考研数学思维导图例题解析

数学一（By 风吟）高等数学线性代数概率论与数理统计函数、极限、连续一元函数微分学一元函数积分学向量代数和空间解析几何多元函数微分学多元函数积分学无穷级数常微分方程行列式矩阵向量线性方程组矩阵的特征值和特征向量二次型随机事件和概率随机变量及其分布多维随机变量及其分布随机变量的数字特征大数定律和中心极限定理数理统计的基本概念参数估计假设检验函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数一阶微分形式的不变性 微分中值定理洛必达（L’Hospital ）法则 函数单调性的判别 函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 弧微分 曲率的概念 曲率圆与曲率半径原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用向量的概念 向量的线性运算 向量的数量积和向量积 向量的混合积两向量垂直、平行的条件 两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算 单位向量 方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念 平面方程 直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件 点到平面和点到直线的距离球面 柱面 旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形 空间曲线的参数方程和一般方程 空间曲线在坐标面上的投影曲线方程多元函数的概念二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上多元连续函数的性质 多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数 方向导数和梯度 空间曲线的切线和法平面 曲面的切平面和法线 二元函数的二阶泰勒公式 多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用 二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用 两类曲线积分的概念、性质及计算 两类曲线积分的关系 格林（Green ）公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系 高斯（Gauss ）公式 斯托克斯（Stokes ）公式 散度、旋度的概念及计算 曲线积分和曲面积分的应用 常数项级数的收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与p 级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶（Fourier ）系数与傅里叶级数 狄利克雷（Dirichlet ）定理常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli ）方程 全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 欧拉（Euler ）方程 微分方程的简单应用行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理矩阵的概念 矩阵的线性运算矩阵的乘法 方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵 矩阵的初等变换初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算向量的概念向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组 向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念n 维空间向量的基变换和坐标变换过渡矩阵 向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基 正交矩阵及其性质线性方程组的克拉默（Cramer ）法则 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似变换、相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵二次型的秩 惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性随机事件与样本空间 事件的关系与运算完备事件组 概率的概念 概率的基本性质古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布 多维随机变量及其分布二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 矩、协方差、相关系数及其性质切比雪夫（Chebyshev ）不等式切比雪夫大数定律伯努利（Bernoulli ）大数定律 辛钦（Khinchine ）大数定律棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace ）定理列维-林德伯格（Levy-Lindberg ）定理总体 个体简单随机样本统计量 样本均值样本方差和样本矩X2分布t 分布 T 分布 分位数正态总体的常用抽样分布随机变量函数的分布点估计的概念 估计量与估计值矩估计法 最大似然估计法 估计量的评选标准 区间估计的概念单个正态总体的均值和方差的区间估计 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计显著性检验假设检验的两类错误单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。

第2讲位置（思维导图+学问梳理+典型精讲+易错专练）一、思维导图二、学问点梳理学问点一：用数对表示具体情境中物体的位置。

1、列和行的意义：竖排为列，横排为行；2、确定列和行的方法：确定列数从左往右数，确定行数从前往后数；3、用数对表示物体的位置：先数列数，再数行数，把两个数写在括号里，用逗号隔开，表示为（列数，行数）。

三、典型精讲考点一：用数对表示物体位置【典型一】（2020春•高邑县期中）如图，一个正方形的四个顶点分别是A、B、C、D，假如A点的位置是（1，1），B点的位置是（5，1），C点的位置是（5，5），那么D点的位置是（）A．（5，1）B．（1，5）C．（5，0）D．（0，5）【分析】依据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列，其次个数字表示行，A点的位置是（1，1），可得点A在第1列第1行，C点的位置是（5，5），可得点C在第5列第5行，所以点D在第1列第5行，那么D点的位置是（1，5），据此得解．【解答】依据分析可知：D点的位置是（1，5）．故选：B．【典型二】我会确定位置。

（1）民生学校所在位置用数对表示为（8，5），请在图中方格里标出来。

（2）李刚同学家在（2，3），每天上学先向北面走2格，再向东面走6格就到学校了。

【分析】（1）依据数对的表示位置的方法，在图中标出民生学校的位置即可。

（2）依据地图上的方向和格数进行求解。

（答案不唯一）【解答】解：（1）（2）李刚同学家在（2，3），每天上学先向北面走2格，再向东面走6格就到学校了。

故答案为：北，2，东，6。

考点二：在方格纸上用数对确定物体位置【典型一】如图，假如有一个D点，顺次连接A、B、C、D、A能得到一个平行四边形．那么请你画出D点，并用数对表示．再按挨次连出这个平行四边形．【分析】依据平行四边形的特征，平行四边形对边平行且相等，因此，点D与点A在同一行，由于点A在点B的左边一列，点D也在点C的左一列，即点D在第7列，第2行，依据依据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，其次个数字表示行数，即可用数对表示点D的位置．【解答】解：假如有一个D点，顺次连接A、B、C、D、A能得到一个平行四边形．那么请你画出D点，并用数对表示．再按挨次连出这个平行四边形（下图）：点D用数对表示是：（7，2）．【典型二】如图是绿苑动物园平面图的一部分．①熊猫馆在大门的正北方向200米处．②假如用（9，1）表示大门的位置，请你用数对表示出其它景点的位置．熊猫馆（9，3）；鸟林（1，8）；虎园（5，5）；孔雀巢（2，4）；猴山（12，7）③请你在图中标出这两个景点的位置．海底世界（4，7）狮子馆在大门东400m处．【分析】（1）依据给出的方向标，明确上北、下南、左西、右东，推断方位，在正北方，1格表示100米，向北2格即200米；（2）依据供应的数对，明确数对的表示方法即：先写列，再写行；进而得出；（3）依据给出的条件，画图即可；【解答】解：①熊猫馆在大门的正北方向200米处．②熊猫馆（9.3）；鸟林（1，8）；虎园（5，5）；孔雀巢（2，4）；猴山（12，7）．③如图，故答案为：正北，200，（9，3），（1，8），（5，5），（2，4），（12，7）．四、易错专练一、选择题（满分16分）1．王刚的座位用数对（3，5）表示，如图，他后面同学的座位用数对表示是（）。

2024年考研数学复分析题型详解及答案讲解在2024年的考研中，数学科目一直是各大考生关注的焦点，而复分析题型更是其中的难点之一。

本文将围绕2024年考研数学复分析题型进行详解，并提供相应的答案讲解，希望对考生有所帮助。

一、函数的解析性质在复分析中，函数的解析性质一直是研究的重点。

主要包括函数的解析性、全纯性和调和性等概念。

在考试中，我们经常会遇到与函数解析性质相关的选择题。

例如，考题可能会给出一个函数的定义式，要求判断其在某个区域内是否解析。

对于这类题目，我们一般需要利用函数的柯西—黎曼条件来进行判断。

如果柯西—黎曼条件在给定的区域内成立，则函数是解析的。

二、级数展开与积分计算级数展开和积分计算是复分析中常见的计算方法。

在考试中，我们可能会遇到需要对函数进行级数展开的题目，或者需要计算某个函数的积分值。

对于级数展开，我们可以利用泰勒级数或洛朗级数进行展开。

对于给定的函数，我们可以根据定义进行级数展开，然后利用展开式计算问题中要求的值。

对于积分计算，我们可以利用留数定理或者围道定理等方法进行求解。

对于给定的积分，我们可以通过找到合适的路径，将积分化简为简单的形式，然后利用定义或现有的公式进行计算。

三、解析函数的应用解析函数在实际问题求解中有着广泛的应用。

在考试中，我们可能会遇到需要利用解析函数进行问题求解的题目。

例如，题目可能给出一个实际问题，要求我们利用解析函数的性质进行求解。

在此类问题中，我们需要将实际问题转化为解析函数的形式，然后运用解析函数的性质进行计算。

四、常见题型详解及答案讲解1. 判断函数的解析性质题目描述：给定函数$f(z)=\frac{e^z}{z^3-z}$，判断其在区域$D=\{z|\frac{1}{2}<|z|<1\}$内是否解析。

答案讲解：为了判断函数的解析性质，我们需要验证柯西—黎曼条件是否成立。

柯西—黎曼条件要求函数的实部和虚部满足一定的偏导数关系。

首先，我们计算函数$f(z)$的实部和虚部：实部：$u(x,y)=\mathrm{Re}(f(z))=\frac{e^x\cos y}{x^3-x}-\frac{e^x\sin y}{x^3-x}$虚部：$v(x,y)=\mathrm{Im}(f(z))=\frac{e^x\sin y}{x^3-x}+\frac{e^x\cos y}{x^3-x}$然后，计算实部和虚部的偏导数：$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{3e^x\sin y}{x^3-x}-\frac{3e^x\cos y}{(x^3-x)^2}$$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{e^x\cos y}{x^3-x}-\frac{e^x\sin y}{x^3-x}$$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{3e^x\cos y}{x^3-x}+\frac{3e^x\sin y}{(x^3-x)^2}$$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{e^x\sin y}{x^3-x}+\frac{e^x\cos y}{x^3-x}$根据柯西—黎曼条件，我们有：$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$通过计算可以发现，这两个偏导数关系在区域$D$内成立。

第六章平面几何【思维导图】【知识点】1.线、角（1）两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；（2）任意对顶角相等（3）角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等（4）垂直平分线（中垂线）：到线段两边的距离相等2.三角形的性质：（1）三角形内角和等于180°.（2）三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角的和.（3）三角形三边的关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. （4）三角形的中位线：三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半（5）三角形的面积公式： = ℎ = a s ，C 为a,b 两边之间的夹角.（6）三角形四心：内心：三条角平分线的交点，三角形的内切圆圆心.外心：三条边的垂直平分线（中垂线）的交点，三角形的外接圆圆心.重心：三条中线的交点，重心将中线分为2:1 的两段.垂心：三条高线的交点.【注】等边三角形四心合一；等腰三角形三线合一.3.三角形的分类（1）按角分a.直角三角形：有一个角是直角.勾股定理：在直角三角形ABC 中，∠C 为直角，则有2 + 2 = 2.等腰直角三角形：①两直角边相等的直角三角形②边长关系1:1：2③面积公式：S = a2 = c2，a 值为等腰直角三角形的直角边，c 是斜边.有一个角为30°的直角三角形：①30°所对的直角边的边长是斜边边长的一半.②三边边长关系为 1：3：2 任意直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.b.锐角三角形：三个角都是锐角.锐角三角形：2 + 2 > 2.c.钝角三角形：有一个角大于90°.钝角三角形：2 + 2 < 2.（2）按边分a.等腰三角形：有两个边的长度相等的三角形或两个内角相等的三角形.b.等边三角形（正三角形）：三角形的三条边，三个角相等的三角形，面积公式为： = 2.4.三角形的全等和相似（1）三角形全等【定义】即两个三角形的大小和形状完全相等，即对应角，对应边完全相等.【判定定理】判断两个三角形全等的充要条件a.两个三角形有两边及对应的夹角相等：SAS.b.两个三角形有两个角及对应的夹边相等：ASA.c.两个三角形的三条边对应相等：SSS.d.两个三角形有两个角及一条边对应相等：AAS.（2）三角形相似【定义】两个三角形是放大、缩小关系.【性质】a.两个三角形对应的边长成比例，对应的角相等.b.两个相似三角形对应的线段比等于相似比.c.两个三角形的周长比等于相似比.d.两个三角形的面积比等于相似比的平方.【判定定理】a.两个三角形有一个内角对应相等，其两夹边对应成比例.b.两个三角形有2 组内角对应相等.c.两个三角形的3 条边对应成比例.5.四边形（1）平行四边形【定义】两组对边分别平行的四边形.【性质】a.平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分.b.一对对边平行且相等的四边形是平行四边形.【公式】a.面积公式： = ℎ.b.周长公式： = 2( + ).a、b 分别是平行四边形的两边长，h 为底边上的高.（2）矩形【定义】四个内角都为直角的四边形.【性质】a.两对角线相等且互相平分.b.矩形的面积等于长乘宽.c.四边相等的矩形为正方形.【公式】a.矩形面积公式： = a.b.矩形周长公式： = 2( + ).a、b 分别是矩形的两边长.c.正方形面积公式：= 2.d.正方形周长公式： = 4.（3）梯形【定义】只有一组对边平行的四边形.【公式】a.梯形的中位线： = ( + ).b.梯形的面积等于高和中位线的乘积：S = ( + )ℎ.（4）等腰梯形【定义】两腰的长度相等（或两底角相等）的梯形.【性质】a.等腰梯形的两腰相等.b.等腰梯形在同一底上的两个底角相等.c.等腰梯形的两条对角线相等.d.等腰梯形中，若两条对角线互相垂直，则该梯形的高与中位线的长度相等. （5）菱形【定义】有一组邻边相等的平行四边形.【性质】a.四条边全部相等.b.菱形的对角线互相垂直且平分.c.菱形的对角线平分对角.【公式】a.菱形面积公式：S = c，c、d 两条对角线的长度.b.菱形的周长公式： = 4，a 是菱形的边长.6.定理（1）燕尾定理：针对任意三角形∆A: ∆ = : ∆A: ∆ = A: ∆: ∆ = A:（2）蝶形定理：针对任意四边形对于任意四边形有：1: 2 = 4: 3，即1: 3 = 2: 4.AO: OC = (1 + 2): (4 + 3). DO: OB= (1 + 4): (2 + 3).对于任意梯形 ABCD，假设上底 AD=a，下底 BC=B，则1: 2: 3: 4 = 2: a: 2: a.（3）共角定理（鸟头定理）共角三角形的面积比等于对应角（相等角或者互补角）两夹边的乘积之比. ∆B: ∆A = (B ∙ A): (A ∙ ).B C B C7.圆【定义】a.圆：与定点 O 距离等于 r 的平面上动点的轨迹，O 为圆心，r 为半径.b.切线（平面几何）：直线与圆只有一个交点，即为圆的切线.c.角的弧度：把圆弧长度和半径的比值.AD EDAE【性质】在圆 O 中，半径为 r，直径为 d=2r，线段 AB 和 AC 是过圆外点 A 的两条切线.a.直径所对的圆周角是直角.b.同一弧所对应的圆周角是其所对应的圆心角的一半.c.除了直径外，所有的弦长都小于直径（直径是圆中最长的弦）.d.等弧对等角.e.圆的切线在切点处与半径垂直.f.从圆外一点所作圆的两条切线相等.【公式】半径为 r 的圆，a.面积 = 2 = 1c2.4b.周长 = 2 =c.度与弧度的换算关系：1 弧度= 180°.π扇形的弧长： = = ∙ 2，为扇形的弧度，为扇形的角度.360扇形的面积公式： = 2 =，是扇形的弧长，为扇形的角度，是半径.3608.内切圆与外接圆（1）等边三角形的外接圆与内切圆半径：设边长为 a 的等边三角形，其内切圆半径为，其外接圆半径为. 任意直角三角形的内切圆半径为+−，其中 a，b 为直角边，c 为斜边.2（2）正方形的内接圆与外切圆：设正方形的边长为 a，则正方形的内切圆半径 = ，正方形的外接圆半径 =.2第七章立体几何【思维导图】【知识点】1.常见的空间几何体（1）长方体体积： = a表面积： = 2(a + + ) 体对角线： = 2 + 2 + 2 所有棱长和：= 4( + + )【注】当 = = 时为正方体.（2）正方体设正方体的棱长为 a，则体积： = 3表面积： = 62体对角线： =3 所有棱长和：12（3）圆柱设圆柱的底面半径为 r，高为 h，圆柱的轴截面为一个矩形，体积： = 2ℎ 侧面积： = 2ℎ表面积： = 2ℎ + 22 体对角线： =42+ ℎ2（4）球体半径 R 的球体，体积：= 3表面积： = 42（5）半球半径为 R 的半球体，体积：= 3表面积： = 322.内切球，外接球半径设正方体的棱长为 a，球体的半径为 r，则正方体的内切球半径： =2 正方体的外接球半径：= 正方体的外接半球半径： =第八章解析几何【思维导图】【知识点】1.平面直角坐标系平面直角坐标系和象限平面内的点的坐标表示为P(x, y)，其中x 表示横坐标，y 表示纵坐标.2.点点在平面直角坐标系中的表示为(, )，设两点(1, 1)与点(2, 2)，则两点间的距离为： = (1 − 2)2 + (1 − 2)2，特别地，点(, )与坐标原点(0,0)的距离为 = 2 + 2.中点坐标公式：点(1, 1)与点(2, 2)，则线段AB 的中点(3, 3)，3 = 1+22 , 3 = 1+22.3.平面直线的倾斜角和斜率（1）平面直线的倾斜角【定义】直线与 x 轴正方向所成的夹角称之为直线的倾斜角，记为∠A。

《高等数学部分》题型考点01极限的概念与性质【通用方法】极限与无穷小的关系：00lim (),()(1)x x f x A x x f x A o .题型考点02无穷小的比较（1）高阶无穷小、等价无穷小【通用方法】用定义转化成函数极限的计算问题.（2）无穷小排序【通用方法】利用0()lim0n x f x k x，解得n ，然后排序.题型考点03函数求极限【通用方法】（1）分析：把?x 代入极限，分析类型和化简方法（2）化简：①根式有理化②提公因子③计算非零因子④等价无穷小替换⑤拆分极限存在的项⑥幂指函数指数化⑦变量替换（尤其是倒代换）（3）计算：①洛必达法则②泰勒公式题型考点04极限的反问题（1）已知极限求另一极限【通用方法】加减乘除凑已知极限（2）已知极限求参数【通用方法】7种化简方法、泰勒公式、洛必达法则题型考点05函数的渐近线【通用方法】（1）垂直渐近线：若 )(lim x f ax ，则函数存在渐近线a x ；（2）水平渐近线：若b x f x)(lim ，则函数存在渐近线b y ；（3）斜渐近线：若b kx x f kx x f x x ])([lim )(lim ，则函数存在渐近线b kx y .题型考点06利用单调有界准则求数列极限【通用方法】（1）单调性①计算n n u u 1.若01 n n u u ，则}{n u 单调递增；若01 n n u u ，则}{n u 单调递减.②若)(1n n u f u ，构造函数)(x f ，单调数列应该有0)( x f ，若12u u ，则}{n u 单调递增；若12u u ，则}{n u 单调递减；另外，若0)( x f ，则数列不单调.（2）有界性①数学归纳法②均值不等式题型考点07求n 项和的数列极限【通用方法】①定积分定义②夹逼准则题型考点08判断函数的连续性与间断点【通用方法】①连续的定义②四种间断点的定义题型考点09一个点的导数【通用方法】一个点的导数用定义题型考点10切线方程与法线方程【通用方法】①求00(),()f x f x ②代入切线方程与法线方程.题型考点11各类函数求导（1）反函数求导【通用方法】反函数的导数等于原来函数导数的倒数.（2）复合函数求导【通用方法】从外层往内层逐层求导相乘.（3）隐函数求导【通用方法】把y 看成x 的函数，等式两边直接求导.（4）参数方程求导【通用方法】()()(),()()y t h t y h t y x t x t.（5）变限积分函数求导【通用方法】①设)()(21)()(x x dt t f x F，则)()]([)()]([)(1122x x f x x f x F ；②设xdt t xf x F 0)()(，则)()()()(00x xf dt t f dt t f x x F xx；注：被积函数中含有求导的变量时，要把变量分离出来，再求导.③设xdt t x f x F 0)()(，则令t x u ， xdu u f x F 0)()(，)()(x f x F .注：被积函数中含有求导的变量但不能直接分离时，要通过换元分离，再求导.（6）分段函数求导【通用方法】分段函数分段求，分段点处定义求题型考点12求0x 处的n 阶导数【通用方法】利用泰勒公式的唯一性题型考点13判断函数的单调性、极值点与凹凸性、拐点【通用方法】求函数的一阶导数、二阶导数进行判断题型考点14不等式的证明【通用方法】利用单调性证明（1）移项到大于号一边，构造()F x （2）求()()F x F x ,，判断()F x 的单调性（3）找()F x 的最小值点，验证最小值大于等于0.题型考点15方程根的问题【通用方法】①单调性②零点定理题型考点16曲率与曲率半径（仅数一、二要求）【通用方法】曲率公式232)1(y y K，KR 1.题型考点17罗尔定理的证明题【通用方法】（1）证明一阶导等于零（0)( f ），找两个原函数的点相等；（2）证明二阶导等于零（0)( f ），找三个原函数的点相等，或者两个一阶导相等；（3）证明表达式的题目（0)](),(,[ f f G ），思路如下：草稿纸上：① 换成x 把要证明的表达式抄下来；②两边移项，目的是便于积分求原函数注：遇到)(x f 可以把它除到)(x f 下面去，积分为)(ln x f ；③两边积分，目的是构造有用的)(x F 试卷上：令 )(x F ，易知)(x F 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，再证明)(x F 两个点相等即可.（4）双介值问题：解题思路：①分离介值，把含不同介值的表达式移到等号两边；②结合（3）的思路，分别使用微分中值定理证明左边C ，右边C 即可注：C 为某常数，需要通过其中一边C ，满足罗尔定理的情况下，求得.另外，若只是证明存在两个介值，则不需要把区间分段；若要求证明存在两个不同的介值，则必须把区间分段，证明介值分别来自两个不同的区间.题型考点18拉格朗日中值定理的证明题【通用方法】找对区间（一般需要将区间等分或者根据第一问提示点将区间分开），在各区间上使用拉氏定理，然后相加相减凑所证结论.题型考点19泰勒中值定理的证明题【通用方法】找对展开点（一般为区间中点或端点），然后写出泰勒展开式，带入端点值，相加相减凑所证结论.题型考点20不定积分的计算【通用方法】①凑微分②去根号③分部积分④有理函数积分题型考点21定积分的计算【通用方法】①牛顿莱布尼兹公式②定积分的换元法③区间再现④分段函数分段积分⑤含抽象函数的积分使用分部积分题型考点22积分不等式的证明【通用方法】①转化为函数不等式，利用单调性证明②积分中值定理题型考点23含变限积分函数的等式方程【通用方法】①初值②求导题型考点24反常积分的计算【通用方法】在瑕点处拆开，直接按定积分计算.题型考点25反常积分敛散性的判定【通用方法】根据比较审敛法的极限形式，与P 积分进行比较判断.题型考点26定积分的几何应用【通用方法】微元法（1）求平面图形的面积① dxx y x y S ba121② d r S2221③dtt t ydx S ba3（2）求旋转体的体积① dxx fV bax2②bay dxx xf V2③d y V Dx（3）求平面曲线的弧长d r r dt t y t x dxx y ds 222221（仅数一、二要求）（4）求旋转体的侧面积ydsd S 2 侧（仅数一、二要求）题型考点27定积分的物理应用（仅数一、二要求）【通用方法】微元法（1）变力沿曲线做功①FSW ②maF （2）静水侧压力①PS F ②ghP（3）引力问题①221r m m GF 万②221r Q Q kF 库题型考点28微分方程的求解【通用方法】根据各类微分方程的固定求解步骤进行即可.（1）一阶微分方程①可分离变量的方程②齐次方程③一阶线性微分方程（2）可降阶的微分方程①不显含y 的微分方程②不显含x 的微分方程（3）二阶常系数线性微分方程①二阶常系数线性齐次方程②二阶常系数线性非齐次方程（4）伯努利方程、欧拉方程（仅数一）通过换元化为常见方程求解题型考点29微分方程的物理应用（仅数一、二要求）【通用方法】从问题出发，找两个变量，列微分方程.题型考点30多元复合函数求偏导【通用方法】①画出复合函数关系图②从外往内逐层求偏导题型考点31多元隐函数求偏导【通用方法】①直接求②公式法③一阶微分形式不变性（全微分法）题型考点32偏积分【通用方法】注意对x 积分时加)(y C ，对y 积分时加)(x C .题型考点33多元函数极值【通用方法】①令偏导数等于0解得驻点②根据充分条件判断极值题型考点34多元函数条件极值【通用方法】①代入法②拉格朗日乘数法题型考点35多元函数求闭区域上的最值【通用方法】①开区域内求极值②边界上求条件极值③比大小题型考点36各类积分比大小【通用方法】①不等式性质②对称性③格林公式、高斯公式（仅数一）题型考点37二重积分的计算【通用方法】①画D②观察对称性③选择坐标系和积分次序④化为累次积分计算题型考点38数项级数敛散性的判断（仅数一、三）【通用方法】（1）正项级数①比较审敛法（极限形式）②比值（根植）审敛法（2）交错级数①加绝对值后判断是否绝对收敛②莱布尼兹判别法（3）一般级数①加绝对值后判断是否绝对收敛②级数敛散性的性质题型考点39幂级数的收敛域及和函数（仅数一、三）【通用方法】（1）收敛域比值法（2）和函数逐项积分，逐项求导（3）函数展开成幂级数①逐项积分，逐项求导②常见泰勒级数题型考点40函数展开成傅里叶级数（仅数一）【通用方法】（1）周期为 2的傅里叶级数①10sin cos 2~)(n n n nx b nx a a x f ，其中,2,1,sin )(1,)(1,2,1,cos )(1n nxdx x f b dx x f a n nxdx x f a n n.②余弦级数若)(x f 为偶函数，则10cos 2~)(n n nx a a x f ，其中.0,)(2,2,1,cos )(200n n b dx x f a n nxdx x f a③正弦级数若)(x f 为奇函数，则1sin ~)(n nnx bx f ，其中,2,1,sin )(2,2,1,0,00n nxdx x f b n a n n（2）周期为l 2的傅里叶级数10sincos 2~)(n n n lxn b l x n a a x f ，其中 l l n l l n dx lxn x f l b dx l x n x f l a sin )(1,cos )(1.（3）狄里克雷收敛定理设)(x f 是周期为 2的可积函数，且满足①)(x f 上],[ 连续或只有有限个第一类间断点；②)(x f 上],[ 只有有限个单调区间，则)(x f 的以 2为周期的傅里叶级数收敛，且2)0()0()(000x f x f x S .题型考点41空间解析几何（仅数一）【通用方法】（1）平面与直线①平面点法式②直线点向式（2）曲面与曲线①旋转曲面轨迹法②投影曲线消元法（3）空间曲面的切平面与空间曲线的切线①曲面的法向量),,(z y x F F F ②曲线的切向量))(),(),((t z t y t x 或))(),(,1(x z x y 等.题型考点42三重积分的计算（仅数一）【通用方法】①投影法②截面法③柱面坐标④球面坐标题型考点43曲线积分的计算（仅数一）【通用方法】（1）第一类曲线积分①对称性②参数法（2）第二类曲线积分①对称性②参数法③积分与路径无关④格林公式题型考点44曲面积分的计算（仅数一）【通用方法】（1）第一类曲面积分①对称性②一投二代三计算（2）第二类曲面积分①对称性②一投二代三定号③轮换投影法④高斯公式题型考点45多元积分学的应用（仅数一）【通用方法】（1）质心、形心①质心横坐标D Dd y x f d y x xf x),(),(；dVz y x f dV z y x xf x ),,(),,(；LL dsy x f ds y x xf x ),(),(；dSz y x f dS z y x xf x ),,(),,(.②形心横坐标（数二、三的同学要求掌握平面图形的形心）DDd xd x；dVxdV x ；L Ldsxds x ；dSxdSx .（2）转动惯量2mr I 题型考点46场论公式（仅数一）【通用方法】（1）方向导数①定义),()cos ,cos (lim 00000y x f y x f l.②可微函数cos cos y x f f l.（2）梯度),(),(y x f f y x gradf （3）散度zR y Q x P A div（4）旋度Qy j A rot题型考点47经济学应用（仅数三）【通用方法】（1）边际)(x f dxdy（2）弹性xdx y dy E yx《线性代数部分》题型考点01数值型行列式的计算【通用方法】边化零，边展开题型考点02抽象行列式的计算【通用方法】①化为乘法②特征值的乘积题型考点03方阵的幂【通用方法】（1）找规律（2）若1)( A r ，则A A 1n nl，其中)(A tr l .（3）若1A P ΛP ，则P ΛP A nn1.题型考点04矩阵的秩【通用方法】①化行阶梯形②利用秩的9个结论题型考点05具体方程组的求解【通用方法】①化行阶梯形②化行最简形③写出同解方程组④写出通解题型考点06抽象方程组的求解【通用方法】解的结构（1）齐次方程组的基础解系：①是解②无关③个数()n r A （2）非齐次方程组的通解： 通通特非齐非题型考点07向量组的线性相关性【通用方法】①秩②定义题型考点08向量组的线性表示【通用方法】①秩②定义题型考点09向量组的极大无关组【通用方法】①部分组②无关③个数()r A .题型考点10相似对角化【通用方法】（1）解0 E A 得特征值123,, ；（2）解()0x E A 得特征向量123,,ααα；（3）令123(,,) P ααα，则1P AP Λ.题型考点11正交变换法化二次型为标准形【通用方法】（1）解0 E A 得特征值123,, ；（2）解()0x E A 得特征向量123,,ααα；（3）正交化得：123,,βββ；（4）单位化得：123,,γγγ；（5）令123(,,) Q γγγ，则在正交变换x y Q 下，二次型的标准形为222112233y y y .题型考点12配方法化二次型为标准形【通用方法】①优先配交叉项少的变量②所用变换必须为可逆变换题型考点13二次型的正定型【通用方法】等价条件：①0,0Tx x x A ；②特征值均大于0；③正惯性指数为n ；④顺序主子式均大于0.《概率统计部分》题型考点01概率计算公式【通用方法】（1）加法公式()P A B C 加奇减偶（2）减法公式()()()P AB P A P AB （3）乘法公式()(|)()(|)()P AB P A B P B P B A P A （4）条件概率()(|)()P AB P A B P B（5）全概率公式1()(|)()nk k k P A P A B P B （6）贝叶斯公式(|)()(|)()k k k P A B P B P B A P A题型考点02概率密度与分布函数【通用方法】（1）概率密度①()1f x dx；(,)1xoyf x y d ②()0f x ；(,)0f x y （2）分布函数①规范性()0,()1F F ②右连续性00(0)()F x F x ③单调不减性题型考点03常见分布【通用方法】题型考点04二维连续型随机变量的分布【通用方法】（1）边缘概率密度()(,),()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx（2）条件概率密度(,)()()X Y Y f x y f x y f y（3）独立性若(,)()()X Y f x y f x f y ，则,X Y 独立（4）事件概率{(,)}(,)DP X Y D f x y d题型考点05随机变量函数的分布【通用方法】（1）一维连续型随机变量函数的概率密度分布函数法：①定义②代入③讨论④求导（2）一维连续型随机变量函数的概率密度分布函数法：①定义②代入③讨论④求导公式法：()(,(,))Z y f z f x y x z dx z（3）离散型+连续型随机变量函数的概率密度分布函数法：①定义②代入③全概率公式④讨论⑤求导题型考点06数字特征【通用方法】（1）随机变量的数字特征①期望 取值概率②方差性质化简，公式计算③协方差性质化简，公式计算④相关系数性质化简，公式计算（2）统计量的数字特征①E X EX②1D X DX n③2ES DX④2()E n n⑤2()2D n n题型考点07二维正态分布的性质【通用方法】若221212(,)~(,;,;)X Y N ，则：（1）边缘分布都是服从一维正态分布，即 221122~,,~,X NY N .（2）X 和Y 任意的非零线性组合aX bY 服从一维正态分布.（3）X 和Y 相互独立的充要条件是相关系数0 .（4）若12,Z Z 是,X Y 的非零线性组合，则 12,Z Z 也服从二维正态分布.题型考点08三大抽样分布【通用方法】（1）2分布：222212()nn X X X （2）F 分布：22()(,)()m mF m n n n（4）t 分布：()t n（5）若12,,,n X X X 为来自正态总体2~(,)X N 的简单随机样本，则：~(0,1)X N②222(1)~(1)n S n ~(1)X t n 题型考点09点估计【通用方法】（1）矩估计总体的矩等于样本的矩（2）最大似然估计①离散型1()()n i i L P X X ；1()ln(())ni i LnL P X X ②连续型1()()ni i L f x ；1()ln(())ni i LnL f x 题型考点10估计量的评选标准【通用方法】（1）无偏性 ()E（2）有效性若 12()()D D ，则 1 比 2更有效（3）一致性P。

函数的极限、连续极限定义性质唯一性局部有界性局部保号性重要计算方法洛必达法则运算法则泰勒公式公式展开原则1无穷小比阶无穷小量高阶无穷小lim f(x)\g(x)=x→\?02低阶无穷小lim f(x)\g(x)=x→\?∞3等阶无穷小5lim f(x)\g(x)=x→\?14同阶无穷小lim f(x)\g(x)=x→\?A(不包括0,1)6（7个）未定式的样式和已定式的具体解法未定式——0/0I——1^∞II——∞/∞III——∞-∞IV——0*∞V——∞^0VI——0^0VII已定式带入数值直接计算连续、间断连续点的定义间断点的分类第一间断点可去间断点左、右极限存在，并且相同子主题1跳跃间断点左、右极限存在，并且不相同子主题1第二间断点无穷间断点子主题1震荡间断点子主题1备注：1. 适用条件主要原则：相消不为零原则次要原则：上下同阶原则2. 函数f(x)趋向于∞的速度函数g(x)快可以理解为高阶比低阶3. 函数f(x)趋向于∞的速度函数g(x)慢可以理解为低阶比高阶4. 两个函数趋向于1的速度一样快（同阶）5. 适用条件：x趋向于0，？趋向于01、sin x~x ——(推广) sin ?=?2、arc sin x~x ——(推广)arc sin ?~?3、tan x~x ——(推广)tan ?~?4、arc tan x~x ——(推广)arc tan?~? 5、e^x-1~x ——(推广)e^?-1~? 6、ln (1+x)~x ——(推广)l n (1+?)~?7、1- cos x~1\2 x^2 ——(推广)1- cos?~1\2 ？^2 8、(1+x)^?-1~?x ——(推广) (1+?)^a-1~a?6. 两个函数趋向于A的速度差不多一样快（同阶）。

2024年考研数学知识模块大总结随着每年考研的临近，考研数学成为了很多考生关注的焦点。

对于即将参加2024年考研的考生来说，了解数学知识模块的内容及重点是非常重要的。

下面是对2024年考研数学知识模块的大总结。

一、高等代数在高等代数模块中，重点关注以下几个方面的知识：1. 向量空间：- 向量空间的定义与性质- 子空间、张成空间和线性无关的概念- 基和维数- 线性映射和线性变换的概念与性质- 线性映射的矩阵表示和线性变换的标准矩阵2. 矩阵理论：- 矩阵的运算与性质- 矩阵的秩、特征值和特征向量- 矩阵的相似和对角化- 正交矩阵和正交对角化- 矩阵的特征分解和奇异值分解3. 行列式与线性方程组：- 行列式的定义和性质- 行列式的计算和性质- 矩阵的秩与线性方程组的解的关系- 线性方程组的解的存在唯一性和解的结构二、数学分析数学分析是考研数学中最重要的模块之一，重点关注以下几个方面的知识：1. 极限与连续：- 数列极限和函数极限的定义与性质- 极限的四则运算和极限存在准则- 连续函数的定义与性质- 闭区间上连续函数的性质- 极值和最值2. 导数与微分：- 导数的定义与性质- 高阶导数与高阶导数的运算- 微分的定义与性质- 高阶微分与泰勒公式- 函数的凸凹性与最值3. 积分与级数：- 不定积分和定积分的定义与性质- 积分的基本公式和换元法- 数值积分和定积分的应用- 广义积分的收敛性和计算- 级数的概念与性质- 收敛级数和判别法三、概率论与数理统计在概率论与数理统计模块中，重点关注以下几个方面的知识：1. 概率论基础：- 随机试验、样本空间和事件的概念- 概率的定义与性质- 条件概率和独立性- 事件的全概率公式和贝叶斯公式- 随机变量和分布函数的概念- 离散型和连续型随机变量的分布函数2. 数理统计基础：- 参数估计与点估计- 最大似然估计和矩估计- 区间估计和假设检验- 正态总体的参数估计与假设检验- 卡方检验和t检验的应用3. 随机过程与统计推断：- 随机过程、马尔可夫链和隐马尔可夫模型- 统计推断的基本原理和方法- 极大似然估计和贝叶斯估计- 模型检验和参数估计的统计性质- 时间序列分析和回归分析的应用四、线性规划与组合数学线性规划与组合数学是考研数学中的辅助模块，重点关注以下几个方面的知识：1. 线性规划：- 线性规划的基本概念和最优性条件- 单纯形法和对偶性理论- 整数规划和0-1整数规划- 网络流和线性规划的应用2. 图论与组合数学：- 图的基本概念和性质- 连通性和最小生成树- 图的着色和Hamilton回路- 动态规划和组合数学的基本方法以上是对2024年考研数学知识模块的大总结。