三角函数 专项训练

三角函数专项训练1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a ﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．9．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．10．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．22．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a ﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：＝2R＝2，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，∴2（）＝（a﹣b）•，化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，故a2+b2﹣c2＝ab．解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，解得C＝，∴c＝2sin C＝2•＝．2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos（B﹣）．∴a sin B＝a cos（B﹣），即sin B＝cos（B﹣）＝cos B cos+sin B sin＝cos B+，∴tan B＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由b sin A＝a cos（B﹣），得sin A＝，∵a＜c，∴cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝＝．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α＝；（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）＝＝．则tan（α+β）＝．∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值【解答】（Ⅰ）解：由，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：，∴a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A＝4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）＝sinωx cos﹣cosωx sin﹣sin（﹣ωx）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），又f（）＝sin（ω﹣）＝0，∴ω﹣＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k+2，又0＜ω＜3，∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y ＝sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sin B＝，可得cos B＝．由已知及余弦定理，有＝13，∴b＝．由正弦定理，得sin A＝．∴b＝，sin A＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．故sin（2A+）＝＝．9．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C＝；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C＝，∴cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sin B sin C＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．10．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sin B＝4（1﹣cos B），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cos B﹣1）2+（cos B﹣1）（cos B+1）＝0，∴（17cos B﹣15）（cos B﹣1）＝0，∴cos B＝；（2）由（1）可知sin B＝，∵S△ABC＝ac•sin B＝2，∴ac＝，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣2××＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x，＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，＝cos2x+sin2x，＝sin（2x+），∴T＝＝π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），∥，∴﹣cos x＝3sin x，当cos x＝0时，sin x＝1，不合题意，当cos x≠0时，tan x＝﹣，∵x∈[0，π]，∴x＝，（2）f（x）＝＝3cos x﹣sin x＝2（cos x﹣sin x）＝2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝a，由正弦定理可得sin C＝sin A＝×＝，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cos C＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，∴S△ABC＝ac sin B＝×7×3×＝6．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，由于函数的最小正周期为π，则：T＝，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．【解答】（1）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B＝A﹣B，或B＝π﹣（A﹣B），化为A＝2B，或A＝π（舍去）．∴A＝2B．（II）解：cos B＝，∴sin B＝＝．cos A＝cos2B＝2cos2B﹣1＝，sin A＝＝．∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝+×＝．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2 ＝2sin2x﹣1+sin2x＝2•﹣1+sin2x＝sin2x﹣cos2x+﹣1＝2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y ＝2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin x+﹣1的图象，∴g（）＝2sin+﹣1＝．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．【解答】解：（1）∵a sin2B＝b sin A，∴2sin A sin B cos B＝sin B sin A，∴cos B＝，∴B＝．（2）∵cos A＝，∴sin A＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B∴sin B+sin A cos B+cos A sin B＝2sin A cos B∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B＝A﹣B，∴A＝2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，∴bc sin A＝，∴2bc sin A＝a2，∴2sin B sin C＝sin A＝sin2B，∴sin C＝cos B，∴B+C＝90°，或C＝B+90°，∴A＝90°或A＝45°．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+＝，∴由正弦定理得：，∴＝，∵sin（A+B）＝sin C．∴整理可得：sin A sin B＝sin C，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝．sin A＝，＝+＝＝1，＝，tan B＝4．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cos A═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝﹣．∵A为三角形的角，∴sin A＝，∴cos（A﹣）＝cos A+sin A＝．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）＝4tan x cos x•（cos x+sin x）﹣＝4sin x（cos x+sin x）﹣＝2sin x cos x+2sin2x﹣＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），则函数的周期T＝；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，当k＝0时，增区间为（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z，当k＝﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．22．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．。

三角函数解答题专项训练1.设向量a=（√3sinx，sinx），b=（cosx，sinx），x∈[0，π/2].（1）若∣a∣=∣b∣，求x的值；（2）设函数f（x）=a*b，求f（x）的最大值.2.已知函数f（x）=2sin（x-π/3）.（1）写出函数f（x）的周期；（2）将函数f（x）图象上所有的点向左平移π/3个单位，得到函数g（x）的图象，写出函数g（x）的表达式，并判断函数g（x）的奇偶性.3.已知函数f（x）=sinx+√3 cosx-√3.（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0,2π/3]上的最小值.4.在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若C=45°，b=4√5，sinB= （1）求c 的值； （2）求sinA 的值.5.已知函数f （x ）=sinx+√3cosx-√3.（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在区间[0,2π/3]上的最小值.6. 已知函数f （x ）=sinx+cosx ，x ∈R.（1）求f （x ）的最小正周期和最大值；（2）函数f （x ）的图象可由y=sinx 的图象经过怎样的变换得到？2√5 57.已知函数f（x）=2cos²x+√3sin2x-1；（1）求f（π/6）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间.8.已知函数f（x）=4cosx sin（x+π/6）-1.（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[-π/6,π/4]上的最大值和最小值.9.已知函数f（x）=2sinwxcoswx+cos2wx（w＞0）的最小正周期为π.（1）求w的值；（2）求f（x）的单调递增区间.10.已知函数f （x ）=cosx sin （x+π/3）-√3cos ²x+x ∈R. （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在[-π/4,π/4]上的最大值和最小值.11.已知函数f （x ）=√3sinx cosx-cos （2x+π/3）-cos ²x.（1）求f （x ）的最小正周期、最值和单调区间.12.已知函数f （x ）=sin ²x+√3sinx cosx+2cos ²x （x ∈R ）.（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求函数的单调区间；（3）求函数图象的对称中心.√3 4。

三角函数专项训练令狐采学圆径为1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接半1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB．证a2+b2﹣c2＝ab；（1）明（2）求角C和边c．对边别为a，b，c．已内A，B，C所的分2．在△ABC中，角知bsinA＝acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；值（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的．为锐tanα＝，cos（α+β）＝﹣．3．已知α，β角，值（1）求cos2α的；值（2）求tan（α﹣β）的．边ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝4．在平面四形2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．5．已知函数f（x）＝sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小．值内A，B，C所的分对边别为a，b，c．已6．在△ABC中，角知asinA＝4bsinB，ac＝（a2﹣b2﹣c2）值（Ⅰ）求cosA的；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值设数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0 7．函＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；将数y＝f（x）的象上各点的坐伸原的图横标长为来（Ⅱ）函个单2倍（坐不），再得到的象向左平移纵标变将图位，图g（x）在[﹣，]上的最得到函数y＝g（x）的象，求值小．对边别为a，b，c．已内A，B，C所的分8．在△ABC中，角知a＞b，a＝5，c＝6，sinB＝．（Ⅰ）求b 和sinA 的；值（Ⅱ）求sin （2A+）的．值9．△ABC 的角内A ，B ，C 的分对边别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为．（1）求sinBsinC ；（2）若6cosBcosC ＝1，a ＝3，求△ABC 的周．长10．△ABC 的角内A ，B ，C 的分对边别为a ，b ，c ，已知sin （A+C ）＝8sin2．（1）求cosB ；（2）若a+c ＝6，△ABC 的面积为2，求b ．11．已知函数f （x ）＝cos （2x﹣）﹣2sinxcosx ．（I ）求f （x ）的最小正周期；（II ）求：证当x∈[﹣，]，时f （x ）≥﹣．12．已知向量＝（cosx ，sinx ），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x 的；值（2）记f（x）＝，求f（x）的最大和最小以及值值对应值的x的．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．值（1）求sinC的；积（2）若a＝7，求△ABC的面．14．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．值（1）求ω的；单调递区间（2）求f（x）的增．内A，B，C所的分对边别为a，b，c，已15．在△ABC中，角知b+c＝2acosB．证A＝2B；（1）明：（2）若cosB＝，求cosC的．值16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．单调递区间（Ⅰ）求f（x）的增；图横标长来2（Ⅱ）把y＝f（x）的象上所有点的坐伸到原的纵标变图位，得个单倍（坐不），再把得到的象向左平移值图g（）的．到函数y＝g（x）的象，求对边别为a，b，c，已17．在△ABC中，角内A，B，C所的分知asin2B＝bsinA．（1）求B；（2）已知cosA＝，求sinC的．值对边别为a，b，c，已内A，B，C所的分18．在△ABC中，角知b+c＝2acosB．证A＝2B；（Ⅰ）明：（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．对边别a，b，c，且19．在△ABC中，角A，B，C所的分是+＝．证sinAsinB＝sinC；（Ⅰ）明：（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tanB．20．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝．长（1）求AB的；值（2）求cos（A﹣）的．21．已知函数f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．义与（1）求f（x）的定域最小正周期；单调（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的性．对边别为a，b，c，已知内A，B，C的分22．△ABC的角2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；长（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周．参考答案圆径为1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接半1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB．证a2+b2﹣c2＝ab；（1）明（2）求角C和边c．证1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边【解答】明：（圆径为1，a、b、c，外接半∴由正弦定理得：＝2R＝2，∴sinA＝，sinB＝，sinC＝，∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sinB，∴2（）＝（a﹣b）•，简a2+b2﹣c2＝ab，化，得：故a2+b2﹣c2＝ab．解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cosC＝＝＝，解得C＝，∴c＝2sinC＝2•＝．对边别为a，b，c．已2．在△ABC中，角内A，B，C所的分知bsinA＝acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；值（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA＝asinB，又bsinA＝acos（B﹣）．∴asinB＝acos（B﹣），即sinB＝cos（B﹣）＝cosBcos+sinBsin＝cosB+，∴tanB＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由bsinA＝acos（B﹣），得sinA＝，∵a＜c，∴cosA＝，∴sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB＝＝．3．已知α，β角，为锐tanα＝，cos（α+β）＝﹣．值（1）求cos2α的；值（2）求tan（α﹣β）的．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α＝；（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）＝＝．则tan（α+β）＝．∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．边ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝4．在平面四形2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．5．已知函数f（x）＝sin2x+sinxcosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最值小．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x+sinxcosx＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m 的最小值为．6．在△ABC 中，角内A ，B ，C 所的分对边别为a ，b ，c ．已知asinA ＝4bsinB ，ac ＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cosA 的；值（Ⅱ）求sin （2B﹣A ）的值【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB ＝bsinA ，又asinA ＝4bsinB ，得4bsinB ＝asinA ，式作比得：两，∴a ＝2b ．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA ＝4bsinB ，得．由（Ⅰ）知，A 角，为钝则B 角，为锐∴．于是，，故．设数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0 7．函＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；图横标长为来将数y＝f（x）的象上各点的坐伸原的（Ⅱ）函个单纵标变将图位，2倍（坐不），再得到的象向左平移图g（x）在[﹣，]上的最得到函数y＝g（x）的象，求值小．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx ﹣）＝sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），又f（）＝sin（ω﹣）＝0，∴ω﹣＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k+2，又0＜ω＜3，∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）＝sin （2x﹣），函将数y ＝f （x ）的象上各点的坐伸原的图横标长为来2倍（坐不），得到函纵标变数y ＝sin （x﹣）的象；图再得到的象向左平移将图位，得到个单y ＝sin （x+﹣）的象，图∴函数y ＝g （x ）＝sin （x﹣）；当x∈[﹣，]，时x﹣∈[﹣，]，∴sin （x﹣）∈[﹣，1]，∴当x ＝﹣，时g （x ）取得最小是值﹣×＝﹣．8．在△ABC 中，角内A ，B ，C 所的分对边别为a ，b ，c ．已知a ＞b ，a ＝5，c ＝6，sinB ＝．（Ⅰ）求b 和sinA 的；值（Ⅱ）求sin （2A+）的．值【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB＝，可得cosB＝．由已知及余弦定理，有＝13，∴b＝．由正弦定理，得sinA＝．∴b＝，sinA＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA＝，∴sin2A＝2sinAcosA＝，cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．故sin（2A+）＝＝．对边别为a，b，c，已知9．△ABC的角内A，B，C的分△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；长（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周．积S△ABC＝【解答】解：（1）由三角形的面公式可得acsinB＝，∴3csinBsinA＝2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC＝；（2）∵6cosBcosC＝1，∴cosBcosC＝，∴cosBcosC﹣sinBsinC＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sinBsinC＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．对边别为a，b，c，已知内A，B，C的分10．△ABC的角sin（A+C）＝8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sinB＝4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，∴cosB＝；（2）由（1）可知sinB＝，∵S△ABC＝ac•sinB＝2，∴ac＝，∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣2××＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；时f（x）≥﹣．证当x∈[﹣，]，（II）求：【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，＝cos2x+sin2x，＝sin（2x+），∴T＝＝π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣12．已知向量＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），x∈[0，π]．值（1）若，求x的；值值对应（2）记f（x）＝，求f（x）的最大和最小以及值的x的．【解答】解：（1）∵＝（cosx，sinx），＝（3，﹣），∥，∴﹣cosx＝3sinx，时sinx＝1，不合意，题当cosx＝0，时tanx＝﹣，当cosx≠0，∵x∈[0，π]，∴x＝，（2）f（x）＝＝3cosx﹣sinx＝2（cosx﹣sinx）＝2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，值值3，当x＝0，时f（x）有最大，最大时f（x）有最小，最小值值﹣2．当x＝，13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．值（1）求sinC的；积（2）若a＝7，求△ABC的面．【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝a，由正弦定理可得sinC＝sinA＝×＝，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cosC＝，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝×+×＝，∴S△ABC＝acsinB＝×7×3×＝6．14．已知函数f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的；值单调递区间（2）求f（x）的增．【解答】解：f（x）＝2sinωxcosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，数为π，由于函的最小正周期则T＝，：解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），数单调递区间为[]（k∈Z）．所以函的增：15．在△ABC 中，角内A ，B ，C 所的分对边别为a ，b ，c ，已知b+c ＝2acosB ．（1）明：证A ＝2B ；（2）若cosB ＝，求cosC 的．值【解答】（1）明：∵证b+c ＝2acosB ，∴sinB+sinC ＝2sinAcosB ，∵sinC ＝sin （A+B ）＝sinAcosB+cosAsinB ，∴sinB ＝sinAcosB﹣cosAsinB ＝sin （A﹣B ），由A ，B∈（0，π），∴0＜A﹣B ＜π，∴B ＝A﹣B ，或B ＝π﹣（A﹣B ），化为A ＝2B ，或A ＝π（舍去）．∴A ＝2B ．（II ）解：cosB ＝，∴sinB ＝＝．cosA ＝cos2B ＝2cos2B﹣1＝，sinA ＝＝．∴cosC ＝﹣cos （A+B ）＝﹣cosAcosB+sinAsinB ＝+×＝．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．单调递区间（Ⅰ）求f（x）的增；图横标长来2（Ⅱ）把y＝f（x）的象上所有点的坐伸到原的个单纵标变图位，得倍（坐不），再把得到的象向左平移图g（）的．值到函数y＝g（x）的象，求【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx ﹣cosx）2 ＝2sin2x﹣1+sin2x＝2•﹣1+sin2x ＝sin2x﹣cos2x+﹣1＝2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，数区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．可得函的增图横标长来2（Ⅱ）把y＝f（x）的象上所有点的坐伸到原的图纵标变y＝2sin（x﹣）+﹣1的象；倍（坐不），可得个单数y＝g（x）＝图位，得到函再把得到的象向左平移图2sinx+﹣1的象，∴g（）＝2sin+﹣1＝．对边别为a，b，c，已17．在△ABC中，角内A，B，C所的分知asin2B＝bsinA．（1）求B；值（2）已知cosA＝，求sinC的．【解答】解：（1）∵asin2B＝bsinA，∴2sinAsinBcosB＝sinBsinA，∴cosB＝，∴B＝．（2）∵cosA＝，∴sinA＝，∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝＝．对边别为a，b，c，已18．在△ABC中，角内A，B，C所的分知b+c＝2acosB．证A＝2B；（Ⅰ）明：（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）明：∵证b+c＝2acosB，∴sinB+sinC＝2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B）＝2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB∴sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B＝A﹣B，∴A＝2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，∴bcsinA＝，∴2bcsinA＝a2，∴2sinBsinC＝sinA＝sin2B，∴sinC＝cosB，∴B+C＝90°，或C＝B+90°，∴A＝90°或A＝45°．对边别a，b，c，且19．在△ABC中，角A，B，C所的分是+＝．证sinAsinB＝sinC；（Ⅰ）明：（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tanB．【解答】（Ⅰ）明：在△证ABC中，∵+＝，∴由正弦定理得：，∴＝，∵sin（A+B）＝sinC．∴整理可得：sinAsinB＝sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝．sinA＝，＝+＝＝1，＝，tanB＝4．20．在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝．长（1）求AB的；值（2）求cos（A﹣）的．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB＝，B∈（0，π），∴sinB＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cosA═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sinBsinC﹣cosBcosC＝﹣．为内∵A三角形的角，∴sinA＝，∴cos（A﹣）＝cosA+sinA＝．21．已知函数f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．义与（1）求f（x）的定域最小正周期；单调（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的性．【解答】解：（1）∵f（x）＝4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．数义为{x|x≠kπ+，k∈Z}，∴x≠kπ+，即函的定域则f（x）＝4tanxcosx•（cosx+sinx）﹣＝4sinx（cosx+sinx）﹣＝2sinxcosx+2sin2x﹣＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），则数T＝；函的周期（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，数区间为kπ﹣得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函的增（，kπ+），k∈Z，时区间为﹣，），k∈Z，当k＝0，增（∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，数减区间为kπ+得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函的（，kπ+），k∈Z，时减区间为﹣，﹣），k∈Z，当k＝﹣1，（∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即在区间[﹣，]上，函的∈数减区间为[﹣，﹣），区间为﹣，]．增（对边别为a，b，c，已知内A，B，C的分22．△ABC的角2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；长（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0简已知等式利用正弦定理化得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，整理得：2cosCsin（A+B）＝sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））＝sinC2cosCsinC＝sinC∴cosC＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝absinC＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．。

三角函数专项训练1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案1．在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，∴由正弦定理得：＝2R＝2，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵2（sin2A﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B，∴2（）＝（a﹣b）•，化简，得：a2+b2﹣c2＝ab，故a2+b2﹣c2＝ab．解：（2）∵a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，解得C＝，∴c＝2sin C＝2•＝．2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos（B﹣）．∴a sin B＝a cos（B﹣），即sin B＝cos（B﹣）＝cos B cos+sin B sin＝cos B+，∴tan B＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由b sin A＝a cos（B﹣），得sin A＝，∵a＜c，∴cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝＝．3．已知α，β为锐角，tanα＝，cos（α+β）＝﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α＝；（2）由（1）得，sin2，则tan2α＝．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）＝＝．则tan（α+β）＝．∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．4．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．5．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，f（x）的最小正周期为T＝＝π；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，即有2m﹣≥，解得m≥，则m的最小值为．6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值【解答】（Ⅰ）解：由，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：，∴a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A＝4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．7．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）＝0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）＝sinωx cos﹣cosωx sin﹣sin（﹣ωx）＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），又f（）＝sin（ω﹣）＝0，∴ω﹣＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k+2，又0＜ω＜3，∴ω＝2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝sin（2x﹣），将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x+﹣）的图象，∴函数y＝g（x）＝sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x＝﹣时，g（x）取得最小值是﹣×＝﹣．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B＝．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sin B＝，可得cos B＝．由已知及余弦定理，有＝13，∴b＝．由正弦定理，得sin A＝．∴b＝，sin A＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝1﹣2sin2A＝﹣．故sin（2A+）＝＝．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C＝；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C＝，∴cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sin B sin C＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，∴sin B＝4（1﹣cos B），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cos B﹣1）2+（cos B﹣1）（cos B+1）＝0，∴（17cos B﹣15）（cos B﹣1）＝0，∴cos B＝；（2）由（1）可知sin B＝，∵S△ABC＝ac•sin B＝2，∴ac＝，∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣2××＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．11．已知函数f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝cos（2x﹣）﹣2sin x cos x，＝（co2x+sin2x）﹣sin2x，＝cos2x+sin2x，＝sin（2x+），∴T＝＝π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣12．已知向量＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）＝，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵＝（cos x，sin x），＝（3，﹣），∥，∴﹣cos x＝3sin x，当cos x＝0时，sin x＝1，不合题意，当cos x≠0时，tan x＝﹣，∵x∈[0，π]，∴x＝，（2）f（x）＝＝3cos x﹣sin x＝2（cos x﹣sin x）＝2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x＝0时，f（x）有最大值，最大值3，当x＝时，f（x）有最小值，最小值﹣2．13．在△ABC中，∠A＝60°，c＝a．（1）求sin C的值；（2）若a＝7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∠A＝60°，c＝a，由正弦定理可得sin C＝sin A＝×＝，（2）a＝7，则c＝3，∴C＜A，∵sin2C+cos2C＝1，又由（1）可得cos C＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝×+×＝，∴S△ABC＝ac sin B＝×7×3×＝6．14．已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，＝，由于函数的最小正周期为π，则：T＝，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x）＝，令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（1）证明：A＝2B；（2）若cos B＝，求cos C的值．【解答】（1）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B＝A﹣B，或B＝π﹣（A﹣B），化为A＝2B，或A＝π（舍去）．∴A＝2B．（II）解：cos B＝，∴sin B＝＝．cos A＝cos2B＝2cos2B﹣1＝，sin A＝＝．∴cos C＝﹣cos（A+B）＝﹣cos A cos B+sin A sin B＝+×＝．16．设f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin（π﹣x）sin x﹣（sin x﹣cos x）2 ＝2sin2x﹣1+sin2x ＝2•﹣1+sin2x＝sin2x﹣cos2x+﹣1＝2sin（2x﹣）+﹣1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）把y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2sin（x﹣）+﹣1的图象；再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sin x+﹣1的图象，∴g（）＝2sin+﹣1＝．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin2B＝b sin A．（1）求B；（2）已知cos A＝，求sin C的值．【解答】解：（1）∵a sin2B＝b sin A，∴2sin A sin B cos B＝sin B sin A，∴cos B＝，∴B＝．（2）∵cos A＝，∴sin A＝，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝．18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2a cos B．（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2a cos B，∴sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B∴sin B+sin A cos B+cos A sin B＝2sin A cos B∴sin B＝sin A cos B﹣cos A sin B＝sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B＝A﹣B，∴A＝2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，∴bc sin A＝，∴2bc sin A＝a2，∴2sin B sin C＝sin A＝sin2B，∴sin C＝cos B，∴B+C＝90°，或C＝B+90°，∴A＝90°或A＝45°．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+＝．（Ⅰ）证明：sin A sin B＝sin C；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2＝bc，求tan B．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+＝，∴由正弦定理得：，∴＝，∵sin（A+B）＝sin C．∴整理可得：sin A sin B＝sin C，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得cos A＝．sin A＝，＝+＝＝1，＝，tan B＝4．20．在△ABC中，AC＝6，cos B＝，C＝．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cos B＝，B∈（0，π），∴sin B＝，∵，∴AB＝＝5；（2）cos A═﹣cos（π﹣A）＝﹣cos（C+B）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝﹣．∵A为三角形的内角，∴sin A＝，∴cos（A﹣）＝cos A+sin A＝．21．已知函数f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）讨论f（x）在区间[﹣，]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）＝4tan x sin（﹣x）cos（x﹣）﹣．∴x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，则f（x）＝4tan x cos x•（cos x+sin x）﹣＝4sin x（cos x+sin x）﹣＝2sin x cos x+2sin2x﹣＝sin2x+（1﹣cos2x）﹣＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），则函数的周期T＝；（2）由2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的增区间为（kπ﹣，kπ+），k∈Z，当k＝0时，增区间为（﹣，），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈（﹣，]，由2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，得kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，即函数的减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z，当k＝﹣1时，减区间为（﹣，﹣），k∈Z，∵x∈[﹣，]，∴此时x∈[﹣，﹣），即在区间[﹣，]上，函数的减区间为∈[﹣，﹣），增区间为（﹣，]．22．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C＝，∴C＝；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S＝ab sin C＝ab＝，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5+．。

三角函数的应用专项训练姓名：__________班级：__________评价：__________一、单选题（共8小题）1. 已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则cos等于( )A. －B. －C.D.2. 已知α∈，sinα＝，则tanα等于( )A. －B. 2C.D. －23. 若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cosα＝，则sinα－cosα的值为( )A. B. － C. D. －4. 函数f(x)＝(0<x<π)的大致图象是( )A. B. C. D.5. 为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin的图象( )A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度6. 下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( )A. f(x)＝|cos 2x|B. f(x)＝|sin 2x|C. f(x)＝cos|x|D. f(x)＝sin|x|7. 已知函数f(x)＝cosωx＋sinωx，ω>0，x∈R.若曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，相邻交点的距离的最小值为，则y＝f(x)的最小正周期为( )A. B. π C. 2π D. 3π8. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)的图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为( )A. 11B. 9C. 7D. 5二、多选题（共5小题）9. 函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. ω＝B. ω＝C. φ＝D. A＝510. 已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法错误的是( )A. 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称B. 函数y＝f(x)的图象关于点对称C. 函数y＝f(x)在上单调递减D. 该图象对应的函数解析式为f(x)＝2sin11. 将曲线y＝sin2x－sin(π－x)sin上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. g(x)的图象关于直线x＝对称B. g(x)在[0，π]上的值域为C. g(x)的图象关于点对称D. g(x)的图象可由y＝cos x＋的图象向右平移个单位长度得到12. 函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，则下列结论中正确的是( )A. f(x)的一个周期为－2πB. y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称C. x＝是f(x)的一个零点D. f(x)在上单调递减13. 对于函数f(x)＝给出下列四个命题，其中为真命题的是( )A. 该函数是以π为最小正周期的周期函数B. 当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1C. 该函数的图象关于直线x＝π＋2kπ(k∈Z)对称D. 当且仅当2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤三、填空题（共4小题）14. y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中心为，若－<θ<，则θ＝________.15. 设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)，A>0，ω>0，－<φ<，x∈R的部分图象如图所示，则A＋ω＋φ＝________.16. 要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向________平移________个单位长度．17. 在如图所示的矩形ABCD中，点E，P分别在边AB，BC上，以PE为折痕将△PEB翻折为△PEB′，点B′恰好落在边AD上，若sin∠EPB＝，AB＝2，则折痕PE的长为________．四、解答题（共4小题）18. 已知函数f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．19. 已知f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)若θ∈，f＝，求sin的值．20. 如图为电流强度I与时间t的关系式I＝A sin(ωt＋φ)的图象．(1)试根据图象写出I＝A sin(ωt＋φ)的解析式；(2)为了使I＝A sin(ωx＋φ)中t在任意一段秒的时间内电流强度I能同时取得最大值|A|与最小值－|A|，那么正整数ω的最小值是多少？21. 如图，某城市拟在矩形区域ABCD内修建儿童乐园，已知AB＝200米，BC＝400米，点E，N分别在AD，BC上，梯形DENC为水上乐园；将梯形EABN分成三个活动区域，M在AB上，且点B，E关于MN对称．现需要修建两道栅栏ME，MN将三个活动区域隔开．设∠BNM＝θ，两道栅栏的总长度L(θ)＝ME＋MN.(1)求L(θ)的函数表达式，并求出函数L(θ)的定义域；(2)求L(θ)的最小值及此时θ的值．1. 【答案】A【解析】∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋2＝1，整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得sin2α＝或sin2α＝－8(舍去)．∵α是第四象限角，∴sinα＝－，∴cos＝cos＝－cos＝sinα＝－.2. 【答案】A【解析】因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－1-sin2α＝－＝－，所以tanα＝＝－.3. 【答案】C【解析】由诱导公式得sin(π－α)＋cosα＝sinα＋cosα＝，平方得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，则2sinαcosα＝－<0，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，又因为α∈(0，π)，所以sinα－cosα>0，所以sinα－cosα＝.4. 【答案】B【解析】因为f(x)＝，＝＝＝＝|cos x|，所以，其在(0，π)上的大致图象为B选项中的图象.5. 【答案】B【解析】将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin 的图象．6. 【答案】A【解析】选项A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故选项A正确；选项B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故选项B不正确；选项C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故选项C不正确；选项D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故选项D不正确．7. 【答案】D【解析】将函数f(x)＝cosωx＋sinωx，ω>0，x∈R化简，可得f(x)＝sin.曲线y＝f(x)与直线y＝1相交，令f(x)＝1，则ωx＋＝＋2kπ或ωx＋＝＋2kπ，k∈Z.设距离最小的相邻交点的横坐标分别为x1，x2，∴－＝ω(x2－x1)，∴x2－x1＝＝，解得ω＝，∴y＝f(x)的最小正周期T＝＝3π.8. 【答案】B【解析】因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9.9. 【答案】ACD【解析】由函数的图象可得A＝5，周期T＝＝11－(－1)＝12，∴ω＝.再由“五点法”作图可得×(－1)＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ＋，k∈Z，∵0≤φ≤2π，∴φ＝.故选ACD.10. 【答案】ABC【解析】由函数的图象可得A＝2，由·＝－，得ω＝2.再由最值得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，得φ＝，得函数f(x)＝2sin，故选项D正确；当x＝－时，f(x)＝0，不是最值，故选项A错误；当x＝－时，f(x)＝－2，不等于零，故选项B错误；由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故选项C错误.11. 【答案】ABD【解析】y＝sin2x－sin(π－x)sin＝＋sin x cos x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，∴g(x)＝sin＋，对于选项A，当x＝时，x－＝，∴g(x)关于直线x＝对称，故选项A正确；对于选项B，当x∈[0，π]时，x－∈，∴sin∈，∴g(x)∈，故选项B正确；对于选项C，当x＝时，x－＝0，g＝，∴g(x)关于点对称，故选项C错误；对于选项D，y＝cos x＋的图象向右平移个单位长度得到y＝cos＋＝cos ＋＝sin＋＝g(x)的图象，故选项D正确．12. 【答案】ABC【解析】∵函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，∴f(x)＝sin＝sin，∴f(x)的一个周期为－2π，故选项A正确；∵y＝f(x)＝sin，∴y＝f(x)的图象的对称轴方程满足2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴当k＝－2时，y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，故选项B正确；由f(x)＝sin＝0，得2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，∴x＝是f(x)的一个零点，故选项C正确；当x∈时，2x－∈，∴f(x)在上单调递增，故选项D错误．13. 【答案】CD【解析】由题意知函数f(x)＝画出f(x)在x∈[0，2π]上的图象，如图所示，由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，故A选项错误；在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故B选项错误；由图象知，函数图象关于直线x＝＋2kπ(k∈Z)对称，故C选项正确；在2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)时，0<f(x)≤，故D选项正确.14. 【答案】－或【解析】函数y＝tan x图象的对称中心是，其中k∈Z，则令2x＋θ＝，k∈Z，其中x＝，即θ＝－，k∈Z.又－<θ<，所以当k＝1时，θ＝－.当k＝2时，θ＝，所以θ＝－或.15. 【答案】3＋【解析】由图可知A＝2，＝－＝，所以T＝2π，所以ω＝1.再根据f＝2得sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为－<φ<，所以φ＝，因此A＋ω＋φ＝3＋.16. 【答案】左【解析】方法一：y＝sin＝cos＝cos＝cos.因此要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度．方法二：y＝cos 2x＝sin＝－sin＝－sin2，y＝sin＝－sin2.因此要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位长度．17. 【答案】【解析】根据题意，设BE＝m，由sin∠EPB＝，得PE＝3m，cos∠PEB＝，从而得到cos∠B′EA＝cos(π－2∠PEB)＝－cos 2∠PEB＝1－2cos2∠PEB＝，由翻折特点可得B′E＝BE＝m.又AE＝2－m，在Rt△B′AE中，cos∠B′EA＝＝，解得m＝，所以PE＝3m＝.18. 【答案】解(1)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)＝cos x＋sin x＝232cosx+12sinx＝2sin，∴f(x)的最小正周期T＝＝2π.(2)由已知得g(x)＝f＝2sin.∵x∈[0，π]，∴x＋∈，∴sin∈，∴g(x)＝2sin∈[－1,2]，∴函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.19. 【答案】解(1)f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos2x＝(1＋2sin x cos x)－cos2x＝sin 2x－＋＝sin＋.所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z,得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由(1)得f＝sin＋＝sin＋＝cosθ＋＝，所以cosθ＝，因为θ∈，所以sinθ＝－√1−cos2θ1-cos2θ＝－，所以sin 2θ＝2sinθcosθ＝－，cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，所以sin＝sin 2θcos－cos 2θsin＝－.20. 【答案】解(1)由题图知，A＝300，T＝－＝，∴ω＝＝100π.∵－＝－，∴φ＝＝，∴I＝300sin(t≥0)．(2)问题等价于T≤，即≤，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.21. 【答案】解(1)在矩形ABCD中，∵B，E关于MN对称，∠BNM＝θ，∴∠AME ＝2θ，∠MEN＝，且BM＝ME.在Rt△AEM中，AM＝ME cos 2θ＝BM cos 2θ.又∵AM＋BM＝200(米)，∴BM cos 2θ＋BM＝200，∴BM＝ME＝＝，∴Rt△EMN中，MN＝＝.∴L(θ)＝ME＋MN＝＋在Rt△BMN中，BN＝MN cosθ＝，∵0<BM<200,0<BN<400，∴函数L(θ)的定义域为.(2)L(θ)＝ME＋MN＝＋＝＝.令t＝sinθ，∵θ∈，∴t∈，令φ(t)＝－t2＋t＝－2＋，当t＝时，φ(t)取最大值，最大值为，此时θ＝，L(θ)取最小值．∴L(θ)的最小值为400 米，此时θ＝.第11页共11页。

三角函数的图像与性质专项训练一、单选题1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到πsin 53y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 5y x =的图象（）A ．向左平移π15个单位长度B ．向右平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度2．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π6个单位长度后得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的一个可能值是（）A ．0B ．π12C ．π6D ．π33．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了得到函数()sin2f x x =的图象，可以把()cos2g x x =的图象（）A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.若π8f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的最大值是（）A ．2B ．6C ．10D ．145．（23-24高一上·浙江湖州·期末）我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是sin y A x ω=．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则（）A ．π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为116C ．()f x 的最小正周期为2π3D ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪上是增函数6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数()*2sin 6f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 有一条对称轴为23x =，当ω取最小值时，关于x 的方程()f x a =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,1)--B ．[1,1)-6⎣7．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数1()2sin(32f x x x π=ω-ω>∈，R)，若()f x 的图象的任意一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（）A ．1287(,[]2396B ．1171729(,][,]2241824C ．52811[,][,]93912D ．11171723[,][]182418248．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数()()sin ,0f x x ωω=>，将()f x 图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．(]0,4B ．(]0,2C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,1【答案】C【详解】因为函数()()sin ,0f x x ωω=>，二、多选题9．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知函数()ππsin cos sin cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥上单调递减D ．函数()f x 的最大值为110．（23-24高一上·浙江湖州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间，点P 的高度()h t 随时间t （单位秒）变化时满足函数模型()()sin h t A t b ωϕ=++，则下列说法正确的是（）A ．函数()h t 的初相为π6B ．1秒时，函数()h t 的相位为0故选：BC ．11．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数π()tan(2)6f x x =-，则（）A ．()f x 的最小正周期是π2B ．()f x 的定义域是π{|π,Z}3x x k k ≠+∈C ．()f x 的图象关于点π(,0)12对称D ．()f x 在ππ(,)32上单调递增三、填空题12．（23-24高一上·浙江金华·期末）函数()π2π200cos 30063f n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n =时，游客流量最大．13．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知()3sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()f x 在区间2π,3θ⎛⎫⎪上有且只有三个零点，则θ的范围为．14．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对x ∀∈R 都有()π3f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤，且在,163⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值集合为四、解答题15．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数22()sin2f x x x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标也缩短到原来的12，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x m =-在区间π0,4⎡⎤⎢⎥内有两个零点，求实数m 的取值范围.16．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知函数()cos2f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥上的值域.17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,R f x x x x x x =++∈．求：(1)函数()f x 的最小值及取得最小值的自变量x 的集合；(2)函数()f x 的单调增区间．18．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知实数0a <，设函数22()cos sin2f x x a x a =+-，且()64f =-．(1)求实数a ，并写出()f x 的单调递减区间；(2)若0x 为函数()f x 的一个零点，求0cos2x ．19．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()24cos 2f x x x a x =--．(1)若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；(2)若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．，。

高中数学三角函数训练卷一、选择题1、已知角α的终边经过点(3, －4)，则sinα的值为（）A 3/5B －3/5C 4/5D －4/5解析：因为角α的终边经过点(3, －4)，所以 r ＝√（3²＋（－4)²) ＝ 5，sinα ＝ y/r ＝－4/5，故选 D。

2、若sinθ ＝ 1/3，且θ是第二象限角，则cosθ的值为（）A －2√2/3B 2√2/3C √10/3D √10/3解析：因为θ是第二象限角，所以cosθ ＜ 0。

又因为sin²θ ＋cos²θ ＝ 1，所以cosθ ＝√（1 sin²θ) ＝√（1 （1/3)²) ＝－2√2/3，故选 A。

3、下列函数中，周期为π的奇函数是（）A y ＝ sin2xB y ＝ cos2xC y ＝ sin(x ＋π/2)D y ＝ cos(x ＋π/2)解析：A 选项，y ＝ sin2x，周期 T ＝2π/2 ＝π，且 sin(－2x) ＝sin2x，为奇函数，A 正确；B 选项，y ＝ cos2x 是偶函数，B 错误；C 选项，y ＝ sin(x ＋π/2) ＝ cosx 是偶函数，C 错误；D 选项，y ＝ cos(x ＋π/2) ＝ sinx 是奇函数，但周期 T ＝2π，D 错误。

故选 A。

4、已知tanα ＝ 2，则sin2α的值为（）A 4/5B 3/5C 2/5D 1/5解析：sin2α ＝2sinαcosα ＝2sinαcosα/（sin²α ＋cos²α) ＝2tanα/（tan²α ＋ 1) ＝ 2×2/（2²＋ 1) ＝ 4/5，故选 A。

5、函数 y ＝ sin(2x ＋π/6)的图象可以由函数 y ＝ sin2x 的图象（）A 向左平移π/6 个单位长度得到B 向右平移π/6 个单位长度得到C 向左平移π/12 个单位长度得到D 向右平移π/12 个单位长度得到解析：对于函数 y ＝ sin(2x ＋π/6) ＝ sin2(x ＋π/12)，所以函数 y＝ sin(2x ＋π/6)的图象可以由函数 y ＝ sin2x 的图象向左平移π/12 个单位长度得到，故选 C。

高中数学三角函数专项训练(含答案)一、填空题1．如图，在棱长均为23的正四面体ABCD 中，M 为AC 中点，E 为AB 中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是______.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角B 为钝角．设△ABC 的面积为S ，若()2224bS a b c a =+-，则sin A +sin C 的最大值是____________．3．法国著名的军事家拿破仑．波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．在三角形ABC 中，角60A =，以,,AB BC AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为123,,O O O ，若三角形123O O O 的面积为3，则三角形ABC 的周长最小值为___________4．如图，某城市准备在由ABC 和以C 为直角顶点的等腰直角三角形ACD 区域内修建公园，其中BD 是一条观赏道路，已知1AB =，3BC =，则观赏道路BD 长度的最大值为______．5．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，直线PB 与平面ABC 所成角的大小为30，23AB =60ACB ∠=︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________．6．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有___________（填序号）.①()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；②方程()()360,2f x g x x π⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所有根的和为712π； ③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于724x π=对称. 7．在三棱锥P ABC -中，4AB BC ==，8PC =，异面直线PA ，BC 所成角为π3，AB PA ⊥，AB BC ⊥，则该三棱锥外接球的表面积为______．8．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=->><<的部分图像如图所示，设函数()266g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的值域为___________.9．已知向量a 与b 的夹角为θ，27sin θ=||4a b -=，向量,c a c b --的夹角为2π，||23c a -=，则a c ⋅的最大值是___________.10．函数ππ5sin (1510)55y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横坐标之和为___________.二、单选题11．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若2222224cos 4sin 33a B b A b c +=-，则cos A 的最小值为（ ）A 2B 7C 7D ．3412．已知函数()21ln e 1xf x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，a ，b ，c 分别为ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且222446,a b c ab +-=则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()sin cos f A f B ≤ B ．f (cos A )≤f (cos B ) C ．f (sin A )≥f (sin B )D ．f (sin A )≥f (cos B )13．已知函数()|sin |(0)f x x ωω=>在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ） A ．5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．8,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦14．已知(){}|sin ,A y y n n Z ωϕ==+∈，若存在ϕ使得集合A 中恰有3个元素，则ω的取值不可能是（ ） A ．27π B ．25π C ．2π D ．23π15．已知函数2()log f x x =，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()2()g x g x π+=；③当[0,]x π∈时，()sin g x x =．则函数()()y f x g x =-在区间[0,4]π上的零点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．816．已知函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，且有()0f ()()1g x f x =-的图象在()0,2π内有5个不同的零点，则ω的取值范围为（ ）A ．5571,2424⎛⎤⎥⎝⎦B ．5571,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．4755,2424⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4755,2424⎛⎤ ⎥⎝⎦17．已知函数()()sin f x x ωφ=+π0,02ωφ⎛⎫><< ⎪⎝⎭在π5π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且π3π088f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π2f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A B ．1 C ．1- D ．18．设锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,3A a π=2b 2c bc ++的取值范围为（ ） A ．(1，9] B ．(3，9] C ．(5，9]D ．(7，9]19．函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈，使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ） A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]5520．函数()2sin(2)()2f x x πφφ=+<的图像向左平移6π个单位长度后对应的函数是奇函数，函数()()23cos 2g x x =+．若关于x 的方程()()2f x g x +=-在[)0,π内有两个不同的解αβ，，则()cos αβ-的值为（ ）A ．55-B ．55C ．255-D ．255三、解答题21．函数()sin y x ωϕ=+与()cos y x ωϕ=+（其中0>ω，2πϕ<）在520,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象恰有三个不同的交点,,P M N ，PMN ∆为直角三角形，求ϕ的取值范围．22．将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()f x 的图象． （1）写出函数()f x 的解析式；（2）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22()2()()1g x f x mf x m =-+-，求()g x 的最小值min ()g x ．23．已知函数 f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1，a ∈R ． （1）写出函数 f （x ）的最小正周期（不必写出过程）； （2）求函数 f （x ）的最大值；（3）当a ＝1时，若函数 f （x ）在区间（0，k π）（k ∈N*）上恰有2015个零点，求k 的值．24．如图所示，在平面四边形ABCD 中，1,2,AB BC ACD ==∆为正三角形.（1）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin(2)3sin A C C +=，求角B 的大小； （2）求BCD ∆面积的最大值.25．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+， （1）求证：2B C =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ac的取值范围.26．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB .在OC 上有一座观赏亭Q ，其中∠AQC ＝23π，.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记∠POB ＝θ(0)2πθ<<.（1）当θ＝3π时，求∠OPQ 的大小； （2）当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．27．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角ΔABC 和以BC 为直径的半圆拼接而成，点P 为半圈上一点（异于B ，C ），点H 在线段BC 上，且满足CH AB ⊥.已知90ACB ∠=︒，1dm AB =，设ABC θ∠=.（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足ABC PCB ∠=∠，且CA CP +达到最大.当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足60PBA ∠=︒，且CH CP +达到最大.当θ为何值时，CH CP +取得最大值，并求该最大值.28．对于函数()f x ，若存在定义域中的实数a ，b 满足0b a >>且()()2()02a bf a f b f +==≠，则称函数()f x 为“M 类” 函数. （1）试判断()sin f x x =，x ∈R 是否是“M 类” 函数，并说明理由；（2）若函数()2|log 1|f x x =-，()0,x n ∈，*n N ∈为“M 类” 函数，求n 的最小值. 29．已知函数 2()sin 2cos 1f x x m x =--- [0,]2x π∈()1若()f x 的最小值为 - 3，求m 的值； ()2当2m =时，若对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，求实数a 的取值范围.30．已知函数()sin 24a a x x b f π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 的值域是2,2⎡⎤-⎣⎦. (1)求常数a ,b 的值;(2)当0a <时,设()2g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,判断函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【参考答案】一、填空题12．983．641 5．20π6．①③7．80π 8．9[,4]4-9．25 10．-7二、单选题 11．C 12．D 13．A 14．A 15．A 16．A 17．D 18．D 19．B 20．D 三、解答题21．,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】且为等腰三角形，由此可确定周期，进而得到ω的知；采用整体对应的方式可知若为三个交点只需95,,442πππϕϕ⎡⎤⎡⎤⊂+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由此可构造不等式求得结果. 【详解】令t x ωϕ=+，结合sin y t =与cos y t =图象可知：sin y t =与cos y t =，其交点坐标分别为4π⎛ ⎝⎭，5,4π⎛ ⎝⎭，94π⎛ ⎝⎭，13,4π⎛ ⎝⎭，．．．，PMN ∆为等腰三角形．PMN ∆∴斜边长为2T πω==，解得，ω=；52553244T T =⋅<，∴两图象不可能四个交点； 由x ⎡∈⎢⎣⎦，有5,2t πϕϕ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，两图象有三个交点只需95,,442πππϕϕ⎡⎤⎡⎤⊂+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 由45924πϕπϕπ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩得：,44ππϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查根据三角函数的交点与性质求解解析式中的参数范围的问题，关键是能够利用正余弦函数的性质类比得到正弦型和余弦型函数的交点所满足的关系，从而根据两函数交点个数确定不等关系.22．（1）2()2sin 233f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭；（2）22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩ 【解析】(1)根据函数图象的变换规律即可求得()f x的解析式;(2)令()t f x =可求得则()[1,3f x ∈+,设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈，通过定区间讨论对称轴4mt =的三种情况()M t 的单调性,进而可确定最小值的情况. 【详解】（1）将函数2sin 3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，可得2sin 23y x =+得图象，再向右平移3π个单位长度得2()2sin 232sin 2333f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）∵,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，242,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则()[1,3f x ∈+， 令()t f x =，则设22()21M t t mt m =-+-，[1,3t ∈+， ①当14m≤，即4m ≤时，函数()M t在[1,3上单调递增， ∴22min ()(1)211M t M m m m m ==-+-=-+；②当134m<<412m <<+ 函数()M t 在1,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,34m ⎛ ⎝上单调递增，∴2min 7()148m M t M m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；③当34m≥+12m ≥+()M t在[1,3+上单调递减，∴2min ()(3(323M t M m m ==-++∴综上有22min21,47()1,4128(32312m m m g x m m m m m ⎧-+≤⎪⎪=-<<+⎨⎪⎪-++≥+⎩． 【点睛】本题考查三角函数图象的变换,考查二次函数在三角函数中的应用,考查定区间动轴的最值取值情况,难度较难.23．（1）最小正周期为π．（2）见解析（3）k ＝1008． 【解析】（1）由题意结合周期函数的定义直接求解即可；（2）令t ，t ∈[1，则当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()2f x t at t μ==-，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()22f x v t t at ==+-，易知()()t v t μ≤，分类比较()1v、v的大小即可得解；（3）转化条件得当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，则x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点，结合函数的周期即可得解. 【详解】（1）函数 f （x ）的最小正周期为π． （2）∵f （x ）＝a （|sin x |+|cos x |）﹣sin2x ﹣1 ＝sin2x ﹣1＝（sin2x +1）， 令t =t ∈[1]，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()(21f x t at t t μ==-≤≤，当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()()(221f x v t t at t ==+-≤≤，∵()()()2222220t v t at t t at t μ-=--+-=-+≤即()()t v t μ≤.∴()()(){}max max max 1,f x v t v v ==，∵()11v a =-，v，∴当1a ≤-()f x 最大值为1a -；当1a >-()f x .（3）当a ＝1时，f （x ）sin 21x -，若f （x ）＝0sin 21x =+即22sin 22sin 2sin x x x =+，∴当且仅当sin2x ＝0时，f （x ）＝0，∴x ∈（0，π]时，f （x ）有且仅有两个零点分别为2π，π， ∴2015＝2×1007+1， ∴k ＝1008． 【点睛】本题考查了三角函数的综合问题，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于难题.24．（1）23B π=；（21. 【解析】 【分析】（1）由正弦和角公式,化简三角函数表达式,结合正弦定理即可求得角B 的大小;（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理及正弦定理用,αβ表示出CD .再根据三角形面积公式表示出∆BCD S ,即可结合正弦函数的图像与性质求得最大值. 【详解】 （1）由题意可得：sin2cos cos2sin 3sin A C A C C +=∴()22sin cos cos 12sin sin 3sin A A C A C C +-=整理得sin (cos cos sin sin )sin A A C A C C -= ∴sin cos()sin A A C C += ∴sin cos sin A B C -= ∴sin 1cos sin 2C c B A a =-=-=- 又(0,)B π∈ ∴23B π=（2）在ABC ∆中,设,ABC ACB αβ∠=∠=,由余弦定理得：22212212cos 54cos AC αα=+-⨯⨯=-, ∵ACD ∆为正三角形,∴2254cos CD C A α=-=, 在ABC ∆中,由正弦定理得：1sin sin ACβα=, ∴sin sin AC βα=, ∴sin sin CD βα=,∵()222222(cos )1sin sin 54cos sin CD CD CD ββααα=-=-=--2(2cos )α=-,∵BAC β<∠,∴β为锐角,cos 2cos CD βα=-, 12sin sin 233BCD S CD CD ππββ∆⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 2CD ββ=+,1cos )sin sin 23πααα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭, ∵(0,)απ∈∴当56πα=时,()max 1BCD S ∆=. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简变形,正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的表示方法,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于中档题. 25．（1）证明见解析；（2）(1,2) 【解析】 【分析】（1）由22b c ac =+，联立2222cos b a c ac B =+-⋅，得2cos a c c B =+⋅，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案； （2）利用正弦定理和2B C =，得2cos 21aC c=+，再确定角C 的范围，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）锐角ABC ∆中，22b c ac =+，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅，2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+， 即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+，sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，可得：sin()sin B C C -=，∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去），2B C ∴=.（2）2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C++====+=+A B C π++=，,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=，022C π∴<<，04C π<<.再根据32C π<，可得6C π<，64C ππ∴<<，(1,2)ac∴∈ 【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题.26．（1）6π.（2）sin θ=. 【解析】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠可得含α，θ的关系式，将其展开化简并整理后得tanαθ＝3π代入得答案；（2）令f (θ)f (θ)的最大值，即此时的sin θ，由（1）可知tan α.【详解】（1）设∠OPQ ＝α，在△POQ 中，用正弦定理可得含α，θ的关系式． 因为∠AQC ＝23π，所以∠AQO ＝3π.又OA ＝OB ＝3，所以OQ在△OPQ 中，OQ OP ＝3，∠POQ ＝2π－θ，设∠OPQ ＝α，则∠PQO ＝2π－α＋θ.由正弦定理，得3sin 2παθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝cos (α－θ)．展开并整理，得tanαθ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.此时当θ＝3π时，tanα因为α∈(0，π)，所以α＝6π. 故当θ＝3π时，∠OPQ ＝6π.（2）设f (θ)θ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.则f′(θ)令f′(θ)＝0，得sinθθ0满足sinθ则cosθ=，即()fθ===列表如下：2由（1）可知tanα＝f(θ)>0，则0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tanα单调递增则当tanαα也取得最大值．故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，sinθ【点睛】本题考查三角函数和解三角形的实际应用，应优先建模，将实际问题转化为熟悉的数学问题，进而由正弦定理构建对应关系，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题. 27．（1）π6θ=（2）当π12θ=，CH CP+【解析】（1）设ABC PCBθ∠=∠=，则在直角ΔABC中，sinACθ=，cosBCθ=，计算得到2sin sin1AC CPθθ+=-++，计算最值得到答案.（2）计算sin cosCHθθ=⋅，得到πsin23CH CPθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭.【详解】（1）设ABC PCBθ∠=∠=，则在直角ΔABC中，sinACθ=，cosBCθ=.在直角ΔPBC中，2cos cos cos cosPC BCθθθθ=⋅=⋅=，sin sin cos sin cosPB BCθθθθθ=⋅=⋅=.22sin cos sin1sinAC CPθθθθ+=+=+-2sin sin1θθ=-++，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1sin 2θ=，即π6θ=，AC CP +的最大值为54. （2）在直角ΔABC 中，由1122ABC S CA CB AB CH ∆=⋅=⋅，可得sin cos sin cos 1CH θθθθ⋅==⋅. 在直角ΔPBC 中，πsin 3PC BC θ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭ππcos sin cos cos sin 33θθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，所以1sin cos cos sin 2CH CP θθθθθ⎫+=+-⎪⎪⎝⎭，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以211sin 2sin cos 22CH CP θθθθ+=-11πsin 22sin 2423θθθ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 所以当π12θ=，CH CP +【点睛】本题考查了利用三角函数求最值，意在考查学生对于三角函数知识的应用能力. 28．（1）不是.见解析（2）最小值为7. 【解析】（1）不是，假设()f x 为M 类函数，得到2b a k π=+或者2b a k ππ+=+，代入验证不成立.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，得到函数的单调区间，根据题意得到326480b b b ---=，得到()6,7b ∈，得到答案.【详解】 （1）不是.假设()f x 为M 类函数，则存在0b a >>，使得sin sin a b =， 则2b a k π=+，k Z ∈或者2b a k ππ+=+，k Z ∈， 由sin 2sin2a ba +=， 当2b a k π=+，k Z ∈时，有()sin 2sin a a k π=+，k Z ∈， 所以sin 2sin a a =±，可得sin 0a =，不成立；当2b a k ππ+=+，k Z ∈时，有sin 2sin()2a k ππ=+，k Z ∈，所以sin 2a =±，不成立， 所以()f x 不为M 类函数.（2）()221log ,02log 1,2x x f x x x -<≤⎧=⎨->⎩，则()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，又因为()f x 是M 类函数，所以存在02a b <<<，满足2221log log 12|log 1|2a ba b +-=-=-， 由等式可得：()2log 2ab =，则4ab =，所以()22142(4)0222a a b a a a -+-=+-=>，则2log 102a b +->，所以得22log 12log 12a b b +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 从而有222log 1log 2a b b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则有()224a b b +=，即248b b b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以43288160b b b -++=，则()()3226480b b b b ----=，由2b >，则326480b b b ---=，令()32648g x x x x =---，当26x <<时，()()26480g x x x x =---<，且()6320g =-<，()7130g =>，且()g x 连续不断，由零点存在性定理可得存在()6,7b ∈， 使得()0g b =，此时()0,2a ∈，因此n 的最小值为7. 【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力. 29．（1）1m =；（2）13[,)8a ∈+∞【解析】 【分析】(1)将函数化为2()cos 2cos 2f x x m x =--，设cos [0,1]t x =∈，将函数转化为二次函数，利用二次函数在给定的闭区间上的最值问题的解法求解.(2) 对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立, 等价于12max1()()24f x f x a -≤-,然后求出函数()f x 的最值即可解决.【详解】（1）2()cos 2cos 2f x x m x =--，[0,]2x π∈令 cos [0,1]t x =∈， 设222()22()2g t t mt t m m =--=---， ①0m <，则min g(0)2()3g t ==-≠-，②01m ≤≤，则2min )3(2t m g =--=-，∴1m =± ∴1m =③1m ，则min g(1)21()3g m t ==--=-，∴1m =.（舍） 综上所述：1m =.（2）对任意12,[0,]2x x π∈都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，等价于12max1()()24f x f x a -≤-，2m=，∴2g()(2)6t t=--，[0,1]t∈max()g(0)2f x==-，min()g(1)5f x==-12max()(25)()3f x f x=---=-∴1234a-≥，∴138a≥，综上所述：13[,)8a∈+∞.【点睛】本题考查三角函数中的二次“型”的最值问题，和双参恒成立问题，属于中档题. 30．(1)2a=,2b=-或2a=-,4b=函数()g x在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.函数()g x在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.【解析】【分析】（1）先求得sin242xπ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦,再讨论0a>和0a<的情况,进而求解即可；（2）由（1）()2sin224f x xπ⎛⎫=-++⎪⎝⎭则()2sin224g x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭进而判断单调性即可【详解】解:(1)当0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,52,444xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以sin24xπ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦,①当0a>时,由题意可得12a a ba a b⎧⎛⨯++=⎪⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩即22a ba b⎧++=⎪⎨⎪+=⎩解得2a=,2b=-；②当0a<时,由题意可得21a a ba a b⎧⎛⨯++=⎪⎨⎝⎭⎪⨯++=⎩,即22a ba b⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,解得2a=-,4b=(2)由（1）当0a<时,2a=-,4b=所以()2sin224f x xπ⎛⎫=-++⎪⎝⎭所以()2sin 22224f x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 224x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令222242k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈,解得388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, 当0k =时,388x ππ-≤≤,则3,0,0,8828ππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⋂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以函数()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,同理,函数()g x 在,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查正弦型函数的单调区间,考查运算能力。

第五章三角函数【压轴题专项训练】一、单选题1．下列命题中正确的是（）A ．终边和始边都相同的角一定相等B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．小于90︒的角一定是锐角D ．大于或等于0︒且小于90︒的角一定是锐角【答案】B 【分析】根据任意角的定义判断．【详解】终边和始边都相同的角不一定相等，可以是终边相同角，故A 错误；始边相同而终边不同的角一定不相等，B 正确；小于90︒的角包括锐角、零角和负角，故C 错误；零角不是锐角，故D 错误；只有B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查任意角的定义，终边相同角的定义，掌握任意角的定义是解题关键．2．在直径为20cm 的圆中，165°圆心角所对应的弧长为（）A ．253πcm B ．556πcm C ．403πcm D ．553πcm 【答案】B 【分析】由角度制和弧度制的转化、弧长与圆心角的关系，即可求得结果.【详解】165°＝180π×165rad ＝1112πrad ，所以l ＝1112π×10＝556π(cm)．故选：B 【点睛】本题考查了角度制和弧度制的转化和求弧长，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.3．已知tan 2α=，则2222sin cos 12sin cos αααα-++等于（）A ．89B ．119C ．67D ．47【答案】A 【分析】对齐次式，先弦化切，再代入求值.【详解】tan 2α=，22sin cos 1αα+=，∴22222222222sin cos 12sin α2tan α2282sin cos 2sin αcos α2tan α12219αααα-+⨯====+++⨯+.故选：A.【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：(1)角的范围的判断；(2)选择合适的公式进行化简求值．4．若点P 在角23π的终边上，且||4OP =，则点P 的坐标是（）A．(2,-B．C．(2--,D．(2)--【答案】A 【分析】设出坐标，根据三角函数的定义建立关系即可求出.【详解】点P 在角23π的终边上，设(),P x y ，0,0x y <>，则可得42tan3yx π===⎪⎩，解得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以点P的坐标是(2,-.故选：A.5．已知3cos cos()2παπα⎛⎫-++=⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（）A ．2B ．-2C ．13D ．3【答案】A 【分析】用诱导公式化简，平方后求得sin cos αα，求值式切化弦后易得结论．【详解】3cos cos()sin cos 2παπααα⎛⎫-++=-= ⎪⎝⎭即21sin cos (sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==，故选：A ．6．已知tan()3α-=-，则22sin sin()cos 3cos αααα--+的值为（）A ．B ．1C ．32D ．32【答案】D 【分析】由题可得tan 3α=，再将所求式化为齐次式即可求出．【详解】由题可得tan 3α=，222222sin sin cos 3cos sin sin()cos 3cos sin cos αααααααααα++--+=+22tan tan 39333tan 1912ααα++++===++．故选：D ．7．已知角α的终边上一点P 的坐标为(sin 2,cos 2)-，则角α的一个弧度数为（）A ．π2+B ．π22+C ．3π22-D ．π22-【答案】D 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式可求α.【详解】因为P 的坐标为(sin 2,cos 2)-且P 在角α的终边上，故cos sin 2α==，同理sin cos 2α==-，而cos sin 22πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，sin sin 22πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故α与22π-的终边重合，又0222ππ<-<，α锐角，故22πα=-，故选：D.8．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，π2ϕ<），若()f x 的图象经过点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，相邻对称轴的距离为π2，则()f x 的解析式可能为（）A ．()πcos 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭B ．()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()π3cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()π4cos 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】先求得2ω=，排除B 、D ，然后把点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入选项A ，C ，排除C.【详解】因为相邻对称轴的距离为周期的一半，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ=⨯=，又2T ππω==，所以2ω=，故选项B ，D 错误；把点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入选项A ，2π43cos cos 03362f πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项A 成立，而把点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入选项C ，2π43cos 3cos 30333f πππ⎛⎫⎛⎫=-==-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选项C 不成立.故选：A.9．1tan15tan15︒-=︒（）A．B．C．-D ．4【答案】C 【分析】切化弦，然后利用倍角公式求解即可.【详解】221sin15cos1515cos 15cos30tan1521tan15cos15sin15cos15sin15sin 302sin ︒︒︒-︒-︒︒-=-==-︒︒︒︒︒︒故选：C10．将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位后得到一个奇函数的图象，则该函数的解析式可能为（）A ．()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【分析】将各选项所给函数按条件平移，判断平移后的函数奇偶性，即得出结果.【详解】A 选项，将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到2sin 2sin 2333y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭显然不是奇函数，故A 错；B 选项，将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到sin cos 36y x x ππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭的图象，函数cos y x =-显然是偶函数，故B 错；C 选项，将函数()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到2cos 2cos233y x x ππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭的图象，函数cos 2x y =-显然是偶函数，故C 错；D 选项，将函数()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后得到2cos 2sin 236y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭的图象，函数sin 2y x =显然是奇函数，故D 正确.故选：D.二、多选题11．(多选)若函数()cos()3f x x π=+，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 的图象关于直线83x π=对称C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在区间(,)2ππ上单调递减【答案】ABC 【分析】由三角函数周期的计算公式，可判定A 正确；由三角函数对称轴的性质，可判定B 正确；求得()cos(3f x x ππ+=-+，令()0f x π+=，得到,6x k k Z ππ=+∈，可判定C 正确；由三角函数单调性的判定方法，可判定D 不正确.【详解】由题意，函数()cos(3f x x π=+，可得()f x 的最小正周期为221T ππ==，所以A 正确；当83x π=时，可得88()cos(cos31333f ππππ=+==-，所以83x π=是函数()f x 的其中一条对称轴，所以B 正确；由()cos()3f x x π=+，可得()cos()cos(33f x x x ππππ+=++=-+，令()0f x π+=，即cos()03x π+=，解得,6x k k Z ππ=+∈，当0k =时，可得6x π=，即6x π=是函数()f x π+的一个零点，所以C 正确；由(,)2x ππ∈，可得54(,)363x πππ+∈，当5(,]36x πππ+∈时，即2(,)23x ππ∈时，函数()f x 单调递减；当4(,)33x πππ+∈时，即2(,)3x ππ∈时，函数()f x 单调递增，所以D 不正确.故选：ABC.12．下列四个选项正确的有（）A ．75-︒角是第四象限角B ．225︒角是第三象限角C ．475︒角是第二象限角D ．315-︒是第一象限角【答案】ABCD 【分析】直接找出各对应角的终边所在象限得答案.【详解】对于A 如图1所示，75-︒角是第四象限角；对于B 如图2所示，225︒角是第三象限角；对于C 如图3所示，475︒角是第二象限角；对于D 如图4所示，315-︒角是第一象限角.故选：ABCD .【点睛】本题考查对象限角的掌握，是对角的定义的考查，属于基础题.13．下列化简正确的是A ．()tan π1tan1+=B ．()()sin cos tan 360ααα-=-C ．()()sin πtan cos πααα-=+D ．()()()cos πtan π1sin 2πααα---=-【答案】AB 【分析】利用诱导公式，及sin tan cos ααα=，依次分析即得解【详解】利用诱导公式，及sin tan cos ααα=A 选项：tan(1)tan1π+=，故A 正确；B 选项：sin()sin sin cos sin tan(360)tan cos oαααααααα--===--，故B 正确；C 选项：sin()sin tan cos()cos παααπαα-==-+-，故C 不正确；D 选项：sin cos cos()tan()cos (tan )cos 1sin(2)sin sin ααπαπααααπααα⋅----⋅-==-=---，故D 不正确故选：AB 【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.14．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列关于函数()f x 说法中不正确．．．的是（）A ．最小正周期为T π=B ．图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数D ．图象关于直线6x π=对称【答案】CD 【分析】根据正弦函数的周期性求出()f x 的周期判断A ；代入法判断B 、D ；根据正弦函数的周期性求出函数()f x 的单调区间判断C.【详解】最小正周期为22T ππ==，A 正确；因为22sin 0333f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 正确；令222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 在5[,],1212k k k Z ππππ-++∈上单调递增，所以函数()f x 在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故C 错；2sin 633f πππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 的图象不关于直线6x π=对称，D错误.故选：CD 三、填空题15．函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b －a 的最大值是________．【答案】43π【分析】由于正弦函数的周期性，可以在一个周期区间内确定函数值为1-和12的x 值，结合周期性性可得结论．【详解】因为函数y ＝sin x ，x ∈[a ，b ]的最小值和最大值分别为－1和12.不妨在一个区间[0，2π]内研究，可知51sin sin662ππ==，3sin 12π=-，由正弦函数的周期性可知(b －a )min ＝352263πππ-=，(b －a )max ＝1354=663πππ-.故答案为：43π．16．sin15cos75︒︒=__________．【分析】由诱导公式和二倍角公式求解．【详解】211cos3022sin15cos75sin15sin15sin 15224-︒︒︒=︒⋅︒=︒===．故答案为：24．17．应用五点法作函数y ＝32sin 1(33x π-的图象时，图象的最高点的坐标是________．【答案】53(,)22π【分析】由正弦型三角函数图像性质求解即可.【详解】由sin 1()33x π-＝1可得x ＝52π，所以图象的最高点的坐标是53(,)22π.故答案为：53(,)22π【点睛】本题主要考查正弦型三角函数图像的性质，属于简单题.18．有下列命题：①若α是第二象限角，且sin =,cos m n αα=，则tan mnα=-；②无论α为何值，都有22sin cos 1αα+=；③一定存在角α，使得22sin cos 1αα+=；④总存在一个角α，使得1sin cos 2αα==．其中正确的有_____．【答案】②③【分析】由同角三角函数的平方关系，商数关系，可判断①、②、③的真假，根据三角函数的性质判断④的真假.【详解】①由sin tan cos mnααα==，错误；②对任意角α，都有22sin cos 1αα+=，正确；同理，③正确；④不存在一个角α，使得1sin cos 2αα==成立，错误；故答案为：②③.四、解答题19．已知角α＝2010°.（1）将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；（2）在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．【答案】（1）752+6ππ⨯，第三象限的角；（2）答案见解析.【分析】（1）根据角度制与弧度制的互化公式进行求解即可；（2）利用代入法进行求解即可.【详解】（1）6772010=2010rad==(52+)rad 18066rad ππππ︒⨯⨯，又73<62πππ<，∴α与76π终边相同，是第三象限的角．（2）与α终边相同的角可以写成72()6k k Z πγπ=+∈，又50πγ-≤<，∴当k ＝－3时，296πγ=-；当k ＝－2时，176πγ=-；当k ＝－1时，56πγ=-.20．若cos130a ︒=，则tan 50︒=__________．【答案】a【分析】利用诱导公式求出cos50︒，然后求出sin 50︒，再求tan 50︒的值．【详解】解：cos130a ︒=即：cos50a ︒=-，所以sin 50︒所以sin 50tan 50cos50︒︒==︒故答案为：a．21．已知3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）求tan 24απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）210；（2）13．【分析】(1)由3cos 5α=-，(,)2παπ∈，求得4sin 5α=，结合两角差的余弦公式，即可求解；(2)由三角函数的基本关系式和诱导公式，求得3tan()24πα-=，再结合二倍角的正切公式，即可求解．【详解】(1)由题意知，3cos 5α=-，(,)2παπ∈，所以4sin 5α=，则34cos()cos cos sin sin 444525210πππααα-=+=-⨯+⨯=(2)由三角函数的基本关系式，可得sin tan s 43co ααα==-，则3tan()cot 24παα-=-=又由22tan()324tan()tan 2()22441tan ()24αππαπααπ-⎡⎤-=-==⎢⎥⎣⎦--，解得1tan(243απ-=或tan()324απ-=-，又因为(,)2παπ∈，可得(0,)244a ππ-∈，所以1tan(243απ-=．【点睛】利用诱导公式、两角和(差)的正弦、余弦、正切公式以及三角函数的基本关系求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形，并且注意角的范围对三角函数符号的影响．22．已知3cos 5α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．（1）求tan α，sin 2α的值；（2）求sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）43-，2425-；（2）410【分析】（1）首先利用同角三角函数关系求出4sin 5α=-，从而得到4tan 3α=-，再利用正弦二倍角公式计算sin2α即可.（2）利用正弦两角差公式展开计算即可得到答案.【详解】（1）因为3cos5α=，,02πα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以4sin5α=-，所以4sin45tan3cos35ααα-===-，24sin22sin cos25ααα==-.（2）314 sin sin cos cos sin333525πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查同角三角函数关系，属于简单题.。

三角函数【1】1、 已知函数x x x f cos sin )(-=，R x ∈．（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若函数)(x f 在0x x =处取得最大值，求)3()2()(000x f x f x f ++ 的值.解：（1）)4sin(2cos sin )(π-=-=x x x x f ，()f x ∴的最小正周期为2π（2）依题意，4320ππ+=k x （Z k ∈），由周期性，)3()2()(000x f x f x f ++12)49cos 49(sin )23cos 23(sin )43cos 43(sin-=-+-+-=ππππππ 2、△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .解：(1) 由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64. 故a ＝b ×sinA sinB ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sinC sinB ＝2×sin60°sin45°＝ 6.3、设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,,a b c且()2cos cos b A C =（1） 求角A 的大小。

（2） 若角6B π=,BC 边上的中线AM ，求ABC ∆的面积。

解：1)6π=A (7)2)3=S (7)4、如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin 13BAD ∠=，3cos 5ADC ∠=．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．解：（I ）由3cos 5ADC ∠=，得24sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=……………2分又5sin 13BAD ∠=，则212cos 1sin 13BAD BAD ∠=-∠=…………4分故()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠412353351351365=⨯-⨯=……………………7分（Ⅱ）在△ABD 中，由正弦定理知，sin sin BD ADBAD ABD =∠∠，则533sin 132533sin 65AD BADBD ABD⨯⨯∠===∠……………………………………11分故ABD ∆的面积为1sin 3302S AD BD ADB =⋅∠=……………………14分5、设函数0)R,(x )4 x sin((x) f >∈+=ωπω的部分图象如右图所示。