幂函数的性质与图像 幂函数及其性质 1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2、函数的图像和性质（1）y x = （2）12y x= （3）2y x = （4）1y x -=（5）3y x =用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。
3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. （4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .：4. 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 在[0，+∞]上，y x =、2y x=、3y x=、12y x=是增函数，在（0，+∞）上，1y x -=是减函数。
例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2223mm f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。
幂函数的概念与性质在数学中，幂函数是一种常见而重要的函数类型。
它是一种形如f(x) = x^n的函数，其中n是常数，x是自变量，而f(x)则是因变量。
幂函数的性质取决于n的值，下面将详细介绍幂函数的概念与性质。
一、幂函数的定义幂函数是一类特殊的单变量函数，其定义为f(x) = x^n，其中n是常数，x是自变量。
在这个函数中，自变量x的值经过幂指数n的运算而得到新的函数值f(x)。
当幂函数的指数n为正数时，函数图像会呈现出不同的特点。
例如当n为2时，幂函数为f(x) = x^2，它代表了二次函数的图像，是一个开口向上的抛物线。
当n为3时，幂函数为f(x) = x^3，它代表了一个呈现出S形曲线的三次函数。
同理，幂函数的指数n为负数时，函数图像也会呈现出不同的形状。
二、幂函数的性质1. 定义域和值域：幂函数的定义域为实数集R，除非指数n为分数时会有例外。
对于n为整数的幂函数，其值域为非负实数集R+；当n 为奇数时，幂函数的值域为整个实数集R。
2. 对称性：当幂函数的指数n为偶数时，函数图像关于y轴具有对称性。
当幂函数的指数n为奇数时，函数图像关于原点具有对称性。
3. 单调性：幂函数的单调性与指数n的正负性有关。
当n为正数时，幂函数是递增的；当n为负数时，幂函数是递减的。
4. 极限性质：幂函数具有一些特殊的极限性质。
当n大于0时，随着x趋于正无穷或负无穷，幂函数的值趋于正无穷；当n小于0时，随着x趋于正无穷或负无穷，幂函数的值趋于零。
5. 奇偶性：幂函数的奇偶性与指数n的奇偶性一致。
当n为偶数时，幂函数为偶函数；当n为奇数时，幂函数为奇函数。
6. 渐近线：幂函数的图像可以存在水平渐近线、斜渐近线和铅直渐近线。
具体的渐近线取决于指数n的正负和奇偶性。
7. 凸凹性：当指数n大于1时，幂函数的图像为凸函数；当指数n小于1时，幂函数的图像为凹函数。
综上所述，幂函数是一种常用且重要的函数类型，其性质与指数n的值密切相关。
