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考研数学线代典型题型的分析

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考研数学线代典型题型的分析
考研数学线代典型题型的分析
矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础。

矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终。

这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程。

涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题。

这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的`命题。

常见题型有以
下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换
的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。

向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。

考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法
并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。

常见题型有：判定向量
组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由
一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。

往年
考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代
数部分考查的重点内容。

本章的重点内容有：齐次线性方程组有非
零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组
基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数
取值的讨论)。

主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判
别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的
通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。

特征值、特征向量是
线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部
分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。

重点题型有：数值矩阵的特征值和
特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的
相似对角化、由特征值或特征向量反求A、有关实对称矩阵的问题。

由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的，所以二次型的很多问
题都可以转化为它的实对称矩阵的问题，可见正确写出二次型的矩
阵式处理二次型问题的一个基础。

重点内容包括：掌握二次型及其
矩阵表示，了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和
惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正
定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。

重点题型有：二次型表
成矩阵形式、化二次型为标准形、二次型正定性的判别。

第一部分，行列式和矩阵。

行列式和矩阵是线性代数的基础部分，在考试中常以选择题填空题的形式出题。

在这部分，重点内容是行列式的计算，逆矩阵以及
初等变换和初等矩阵。

其中，行列式是线性代数中最基本的运算之一，考试直接考查行列式的知识点不多，但作为间接考查的内容，
行列式的计算在后续各个章节的题目中都有所涉及。

矩阵是线性代
数中最基本的内容，线性代数中绝大多数运算都是通过矩阵进行的，其相关的概念和运算贯穿整个学科。

线性代数中基本上没有题目不
涉及到矩阵以及矩阵的运算的。

第二部分，线性方程组与向量。

线性方程组与向量是线性代数的核心内容，也是理解线性代数整个学科的枢纽。

整个线性代数的前半部分的主要知识点都可以以线
性方程组的相关理论为轴串联起来，后半部分的特征值与特征向量
和二次型等理论也是通过线性方程组与前面联系起来的。

因此，本
章是考生系统地把握整个学科的关键。

在考试中这部分所占的比重
非常大，一般每年考查一道大题加一道小题。

大题可以考向量组的
线性相关性，也可以考含参数的线性方程组求解。

第三部分，特征向量与二次型。

考试中，这部分所涉及的题目多，分值大，特征值与特征向量是线性代数的重要内容，也是重要的考点之一，既是对前面矩阵、线
性方程组的知识的综合应用，也是后面二次型的基础。

二次型是对
特征值与特征向量相关知识的发展与应用，用到的方法也与上一章
类似，在考试中一般与特征向量交替或是结合出题。

一、按照大纲掌握基础。

考研数学试题最大的特点是重视“三基”的考查，会占到整个试卷的80%，而且数学是一门演绎的科学，只有对基本概念有深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。

所以想要考研数学少丢分，先要对基本概念、定理理解准确，掌握
好数学中最基本的解题方法。

二、全面复习，并加强解综合性试题和应用题能力的训练。

三、重视历年真题。

据统计，每年的研究生入学考试的内容较之前几年都有较大的重复率，解题的思路和所用到的知识点也很相像，所以要求考生重视
历年真题。

做真题可分两步，第一步一套套地做，这样一是可以检
验复习水平，发现不足的地方。

另外为合理安排考场上答题时间积
累经验。

第二步，按照章节进行做，在第一步基础上，有些题目有
可能会做错，接下来，在各个章节中在专题中做，把该类型的题目，最近十年考试题好好研究，弄清楚常考的是哪些情况，有可能怎么
变化，还有可能怎么考。

另外，要求考生通过对考研的试题类型、
特点、思路进行系统的归纳总结，有意识地重点解决解题思路问题
对提高考生解题的速度和准确性是有很大帮助的。

对于那些具有很
强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路
的培养，尽管试题千变万化，其知识结构基本相同，题型相对固定。

四、把握考研最后20天。

在最后20天，建议考生重温一遍教材，查遗补漏，将知识条理化、系统化。

这个阶段还可以做八套左右的难度适中的模拟题或之
前留下来的真题，但千万不能做太难太偏的模拟题，不然不仅做了
无用功甚至对参考失去信心的，也起不到锻炼的价值。

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考研数学中特征值与特征向量常见题型及解题方法

考研数学中特征值与特征向量常见题型及解题方法


『ｌ １
ｌ
Ｉ是矩阵Ａ＝Ｊ ５ 【一１ Ｊ 【一１
『２
一ｌ
ａ
『２
２］
３
ｆ３
—２ ｏ ２
３］
３ —１
ｂ一２
Ｊ
ｌ的一个特征向
ｌ
ｌ的秩为２，故ｈ＝４对应一个线性无关的特征向量，
【一ｌ
Ｊ
量，试确定参数ａ＇ｂ及特征向量∈所对应的特征值．
２
Ａ不可以相似对角化． 纵观近几年考研真题。几乎每年都会出现关于特征值与
１ ｆ １］
特征值与特征向量． 解：（Ｉ）由Ａ＝ｅｄ３‘和０【‘１３＝０有
『１ 例４：设矩阵Ａ＝ｌ—ｌ
２
４—３
ａ
【ｌ
—３１ ｌ的特征方程有一个二重根，
５
Ｊ
求ａ的值．并讨论Ａ是
１ Ｊ
，
Ａ２：（ｄｐＴ）（ｄｐ’）ｐＴ＿ｄ（＾）＝００【１３Ｔ＝ｏ．
（２）设入是Ａ的任一特征值，１１是属于特征值入的特征向量，
一、根据已知条件求特征值与特征向量
征值入的特征向量是（
Ａ．ｐ－’ａ Ｂ．ｐｒａ
）
ｃ．Ｐａ
Ｄ．（Ｐ．’）０
解：Ａ是实对称矩阵，故（Ｐ‘１ＡＰ）ｒ＝ｐ’Ａ（ｐＴ）一，由Ａ俚：入仅知
（ｐ－’ＡＰ）’（＾）ＰＴＡ仅：入＾，故应选Ｂ．
四、根据特征值与特征向量讨论矩阵能否对角化
例ｌ：向量ａ‘＝（ａｌ，ａ２，…，ａｎ），ｐ１＝（ｂｌ，ｂ２，…，ｂ。）都是非零向 量，且满足条件ｄ１１３＝０，记ｎ阶矩阵Ａ＝０【Ｂ‘．求（１）Ａ‘；（２）矩阵Ａ的
引用本文格式：李秉焱.王进朵 考研数学中特征值与特征向量常见题型及解题方法[期刊论文]-考试周刊 2013(A2)
程组（０Ｅ—Ａ）ｘ＝０的基础解系
考研备考数学题型分布及分值比例

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考研备考数学题型分布及分值比例考研数学一题型及分值分析数一考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟.二、答题方式答题方式为闭卷、笔试.三、试卷内容结构高等教学 56%线性代数 22%概率论与数理统计 22%四、试卷题型结构单选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题(包括证明题) 9小题，共94分函数，多重微积分，微积分方程，级数，是高数部分大题必考的。

线性代数部分无论出不出大题都要全看，因为线代是一个整体，思路贯穿始终。

概率的大题求概率分布，函数的比较多。

五、科目考试区别：1.线性代数数学一、二、三均考察线性代数这门学科，而且所占比例均为22%，从历年的考试大纲来看，数一、二、三对线性代数部分的考察区别不是很大，唯一不同的是数一的大纲中多了向量空间部分的知识，不过通过研究近五年的考试真题，我们发现对数一独有知识点的考察只在09、10年的试卷中出现过，其余年份考查的均是大纲中共同要求的知识点，而且从近两年的真题来看，数一、数二、数三中线性代数部分的试题是一样的，没再出现变化的题目，那么也就是说从以往的经验来看，2015年的考研数学中数一、数二、数三线性代数部分的题目也不会有太大的差别!2.概率论与数理统计数学二不考察，数学一与数学三均占22%，从历年的考试大纲来看，数一比数三多了区间估计与假设检验部分的知识，但是对于数一与数三的大纲中均出现的知识在考试要求上也还是有区别的，比如数一要求了解泊松定理的结论和应用条件，但是数三就要求掌握泊松定理的结论和应用条件，广大的考研学子们都知道大纲中的“了解”与“掌握”是两个不同的概念，因此，建议广大考生在复习概率这门学科的时候一定要对照历年的考试大纲，不要做无用功!3.高等数学数学一、二、三均考察，而且所占比重最大，数一、三的试卷中所占比例为56%，数二所占比例78%。

985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答

985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答

B 7 ! AB BA
, 2. 定义 Mn.C / 上的变
(1)求变换 T 的特征值. (2)若 A 可对角化，证明 T 也可对角化.
四.(20 分) A 为 n 阶实对称矩阵，令
S D fX jX T AX D 0, X 2 Rng
(1)求 S 为 Rn 中的一个子空间的充要条件并证明. (2)若 S 为 Rn 中的一个子空间，求 di mS .
C pn n
二.(15 分) 设 f .x/ 2 C Œa, b，f .a/ D f .b/，证明 9xn, yn 2 Œa, b, s.t . lim .xn yn/ D n!1 0，且 f .xn/ D f .yn/.
三.(15 分) 证明
Xn .
kD0
1/k
Cnk
k
C
1 m
C
1
D
X m .
kD0
1/k
Cmk
k
C
1 n
C
1
其中m, n是正整数
Y 1
X 1
四.(15 分) 无穷乘积 .1 C an/ 收敛，是否无穷级数 an 收敛？若是，证明这个
nD1
nD1
结论；若不是，请给出反例.
X 1
ż1
五.(15 分) 设 f .x/ D xn ln x，计算 f .x/dx.
0
nD1
六.(15 分) 设定义 .0, C1/ 上的函数 f .x/ 二阶可导，且 lim f .x/ 存在，f 00.x/ 有 x!C1 界，证明 lim f 0.x/ D 0. x!C1
(1)证明存在正交矩阵 P 使得
0
P T AP
D
BB@
a 0
0
1
考研数学：线性代数知识点汇总

考研数学：线性代数知识点汇总

2019考研数学：线性代数知识点汇总摘要：尽管考研数学的考查内容各个学校的侧重点不一样，但是都是在考研大纲里面的更改。

因此，了解好考研数学的每一个小知识点，才能全面掌握考研数学。

就帮大家整理了一些线性代数的知识点，分享给在数学上犯愁的同学们。

►【行列式】1、行列式本质就是一个数2、行列式概念、逆序数考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。

3、二阶、三阶行列式具体性计算考研：不会单独出题，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。

4、余子式和代数余子式考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。

5、行列式展开定理考研：核心知识点，必考！6、行列式性质考研：核心知识点，必考！小题为主。

7、行列式计算的几个题型①、划三角（正三角、倒三角）②、各项均加到第一列（行）③、逐项相加④、分块矩阵⑤、找公因这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。

考研：经常运用在找特征值中。

⑥数学归纳法⑦范德蒙行列式⑧代数余子式求和⑨构造新的代数余子式8、抽象型行列式（矩阵行列式）①转置②K倍③可逆③伴随④题型丨A+B丨；丨A+B-1丨；丨A-1+B丨型（这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容）考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察。

►【矩阵】1、矩阵性质考研：与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。

2、数字型n阶矩阵运算①方法一：秩是1②方法二：含对角线上下三角为0的矩阵③方法三：利用二项式定理，拆写成E+B型④方法四：利用分块矩阵⑤方法五：P-1AP=B；P-1APP-1AP=B2方法五涉及相似对角化知识。

方法三涉及高中知识。

考研：常见在大题出现，是大题的第一问！看到数字型n阶矩阵运算，一定出自这5个方法。

（二战考上，如果本题不会做，你的问题出在只掌握这五种方法的某几种，所以你是失败在归纳总结上了）3、伴随矩阵考研：伴随矩阵常与其他知识考察，与行列式、转置、K倍、可逆、伴随的伴随结合考察。