二次函数与幂函数(公开课)

=
−
<


（2）方程有两个不等负根 , ⇔


= >

（3）方程有一正根和一负根，设两根为 , ⇔ = <
常用结论
3、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类
问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个
一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(0,0)
(1,1)
②当α>0时，幂函数的图象都过点_____和_____，且在(0，＋∞)上单调
递增；
(1,1)
③当α<0时，幂函数的图象都过点_____，且在(0，＋∞)上单调递减；
1
，即
或
(−1) > 0
> −3
(1) > 0
<1
1
D． − , 0 ⋃(1, +∞)
3
>1
−1 < < 1
1
，
> −3
<1
1
解得− 3 < < 0，
故选：C
题型三：二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 的实根分布及条件
【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）方程 2 + ( − 2) + 5 − = 0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)
以2 − 2 − 2 = 1，解得 = 3或 = −1，又因为()

§2.4 二次函数与幂函数 [考纲要求] 1.了解幂函数的概念；结合函数 y＝x，y＝x2，y
1
＝x3，y＝1x，y＝x2的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数 的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简 单问题．
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1．二次函数 (1)二次函数解析式三种形式 ①普通式：f(x)＝__a_x_2＋__b_x_＋__c_(_a_≠__0_)__． ②顶点式：f(x)＝__a_(x_－__m__)_2＋__n_(_a_≠__0_)_． ③零点式：f(x)＝_a_(_x_－__x_1_)(_x_－__x_2_)(_a_≠__0_)_．
∴f(x)max＝f(－2)＝8. 【答案】 8
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【引申探究】 已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)最小值 ． 【解析】 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴对称轴为直线x＝1，
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∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论，当－2 ＜a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y取 得最小值，即ymin＝a2－2a；当a＞1时，函数在[－2，1]上 单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小 值，即ymin＝－1.
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∴m＝21.又根据题意函数有最大值 8，∴n＝8， ∴y＝f(x)＝ax－122＋8. ∵f(2)＝－1， ∴a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三 (利用零点式)： 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1.
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又∵x∈[－4，6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0，1)上 为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．

或1a≥4， f4＝16a－8＋2≥0，
∴aa≥≥10， 或14a＜＞a12＜1，
或aa≤≥1438，.
∴a≥1 或12＜a＜1 或∅，即 a＞12；
（2）当 a＜0 时， f1＝a－2＋2≥0， f4＝16a－8＋2≥0， 解得 a∈∅； （3）当 a＝0 时， f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意．
，
增
[0，＋∞)增
(0,0)，(1,1)
[0，＋∞) 非奇非偶
增
y＝x－1
{x|x∈R且 x≠0}
{y|y∈R 且y≠0}
奇 (－∞，0)减
， (0，＋∞)减
(1,1)
2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
答案 f(x)＝ x
5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1， x2，则x1＋x2＝________.
解析 由 f(3＋x)＝f(3－x)，知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝3 对称，
应有x1＋2 x2＝3⇒x1＋x2＝6.
答案 6
考点一 幂函数的图象与性质
【训练3】 函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．
(1)求g(t)的解析式； 请先暂停，完成题目后继续观看！
(2)求g(t)的最大值． 解 (1)f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.对称轴x＝2. ①当t＋1＜2，即t＜1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，

D．5a<5－a<0.5a
解析 5－a＝15a，因为 a<0 时，函数 y＝xa 在(0，＋∞)上单调递减，且15<0.5<5， 所以 5a<0.5a<5－a．
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函数、导数及其应用
3．(2019·山东威海模拟)若a<0，则0.5a，5a，5－a的大小关系是( B )
A．5－a<5a<0.5a
B．5a<0.5a<5－a
C．0.5a<5－a<5a
在 x∈－2ba，＋∞上单调递增
在 x∈－2ba，＋∞上单调递减
函数的图象关于 x＝－2ba对称
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1．幂函数的图象和性质
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是
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函数、导数及其应用
考向 1：二次函数的图象
已知函数 f(x)＝ax2－x－c，且 f(x)>0 的解集为(－2，1)，则函数 y＝f(－x) 的图象为( D )