，AC：BC=3：4，那么sinA= ．20．如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2=52．①a，b的值可以是（提示：答案不惟一）（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：．21．将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB= ．22．比较大小：sin33°+cos33°1．（可用计算器辅助）23．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，如果AC=3，BC=4，那么sinA= ．三、解答题24．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．25．计算：．26．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）27．计算：．28．为测量大楼CD的高度，某人站在A处测得楼顶的仰角为45°，前进20m后到达B处测得楼顶的仰角为60°，求大楼CD的高度．29．如图，为测量某塔AB的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A，仰角为60°，目高1.5米，试求该塔的高度（≈1.7）．30．九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α．（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB=36°，那么∠α的度数是；（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为b米，点P到护坡石坝底部B的距离为c米，如果利用（1）得到的结论，请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH．（sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）31．如图，某中学科学楼高15米，计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼，第一层是高2.5米的自行车场，第二层起为宿舍．已知该地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最低，此时太阳光线AB的入射角∠ABD=55°，为使第二层起能照到阳光，两楼间距EF至少是多少米（精确到0.1米）．（参考数据：tan55°=1.4281，tan35°=0.7002）．32．如图，某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°，在B地测得C地的仰角为60度．已知C地比A地高200米，电缆BC至少长多少米？（精确到0.1米）33．如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，使得点C与AB的延长线上的点D重合，已知BC=6．（1）三角尺旋转了多少度？连接CD，试判断△BCD的形状；（2）求AD的长；（3）连接CE，试猜想线段AC与CE的大小关系，并证明你的结论．34．计算：35．计算：（﹣2）3+（）﹣1×cos60°﹣（1﹣）0．36．计算：﹣22+（）0+2sin30°．37．又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在此处看塔顶仰角为60°；乙：我站在此处看塔顶仰角为30°；甲：我们的身高都是1.5m；乙：我们相距20m．请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度．（精确到1米）38．如图，有两棵树，一棵高14m，另一棵高10m，两树相距5m．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？39．如图，沿江堤坝的横断面是梯形ABCD，坝顶AD=4m，坝高AE=6 m，斜坡AB的坡比i=1：2，∠C=60°，求斜坡AB、CD的长．40．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆25米的D处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端A的仰角α=22°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）参考数据：sin22°=0.3746，cos22°=0.9272，tan22°=0.4040，cot22°=2.4751．41．兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB（如图），已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD=14米，该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2，岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？（在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）42．课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测角仪（离地高度为1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．43．如图所示，张伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼，风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB=6cm，微风吹来，假设铅垂P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面齐平，（即PA=PC）水平l与OC 的夹角α为8°（点A在OC上），求铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈，cos8°≈，tan8°≈）解直角三角形参考答案与试题解析一、选择题（共13小题，每小题4分，满分52分）1．在△ABC中，已知AB=5，AC=3，BC=4，则下列结论中正确的是（）A．sinA=B．cosB=C．tanA=D．tanB=【考点】锐角三角函数的定义．【分析】先判定此三角形为直角三角形，再根据锐角三角函数的定义，分别求得sinA、cosB、tanA、tanB的值，即可判断．【解答】解：在△ABC中，∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC是直角三角形，其中∠C是直角．∴sinA=，cosB=，tanA=，tanB=，故选A．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．2．如图，△ABC为边长是5的等边三角形，点E在AC边上，点F在AB边上，ED⊥BC，且ED=AE，DF=AF，则CE的长是（）A．B．C．20+10 D．20﹣10【考点】等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】根据ED⊥BC可得∠CED=30°，即可求得EC与ED的关系，设DE=x，则AE=x，根据DE即可计算CE，根据AE+CE=5即可计算x的值，根据CE=AC﹣AE即可求CE的值．【解答】解：∵ED⊥BC，∠C=60°，∴∠CED=30°，设DE=x，则AE=x，且CE=x，又∵AE+CE=5，∴x+x=5，解得x=10﹣15，∴CE=5﹣（10﹣15）=20﹣10．故选D．【点评】本题考查了特殊角的正弦值，等边三角形各内角为60°的性质，本题中根据AE、CE求x 的值是解题的关键．3．正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．2【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】作EF⊥OB，则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题．【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．∴cos∠AOB===．故选：A．【点评】本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列关系式中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．a=c•sinA D．a=b•cotB【考点】锐角三角函数的定义．【专题】计算题．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则cosA=，sinA=，tanB=，cosB=，tanA=，cotA=；因而b=ccosA=atanB，a=csinA=ccosB=btanA=，错误的是b=c•cosB．故选A．【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．5．如图，已知▱ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB=BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BHD∽△BDG．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③C．①②④D．②③④【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个结论进行分析从而得到最后答案．【解答】解：∵∠BDE=45°，DE⊥BC∴DB=BE，BE=DE∵DE⊥BC，BF⊥CD∴∠BEH=∠DEC=90°∵∠BHE=∠DHF∴∠EBH=∠CDE∴△BEH≌△DEC∴∠BHE=∠C，BH=CD∵▱ABCD中∴∠C=∠A，AB=CD∴∠A=∠BHE，AB=BH∴正确的有①②③故选B．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．相似三角形的对应边成比例，对应角相等．6．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（）A．（0，0） B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，﹣）【考点】垂线段最短；坐标与图形性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，此时线段AB最短，因为直线y=x的斜率为1，所以∠AOB=45°，△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则OC=BC=．因为B在第三象限，所以点B的坐标为（﹣，﹣）．【解答】解：线段AB最短，说明AB此时为点A到y=x的距离．过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，∵直线y=x与x轴的夹角∠AOB=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴，垂足为C，则BC为中垂线，则OC=BC=．作图可知B在x轴下方，y轴的左方．∴点B的横坐标为负，纵坐标为负，∴当线段AB最短时，点B的坐标为（﹣，﹣）．故选：C．【点评】本题考查了动点坐标的确定，还考查了学生的动手操作能力，本题涉及到的知识点为：垂线段最短．7．如图，AB为⊙O的直径，CA切⊙O于A，CB交⊙O于D，若CD=2，BD=6，则sinB=（）A．B．C．D．【考点】切线的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据切割线定理CA2=CD•CB可得CA=4，然后在Rt△ABC中，利用CA=4，BC=8可以求出sinB．【解答】解：如图，∵CA切⊙O于A，∴CA2=CD•CB，又CD=2，BD=6，∴CA=4．在Rt△ABC中，CA=4，BC=8，故sinB==．故选A．【点评】此题主要考查锐角三角函数的概念及切割线定理等知识．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则tanA=（）A．B．C．D．【考点】解直角三角形．【分析】由勾股定理易得AC的值，进而根据三角函数的定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，由勾股定理得：AC=12．则tanA==．故选A．【点评】本题要求学生熟练掌握三角函数的定义与解直角三角形的方法．9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．【解答】解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴sinA=，tanB=和a2+b2=c2．∵sinA=，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x．∴tanB=．故选A．解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．∵A、B互为余角，∴cosB=sin（90°﹣B）=sinA=．又∵sin2B+cos2B=1，∴sinB==，∴tanB===．故选A．【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．10．如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（）A．6（+1）m B．6（﹣1）m C．12（+1）m D．12（﹣1）m【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】利用所给的角的三角函数用AB表示出BD，CB；根据BC﹣DB=CD即可求出建筑物AB的高度．【解答】解：根据题意可得：BC==AB，BD==AB．∵CD=BC﹣BD=AB（﹣1）=12，∴AB=6（+1）．故选A．【点评】本题通过考查仰角的定义，构造两个直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力．11．已知α为等边三角形的一个内角，则cosα等于（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值；等边三角形的性质．【分析】先根据等边三角形的性质求出α的度数，再根据cos60°=即可解答．【解答】解：∵α为等边三角形的一个内角，∴α=60°．∴cosα=cos60°=．故选A．【点评】本题考查的是等边三角形的性质及特殊角的三角函数值，比较简单．12．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A． m B．100m C．150m D． m【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】压轴题．【分析】根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可．【解答】解：AD=AB•sin60°=50；BD=AB•cos60°=50，∴CD=150．∴AC==100．故选D．【点评】解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．13．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题；网格型．【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得∠ABC的邻边与斜边之比即可．【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，∴斜边为=2．∴cos∠ABC==．故选B．【点评】难点是构造相应的直角三角形利用勾股定理求得∠ABC所在的直角三角形的斜边长，关键是理解余弦等于邻边比斜边．二、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）14．化简= ．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】运用特殊角三角函数值计算．【解答】解：原式===．【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可．15．如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1：1.5，上底宽为6m，路基高为4m，则路基的下底宽为18 m．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】计算题．【分析】过C作CF⊥AB，过D作CF⊥AB，根据CF的长和坡度即可求得AE、BF的值，根据AB=AE+EF+BF 即可计算AB，即可解题．【解答】解：如右图，过C作CF⊥AB，过D作DE⊥AB，DE=CF=4m坡度===，∴AE=BF=6m，∴AB=AE+EF+FB=6+6+6（m）=18m．故答案为 18．【点评】本题考查了坡度的定义，考查了坡度在直角三角形中的运用，本题中求AE、BF的长是解题的关键．16．如图，某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现将斜坡的坡度设计为i=1：4.5，则AC的长为210 cm．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】计算题．【分析】如图所示：所有台阶高度和为BD的长，所有台阶深度和为AD的长，即BD=60m，AD=60m．然后根据坡度比解答．【解答】解：由题可知BD=60cm，AD=60cm．∵坡度!=BD：DC=1：4.5，∴DC=270，∴AC=DC﹣AD=270﹣60=210（cm）．【点评】运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．17．身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高大约为 5.1 m．（结果精确到0.1m，其中小丽眼睛距离地面的高度近似为身高）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】压轴题．【分析】树高等于CD与DE的和，利用三角函数求CD长即可．【解答】解：∵∠CAD=30°，AD=6．∴CD=2．∴树的高=1.6+2≈5.1（米）．【点评】此题主要考查三角函数定义的应用．18．如图，在正方形网格中，∠ABO的正切值是 1 ．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】根据三角函数的定义即可求出tan∠ABO的值．【解答】解：利用三角函数的定义可知tan∠ABO==1．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．19．若△ABC中，∠C=90°，AC：BC=3：4，那么sinA= ．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】由题意得，AC：BC：AC=3：4：5，即可求得sinA的值．【解答】解：设AC=3x，BC=4x，根据勾股定理可得AB=5x，∴sinA=BC：AB=．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边．20．如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2=52．①a，b的值可以是3，4 （提示：答案不惟一）（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：图中的点E可以是以BC为直径的半圆上的任意一点（点B，C除外）．BE，CE的长分别为两个小正方形的边长．【考点】勾股定理的应用．【专题】压轴题；开放型．【分析】①使得a2+b2=52．由直角三角形勾股定理的很容易联想到a、b的值是3、4；②要求设计一般性的剪裁，则先分割出来一个边长为4的正方形，再把剩下的部分分为两个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形，四个四边形拼成一个边长为3的正方形．【解答】解：①要使得a2+b2=52．考虑到直角三角形的特殊情况，a，b的取值可以使3，4一组（答案不唯一）；②裁剪线及拼接方法如图所示：按照上图所示剪裁，先剪一个边长是4的正方形；剩下的剪三个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形，然后将这些拼接成边长为3的正方形即可．【点评】本题考查了学生的空间想象能力和发散思维能力．解决本题的关键是紧紧抓住a2+b2=52这个已知条件及剪拼过程面积不变的这个线索．21．将一个含30°角的三角板和一个含45°角的三角板如图摆放，∠ACB与∠DCE完全重合，∠C=90°，∠A=45°，∠EDC=60°，AB=4，DE=6，则EB= ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据直角三角形的性质，求得BC，再求得EC，由此可以求出CE，再利用BE=CE﹣BC即可求出EB．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB=4，∠A=45°，∴BC=4×=4在Rt△EDC中，∵∠EDC=60°，DE=6，∴CE=DE•sin∠EDC=6×=3∴BE=CE﹣BC=3﹣4．故填空答案：3﹣4．【点评】本题利用了直角三角形的性质和等腰三角形的性质求解．22．比较大小：sin33°+cos33°＞1．（可用计算器辅助）【考点】计算器—三角函数．【专题】计算题．【分析】先利用计算器求出33°的正弦值和余弦值，再计算两者之和，与1比较即可．【解答】解：∵sin33°≈0.545，cos33°≈0.839，∴sin33°+cos33°≈0.545+0.839≈1.384＞1．故答案是＞．【点评】本题考查了计算器计算三角函数值，注意一般取到小数点后3位．23．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，如果AC=3，BC=4，那么sinA= ．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】先由勾股定理求出AB，再利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵AC=3，BC=4，∴AB===5．∴sinA==．【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．三、解答题24．（2009•枣庄）如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）已知顶点坐标，设抛物线解析式的顶点式y=a（x﹣2）2+1，把O（0，0）代入即可；（2）∵△MOB与△AOB公共底边OB，最高点A的纵坐标为1，只需要点M的纵坐标为﹣3即可，将y=﹣3，代入解析式可求M点坐标；（3）由已知△OAB为等腰三角形，点N在抛物线上，只可能OB=BN，即要求∠AOB=∠BON，A、A'要关于x轴对称，通过计算，不存在．【解答】解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，∵抛物线过原点，∴a（0﹣2）2+1=0，a=﹣．∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+x．（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S△MOB=3S△AOB，∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M点的纵坐标是﹣3．∴﹣3=﹣x2+x，即x2﹣4x﹣12=0．解之，得x1=6，x2=﹣2．∴满足条件的点有两个：M1（6，﹣3），M2（﹣2，﹣3）（3）不存在．由抛物线的对称性，知AO=AB，∠AOB=∠ABO．若△OBN与△OAB相似，必有∠BON=∠BOA=∠BNO，即OB平分∠AON，设ON交抛物线的对称轴于A'点，则A、A′关于x轴对称，∴A'（2，﹣1）．∴直线ON的解析式为y=﹣x．由﹣x=﹣x2+x，得x1=0，x2=6．∴N（6，﹣3）．过N作NE⊥x轴，垂足为E．在Rt△BEN中，BE=2，NE=3，∴NB==．又∵OB=4，∴NB≠OB，∠BON≠∠BNO，△OBN与△OAB不相似．同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点．所以在该抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．【点评】本题考查了抛物线解析式的求法，坐标系里的面积问题，探求相似三角形的存在性问题，具有一定的综合性．25．计算：．【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式==5．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．26．如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得∠CBD=60°，若牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度．（计算结果精确到0.1米，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答．【解答】解：在Rt△BCD中，CD=BC×sin60°=20×=10又DE=AB=1.5，∴CE=CD+DE=CD+AB=10+1.5≈18.8答：此时风筝离地面的高度约是18.8米．【点评】本题考查直角三角形知识在解决实际问题中的应用．27．计算：．【考点】实数的运算．【分析】按照实数的运算法则依次计算．【解答】解：原式==2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、乘方、绝对值等考点的运算．注意（﹣1）2010=1，|﹣|=，（π﹣2010）0=1．28．为测量大楼CD的高度，某人站在A处测得楼顶的仰角为45°，前进20m后到达B处测得楼顶的仰角为60°，求大楼CD的高度．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】此题可利用两仰角的正切值及CD的高度表示AB，即AB=﹣，求得CD 即可．【解答】解：如图，依题意得∠CBD=60°，∠CAD=45°，AB=20m，设CD=xm，则AB=﹣，20=x﹣x，解得：x=（30+10）m，答：大楼CD的高为（30+10）m．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．29．如图，为测量某塔AB的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A，仰角为60°，目高1.5米，试求该塔的高度（≈1.7）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】本题是一个直角梯形的问题．作CD⊥AB于点D，把求AB的问题转化求AD的长，从而在△ACD中利用三角函数求解．【解答】解：如图，CD=20，∠ACD=60°．在Rt△ACD中，tan∠ACD=，∴=，∴AD=20≈34．又∵BD=1.5，∴塔高AB=34+1.5=35.5（米）．【点评】解直角梯形可以通过作高线转化为解直角三角形和矩形的问题．30．九年级甲班数学兴趣小组组织社会实践活动，目的是测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠α．（1）如图1，小明所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上，使得BF与BE的长度相等，如果测量得到∠EFB=36°，那么∠α的度数是72°；（2）如图2，小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿AG斜靠在石坝旁，量出竿长1米时离地面的高度为0.6米，请你求出护坡石坝的垂直高度AH；（3）全班总结了各组的方法后，设计了如图3方案：在护坡石坝顶部的影子处立一根长为a米的杆子PD，杆子与地面垂直，测得杆子的影子长为b米，点P到护坡石坝底部B的距离为c米，如果利用（1）得到的结论，请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH．（sin72°≈0.95，cos72°≈0.3，tan72°≈3）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】压轴题；方案型．【分析】（1）BF与BE的长度相等，则由等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和，得到∠α的度数．（2）由于竿长1米时离地面的高度为0.6米，则有AG：AH=1：0.6，可求得AH的长．（3）由题意知，△CPD∽△PHA，根据相似三角形的对应边相等可求得AH的长．【解答】解：（1）∵BF=BE．∴∠BFE=∠FEB．∴∠α=2∠EFB=72°．（2）∵竿长1米时离地面的高度为0.6米，MN∥AH．∴AG：AH=1：0.6∴AH=3米．（3）在Rt△ABH中，BH=AH÷tan72°=AH÷3=．由题意知，△CPD∽△PHA．∴DP：CP=AH：PH=AH：（PB+BH）=AH：（PB+）．即：a：b=AH：（c+）．解得：AH=．【点评】本题主要用到了等边对等角和三角形的外角等于与它不相邻两个内角和；平行线的性质，正切的概念，相似三角形的性质等知识点求解．31．如图，某中学科学楼高15米，计划在科学楼正北方向的同一水平地上建一幢宿舍楼，第一层是高2.5米的自行车场，第二层起为宿舍．已知该地区一年之中“冬至”正午时分太阳高度最低，此。

解直角三角形的实际应用【命题趋势】在中考中.锐角三角形函数主要选择题、填空题.解答题考查为主.难度系数低。

【中考考查重点】解直角三角形的实际应用1.解一个直角三角形2.背靠背型3.母子型考点解直角三角形的实际应用类型一仰角、俯角1．（2021秋•包河区期末）如图.在离铁塔BC底部30米的D处.用测角仪从点A处测得塔顶B的仰角为α＝30°.测角仪高AD为1.5米.则铁塔的高BC为（）A．16.5米B．（10+1.5）米C．（15+1.5）米D．（15+1.5）米【答案】B【解答】解：过点A作AE⊥BC.E为垂足.如图所示：则四边形ADCE为矩形.AE＝30米.∴CE＝AD＝1.5米.在Rt△ABE中.tanα＝＝tan30°＝.∴BE＝AE＝×30＝10（米）.∴BC＝BE+CE＝（10+1.5）米.故选：B．2．（2021秋•丛台区校级期末）如图.小东在教学楼距地面8米高的窗口C处.测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°.旗杆底部B点的俯角为45°.升旗时.国旗上端悬挂在距地面2.5米处.若国旗随国歌声冉冉升起.并在国歌播放46秒结束时到达旗杆顶端.则国旗匀速上升的速度为（）米/秒．（参考数据：sin37°≈0.60.cos37°≈0.80.tan37°≈0.75）A．0.3B．0.2C．0.25D．0.35【答案】C【解答】解：在Rt△BCD中.BD＝8米.∠BCD＝45°.∴△BCD是等腰直角三角形.∴BD＝CD＝8米.在Rt△ACD中.CD＝8米.∠ACD＝37°.∴AD＝CD•tan37°≈8×0.75＝6（米）.∴旗杆AB的高为：AD+BD＝6+8＝14（米）；升旗时.国旗上升高度是：14﹣2.5＝11.5（米）.∵耗时46s.∴国旗匀速上升的速度为：＝0.25（米/秒）.故选：C．3．（2021秋•历城区期末）如图.某建筑物的顶部有一块宣传牌CD.小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D的仰角为60°.沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知斜坡AB的坡角为30°.AB＝10米.AE＝15米.则宣传牌CD的高度是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过B作BF⊥AE.交EA的延长线于F.作BG⊥DE于G．在Rt△ABF中.∠BAF＝30°.AB＝10米.∴BF＝AB＝5（米）.AF＝BF＝5（米）．∴BG＝AF+AE＝（5+15）（米）.在Rt△BGC中.∠CBG＝45°.∴△BGC是等腰直角三角形.∴CG＝BG＝（5+15）（米）.在Rt△ADE中.∠DAE＝60°.AE＝15米.∴DE＝AE＝15（米）.∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+15+5﹣15＝（20﹣10）（米）.即宣传牌CD的高度是（20﹣10）米.故选：A．4．（2021秋•汉寿县期末）如图.某办公楼AB的后面有一建筑物CD（办公楼AB与建筑物CD均垂直于地面BCF）.当光线与地面的夹角是22°时.办公楼在建筑物CD的墙上留下的影子CE＝2米.而当光线与地面夹角是45°时.办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（点B.F.C在同一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A.E之间挂一些彩旗.请你求出A.E之间的距离．（参考数据：sin22°≈.cos22°≈.tan22°≈.）【答案】（1）20m（2）48米【解答】解：（1）过点E作EM⊥AB于点M.则四边形BCEM为矩形.∴BM＝CE＝2米.设AB＝x米.在Rt△ABF中.∠AFB＝45°.∴BF＝AB＝x米.∴BC＝BF+FC＝（x+25）米.AM＝（x﹣2）米.在Rt△AEM中.tan∠AEM＝.则≈.解得：x＝20.答：办公楼AB的高度为20m；（2）在Rt△AME中.cos∠AEM＝.则cos22°＝.即≈.解得：AE＝48.答：A.E之间的距离约为48米．类型二坡度、坡角5．（2021秋•淇县期末）如图.河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：.坝高BC＝3m.则AC的长度为（）A．6m B．m C．9m D．m【答案】D【解答】解：∵坡AB的坡比为1：.∴BC：AC＝1：.∵BC＝3m.∴AC＝3m.故选：D．16．（2021秋•莱芜区期末）如图.某水库大坝的横断面是梯形ABCD.坝高DE＝5m.斜坡BC的坡比为5：12.则斜坡BC＝（）A．13m B．8m C．18m D．12m【答案】A【解答】解：过点C作CF⊥AB于F.∵DC∥AB.∴CF＝DE＝5m.∵斜坡BC的坡比为5：12.CF＝5m.∴BF＝12m.由勾股定理得：BC＝＝＝13（m）.故选：A．6．（2021秋•龙口市期末）如图.山区某教学楼后面紧邻着一个土坡.坡面BC平行于地面AD.斜坡AB的坡比为i＝1：.且AB＝26米.为了防止山体滑坡.保障安全.学校决定对该土坡进行改造.经地质人员勘测.当坡角不超过53°时.可确保山体不滑坡；（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；（2）为了消除安全隐患.学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示）.那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）【参考数据：sin53°≈0.8.cos53°≈0.6.tan53°≈1.33.cot53°≈0.75】【答案】（1）BE＝24 （2）BE为24米；BF至少是8米【解答】解：（1）在Rt△ABE中.AB＝26.i＝＝.设BE＝12k.AE＝5k.则AB＝13k＝26.k＝2.∴AE＝10（米）.BE＝24（米）；（2）过点F作FG⊥AD于点G.由题意可知：FG＝BE＝24.∠F AD＝53°.在Rt△AFG中.cot53°＝＝0.75.∴AG＝18（米）.∴BF＝GE＝AG﹣AE＝8（米）.答：改造前坡顶与地面的距离BE为24米；BF至少是8米．类型三方向角7．（2021秋•汝阳县期末）如图.点A到点C的距离为100米.要测量河对岸B点到河岸AD的距离．小明在A点测得B在北偏东60°的方向上.在C点测得B在北偏东30°的方向上.则B点到河岸AD的距离为（）A．100米B．50米C．米D．50米【答案】D【解答】解：过B作BM⊥AD于M.如图：由题意得：∠BAD＝90°﹣60°＝30°.∠BCD＝90°﹣30°＝60°.∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAD＝30°.∴∠BAD＝∠ABC.∴BC＝AC＝100米.∵BM⊥AD.∴∠BMC＝90°.在Rt△BCM中.sin∠BCM＝.∴BM＝BC×sin∠BCM＝100×＝50（米）.即B点到河岸AD的距离为50米.故选：D．8．（2021•钦州模拟）如图.一艘测量船在A处测得灯塔S在它的南偏东60°方向.测量船继续向正东航行30海里后到达B处.这时测得灯塔S在它的南偏西75°方向.则灯塔S离观测点A的距离是（）A．15海里B．（15﹣15）海里C．（15﹣15）海里D．15海里【答案】B【解答】解：过S作SC⊥AB于C.在AB上截取CD＝AC.∴AS＝DS.∴∠CDS＝∠CAS＝30°.∵∠ABS＝15°.∴∠DSB＝15°.∴SD＝BD.设CS＝x海里.在Rt△ASC中.∠CAS＝30°.∴AC＝x（海里）.AS＝DS＝BD＝2x（海里）.∵AB＝30海里.∴x+x+2x＝30.解得：x＝.∴AS＝（15﹣15）（海里）.故选：B．9．（2021秋•成武县期中）如图在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15方向的A处.若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行半小时后到达C处.在C处观测到B在C的北偏东60°方向上.则B、C之间的距离为（）A．30海里B．20海里C．20海里D．30海里【答案】D【解答】解：如图.由题意得：AC＝60×0.5＝30（海里）.∵CD∥BF.∴∠CBF＝∠DCB＝60°.∵∠ABF＝15°.∴∠ABC＝∠CBF﹣∠ABF＝45°.∵AE∥BF.∴∠EAB＝∠FBA＝15°.又∵∠EAC＝75°.∴∠CAB＝∠EAB+∠EAC＝90°.∴△ABC是等腰直角三角形.∴BC＝AC＝30（海里）.故选：D．1．（2021秋•历下区期末）我国航天事业捷报频传.天舟二号于2021年5月29日成功发射.震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时.在P处测得A点的仰角∠DP A为30°.A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时.此时在P处测得B 点的仰角∠DPB为45°.则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为（）（参考数据：≈1.7.≈1.4）．A．2.0千米B．1.5千米C．2.5千米D．3.5千米【答案】D【解答】解：在Rt△APD中.∠DP A＝30°.AP＝10千米.∠ADP＝90°.cos∠DP A＝cos30°＝.∴AD＝AP＝×10＝5（千米）.PD＝AP•cos30°＝10×＝5（千米）.在Rt△BPD中.tan∠DPB＝tan45°＝.∴BD＝PD•tan45°＝5×1＝5（千米）.∴AB＝BD﹣AD＝5﹣5≈8.5﹣5＝3.5（千米）.故选：D．2．（2021秋•盐湖区期末）如图.一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40海里的C 处.沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处.则该船行驶的路程为（）A．80海里B．120海里C．（40+40）海里D．（40+40）海里【答案】D【解答】解：如图.过点A作AD⊥BC于D.由题意得.∠CAD＝45°.∠BAD＝60°.AC＝40海里.在Rt△ADC中.∠ADC＝90°.∠CAD＝45°.AC＝40海里.∴AD＝CD＝×40＝40（海里）.在Rt△ADB中.∠ADB＝90°.∠BAD＝45°.AD＝40海里.∴BD＝AD＝40（海里）.∴BC＝CD+BD＝（40+40）海里.故选：D．3．（2021秋•柯城区期末）如图.河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：2（坡比是坡面铅直高度BC与水平宽度AC之比）.坝高BC＝3m.则坡面AB的长度最接近（）（参考数据：≈1.73.≈2.24）A．5.2m B．6m C．6.7m D．9m【答案】C【解答】解：∵坡AB的坡比是1：2.BC＝3m.∴AC＝6cm.由勾股定理得：AB＝＝＝3≈6.7（m）.故选：C．4．（2021秋•通州区期末）如图.要测量山高CD.可以把山坡“化整为零”地划分为AB 和BC两段.每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m.BC＝800m.测得坡角∠BAD＝30°.∠CBE＝45°.则山高CD为（）A．（300+800）m B．700mC．（300+400）m D．（400+300）m【答案】C【解答】解：由题意可知.四边形BFDE为矩形.∴DE＝BF.在Rt△BAF中.∠BAF＝30°.AB＝600m.则BF＝AB＝300（m）.∴DE＝300m.在Rt△CBE中.∠CBE＝45°.BC＝800m.∴CE＝BC＝400（m）.∴CD＝CE+DE＝（300+400）m.故选：C．5．（2021秋•安居区期末）如图所示.某拦水大坝的横断面为梯形ABCD.AE.DF为梯形的高.其中迎水坡AB的坡角α＝45°.坡长AB＝10米.背水坡CD的坡度i＝1：.则背水坡的坡长CD为（）米．A．20B．20C．10D．20【答案】A【解答】解：由题意得：四边形AEFD是矩形.∴DF＝AE.∵迎水坡AB的坡角α＝45°.坡长AB＝10米.∴DF＝AE＝10×sin45°＝10（米）.∵背水坡CD的坡度i＝1：.∴tan C＝i＝＝＝.∴∠C＝30°.∴CD＝2DF＝2AE＝20（米）.故选：A．6．（2021秋•临淄区期末）为了学生的安全.某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形.DE＝10m.其坡度为i1＝1：.将步梯DE改造为斜坡AF.其坡度为i2＝1：4.求斜坡AF的长度是米．（结果精确到0.01m.参考数据：≈1.732.≈4.123）【答案】20.62【解答】解：∵DE的坡度为i1＝1：.∴tan∠DEC＝＝.∴∠DEC＝30°.∴DC＝DE＝5（m）.∵四边形ABCD为矩形.∴AB＝CD＝5m.∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4.AB＝5m.∴BF＝4AB＝20（m）.在Rt△ABF中.AF＝＝≈20.62（m）.∴斜坡AF的长度约为20.62米.故答案为：20.62．7．（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧.游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°.从景点A出发向正北方向步行600米到达C处.测得景点B在C的北偏东75°方向．（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）（2）当地政府为了便捷游客游览.打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后.从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414.≈1.732）【答案】（1）300m（2）205m【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D.由题意得.∠A＝30°.∠BCE＝75°.AC＝600m.在Rt△ACD中.∠A＝30°.AC＝600.∴CD＝AC＝300（m）.AD＝AC＝300（m）.∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B.∴∠B＝75°﹣∠A＝45°.∴CD＝BD＝300（m）.BC＝CD＝300（m）.答：景点B和C处之间的距离为300m；（2）由题意得．AC+BC＝（600+300）m.AB＝AD+BD＝（300+300）m.AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）≈204.6≈205（m）.答：大桥修建后.从景点A到景点B比原来少走约205m．1．（2021•深圳）如图.在点F处.看建筑物顶端D的仰角为32°.向前走了15米到达点E即EF＝15米.在点E处看点D的仰角为64°.则CD的长用三角函数表示为（）A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°【答案】C【解答】解：∵∠CED＝64°.∠F＝32°.∠CED＝∠F+∠EDF.∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°.∴∠EDF＝∠F.∴DE＝EF.∵EF＝15米.∴DE＝15米.在Rt△CDE中.∵sin∠CED＝.∴CD＝DE sin∠CED＝15sin64°.故选：C．2．（2021•重庆）如图.在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡.斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4.坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A.B.C.D.E在同一平面内）.在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°.则建筑物AB的高度约为（）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米【答案】D【解答】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4.∴DE：CE＝5：12.∵DE＝50米.∴CE＝120米.∵BC＝150米.∴BE＝150﹣120＝30（米）.∴AB＝tan50°×30+50≈85.7（米）．故选：D．3．（2020•自贡）如图.我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD.DC∥AB．BC长6米.坡角β为45°.AD的坡角α为30°.则AD长为米（结果保留根号）．【答案】6【解答】解：过点D作DE⊥AB于E.过点C作CF⊥AB于F．∵CD∥AB.DE⊥AB.CF⊥AB.∴DE＝CF.在Rt△CFB中.CF＝BC•sin45°＝3（米）.∴DE＝CF＝3（米）.在Rt△ADE中.∵∠A＝30°.∠AED＝90°.∴AD＝2DE＝6（米）.故答案为：6．4．（2020•泰安）如图.某校教学楼后面紧邻着一个山坡.坡上面是一块平地．BC∥AD.BE ⊥AD.斜坡AB长26m.斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面.防止山体滑坡.学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测.当坡角不超过50°时.可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动.则坡顶B沿BC至少向右移m时.才能确保山体不滑坡．（取tan50°≈1.2）【答案】10【解答】解：在BC上取点F.使∠F AE＝50°.过点F作FH⊥AD于H.∵BF∥EH.BE⊥AD.FH⊥AD.∴四边形BEHF为矩形.∴BF＝EH.BE＝FH.∵斜坡AB的坡比为12：5.∴＝.设BE＝12xm.则AE＝5xm.由勾股定理得.AE2+BE2＝AB2.即（5x）2+（12x）2＝262.解得.x＝2.∴AE＝10m.BE＝24m.∴FH＝BE＝24m.在Rt△F AH中.tan∠F AH＝.∴AH＝≈20（m）.∴BF＝EH＝AH﹣AE＝10（m）.∴坡顶B沿BC至少向右移10m时.才能确保山体不滑坡.故答案为：10．5．（2021•黔西南州）如图.热气球的探测器显示.从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°.看这栋楼底部的俯角为60°.热气球A处与地面距离为150m.则这栋楼的高度是m．【答案】100【解答】解：如图.过A作AH⊥BC.交CB的延长线于点H.在Rt△ACD中.∵∠CAD＝30°.AD＝150m.∴CD＝AD•tan30°＝150×＝50（m）.∴AH＝CD＝50m．在Rt△ABH中.∵∠BAH＝30°.AH＝50m.∴BH＝AH•tan30°＝50×＝50（m）.∴BC＝AD﹣BH＝150﹣50＝100（m）.答：这栋楼的高度为100m．故答案为：100．6．（2021•广西）如图.从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°.看楼下荷塘D处的俯角为60°.已知楼高AB为30米.则荷塘的宽CD为米（结果保留根号）．【答案】（30﹣10）【解答】解：由题意可得.∠ADB＝60°.∠ACB＝45°.AB＝30m.在Rt△ABC中.∵∠ACB＝45°.∴AB＝BC.在Rt△ABD中.∵∠ADB＝60°.∴BD＝AB＝10（m）.∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10）m.故答案为：（30﹣10）．7．（2019•潍坊）自开展“全民健身运动”以来.喜欢户外步行健身的人越来越多.为方便群众步行健身.某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示.改造前的斜坡AB＝200米.坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后.斜坡AB改造为斜坡CD.其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）【答案】米【解答】解：∵∠AEB＝90°.AB＝200米.坡度为1：.∴tan∠ABE＝.∴∠ABE＝30°.∴AE＝AB＝100米.∵AC＝20米.∴CE＝80米.∵∠CED＝90°.斜坡CD的坡度为1：4.∴.即.解得.ED＝320米.∴CD＝＝米.答：斜坡CD的长是米．1．（2021•双阳区一模）某课外数学兴趣小组的同学进行关于测量楼房高度的综合实践活动．如图.他们在距离楼房35米的C处测得楼顶的仰角为α.则楼房AB的高为（）A．35sinα米B．35tanα米C．米D．米【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中.∵∠ABC＝90°.∠ACB＝α.BC＝35米.∴AB＝BC•tanα＝35tanα（米）.答：楼房AB的高为35tanα米．故选：B．2．（2021•南山区校级二模）如图.从一热气球的探测器A点.看一栋高楼顶部的仰角为55°.看这栋高楼底部的俯角为35°.若热气球与高楼的水平距离为35m.则这栋高楼度大约是（）（考数据：sin55°≈.cos55°≈.tan55°≈）A．74米B．80米C．84米D．98米【答案】A【解答】解：过点A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中.∠BAD＝55°.AD＝35m.tan∠BAD＝.∴BD＝AD•tan∠BAD≈35×＝49（m）.在Rt△ACD中.∠ACD＝90°﹣∠CAD＝55°.AD＝35m.tan∠ACD＝.∴CD＝≈＝25（m）.∴BC＝BD+CD＝49+25＝74（m）.故选：A．3．（2021•长春模拟）如图.建筑工地划出了三角形安全区△ABC.一人从A点出发.沿北偏东53°方向走50m到达C点.另一人从B点出发.沿北偏西53°方向走100m到达C点.则点A与点B相距（）（tan53°≈）A．B．C．D．130m【答案】B【解答】解：如图.过C作CF⊥AD.CE∥AD.BE∥AG.∴∠CEB＝90°.∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°.AC＝50.BC＝100.四边形CEDF是矩形.∴DE＝CF.DF＝CE.在Rt△ACF中.tan∠ACF＝＝tan53°.在Rt△BCE中.tan∠EBC＝＝tan53°.∵tan53°≈.∴＝＝.∴AF＝CF.CE＝BE.在Rt△ACF中.AF2+CF2＝AC2.∴CF2+（CF）2＝502.解得CF＝DE＝30.AF＝×30＝40.在Rt△BCE中.BE2+CE2＝BC2.∴BE2+（BE）2＝1002.解得BE＝60.CE＝DF＝×60＝80.∴AD＝AF+DF＝120.BD＝BE﹣DE＝30.在Rt△ABD中.AD2+BD2＝AB2.∴AB＝＝30．故选：B．4．（2021•松北区三模）如图.胡同左右两侧是竖直的墙.一架3米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上.测得梯子与地面的夹角为45°.此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通.故将梯子底端向右移动一段距离到达D处.此时测得梯子AD与地面的夹角为60°.则胡同左侧的通道拓宽了（）A．米B．3米C．（3﹣）米D．（3﹣）米【答案】D【解答】解：在Rt△EBC中.∠BCE＝45°.∴EC＝EB＝BC＝×3＝3（米）.在Rt△BDE中.tan∠BDE＝.∴DE＝＝＝（米）.∴CD＝EC﹣DE＝（3﹣）米.故选：D．5．（2021•河南模拟）如图.AD是土坡AB左侧的一个斜坡.坡度为55°.村委会在坡底D 处建另一个高为3米的平台.并将斜坡AD改为AC.坡比i＝1：1.求土坡AB的高度．（精确到0.1米.参考数据：sin55°≈0.82.cos55°≈0.57.tan55°≈1.43．）【答案】10.0米【解答】解：过点C作CE⊥AB于E.设AE＝x米.∵CD⊥BD.AB⊥CD.∴四边形CDBE为矩形.∴BE＝CD＝3米.CE＝DB.∵斜坡AC的坡比i＝1：1.∴CE＝AE＝x米.∴AB＝（x+3）米.在Rt△ADB中.tan∠ADB＝.即≈1.43.解得：x≈6.98.则AB＝x+3＝9.98≈10.0（米）.答：土坡AB的高度约为10.0米．6．（2021•九江模拟）如图1是甘棠湖上的一座拱桥.图2是其侧面示意图.斜道AB的坡度tan A＝.斜道CD的坡度tan D＝.得湖宽AD＝76米.AB＝10米.CD＝12米.已知所在圆的圆心O在AD上．（1）分别求点B.C到直线AD的距离；（2）求的长．【答案】（1）点B到直线AD的距离为10米.点C到直线AD的距离为12米（2）π【解答】解：（1）过点B作BE⊥AD于E.过点C作CF⊥AD于F.在Rt△BAE中.tan A＝.即＝.设BE＝x米.则AE＝3x米.由勾股定理得：BE2+AE2＝AB2.即x2+（3x）2＝（10）2.解得：x1＝10.x2＝﹣10（舍去）.∴BE＝10米.AE＝30米.在Rt△DCF中.tan D＝.即＝.设CF＝y米.则DF＝2y米.由勾股定理得：CF2+DF2＝CD2.即y2+（2y）2＝（12）2.解得：y1＝12.22＝﹣12（舍去）.∴CF＝12米.DF＝24米.答：点B到直线AD的距离为10米.点C到直线AD的距离为12米；（2）连接OB、OC.∵AD＝76米.AE＝30米.DF＝24米.∴EF＝76﹣30﹣24＝22米.设OE＝z米.则OF＝（22﹣z）米.在Rt△BEO中.OB2＝BE2+OE2.在Rt△CFO中.OC2＝CF2+OF2.∴BE2+OE2＝CF2+OF2.即102+z2＝122+（22﹣z）2.解得：z＝12.则OE＝12米.OF＝10米.∴△BEO≌△OFC.∴∠BOE＝∠OCF.∵∠COF+∠OCF＝90°.∴∠COF+∠BOE＝90°.∴∠BOC＝90°.在Rt△BEO中.OB＝＝＝2（米）.∴的长＝＝π（米）．7．（2021•九龙坡区模拟）重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示.兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人飞机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处.无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处.测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度.点M、C、D在同一条直线上．（1）求无人机的飞行高度AM；（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）（已知数据：sinα＝.cosα＝.tanα＝.sinβ＝.cosβ＝.tanβ＝2.≈1.732）【答案】（1）AM为200 （2）207.3米【解答】解：（1）根据题意可知：∠ACM＝β.AC＝100米.∴AM＝AC•sinβ＝100×＝200（米）.答：无人机的飞行高度AM为200米；（2）根据题意可知：∠ECD＝α.AB＝30米.∠FBD＝30°.如图.作BG⊥MC于点G交AC于点H.∵AB∥CM.∴∠BAH＝∠ACM＝β.∴BH＝AB•tanβ＝30×2＝60（米）.∴HG＝BG﹣BH＝200﹣60＝140（米）.∵AB∥CM.∴△HBA∽△HGC.∴AB：GC＝BH：HG.∴30：GC＝60：140.解得GC＝70（米）.∵∠GBD＝90°﹣30°＝60°.∴GD＝BG•tan∠GBD＝200×＝200（米）.∴CD＝GD﹣GC＝（200﹣70）米.∴DE＝CD•tanα＝（200﹣70）×≈207.3（米）．答：标志物DE的高度为207.3米．。

2023年中考数学一轮复习：解直角三角形及其应用一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线kyx=（k≠0）上，则k的值为（）A．4B．﹣2C D．2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分△BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，△ADC=60°，122AB BC==，则下列结论：①△CAD=30°；②14OE AD=；③S平行四边形ABCD=AB·AC；④27BD=⑤S△BEP=S△APO；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5 3．如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒。

若△BAC=α，则此车的速度为()A．5tanα米/秒B．80tanα米/秒C．5tanα米/秒D．80tanα米/秒二、填空题4．如图，在 ABC 中，AD 是BC 上的高， cos tanB DAC =∠ ，若 1213sinC =， 12BC = ，则AD 的长 ．5．某人沿着坡角为α的斜坡前进80m ，则他上升的最大高度是 m ． 6．如图，建筑物BC 上有一旗杆AB ，点D 到BC 的距离为20m ，在点D 处观察旗杆顶部A 的仰角为52°，观察底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度为 m ．（精确到0.1m ，参考数据：520.79sin ︒≈，52 1.28tan ︒≈ 1.41≈ 1.73≈．）三、综合题7．在Rt△ACB 中，△C=90°，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AB 、AC 分别交于点D 、E ，且△CBE=△A.（1）求证：BE 是△O 的切线； （2）连接DE ，求证：△AEB△△EDB ；（3）若点F 为 AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ，若AO=5，3sin 5CBE ∠= ，求OG 的长.8．如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板 ABC 与(30)DEF B E ∠=∠=︒ ，若将三角板 ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C 与点E 重合时移动终止），移动过程中始终保持点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，如图（2）， AB 与 DF 、 DE 分别交于点P 、M ， AC 与 DE 交于点Q ，其中 AC DF ==，设三角板 ABC 移动时间为x 秒.（1）在移动过程中，试用含x 的代数式表示AMQ 的面积；（2）计算x 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？9．已知AB 是△O 的切线，切点为B 点，AO 交△O 于点C ，点D 在AB 上且DB=DC ．（1）求证：DC 为△O 的切线；（2）当AD=2BD ，CD=2时，求AO 的长．10．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 AB 所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶 A 的仰角为 35︒ ，此时地面上C 点、屋檐上 E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走 8m 到达点D 时，又测得屋檐 E 点的仰角为 60︒ ，房屋的顶层横梁 12EF m = ，//EF CB ， AB 交 EF 于点G （点C ，D ， B 在同一水平线上）.（参考数据：sin350.6︒≈ ， cos350.8︒≈ ， tan350.7︒≈ ，1.7≈ ）（1）求屋顶到横梁的距离 AG ；（2）求房屋的高 AB （结果精确到 1m ）.11．如图，直线 (0)y mx n m =+≠ 与双曲线 (0)ky k x=≠ 交于 A B 、 两点，直线AB 与坐标轴分别交于 C D 、 两点，连接 OA ，若 OA = ，1tan 3AOC ∠= ，点 (3,)B b - .（1）分别求出直线 AB 与双曲线的解析式； （2）连接 OB ，求 AOBS.12．如图，某港口O 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.（1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A 、B 处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？说明理由.（2）若“远航”号沿北偏东60︒方向航行，经过两个小时后位于F 处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE 海岸线上，若他从F 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时80海里.他能在半小时内回到海岸线吗？说明理由.13．如图，某人在山坡坡脚A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60︒ ，沿山坡向上走到p 处再测得点C 的仰角为 45︒ ，已知 100OA = 米，山坡坡度 1:2i = ，且O A B 、、 在同一条直线上，其中测倾器高度忽略不计.（1）求电视塔OC 的高度；(计算结果保留根号形式)（2）求此人所在位置点 P 的铅直高度.(结果精确到0.1米，参考数据：1.41= ， 1.73= )14．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，达到了发射技术的新高度．如图，运载火箭海面发射站点M 与岸边雷达站N 处在同一水平高度。