分类计数原理和分步计数原理一

（3）有不同颜色的5件上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配 成一套,则不同的配法有多少种？ 分步问题 （4）从一个装有4个不同白球的盒子里或装有3个不同黑球的盒子里取1个球， 共有多少种不同的取法？ 分类问题 （5）从一个装有4个不同白球的盒子里和装有3个不同黑球的盒子里各取1个 球，共有多少种不同的取法？ 分步问题 （6）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去， 共有多少种不同的进出商场的方式？ 分步问题
问题剖析
小明要完成的一件事是什么
北京→重庆
完成这件事情要分几步
2步
每步中的任一方法能否独立完成这 件事
不能
每步方案中分别有几种不同的方法 4种 3种
完成这件事共有多少种不同的方法 4✕3=12种
想一想：
(1)用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以 A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座 位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ (2)从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1名 担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画
事件1：从中任选一幅画布置房间 事件2：从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间 事件3：从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间
问题2：以上三个事件各有多少种不同的选法
1.解决计数问题的基本方法：
列举法、两个计数原理
2.选择两个原理解题的关键是： 根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要， 只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．
数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，分类 要做到类类独立，不重不漏。

拓展应用：离散数学、计算机科学
离散数学
分类计数和分步计数原理在离散数学中被广泛应用 于组合问题、图论、递归和算法等领域。
计算机科学
分类计数和分步计数原理在计算机科学中被用于解 决计算复杂性、优化问题和算法设计等。
总结和应用建议
分类计数原理和分步计数原理是数学和计算机科学中重要的计数方法。了解 它们的定义、应用和联系，可以帮助我们解决各种计数问题。
2 区别
分类计数原理是将问题分为不同的分类进行计数，而分步计数原理是将问题分解为多个 步骤进行计数。
实例应用：组合、排列、二项式定理等
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
组合
通过分类计数，可以计算出从给定集合
排列
2
中选择不同元素的组合数。
使用分步计数，可以计算出在给定元素
集合中选择和排序元素的排列数。
3
二项式定理
通过应用分步计数原理，可以推导出二 项式定理，用于展开二次方和三次方的 多项式。
分类计数原理的定义和应用
分类计数原理是一种通过将问题分成不同分类的方式来计数。它在组合数学、离散数学和计算机科学中被广泛 应用。
分步计数原理的定义和应用
分步计数原理是一种通过将问题分解为多个步骤来计数的方法。它通常在组合数学和排列问题中使用。
分类计数原理和分步计数原理的联系 和区别
1 联系
两种原理都可以用于解决计数问题，但是采用不同的分解方式。
分类计数原理和分步计数 原理
本演示将介绍分类计数原理和分步计数原理。了解基本概念、定义、应用、 联系和区别，并深入探讨实例应用以及拓展领域。最后进行总结和应用建议。
基本概念
分类计数原理
通过将问题分解为各个独立分类，然后对每个 分类进行计数，得到最终的计数结果。

在解题有时既要分类又要分步。 在解题有时既要分类又要分步。
课堂练习
5、已知二次函数 y = ax 、
2
+ bx + c. 若
不同的二次函数？ 不同的二次函数？其中图象过原点的二次函 数有多少个？ 数有多少个？图象过原点且顶点在第一象限 的二次函数又有多少个？ 的二次函数又有多少个？
a, b, c∈{−3, −2,0,1,2,3}. 则可以得到多少个
分类计数与分步计数原理的区别和联系： 分类计数与分步计数原理的区别和联系： 加法原理 乘法原理
N2=4×2=8 × N= N1+N2 =14ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
丙地 丁地
2.如图 该电 如图,该电
路,从A到B共 从 到 共 有多少条不 同的线路可 通电？ 通电？
A
B
从总体上看由A到 的通电线路可分三类 的通电线路可分三类, 解: 从总体上看由 到B的通电线路可分三类 第一类, 第一类 m1 = 3 条 第二类, 第二类 m2 = 1 条 第三类, 第三类 m3 = 2×2 = 4, 条 × 所以, 根据分类原理, 所以 根据分类原理 从A到B共有 到 共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。 条不同的线路可通电。
分析:
二、分步计数原理 完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有 1 完成一件事，需要分成 个步骤。做第 步有m 个步骤 步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法， 步有m 种不同的方法，做第 步有 2种不同的方法， ……， ， 做第n步有 种不同的方法， 步有m 做第 步有 n种不同的方法，则完成这件事共有
一、分类计数原理 完成一件事， 类办法. 完成一件事，有n类办法 在第 类办法中有 类办法 在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第 类方法中有 2种不同的 种不同的方法，在第2类方法中有 类方法中有m 方法， 类方法中有m 方法，……，在第 类方法中有 n种不同的方法， ，在第n类方法中有 种不同的方法， 则完成这件事共有

例2.书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有7本 不同的英语书，第三层有10本不同的语文书，现从书 架第一层、第二层、第三层各取一本书，共有多少种 不同的方法？
问题剖析 要我们做什么事情
(2)
从书架上每层拿一本书 有三个步骤 不能 6种、7种、10种 6×7×10=420种
完成这个事情有几个步骤 每个步骤能否独立完成这件事情
⑥用0，1，2，……，9可以组成多少个有两个重复数字的4位整 整数个数 数等等．
有0
0重复9×8×6
无0 9×8×7×3×3
0不重复3×3×9×8
例10.自然数2520有多少个约数？ 解：2520＝23×32×5×7 分四步完成： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 第二步：取30，31，32有3种； 第三步：取50，51有2种； 第四步：取70，71有2种。 由分步计数原理，共有4×3×2×2＝48种 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（1张不取，即0元0分0角不计在内） 元：0，1，2，3，4，5 角：0，1，2，3，4 分：0，2，4，5，7，9 6×5×6－1＝179
每个步骤中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法
例3.书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有7本 不同的英语书，第三层有10本不同的语文书，现想现 从１，２，３层中某两层，各取一本，有多少种不同 方法？
6×7＋6×10＋7×10＝172 注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步” 可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般 是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类 计数原理和分步计数原理．
5 种 方
a3 a4 a5